Oyun Teorisi - 1: Oyunlar ve Oyunların Modellenmesi

Bu yazı dizimizde, sosyal bilimlerin çatışı olarak nitelendirilebilecek, hayatın ve doğanın her alanında etkilerini görebildiğimiz, muazzam geniş bir disiplin olan Oyun Teorisi’ne bir giriş yapacağız ve okurlarımızın bu konu hakkında bilgi sahibi olmalarını sağlamaya çalışacağız. Temel amacımız, okurlarımıza genel bir oyun teorisi perspektifinden düşünme tarzını aşılamak ve bu bağlamda günlük hayattaki olayları bir oyun olarak nasıl yorumlayabileceklerini göstermeye çalışmaktır.

Ancak asla unutulmamalıdır ki, Oyun Teorisi’ni tam olarak anlayabilmek, sağlam matematiksel kanıtlar ve analizler gerektirmektedir. Bu yazı dizisinin temel amacı ve okurlarımızın beklentileri hakkındaki tahminlerimiz göz önüne alınınca, makaleleri matematiğe boğmanın iyi bir tercih olmayacağını düşündük. Bu sebeple, bu yazı dizisi temel kavramlar ve kritik noktalar üzerinde duracak ve rahatça takip edebilmek için temel matematik bilgisinden başka bir şey gerekli olmayacak. Bazı noktalarda oyunları tanımlamak için matematik ve mantık gösterimine başvuracağız ve bu gösterimleri anlamak için bir tık daha ileri matematik bilgisi gerekebilir; ancak bu gösterimler konunun genel işleyişine dahil olmadığı ve sadece sözel olarak bahsedilen kavramların alternatif birer gösterimi olduğu için onlarda anlaşılmayan noktalar olması sıkıntı yaratmayacaktır. Daha ileri düzeyde Oyun Teorisi bilgisine sahip olmak isteyen okurlarımız için de, ek okuma ve kaynak önerilerimizi yazı dizisi içinde belirteceğiz.

Son olarak bu yazı dizisinin Oyun Teorisi'nin "teorisine," yani modelleme ve analiz yöntemlerine odaklanan kavramsal yönü kuvetli bir yazı dizisi olduğunu vurgulayalım. Oyun Teorisi'nin gerçek vakalara ya da olaylara uygulamalarını veya diğer disiplinlerde kullanıldığı durumları bu yazı dizisinde sadece nadiren ve örnekle amacıyla kullanacak, tartışmamızı genelde modellemesi ve analizi daha kolay olan hipotetik örnekler üzerinden yürüteceğiz.

Giriş: Oyun nedir?

Oyun nedir? Bir oyunu nasıl tanımlarsınız?

Günlük hayatımızda pek çok karşılığı bulunan oyun kavramına hiçbirimiz yabancı değilizdir. Antik dönemlerden beri insanlık, oyunlarla haşır neşir olmuştur: Satranç, tavla ve benzeri oyunlar, bazılarının kökeninin efsaneleşeceği kadar eskiye gitmektedir. Daha yakın geçmişte, çeşitli sporlar (futbol, basketbol, tenis gibi) “oyun” olarak hayatımıza girmiştir. 21. yüzyılın son çeyreğinde ise gerçek veya sanal rakiplere karşı oynanan bilgisayar ve konsol oyunları ortaya çıkarak, özellikle genç yaşlardaki insanların hayat tarzını kökten değiştirmiş, ve hatta bu sebeple sert tartışmaların konusu olmuşlardır.

Ancak tüm bunlardan daha eski iki oyun daha var insanlık tarihinde: Savaş ve politika. Bu ikisinin birer oyun olmadığını kim söyleyebilir ki? Savaşta da, politikada da, rakiplerine üstünlük kurmaya çalışan, onları alt etmeyi hedef haline getirmiş, ve bundan dolayı bir kazancı olacak taraflardan söz edebiliriz. Varolan mücadelenin sanal değil de gerçek olması, mücadelenin yapısında bir farklılığa yol açar mı?

Ama daha da genele gidersek, daha kapsayıcı bir oyun bulabilir miyiz?

İki insan -ya da başka bir hayvan türü- arasındaki romantik ilişkiyi düşünelim. Diyelim ki, erkek taraf dişi ile ilgileniyor. Erkek gözünden, dişinin kendisi ile ilgilenip ilgilenmediği hakkında kesin bir yargıya varılamaz, ancak çeşitli faktörler sayesinde (dişinin onun yanındaki davranışları, gösterdiği ilginin miktarı, diğer erkeklerle ya da dişilerle ilişkisi vb.) olasılıklar üzerinden bir tahmin yürütülebilir. Yani, söz gelimi eğer dişi o erkeğin yanında daha neşeli oluyorsa ve geçirdiği vakitten keyif alınıyor gözüküyorsa, bunun yanında başka bir erkeğe ilgisi olduğu yönünde bir gözlem yapılmamışsa, erkek dişinin kendisiyle yüksek olasılıkla ilgilendiğini düşünecektir. Bir başka deyişle, dişinin muhtemel iki tipten (ilgili, ilgisiz) hangisine sahip olduğu yönünde kafasında bir olasılık belirleyecektir. (Örneğin, %70 ve %30.)

Erkeğin önünde iki seçenek vardır: Ya dişiye duyduğu ilgiyi açıkça belli ederek şansını deneyecektir, ya da hissettiği ilgiyi içine atacaktır. İnsan bağlamında, iki seçeneğin çok çeşitli artı ve eksileri vardır, ve bunlar dişinin vereceği yanıt ile yakından ilgilidir: Eğer erkek ilgisini açıkça belli ederse ve dişi de kabul ederse, duygusal ve cinsel anlamda büyük bir zevke ulaşacaktır. Eğer dişi reddederse ise, gururu kırılacak, belki bulunduğu sosyal ortamdaki itibarı düşecektir. Bir yandan da, ilgilendiği dişinin gözünde küçük düşmenin vereceği acı olacaktır. Eğer erkek duygularını içine atmayı tercih ederse, görünürdeki durum aynı kalacaktır, ancak erkeğin üzerindeki manevi baskı devam edecektir… Tabii, başka biriyle ilgilenmeye başlayana dek. Şüphesiz ki, erkeğin kararı, dişinin hangi tipte (ilgili ya da ilgisiz) olduğu yönündeki inancı ile yakından ilişkili olacaktır.

Kendisine ilgisini açık eden bir dişinin ise, iki opsiyonu bulunmaktadır: Ya kabul edecek, ya da reddedecektir. Kabul ederse, her durumda cinsel bir zevk yaşayacaktır, ancak duygusal olarak haz alıp almayacağı, kendisinin de ilgili olup olmadığına bağlıdır. Tabii, bir yandan da onunla beraber olarak daha çok ilgileneceği başka erkeklerle şansını da düşürmektedir. Bunun yanında reddetmesi, eğer ilgisizse, ona herhangi bir kazanç veya kayıp sağlamayacaktır. Ama ilgiliyse, reddetmesi kolaylıkla elde edebileceği (elde etmek için bir çaba harcamayacağı) büyük bir fırsatı kaçırmasına sebep olur, ve bu yüzden de çok istisnai bazı durumlar dışında asla seçilmeyecek bir opsiyondur.

İşte bu, ve genelde iki veya daha fazla insanın dahil olduğu herhangi bir insan ilişkisi, yapısal olarak birer oyundur ve adeta bilindik anlamda bir oyunmuş gibi analiz edilebilir. 

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Biraz daha formaliteye uyarak, yukarıda tanımladığımız oyunu ifade etmeye çalışalım. Basitleşmesi açısından, tarafların tek bir şansı olduklarını düşünelim, yani oyun tekrarlanmayacak, erkek ilgisini belli etmemeyi seçerse bu kararından geri dönemeyecek. (Söz gelimi, bir partide tanışan iki kişi olsunlar.) Ayrıca, dişinin mutlaka ilk hareketi karşı taraftan bekleyecek, egoist biri olduğunu varsayalım.

Erkeğin seçenekleri, Türkçe’deki kaba tabirle, “açılmak” veya “açılmamak”tır.

Eğer erkek açılmamayı seçerse, dişi herhangi bir seçim yapamaz. Bir başka deyişle, hamle hakkı asla ona gelmeden oyun biter. Eğer erkek açılmayı seçerse, dişi ya kabul edebilir ya da reddedebilir. Bu bağlamda, oyunun üç farklı sonucu vardır: Erkek kabul edilir, erkek reddedilir veya dişinin erkeğin ilgisinden haberi olmaz. Yani,

ya da başka bir gösterimle:

Yukarıda gördükleriniz, bir oyunun normal/matris formunda (aşağıdaki) ya da genişletilmiş formda (yukarıdaki) gösterimleridir ve Oyun Teorisi’nde kullanılan iki temel temsildir. Elbette, kimi oyunlar için bu gösterimler fazlaca uzar, hatta sonsuz olabilir, bu yüzden kullanılmazlar ve direkt matematiksel olarak ifade edilirler. Ancak çok büyük ve hatta sonsuz olan oyunlar için bile, bu gösterimleri kullanıp en azından genel yapı hakkında bir fikir sahibi olmak işe yarar bir yöntemdir.

Tabii, sonuçları “Kabul,” “Ret,” ya da “Habersiz” şeklinde üçe ayırmak çok kullanışlı bir şey değil. Sonuçta, amacımız oyunun doğasını anlamak, tarafların hangi hamlelerde bulunacağını ve oyunun nasıl sonuçlanacağını kestirmek olacak, değil mi? Bunu güvenilir bir şekilde yapacaksak, sonuçları da güvenilir bir yolla ifade etmemiz gerekecek. Ve insanlığın bilgi birikimindeki en güvenilir gösterimi de, daha iyisi bulunana kadar, matematiktir.

Yukarıda, her muhtemel sonuçta tarafların başına gelebilecek şeylerden bahsettik. Bunların hepsi, verilen öneme göre, tarafları belli bir miktarda etkiliyor. (Örneğin erkek çok aşıksa, kabul edilince alacağı duygusal zevk artacaktır. Eğer erkek çok sık cinsel ilişkiye giren biriyse, alacağı cinsel zevk, pozitif kalmakla beraber daha az olacaktır. Ya da dişi, ilgili olsa bile, erkek kadar aşık değilse erkekten daha düşük bir duygusal haz alacaktır.) Bu yüzden, kendi belirlediğimiz sanal bağlamda, ya da gerçek bir olay hakkında da tahminlerimiz ve gözlemlerimizden yola çıkarak, bu çıktıların hepsine bir değer atfedebiliriz.

Kendimize bir dişi, bir de erkek karakter tanımlayalım. Bunun için standart bir hikaye kullanabiliriz. Elimizde çapkın oğlan olsun. Bu arkadaşı da, kendi patronunun kızına aşık edelim. Kızın, oğlandan hoşlanıp hoşlanmadığını bilmiyoruz. Oğlan, direkt olarak kızın babası için çalıştığından, aralarındaki bir olumsuzluk direkt olarak hayatının geri kalanına yansıyacaktır. Olaya asimetri katmak için, keyfi olarak dişinin bir ilişkide alacağı cinsel hazzın erkeğin alacağından daha fazla olacağını varsayalım. Faktörlere uygun değerler vermeye çalışırsak:

• Erkek için fiziksel/cinsel haz, +1.
• Dişi için fiziksel/cinsel haz, +2. Burada fiziksel haz objektif kabul ediliyor. Yani dişi, erkekten duygusal anlamda hoşlansa da hoşlanmasa da, erkeğin fiziksel durumu değişmeyecek ve cinsel ilişkide dişiye aynı zevki verecek.
• Erkek için duygusal haz, +4: Oğlan, kızdan hoşlandığı için alacağı duygusal zevk her zaman pozitif olacak.
• Dişi için duygusal haz, +4/-3: Kız da oğlan ile ilgileniyorsa aynı duygusal hazzı alacak. Ancak ilgilenmiyorsa, onunla birlikte geçirdiği zamanın kaybından dolayı negatif bir değer alacak.
• Erkek için reddedilmenin bedeli, -5: Oğlan, kız tarafından reddedilirse, hayatının geri kalanında çeşitli olumsuz etkileri olacak. Bunlar, küçük düşürülmüş hissetmekten, patronun kızına asıldığı için olası bir terfiyi kaybetmeye kadar pek çok şey olabilir.
• Erkek için duygularını saklamanın ağırlığı, -1. Bilen bilir, az bile...

Bu bağlamda,

1. Erkek açılmazsa, -1 kayba sahip olacak. Dişi için ise durum aynı kalacak (0).
2. Erkek açılıp kabul edilirse, kendisi +1+4=+5 kazanacak. Eğer dişi erkeğe karşı bir şey hissediyorsa +4+2=+6, hissetmiyorsa ve sadece cinsel ilişki için beraber oluyorsa da +2-3=-1 kazanacak.
3. Erkek açılıp reddedilirse, kendisinin -5 kaybı olacak. Durum aynı kalacağı ve dişi reddeden taraf olduğu için, kızın herhangi bir kazancı olmayacak, yani 0.

Şu anda oyunu erkeğin gözünden inceliyoruz. Erkek, dişinin düşüncelerinden emin değil. Varsayalım ki, kendisi ile ilgileniyor olmasına %70 ihtimal veriyor. (p=0.7) O zaman, bu rakamları gösterime dökersek:

Yukarıdaki görsellerde (u₁,u₂) şeklindeki gösterimler, erkeğin (Oyuncu 1, ya da satır oyuncusu) ve dişinin (Oyuncu 2, ya da sütun oyuncusu) kazançlarını göstermektedir. Bu, standart gösterimdir: Parantezdeki ilk sayı (u₁) Oyuncu 1’in, ikinci sayı ise (u₂) Oyuncu 2’nin kazancını göstermektedir. Oyuncu 1 daima satır tarafına yazılır, yani satırlar arasında seçim yapar; Oyuncu 2 ise daima sütun tarafına yazılır, yani sütunlar arasında seçim yapar.

İkinci görselde, esasen iki oyun görüyorsunuz. İlk oyun (0.7 ihtimalle oynanmakta olan) dişinin de ilgili olduğu durumdur. İkinci oyun ise, dişinin ilgisiz olduğu durumdur. Erkek, dişinin ilgili olup olmadığını bilmemekte, dolayısıyla dişinin kazancından emin olamamaktadır. Bir başka deyişle, oynadığı oyunun hangi oyun olduğundan emin değildir. Bu tip oyunlara Bayes Oyunu denir ve yazı dizimizdeki makalelerden birinin konusu olacaktır. (İkinci gösterim için söylenilenler birinci gösterim için de geçerlidir elbette. Sadece, karmaşa olmaması açısından, ilk gösterimde dişinin tipiyle değişen kazançlar alt alta yazılmıştır.)

İşte bu şekilde, bir oyunu tam olarak tanımlamış oluyoruz.

Agora Bilim Pazarı

Atlas

ATLAS – Kıtalar, Denizler ve Kültürler Arası Yolculuk Rehberi, sadece coğrafi bilgileri değil, ülkelerin karakteristik yönlerini de sunan büyük boy haritaları, ödüllü tasarımı ve göz alıcı çizimleriyle sizi koltuğunuzdan kıpırdamadan dünya turuna çıkarıyor. Dünyanın binbir harikası ve ilginçliği arasında rengârenk bir yolculuk. İzlanda’nın buzulları, Mısır’ın çöl kervanları, Avustralya’nın ornitorenkleri, Madagaskar’ın dev baobab ağaçları, Meksikalıların garip bayramları ve Charlie Chaplin’den Halide Edip Adıvar’a ülkelerini gururlandıran isimler. Tüm dünyada büyük ilgi gören, İzlanda’dan Polonya’ya, Amerika’dan İspanya’ya 37 dilde yayımlanan, çocuk kitaplarında en prestijli ödüllerden Prix Sorcières (Fransa) ve Premio Andersen’i (İtalya) kazanan Atlas, devasa buzullardan küçücük böceklere, dünyamızın barındırdığı akılalmaz çeşitliliği ve göz alıcı renkleri kutlamak için hazırlanmış görsel bir festival.

1. “Gördüğünüz anda dokunma hissi uyandıran bir kitap. Çocuklar kadar
   yetişkinleri de büyülemesi muhtemel.” Wall Street Journal
2. “İlk görüşte aşk! Sizi daha fazlasını merak etmeye, hatta yolculuğa
   çağırıyor.” Guardian
3. “Sınıf ve kütüphaneler için olmazsa olmaz.” School Librarian Journal

Devamını Göster

₺480.00

Satın Al Tüm Ürünler

• Dış Sitelerde Paylaş

Daha resmi olarak konuşmak gerekirse, bir oyunu tanımlayan üç faktör vardır.

İlki, oyunculardır; her oyun bir ya da daha fazla oyuncu ile tanımlanır. Bunlar, kişiler olabileceği gibi kurumlar, topluluklar ve hatta evren bile olabilir! (“Zarları atan” oyuncu olarak evreni, ilerleyen makalelerde sık sık göreceğiz.) Matematik gösterimlerde, bir küme olarak, N={Oyuncu 1, Oyuncu 2, …. Oyuncu n} şeklinde gösterilir.

Oyuncular, belli bir strateji uygularlar, yani aksiyonlarını ya da hamlelerini belirlerler. Her oyuncunun seçebileceği sınırlı sayıda aksiyon vardır. Bir vektör olarak, A₁={a_1,1, a_1,2, …} kümesi 1. Oyuncunun aksiyon opsiyonları olmak üzere, A={A₁, A₂, … A_n} tüm muhtemel aksiyon seçimlerini ifade eder. Bu gösterimi bu yazı dizisinde pek kullanmayacağız.

Her oyuncunun seçtiği aksiyonların kümesi, oyunu belli bir sonuca götürür. Örneğin erkek açılıp dişi kabul etmeyi seçerse, oyun “Kabul” sonucuna ulaşmış olur. Bu sonuçlar ise, Oyun Teorisi’nde matematiksel olarak kazançlar ile ifade edilir.

Oyuncular, aksiyonlar ve kazançlar, normal formda bir oyunu tam olarak tanımlarlar. Bazı diğer formlar için başka tanımlara ihtiyaç duyulsa da, hepsinin temelinde bu üçü vardır. Bu değişik tanımlara ilerleyen kısımlarda değineceğiz.

İki oyunculu ve her oyuncunun iki seçimi olan bir oyunu nasıl ifade edebileceğimizi gördük. Aynı ifade biçimi, teoride iki oyunculuk pek çok oyuna uyarlanabilir, eğer zorlanırsa biraz daha kalabalık oyunlarda da kullanılabilir. Ancak bazı durumlarda, özellikle çok büyük sayılarda oyuncunun olduğu oyunlarda, bu gösterimleri kullanmak çok mantıklı bir karar olmaz ve bunun yerine saf bir matematik model tercih edilir. Böyle bir oyunu nasıl gösterebileceğimize bakalım.

Devrim Oyunu

10 milyon nüfuslu bir ülke düşünelim. Bu ülkede, durumdan rahatsız insanların varlığı sebebiyle yavaş yavaş bir ayaklanmanın yaklaştığı görülüyor. Ülkede yaşayan her bir kişi, yaklaşan ayaklanmaya katılıp katılmamayı seçecek. Devrimin başarısı için nüfusun en az yüzde 20’sinin desteklemesi gerekiyor. Ve tabii ki, ayaklanma sırasında devrimcilerin safını tutup tutmadıkları, sonrasında ne olacağını belirleyecek: Devrimi destekleyenler, şayet başarısız olursa, yasalar uyarınca cezalandırılacak. Bu oyunu ifade etmeye çalışalım.

Oyuncular Kümesi = N = {1, 2, .... 10,000,000} (Her bir oyuncuyu/vatandaşı bir sayı ile ifade ettik.)

Aksiyonlar = A = {Ayaklan, Sessiz Kal} (Her vatandaş ayaklanmaya ya katılacak ya da katılmayacak.)

Seçilen belli bir aksiyonu ifade etmek için, a değişkenini; belli bir oyuncu için ise i değişkenini kullanırsak:

i oyuncusunun a aksiyonunu seçmesi durumundaki kazancı = ui(a)

Eğer { j : a_j = Ayaklan } > 2,000,000 ise, yani “Ayaklanma” hamlesini seçen oyuncuların sayısı 2,000,000’den fazlaysa, u_i=1. Bir başka deyişle, eğer devrim başarılı olursa, tüm vatandaşlar bir fayda kazanacak, ayaklanmayı destekleseler de desteklemeseler de.

Eğer { j : a_j = Ayaklan } < 2,000,000 ise, iki ihtimal var:

1. Eğer a_i = “Ayaklan” ise, yani oyuncu “Ayaklanma” hamlesini seçmişse ve devrim başarısız olmuşsa, u_i(a)=-1. Oyuncu, yasalar gereğince cezalandırılır.
2. Eğer a_i = “Sessiz kal” ise, yani oyuncu “Sessiz kalma” hamlesini seçmişse ve devrim başarısız olmuşsa, u_i(a)=0. Devrime katılmayan bir vatandaş ile hükümetin sıkıntısı olmaz ve oyuncu için aynı durum devam eder.

2,000,000 oyunculuk bu oyunu matematiksel olarak kabaca bu şekilde ifade edebiliriz. Elbette, tüm oyuncuların aynı hamleleri yapabiliyor olması ve aynı durumlarda aynı kazançları kazanıyor olması, işimizi kolaylaştırmakla beraber, modelin gerçekçiliğinden bir şey kaybettirmiyor. Gerçek bir olayda da, belki bazı istisnalar haricinde, tüm ayaklananlar aynı yasalara tabii tutulacaktır ve ülkede yaşanacak değişimler herkesi etkileyecektir.

Burada devrimden gelen kazancın değeri veya alacakları cezanın ağırlığı ile bağlama uygun olarak oynayarak, gerçekten 10,000,000 nüfuslu bir ülkede devrim hareketi olacak olursa buna kaç kişinin katılmasının muhtemel olduğu yönünde çok kaba bir tahmin yürütülebilir. Bu, yani oyunlarda dengeler, bir sonraki yazımızın konusu olacak.

Bu makaleyi sonlandırmadan önce, bazı diğer oyun örneklerine bakalım. Bu örnekler, Oyun Teorisi’nin her yerde kullanılan temel örnekleridir ve hepsi aslında belli bir genel durumun modelidir. Bu sebeple, bu örneklerden ilerleyen kısımlarda çok sık bahsedeceğiz.

Para Eşleme: Saf Rekabet Oyunu

Bu oyunumuz çok basit: İki oyuncu, ellerindeki paradan aynı anda “yazı” veya “tura”yı kendileri seçiyor. (Yazı-tura atarak şansa bırakmıyorlar.) Eğer ikisinin de seçtiği taraf aynı ise, 1. Oyuncu kazanıyor. Eğer farklı taraflar seçilmişse 2. Oyuncu kazanıyor. Normal formda bu oyun şöyle gösterilebilir:

Bu oyun, saf rekabet oyunlarının modelidir. Bu oyunlarda, iki oyuncu tamamen rekabet halindedir: Birinin kazanması demek, ötekinin kaybetmesi demektir. Nihai sonuçlar itibariyle inceleyecek olursak, savaşlar, satranç ve tavla da bu tip oyunlara örnektir.

Bunların dışında, bir penaltı vuruşunu da basitçe böyle ifade edebiliriz. Kaleci sağa veya sola gitmeyi veya ortada kalmayı tercih edecek; vurucu ise sağa mı, sola mı, ortaya mı vuracağını belirleyecek. Eğer kaleci, vurucunun vurduğu noktayı seçmişse o kazanacak, diğer türlü vurucu gol atacak. 

Saf rekabet oyunlarının önemli bir çeşidi sıfır toplamlı oyunlardır. Adından da anlaşılabileceği üzere, sıfır toplamlı oyunlarda bir oyuncunun kazancı, diğerinin kaybına eşittir. Yukarıda örnek gösterdiğimiz para eşleme oyununun yanında, penaltı vuruşu, satranç ve tavla da sıfır toplamlı oyunlardır. Öte yandan gerçek hayatta yaşanan bir savaş senaryosunun sıfır toplamlı olmak zorunda değildir. Örneğin, küçük bir kentin büyük bir imparatorluk tarafından işgal edildiği bir senaryoda, muhtemelen imparatorluğun kenti elde etmekten çıkarı çok falza olmayacaktır, ancak kentin sakinleri için bu savaşı kaybetmek bir felaket anlamına gelebilir. (Elbette, bu sadece bir yorumdur ve oyunu nasıl modellediğimize göre değişecektir.)

Karşılaşan Arabalar: Saf İşbirliği Oyunu

İki şeritli bir yolda, iki araba birbirlerine doğru zıt yönlerde hareket etmektedirler.

Çarpışmamak için, iki arabanın da bir yön seçmesi gerekmektedir: İkisi de, kendilerine göre ya sağlarındaki ya da sollarındaki şeritten gitmek durumundadır. Ve elbette, istekleri çarpışmamak yönündedir. Matris formunda yazacak olursak:

İki sürücü de kendilerine göre sağa ya da kendilerine göre sola girerse, ayrı şeritlerde olacak ve çarpışmayacaklardır. Diğer durumlarda ise aynı şeritte birbirlerine doğru gidecek, çarpışacak ve büyük bir zarara maruz kalacaklardır. Bu oyunun kendileri için kazançlı bitmesinin tek yolu, karşılarındaki sürücü ile işbirliğine gitmektir.

Bu, saf işbirliği oyunlarının genel gösterimidir. Bu oyunlarda oyuncuların çıkarları ortaktır ve birinin kazanması, diğerinin de kazanması demektir. Bunlara gerçek hayattan örnek olarak, piyasada tekel olan bir patates kızartması, bir de ketçap şirketinin durumunu verebiliriz. Ketçap ve patates kızartması, birbirlerinin tamamlayıcı ürünleridir: Genellikle beraber tüketilirler ve birine talebin artması, ötekine de talebi otomatik olarak artırır. Bu şirketler eğer kendi alanlarında rakipsizlerse, birbirlerine yardımcı olarak daha fazla kazanacaklardır, birbirlerinin yolunu kesmeleri ve diğerini piyasada başarısızlığa sürüklemeye çalışmaları ise öteki şirket için de zararlı olacaktır.

Cinsiyetlerin Savaşı: Hem Çatışma Hem İş Birliği

Gerçek hayattaki pek çok durum, bir noktaya kadar rekabet ve bir noktaya kadar da işbirliği gerektirir. Ünlü Cinsiyetlerin Savaşı oyunu bu durumu çok güzel yakalar.

Cinsiyetlerin Savaşı'nın önce "soyut" ve "gerçekçi olmayan" senaryosunu anlatalım: Telefonun icat olmadığı zamanlarda yaşayan bir çiftimiz var. Bu çift, bir sonraki hafta buluşmak üzere ayrılıyorlar. Ancak ayrıldıktan sonra hem erkek, hem de dişi taraf, sonraki hafta operada mı yoksa sinemada mı buluşacaklarını unutuyorlar, ama bu ikisinden biri olduğuna eminler. Kişisel olarak erkek sinemadan daha çok keyif alıyor, dişi ise operada olmayı tercih ediyor. Ama her sağlıklı ilişkide olduğu gibi, esas öncelikleri birlikte olmak.

Telefon olmadığı için haberleşemeyen taraflar, buluşma vakti geldiğinde operaya mı sinemaya mı gideceklerine karar vermek zorundalar. Normal formda bakacak olursak:

Eğer operada buluşurlarsa dişi daha memnun olacak, sinemada buluşurlarsa da erkek. Ama ayrı aktiviteleri yapacak olurlarsa iki taraf da üzülecek.

Bu senaryo biraz soyut gelse de, aslında gerçek hayatta benzer pek çok durumda birazcık modifiye edilerek kullanılabilir. Örneğin, dişi ile erkeğin habersiz kaldıkları bir durumu değil de, anlaşmazlığa düştükleri bir durumu düşünelim: Erkek sinemada ısrarcı, dişi ise operada. Dişi bu ısrarını sürdürebilir, erkeği “Her durumda ben operaya gidiyorum, sen gelirsen gel,” diyerek tehdit edebilir. Bu, bir risktir. Elbette, eğer erkek illa sinemaya gitmeyi tercih ederse, dişi için sözünden dönüp sinemaya gitmek daha kazançlı bir hareket olacaktır… Tabii, bu oyun sadece bir defa oynanıyorsa. Eğer aynı oyun defalarca oynanacaksa, yani benzer anlaşmazlıklarla ilişki boyunca defalarca karşılaşılacaksa, dişinin ilk seferde sözünün arkasında durup erkekle ayrı düşmesi, uzun vadede onun faydasına olabilir: Erkek, dişinin ısrarcı olduğunu anlayacaktır ve sonraki anlaşmazlıklarda dişinin isteğine uymayı tercih edecektir. Dişinin bu “kararlı” başına buyruk stratejiyi mi, yoksa “uzlaşmacı” erkeğe uyma stratejisini mi izleyeceği ise, bugüne kıyasla geleceği ne kadar önemsediğinden, erkeğin davranışları hakkındaki inancına kadar pek çok faktöre bağlıdır.

Tutsak İkilemi

En ünlü örneklerden biri olan Tutsak İkilemi, aynı zamanda -ilk bakışta fark edilmese bile- gerçek hayatta çok sık gördüğümüz bir durumu modellemektedir. Bu yazı dizimizin geri kalanında da sık sık bahsedeceğimiz bir oyun olan Tutsak İkilemi’nin klasik hikayesi aşağıdaki gibi.

Aynı suça karışan iki suçlu tutuklanıyorlar. Polisin elinde herhangi bir kanıt yok. Polis, bu iki şüpheliyi birbirlerinden habersiz olacakları şekilde sorguya çekiyor. Şüpheliler tabii ki kendi suçlarını itiraf etmeyecekler. Ancak, öteki arkadaşlarını satmayı veya susmayı tercih edebilirler. Bu “susma” hamlesini “işbirliği yapma,” “satma” hamlesini ise “döneklik etme” hamlesi olarak düşünebiliriz.

Eğer iki suçlu işbirliği yapıp birbirlerini satmazlarsa, ikisi de ufak bir ceza ile kurtulacaklar. Ama eğer içlerinden sadece biri döneklik eder ve arkadaşını satarsa, kendisi cezasız kurtulurken arkadaşı tüm suçun üstüne atılması sebebiyle büyük bir cezaya çarptırılacak. Lakin, ikisi de döneklik ederse, polis elindeki açık kanıt ile ikisini de büyük bir cezaya çarptıracak. Bu ceza, ikisinin de susmasından daha büyük, ama tüm suçun tek bir kişiye kalmasından daha az olacak. Normal formda bu oyun şu şekilde ifade edilebilir:

Dikkat ederseniz, Tutsak İkilemi de Cinsiyetlerin Savaşı gibi doğasında hem rekabet, hem de işbirliği barındıran bir oyundur. Bu oyunu ilerleyen zamanlarda uzunca analiz edeceğimiz için, bu yazıda üzerinde daha fazla durmamıza gerek yok. Ama gerçek hayattan örnekler vermek gerekirse, pek çok anlaşmanın benzer yapıya sahip olduğunu söyleyebiliriz. Örnek olarak, bir barış antlaşmasına bakalım. Eğer anlaşma uygulanırsa, iki taraf da kontrollü miktarda bir kazanç elde eder. (Bir barış süreci.) Eğer biri anlaşmayı bozarsa, ötekine yüksek zarar verme pahasına kendisi büyük bir kazanç sağlar. (Rakibini hazırlıksız yakalamak ile elde edilecek avantaj.) Ancak ikisi birden bozarlarsa, sonuç iki taraf için de vahim olur. (Uzun süre hiçbir tarafın üstünlük sağlayamadığı kanlı bir savaş.)

Sonuç

Oyun Teorisi yazı dizimizin bu giriş makalesinde, kabaca oyun kavramı üzerine düşündük ve bazı oyun örneklerine baktık. Bunun yanında, bu oyunlarda oyuncuların kazançları hakkında konuştuk ve bir oyunu nasıl ifade edebileceğimizi gördük.

Bundan sonraki yazımızda artık temel analizlere başlayacağız ve Oyun Teorisi’nin en temel kavramlarından olan meşhur Nash Dengesi’nden bahsedeceğiz. Bu yazı, aynı zamanda, oyuncuların davranışları konusunda nasıl fikir sahibi olabileceğimizi irdeleyeceğimiz, muhtemelen dizideki en kritik makale olacak.