Tanrı Zar Atıyormuş: Bell Eşitsizliği Teoremi Nedir? Einstein, Evrenin Doğası Hakkında Neden Yanıldı?

Bell Teoremi (veya "Bell'in Eşitsizlik Teoremi" veya "Bell Eşitsizliği Teoremi") olarak bilinen matematiksel teorem, kuantum mekaniğinin doğası gereği olasılıkçı (probabilistik) olduğunu doğrulayan matematiksel bir teoremdir ve aynı zamanda bu teoremden yola çıkarak geliştirilmiş fiziksel deneylerin sonuçlarına işaret etmekte de kullanılır. Bell Teoremi ve bu teorem sayesinde geliştirilmiş olan fiziksel deneyler, Evren'in kuantum ölçekte olasılıkçı olduğunu göstermiş, Evren'in bu olasılıkçı doğasına işaret eden gözlemleri deterministik yöntemlerle açıklamaya çalışan "yerel gizli değişken" teorilerinin verilerle uyumsuz olduğunu ortaya koymuştur. Bu başarıya giden yoldaki en önemli deneyleri yapan Alain Aspect, John Clauser ve Anton Zeilinger üçlüsü, 2022 Nobel Fizik Ödülü ile taçlandırılmıştır.

Bu bağlamda "yerel" sıfatı, klasik fiziğin ve görelilik teorilerinin önemli bir parçası olan yerellik prensibini kastetmektedir. Bu prensibe göre parçacıklar, sadece yakın civarlarındaki konumda olan bitenden etkilenebilirler ve sadece yakın civarlarındaki nesneleri etkileyebilirler; uzak mesafelerde etkiye sahip olamazlar. Yerellik prensibi, aynı zamanda fiziksel alanlar yoluyla aktarılan bilginin ışık hızından daha hızlı gidemeyeceğini de söyler.

"Gizli değişkenler" ise Bell Teoremi'nin ispatlanması öncesinde Albert Einstein gibi büyük fizikçiler tarafından da kuantum parçacıkların sahip olduğuna inanılan hipotetik özelliklerden biridir. Bu değişkenlerin, direkt olarak tespit edilemiyor olmalarına rağmen deney sonuçlarına etkilediğine inanılmaktadır. Kuantum nesnelerin gizli değişkenlerle ifade edilen niteliklere sahip olduğuna inanmanın sebebi, modern fizik deneylerinin Evren'in kuantum ölçekte olasılıkçı (probabilistik) olduğuna işaret ediyor olmasıdır. Kuantum-öncesi fizikte Evren'in deterministik bir doğaya sahip olduğuna yönelik güçlü bir inanç (ve bu yönde çok güçlü kanıtlar) olduğu için, kuantumun bu determinizmin altını oyması, "gizli değişkenler" ile çözülmeye çalışılmıştır. Ne var ki Bell Teoremi, kuantum nesnelerin gizli değişkenlere sahip olmadığını göstermiş ve Evren'in kuantum ölçekte olasılıkçı olduğunu doğrulamıştır.

Bell Teoremi'nin Kısa Tarihi: Gizli Değişken Nedir?

"Bell Teoremi" terimi, ilki John Stewart Bell tarafından 1964 yılında "Einstein Podolsky Rosen Paradoksu Üzerine" başlıklı bir makalede tanıtılan bir dizi farklı matematiksel derivasyona (türetme) yönelik olarak kullanılan geniş bir terimdir. Bell'in makalesi, Albert Einstein, Boris Podolsky ve Nathan Rosen'ın kuantum fiziğinin "eksik" bir teori olduğunu iddia ettikleri 1935 tarihli bir düşünce deneyine bir yanıt olarak kaleme alınmıştır.

1935'te, kuantum fiziğinin tahminlerinin olasılıksal olduğu zaten biliniyordu. Einstein, Podolsky ve Rosen, bir çift parçacığın kuantum durumu dolanık olacak şekilde hazırlanmasını ve ardından parçacıkları keyfi olarak büyük bir mesafeye ayırmasını içeren bir senaryo sundu. Deneyci, parçacıklardan biri üzerinde gerçekleştirilebilecek olası ölçüm seçeneklerine sahiptir. Bir ölçüm seçip bir sonuç elde ettiğinde, diğer parçacığın kuantum durumunun, diğer parçacık ne kadar uzakta olursa olsun, bu sonuca bağlı olarak anında yeni bir duruma çöktüğünü görürler. Bu, ya birinci parçacığın ölçümünün bir şekilde ikinci parçacık ile ışık hızından daha hızlı bir şekilde etkileşime girdiğini ya da dolaşık parçacıkların, ayrılmadan önce nihai kuantum durumlarını önceden belirleyen bazı ölçülmemiş özelliklere sahip olduğunu gösterir. Bu nedenle, yerellik varsayıldığında, kuantum mekaniği eksik olmalıdır, çünkü parçacığın gerçek fiziksel özelliklerinin tam bir tanımını veremez.

Başka bir deyişle, elektronlar ve fotonlar gibi kuantum parçacıkları, kuantum teorisinde yer almayan bazı özellik veya nitelikler taşımalıdır ve kuantum teorisinin tahminlerindeki belirsizlikler, daha sonra "gizli değişkenler" olarak adlandırılan bu özelliklerin bilinmemesinden veya bilinememesinden kaynaklanacaktır.

Bell, kuantum dolaşıklık analizini çok daha ileriye taşıdı: Dolanık bir parçacık çiftinin her ikisi üzerindeki ölçümler bağımsız olarak yapılırsa, sonuçların her bir yarıdaki gizli değişkenlere bağlı olduğu varsayımının, iki ölçüm üzerindeki sonuçların nasıl ilişkilendirildiğine dair matematiksel bir kısıtlama anlamına geldiği sonucuna vardı. Bu kısıtlama daha sonradan Bell eşitsizliği olarak adlandırılmaya başlandı. Bell daha sonra kuantum fiziğinin bu eşitsizliği ihlal eden korelasyonları öngördüğünü gösterdi.

Sonuç olarak, gizli değişkenlerin kuantum fiziğinin tahminlerini açıklayabilmesinin tek yolu, bunların "yerel olmayan" bir doğaya sahip olmasıdır. Bu, iki parçacık ne kadar uzağa götürülürse götürülsün, bir şekilde iki parçacığın anında etkileşime girebildiği anlamına gelmektedir.

Bell'in teoremi üzerinde sonraki yıllarda, genellikle Bell (veya "Bell-tipi") eşitsizlikleri olarak bilinen, yakından ilişkili diğer koşulları ortaya koyan çoklu varyasyonlar geliştirildi. Bell'in teoremini test etmek için tasarlanan ilk ve en ilkel deney 1972'de John Clauser ve Stuart Freedman tarafından yapıldı. O gün bugündür, toplu olarak Bell testleri olarak bilinen çok daha gelişmiş deneyler yapılmıştır ve yapılmaya devam etmektedir. Çoğu zaman, bu deneylerin amacı, kendisinden önce gelen Bell testlerinin "açıkları kapatmak", yani daha önceki Bell testlerinin bulgularının geçerliliğini prensipte etkileyebilecek deneysel tasarım veya kurulum problemlerini daha da iyileştirmektir.

Bugüne kadar Bell testleri, fiziksel sistemlerin kuantum mekaniğine uyduğunu ve Bell eşitsizliklerini ihlal ettiğini tutarlı bir şekilde bulmuştur; yani bu deneylerin sonuçlarının herhangi bir yerel gizli değişken teorisi ile uyumsuz olduğu söylenebilir.

Dolanık parçacıklar arası korelasyonların Bell-tipi bir kısıtlamayı ihlal ettiğini kanıtlamak için gereken varsayımların kesin doğası, bugüne dek fizikçiler ve filozoflar tarafından tartışılmıştır. Bilim camiasında Bell teoreminin önemi hakkında hiçbir şüphe bulunmasa da, bu teoremin etkilerinin tam olarak ne anlama geldiği kuantum mekaniğinin farklı yorumları arasında halen tartışılmaktadır.

Bell Eşitsizliği Teoremi'ne Giden Yolu Anlamak...

Bell Eşitsizliğini anlamak için, çok daha basit bir soruyla başlamamız gerekmektedir: İlk başta 0 noktasında bulunan bir top, saniyede 2 birim hızla sağa doğru gidiyorsa, 1 saniye sonra hangi noktada bulmayı beklersiniz? Tabii ki 2 noktasında! Bu deneyi 1 trilyon kere de tekrar etseniz, top bu denemelerin %99'unda değil, %100'ünde 2 noktasında olurdu. Zaten bunu kesin olarak bilebildiğimiz için arabalar inşa edebiliyoruz, uçakları uçurabiliyoruz, gemilerle okyanusları aşabiliyoruz.

Peki, o hareket eden şey bir top değil de bir elektron olsaydı ve yine başta 0 noktasında bulunsaydı ve yine sağa doğru saniyede 2 birim hızla gitseydi, 1 saniye sonra elektronun nerede olmasını beklerdiniz? Yine 2 noktasında mı? Kim bilir?! Söz konusu elektron gibi kuantum parçacıklar olduğunda, artık bir top veya arabanın konumu kadar emin konuşamazsınız! Çünkü kuantum dünyası, gündelik hayatta aşina olduğumuz gibi deterministik değil; olasılıkçıdır - ki bu yazıda ispatlayacağımız şey de budur. Ama şunu anlamak önemlidir: Bu elektron deneyini bir kez yapıp elektronu 2.5 noktasında bulabilirsiniz; tekrar yaptığınızda 1.7'de bulabilirsiniz.

Deneyi durmadan tekrarladığınızda, elektronun top gibi %100 ihtimalle tek bir noktada değil, bir olasılık dağılımı çerçevesinde her yerde olabileceğini göreceksiniz. Buradaki kritik nokta şudur: Nasıl ki $F=ma$ gibi Newton fiziği denklemleriyle topların ve arabaların hareketini modelleyebiliyoruz (ve 10 dakika sonra bir arabanın veya 500 yıl sonra bir gezegenin tam olarak nerede olacağını bilebiliyoruz), elektronun bu olasılıkçı doğasını da kusursuz bir şekilde modelleyip tahmin edebiliyoruz: Elektronun nasıl hareket edeceğini, Schrödinger'in Dalga Fonksiyonu dediğimiz bir fonksiyon tanımlamaktadır. Bu fonksiyonun karesininin grafiği, kuantum parçacığınızın belli bir süre sonra bulunabileceği her bir noktadaki olasılık değerini göstermektedir. Örneğin evet, elektronun 2 civarında bulunma ihtimali çok daha yüksektir; ama deneyi yaptığınızda hiç yer değiştirmemişçesine 0 noktasında da bulabilirsiniz, veya 4 veya 5 noktasında da, arada kalan herhangi bir diğer noktada da...

Parth G

Burada şunun anlaşılması önemlidir: Bu, deneylerle görebildiğimiz bir sonuçtur, farazi bir şey değildir! Bir yöne doğru belli bir hızda gittiğini bildiğimiz, çünkü o hıza bizzat bizim çıkardığımız elektronları, belli bir süre sonra (mesela 1 saniye sonra) ölçtüğümüzde, dalga fonksiyonunun öngördüğü olasılıklar dahilinde herhangi bir yerde bulmamız mümkündür. Ama bu deneyleri tekrar tekrar yaptığımızda, bir olasılık dağılımı olduğunu görürüz ve bu dağılım, gerçekten de kuantum mekaniği ile kusursuz bir şekilde öngörülebilmektedir. Ama Newton fiziği de (veya klasik fizik de), Einstein'ın görelilik teorisi de bu davranışların hiçbirini açıklayamamaktadır. Halbuki bugüne kadar Evren'de elimizi attığımız her ne varsa klasik fizik ve görelilik fiziği ile, deterministik bir şekilde, yani kusursuz bir şekilde izah etmeyi başardık. Bunun, daha isabetli bir teori geliştirerek Newton'u 200 küsür sene sonra tahtından eden Albert Einstein'ı nasıl çileden çıkardığını tahmin edebilirsiniz.

Peki bir top ile bir elektron arasında neden böylesine köklü bir fark var?

Süperpozisyon, Kuantum Dolanıklık ve Elektron Spini

Bunu anlayabilmek için, kuantum deneylerinde yaygın olarak kullanılan elektronların spin adlı kuantum özelliğini anlamanız gerekmektedir. Bunun için, kuantum dolanıklık ile ilgili bu yazımızı okumanızı öneririz.

Ama özetle, kuantum parçacıklar süperpozisyon denen tuhaf bir özelliğe sahiptir. Kuantum parçacıklar, ölçüm yapılana kadar birden fazla durumda aynı anda bulunabilmektedirler ve bunu deneysel olarak ispatlamak mümkündür. Bu konuyla ilgili olarak, daha fazla ilerlemeden, buradaki yazımızı okumanızı öneririz. Oradan da görebileceğiniz gibi, elektronların spin değerleri bir ölçüm yapılana kadar süperpozisyon halindedir; yani elektronlar hem "yukarı" spine sahiptirler hem "aşağı" spine sahiptirler; ama aynı zamanda ne "yukarı" spine sahiptirler ne de "aşağı" spine sahiptirler.

Ayrıca o yazıda , dolanık parçacıkların, galaksiler boyunca birbirlerinden ayrılmalarına rağmen, birbirleriyle ışık hızından hızlı iletişim kurabileceklerini de görmüştük. Halbuki görelilik teorisine göre hiçbir bilgi transferi ışık hızından daha hızlı olamamalıdır. Anlayacağınız, kuantum mekaniği yüzünden, Einstein'ın daha ömrü içinde hükümdarlığı sarsılmaya başlamıştı...

"Tanrı Zar Atmaz": Gizli Değişken Fikrinin Kökeni

Buraya kadar olan satırları okurken, ister istemez şunu düşünüyor olabilirsiniz: "Ya elektronlar zaten başından beri zıt ve kesin spinlere sahiplerse de sadece biz bilmiyorsak?" Hayır! Buradaki yazımızda bu fikri deneysel olarak çürüttük ve günümüzde fizikçiler de bunun böyle olduğunu düşünmüyorlar.

Peki, o zaman "Ya elektronlar baştan beri aynı değilse de, hangi spine sahip olacaklarını belirleyen deterministik bir kural varsa ve sadece biz onu bilemiyorsak?" diye de sorabilirsiniz. İşte bu, müthiş bir soru ve konunun özü de burada yatıyor: Çünkü Einstein da tıpkı şimdi sizin yaptığınız gibi, doğanın temelde olasılıkçı olması ihtimaline katlanamıyordu. 1926 yılında Max Born'a yazdığı bir mektupta şöyle diyordu:

Kuantum mekaniği gerçekten etkileyici. Ama içimden bir ses, bana bundan fazlası olduğunu söylüyor. Teori, birçok şey söylüyor ama bizi, "kadim olanın sırlarına" pek de yanaştırmıyor. En azından ben, O'nun zar atmadığına ikna oldum.

İşte bu laf, sonradan "Tanrı zar atmaz." olarak popülerleşti ve yayıldı.

EPR Paradoksu: Gizli Değişken Ne Demek?

Einstein, Evren'de her şeyin deterministik olduğuna inanıyordu ve ömrünün çoğunda bu ısrarını sürdürdü. O nedenle Einstein ve meslektaşları Boris Podolsky ve Nathan Rosen, 1935 yılında kuantum mekaniğini eleştirmek adına yazdıkları makalede, soyadlarının baş harfleriyle "EPR Paradoksu" olarak bilinen bir paradoks geliştirdiler ve kuantum mekaniğinin tamamlanmamış bir teori olduğunu iddia ettiler.

EPR Paradoksunun göstermeye çalıştığı şey, sizin içinizi kemiren ihtimalle özünde aynıydı: Özetle, aslında elektronların birbiriyle anlık olarak iletişim kurmadığını, zaten daha ayrılmadan önce hangisinin ölçüm sırasında neye dönüşeceğini belirleyen bir mekanizma, bir "gizli değişken" olduğunu söylüyorlardı. Biz bu gizli değişkeni biliriz, bilmeyiz, çözeriz, çözmeyiz, o ayrı konu... Ama elektronlar, ışık hızından hızlı iletişim kuruyor olamazdı. Bu, daha önceden bu yazıda detaylarını işlediğimiz lokalite ve determinizm ilkelerinin altını oyuyordu, bu kabul edilemezdi!

Agora Bilim Pazarı

İlk Mikrop Kitabım

MİKROPLARI ANLAMAK HİÇ BU KADAR KOLAY OLMAMIŞTI!
Baktığınız her yerde, bir damla suda, havada, hatta cildinizde, gözle görülemeyecek kadar küçük canlılar var. Onlara MİKROP diyoruz. En iyi şeyleri (bazen de en kötü şeyleri) onlara borçluyuz. Örnek mi? Mikroplar olmasa Dünya’da yaşam olmazdı. Soluduğumuz oksijeni bile onlar üretiyor. Ama bazı hastalıklar (ve evet, pandemi de!) bu minik canlıların başının altından çıkıyor.
İlk Mikrop Kitabım bizleri bakteriler, virüsler, mantarlar, algler gibi çeşit çeşit mikrop türüyle tanıştırıyor. Mikroplar en olmadık yerlerde ve şartlarda nasıl yaşayabiliyor ya da bağışıklık sistemimiz onlarla nasıl mücadele ediyor gibi birbirinden ilginç soruları göz alıcı çizimlerle cevaplıyor.
Hadi, Profesör Darwin’le birlikte mikroorganizmaların küçücük dünyasına dalıp bu büyüleyici varlıkları keşfedelim.

Serinin diğer kitapları:
İlk Kuantum Fiziği Kitabım
İlk Görelilik Kitabım

Devamını Göster

₺170.00

Satın Al Tüm Ürünler

• Dış Sitelerde Paylaş

Büyük kuantum fizikçisi Niels Bohr ise ayak diredi. Gizli değişken diye bir şeyin olmadığını, kuantum mekaniğinin parçacıkların davranışını tanımlayan nihai teori olduğunu, Evren'in atomaltı ölçekte tamamen olasılıkçı olduğunu savundu. Taraflar ileri geri atışmaya, tartışmaya ve mektuplaşmaya o kadar gömülmüşlerdi ki, hangi tarafın haklı olduğunu ortaya koyabilecek bir deney önerisini bir türlü geliştiremediler. Dolayısıyla bu iki tarafın iddiası, aynı fiziksel gerçekliği farklı şekillerde yorumlayan ama kendi yorumlarını ispatlayamayanların laf ve fikir dalaşından öteye gidemedi.

John Stewart Bell ve Teoremi

Ta ki 1964 yılında, Einstein'ın ölümünden 9 yıl sonra, o dönem pek de bilinmeyen bir fizikçi olan John Stewart Bell'in ileri sürdüğü "Bell'in Eşitsizlik Teoremi" olarak anılan teoreme ve düşünce deneyine kadar...

Bell, kuantumcularla klasikçiler arasındaki kavganın, elektronların spinini hep düşey veya yatay eksenler gibi ana eksenlerde ölçmekten ötürü bir yere gidemediğini fark etti. Halbuki spini ara açıların hepsinde ölçmek mümkündü: Örneğin dolanık elektronlardan birini düşey eksende, diğerini 120 derece yatık bir eksende ölçebiliriz - veya tam tersi, bir elektronu 92.5 derece açıyla, diğerini 273 derece açıyla da ölçebiliriz. Bell, bu tür ara açıları da gözettiğimizde, Einstein'ın gizli değişken yaklaşımıyla, Bohr'un olasılıkçı kuantum yaklaşımının farklı sonuçlar vereceğini, dolayısıyla hangi tarafın haklı olduğunu test edebileceğimizi fark etti.

Bu farkındalık, sadece 2022 Nobel Fizik Ödülü'ne gidecek yolun değil, aynı zamanda Evren'e yönelik algımızı yerle bir edecek kadar büyük bir devrimin önünü açacaktı.

Bell Eşitsizliği'ni Anlamak...

Öncelikle konuyu deneysel perspektiften inceleyelim. Sonrasında matematiksel ispatını da yapacağız. Deneysel yaklaşımı görebilmek için, öncelikle Stern-Gerlach Aparatı denen bir dedektörle tanışmamız gerekiyor.

Gerçek Dünyada Olan: Stern-Gerlach Aparatı Nedir?

Her şeyden önce, Bell Eşitsizliği Teoremi'ni anlamak için, bu kısımda anlatacağımız Stern-Gerlach Aparatı'nı direkt olarak kuantum dünyadaki deney sonuçlarını ölçmekte kullandığımızı anlamanız önemli. Yani bu kısımda elde edeceğimiz sonuçlar, doğanın gerçekte çalışma biçimini ve gerçek deney sonuçlarını bize verecek. Sonrasında o doğayı sorguya çekerek, kuantum dünyası klasik dünyadan farklı davranıyor mu, davranmıyor mu, onu çözmeye çalışacağız.

Aslen Stern-Gerlach Aparatı, açısal momentumun kuantize bir özellik olduğunu gösteren deneylerde kullanılan bir ekipmandır. Ancak aynı ekipmanı (ve benzerlerini), Bell Eşitsizliği'ni anlamak için de kullanabiliriz. Aşağıdaki çizimde, cihazın neye benzediğini ve nasıl çalıştığını görebilirsiniz:

Wikimedia

Özetle Stern-Gerlach Aparatı, eğer içinden geçen parçacığın spini "yukarı" ise, parçacığı yukarı göndermektedir; "aşağı" ise aşağı göndermektedir. İşte kuantum mekaniğinde "ölçüm" veya "gözlem" dediğimiz şey de zaten budur; yoksa bazı kaynaklarda iddia edildiği gibi gizemli bir bilincin müdahalesi ile hiçbir alakası yoktur. Ölçümü yapana kadar süperpozisyon halinde olan elektronun spini, ölçüm anında %100 ihtimale, yani tek bir değere çökmektedir.

Bell Eşitsizliği Teoremi'ni test etmek için, bu aparatlardan iki tane gerekmektedir. Kolaylık olsun diye, dedektörleri kırmızı ve yeşil oklarla gösterelim:

Sixty Symbols

Bu şekilde iki tanesini yan yana koyduğumuzda ortadaki yuvarlak, dolanık parçacık üreticisidir, yani elektron kaynağımızdır:

Sixty Symbols

Eğer dolanık bir parçacık üretirseniz ve bunların birini bir dedektöre, diğerini diğer dedektöre gönderirseniz, biri yukarı spine sahipse diğeri aşağı spin olarak ölçülmek zorundadır. Bir diğer deyişle, iki dedektör aynı eksende spin ölçümü yapıyorsa, zıt sonuç alma ihtimalimiz %100 olmak zorundadır. Bunu teorik olarak hesaplayıp da sonradan deneysel olarak test etmiyoruz; deneysel olarak gördüğümüz bu, sonrasında bunun teorik altyapısını inşa ediyoruz. O altyapıya birazdan geleceğiz.

Sixty Symbols

Peki, şimdi parçacıklardan birinin spinini düşey eksende ölçerken, diğerininkini düşeyde değil de yatay eksende ölçmeye kalksak ne olurdu? Diyelim ki soldaki parçacığı düşeyde "yukarı" spinli ölçtük. Sağdaki ne olurdu? Eğer süperpozisyon deneylerini anladıysanız, bunu doğru tahmin edebilmelisiniz: Bu iki spin birbirinden bağımsız olduğu için, birini ölçmeniz diğeri hakkında hiçbir bilgi vermez. Dolayısıyla yan yatırdığınız sensörünüzde %50 ihtimalle yukarı, %50 ihtimalle aşağı ölçerdiniz. Daha doğrusu bu deneyi giderek artan sayıda tekrar ettikçe, olasılığın %50-%50 dağıldığını görürdünüz.

Sixty Symbols

Peki, sağdaki sensörü 120 derece döndürerek koysaydık ne olurdu? Soldaki dedektör elektronu yine "yukarı" (yani kırmızı ok yönünde) ölçerse, sağdaki aslında "aşağı" (yani yeşil ok yönünde) olacaktı; ama olamıyor, çünkü sensörümüzün ölçtüğü şey bu değil. İşte bu deneyi gerçekte yaptığımızda, %25 oranında "yeşil", %75 oranında "kırmızı" ölçtüğünü görüyorsunuz.

Sixty Symbols

Kırmızı ölçümünün daha yüksek ihtimalle olmasının nedeni, sensörün o tarafının, elektronun gerçekte olmaya çalıştığı spine daha yakın olmasıdır. Yukarıdaki grafikten inceleyecek olursanız, soldaki elektron düşey eksende "yukarı" çıktıysa, sağdaki elektron aslında "aşağı" sonuç verecektir; ama sensör o eksende ölçüm yapmamaktadır. Bunun yerine, "kırmızı" ile işaretli olan taraf, "aşağı" olan spine daha yakın olduğu için, ölçüm sonucu da daha sıklıkla "kırmızı" olarak çıkmaktadır. Ama arada sırada "yeşil" sonuç almak da mümkündür. İşte 120 derecelik bir açıda, o "arada sırada" miktarı tam olarak %25'tir (ve "sıklıkla" olarak nitelediğimiz "kırmızı ölçme" oranımız da tam olarak %75'tir).

Burada bir şeyi vurgulamakta fayda var: Eğer düşey eksende ölçmüyorsanız, aslında ölçtüğünüz spine "yukarı" ve "aşağı" adını vermek yanıltıcıdır; "o yana" ve "bu yana" demek daha doğru olacaktır. Bu noktaya kadar kolaylık olsun diye "yukarı" ve "aşağı" dedik; ama bu noktadan sonra "kırmızı" ve "yeşil" olarak adlandıracağız.

İşte bu deneyi bütün açılarla tekrar edebilirsiniz ve ölçüm sonuçlarınızı not alıp, bir matematiksel formüle çevirebilirsiniz. Bunu yaptığınızda, iki dedektörde zıt sonuç ("biri kırmızıyken diğeri yeşil") alma ihtimalinizin dedektörün açısına bağlı bir denklem olduğunu göreceksiniz.

$P(\text{zıt})={\cos }^2(\frac{\theta }{2})$

Benzer şekilde, iki dedektörde aynı sonuç ("biri kırmızıyken diğeri de kırmızı") alma ihtimaliniz de çok benzer bir denkleme sahiptir:

$P(\text{aynı})={\sin }^2(\frac{\theta }{2})$

Zıt sonuçlara odaklanalım (aslında fark etmez, aynı analizi aynı sonuçlar üzerinden de yapabilirsiniz):

• Örneğin az önce 120 derece ölçümden söz etmiştik. Eğer yukarıdaki $P(\text{zıt})$ denklemine 120 dereceyi koyacak olursanız, denklemin 0.25 (%25) sonucunu verdiğini göreceksiniz. Gerçekten de hatırlayın: Az önce anlattığımız üzere, 120 derecelik açıyla yaptığımız deneylerde, soldaki elektronu ne ölçüyorsak, sağ elektronu sadece %25 ihtimalle zıt ölçüyoruz (Bunu da hatırlayın: Gerçek dünyada binlerce kez, farklı şekilde tekrar edilen deneylerin hepsi bu sonucu veriyor).
• 240 derece için de durum aynıdır: Denkleme 240 derece yazarsanız, yine %25 zıt sonuç alacaksınız.
• Son olarak, 0 dereceyi, yani düşeyde ölçmeyi ele alacak olursanız, denklemin 1 (%100) sonucu verdiğini göreceksiniz. Gerçekten de diğer birçok yazımızda anlattığımız üzere, dolanık fotonları düşeyde ölçtüğünüzde her zaman (%100 ihtimalle) zıt sonuçlar alıyorsunuz.

Yani bu formüller, deneysel verilerin ortaya koyduğu yalın gerçeklerdir: Bu deneyleri tekrar tekrar yaptığınızda, kuantum dünyasının yukarıdaki formüle uygun sonuç verdiğini göreceksiniz.

Bu konuyu tam olarak anlamak istiyorsanız, bu formülün önemini anlamanız gerekmektedir. Burada bu formülün derivasyonuna (türetimine) girmeyeceğiz; ancak kuantum dünyasının gerçekte bu formüle uygun sonuç verdiğini ne kadar vurgulasak azdır. Birçok kişi, kuantum dünyasının bu formüle uygun sonuç verdiğini anlamadığı için bu konuyu anlamakta zorlanmaktadır; dolayısıyla özellikle de zıt sonuçlar alma ihtimalini veren $co{s}^2\frac{\theta }{2}$ formülünü iyi kavramış olmanız elzemdir.

Deneylerle Oynamak: Kuantumu Kandıramazsınız!

Stern-Garlach Aparatını alıp, 120 derece açıyla ayrılmış 3 duruma ayarlanabilen daha gelişmiş bir aparat yaptığımızı düşünün, böylece farklı deneylerde farklı açılarda ölçüm yapabiliyor olalım: 1. ayardayken 0 derecede, yani düşey ölçüm yapıyor. 2. ayardayken 120 derece eğik ölçüm yapıyor. 3. ayardayken, 240 derece eğik ölçüm yapıyor.

Sixty Symbols

Bununla bir dolu ilginç deney yapabilirsiniz: Örneğin bunlardan iki tane alırsınız, dolanık parçacıkları aynı anda gönderirsiniz; ama biri tam dedektöre değmeden milisaniyeler önce dedektörü 1'den 2 konumuna alırsınız: Sonuç değişmiyor, sizin dedektörü değiştirdiğiniz bilgisi diğer elektrona anında iletiliyor!

Sixty Symbols

Benzer şekilde, dedektörlerden birini elektron kaynağına diğerinden daha yakın tutarsınız, dolayısıyla elektronlar bir dedektöre daha erken çarpar, diğerine daha geç çarpar. Hiç fark etmiyor! İki parçacık da kuantumdan beklediğimiz sonuçları veriyor!

Sixty Symbols

Akıl almaz ama, kuantumu kandıramıyorsunuz!

Bell'in Dehası: "3 Ayrı Açıda, Rastgele Ölçelim!"

Tüm bunların Einstein, John Stewart Bell ve eşitsizlik teoremi ile ne alakası var? Şimdi oraya geliyoruz.

Bell'in kurguladığı deney (daha doğrusu Bell'in teoreminin temelinde yatan mantık), şu argümantasyona sahipti:

1. Bugüne kadar hep aynı eksende ölçüm yaptık ve zıt sonuçlar aldık.
2. Ara eksenlerde ölçtüğümüzde, zıt sonuç alma ihtimalimizin $co{s}^2\frac{\theta }{2}$ olduğunu biliyoruz.
3. Bu, klasik dünyada karşılığı olmayan bir ölçüm sonucu. Klasik dünyada bu konuda belli bir belirsizlik veya olasılık yok; her eksendeki her ölçümün sonucunu %100 bilebiliyoruz.
4. Klasik dünyada belli senaryolar (örneğin oyunlar) yaratabiliriz ve bu oyunların olabilecek en iyi sonucunun ("optimum" stratejinin) maksimum değerini hesaplayabiliriz.
5. Bu maksimum değer, oyunun kurallarına sadık kaldığımız sürece, asla aşılamaz.
6. Eğer kuantum nesnelerin klasik dünyada karşılığı olmayan özellikleri varsa, öyle bir oyun kurgulayabiliriz ki, sadece kuantum nesnelerin bu tuhaf doğasından faydalanarak, oyunun kurallarını ihlâl etmeksizin klasik dünyada hesapladığımız optimum ve maksimum değeri aşabiliriz.
7. Eğer kuantum özelliklerle ne yaparsak yapalım klasik dünyadaki maksimum beklentiyi aşamıyorsak, kuantum nesnelerin de nihayetinde klasik doğaya sahip olduğunu söyleyebiliriz.
8. Ama eğer kuantum nesnelerin tuhaf doğasını kullanarak, klasik dünyadaki maksimum beklentiyi aşabiliyorsak, kuantum nesnelerin klasik dünyayla izah edilemeyeceğini ispatlamış oluruz.

Aslında burada birazcık anakronik (tarihi gelişimden bağımsız) anlattık; çünkü Bell bu silsileyle düşünmemişti. Ancak Bell ve sonrasında gelenlerin attıkları adımlar, yukarıdaki mantık silsilesine karşılık gelen bir sonuca ulaştı. Böylece, ortaya yeni bir dizi deney çıktı.

Bu deneylerin özünde yatan yaklaşım şöyle: Bir önceki kısımda bahsettiğimiz gibi, iki tane spin dedektörü olsun ve her dedektör, spini 120 derecelik açılarla 3 farklı yönden birinde ölçebilecek şekilde tasarlanmış olsun. Spinin hangi yönde ölçüleceği rastgele bir şekilde seçilsin ve birbirlerinden bağımsız olsunlar. Bunun böyle olduğunu buradaki yazımızda ispatlamıştık.

Bu deneylerde 0-120-240 derece üçlüsünün seçilme nedeni, bu kombinasyonu kullanarak (nihayetinde göreceğimiz üzere) Bell Eşitsizliğini ihlâl edebiliyor olmamızdır ve bunu yaparken, bir yandan da işin matematiğini birazcık daha kolay hâle getiriyor olmasıdır. Unutmamak gerekiyor ki diğer açı kombinasyonlarıyla da eşitsizliği ihlâl etmek mümkündür; ama böyle olmasaydı bile, sadece bir tanecik kombinasyonun bu eşitsizliği ihlâl ediyor olması, kuantumun klasik fizikten fazlası olduğunu anlamamızı sağlardı. Zira klasik dünyada o bir tanecik istisnayı bile bulmak mümkün değildir. Dilerseniz deneyi farklı açı kombinasyonlarıyla da deneyebilirsiniz.

Dikkat: Her açı kombinasyonun eşitsizliği ihlâl etmemektedir; ancak eşitsizliği ihlâl eden çok sayıda kombinasyon vardır ve 0-120-240 üçlüsü bunlardan biridir.

Şunu da unutmayın: Zaten klasik ve kuantum dünya koşullarını aynı tuttuğunuz müddetçe, istediğiniz sayıda kombinasyonla bu deneyi tekrar edebilirsiniz. Önemli olan, yukarıdaki mantık silsilesini takip ederek, klasik dünya ile kuantum dünyayı kafa kafaya yarıştıracak mantıksal ve deneysel bir düzenek yaratmaktır. İki yaklaşımı aynı kefede/standartlarda test ettiğiniz müddetçe, deneyin şartları çok da önemli değildir. Bell'in dehası, kendinden önce gelenlerin göremediği biçimde, klasik dünya ile kuantum dünyayı ayırt edebilecek bir oyun/deney tasarlayabilmiş olmasından ileri gelmektedir.

Veritasium

Mantıksal Olarak Beklentimiz: Klasik Dünyada Ne Görmeyi Beklerdik?

Hatırlarsanız yukarıda "gerçek dünyada olan" başlığı altında, fiziksel deneylerin sonuçlarını vermiştik. Şimdi, çok daha karmaşık gözüken ama aslında çok daha basit olan bir şey yapacağız: Bütün olasılıkları masaya yatırarak, olabilecek maksimum sonucu (limiti) bulmaya çalışacağız. Zaten Bell eşitsizliği denmesinin nedeni de, bu tür bir "maksimum" veya "minimum" değer beklentimiz olmasıdır (ve bu limitin kuantum tarafından ihlâl edilip edilmediğini görmeye çalışmamızdır).

Bir diğer deyişle bu kısımda anlatacaklarımız, deneysel sonuçlar değil, mantıksal olarak klasik dünyada görmeyi beklediğimiz bütün olasılıklardır. Sonra bu ikisini birbiriyle kıyaslayacağız.

Şimdi, dolanık parçacık çiftleri yukarıda bahsettiğimiz iki dedektöre de gönderilsin ve biz, ikisinin de "aynı", yani ikisinin de aşağı ya da ikisinin de yukarı olup olmadığını (ya da birbirinden farklı olup olmadığını) kaydedelim. Bu deneyi, ölçüm yönlerini rastgele değiştirerek, tekrar tekrar yapalım. Tekrar sayımız, iki dedektörün ne aralıklarla farklı sonuçlar verdiğinin yüzdesini istatistiki açıdan anlamlı olacak biçimde tespit edebilene dek devam edelim. Ve önemli olan da zaten bu yüzdelik oran: Çünkü bu yüzde/oran, parçacıkların baştan beri gizli bilgi taşıyıp taşımadığını bize söyleyecek.

Neden? Ne sıklıkla aynı yönde, ne sıklıkla zıt yönde ölçüldükleri neden "gizli bilgi taşıyıp taşımadıklarını" göstersin ki? Şöyle düşünün: Parçacıkların "gizli bilgi taşıması"nı, kendi aralarında "önceden, gizlice anlaştıkları bir plan" gibi düşünebilirsiniz. Planın gerçekleşebilmesi için gereken tek şart, parçacıkların "ne zaman ölçülürse ölçülsünler, aynı yönde ölçüldükleri müddetçe birbirine zıt spin bilgisi vermeleri gerekmesi"dir. Çünkü unutmayın: Momentumun korunumu yasasına biat edilmeli, dolayısıyla spinler illâ ki zıt çıkmalı. Dolayısıyla aynı yönde ölçülen parçacıklar zıt spin sonucu veriyorlarsa, "önceden anlaştıklarını" varsayabiliriz. Ancak bu sonuç zıt çıkmıyorsa, o zaman aralarında anlaşma yok demektir.

"Ama nasıl zıt çıkmayabilir ki, hani momentumun korunumu şarttı?" diyebilirsiniz. Doğru. Ancak unutmayın: Dedektörlerimiz illâ spinin olduğu yönde ölçüm yapmak zorunda değil. Kimi zaman ara açılarda da ölçüm yapacağız.

Bunu anlamak için, parçacıklar arasında yapılabilecek "gizli anlaşmalara" 2 örnek verelim:

• 1. Plan: "Bir parçacık ne zaman ölçülse, her ölçüm için yukarı spin sonucunu verecek; ikiziyse her ölçüm yönü için aşağı spin sonucunu verecek".
• 2. Plan: "Ölçülen parçacıklardan biri 1. yönde yapılan ölçümler için yukarı spin, 2. yönde yapılan ölçümler için aşağı spin, 3. yönde yapılan ölçümler için yukarı spin sonucunu verirken; ikizi ise 1. yönde yapılan ölçümler için aşağı yönlü, 2. yönde yapılan ölçümler için yukarı yönlü, 3. yönde yapılan ölçümler için ise aşağı yönlü spin sonucunu verecek."

Bell Deneyi'nin dahiyane taraflarından biri de budur: Her ne kadar "2 örnek verelim" diye sunmuş olsak da, aslında bu iki senaryo haricinde geliştirebileceğiniz diğer tüm anlaşma örnekleri, matematiksel olarak birbirinin eşdeğeri olacaktır. Bunun neden böyle olduğunu birazdan göstereceğiz.

Veritasium

Dikkat ederseniz 1. Plan, "özel" bir senaryodur: Birinci plana göre sonuçlar her zaman $\%100$ farklı olacaktır; çünkü plan, ne olursa olsun zıt sonuçları garanti etmektedir. İlk plana göre seçilen yönler de fark etmeyecektir.

Ancak 2. Plan için hangi yönde ölçüm yapılacağı seçimi önemlidir. Örnek vermek gerekirse:

• Eğer iki dedektör 1. yönde ölçüm yaparsa, $\text{A}$ detektöründeki parçacık (plan gereği) "yukarı" dönüş sonucu verecektir; $\text{B}$ dedektöründeki parçacık da "aşağı" dönüş sonucu verecektir. Yani sonuçlar farklı olacaktır, dolayısıyla "plan tutmuş" olacaktır.
• Ancak onun yerine $\text{B}$ detektörü 2. yönde ölçüm yaparsa, (plan gereği) her ikisinin spini de yukarı yönlü dönüş olacak, yani aynı sonucu verecektir ve "plan suya düşmüş" olacaktır.

Bir diğer deyişle, bu oyunun kuralları gereği, zıt sonuç aldığımızda "başarılı", aynı sonuç aldığımızda "başarısız" oluyoruz. Elbette bunun tersi de kurgulanabilirdi; burada amaç sadece bir oyun çerçevesi belirlemek ve o oyunda elde edilebilecek en iyi sonucu görmektir, dolayısıyla oyunun kurallarının ne olduğu o kadar da önemli değildir.

Bell Eşitsizliği: Klasik Dünya'nın Sunabileceklerinin Limiti...

Bunun önemiyse şudur: Bu şekilde kurduğumuz oyunda, elde edilebilecek en iyi sonuç, klasik dünyanın sunabildiklerinin limitidir. Şöyle düşünün: Bu oyunda parçacıklar birbirleriyle haberleşebiliyorlarsa (ve amaçları olabildiğince çok sayıda zıt sonuç üretmekse), o zaman bunu isterlerse %100 oranında yapabilirlerdi: Tek yapmaları gereken, birbirleriyle sonuçlarını paylaşmaları olurdu. Ama aradaki iletişimi kısıtladığınızda, yapılabilecek en iyi skor, tamamen olasılık hesabıyla belirlenecektir. Dolayısıyla o oran, en iyi ihtimalle %100'e eşit, çoğu durumdaysa %100'den küçük bir sayı olacaktır ve o oranın altına inmek mümkün olmayacaktır.

Klasik Dünyadan Bir Analoji

Her ne kadar kuantum dünyayı anlatmak için klasik dünyadan örnekler vermek akıllıca olmasa da, belki kafanızda canlandırmayı kolaylaştırır diye, örneğin klasik dünyada iki zar attığımızı düşünün: Oyun kuralları gereği, iki zarın aynı sayı gelmemesi gerekiyor olsun. Dolayısıyla 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5 ve 6-6 geldiğinde oyunu kaybediyor olalım. Geri kalan hepsinde oyunu kazanıyor olalım. Dolayısıyla adil zarlarla oynarken oyunu kazanma ihtimalimiz $30/36$ veya $5/6$ olacaktır (6 yüzlü iki zarın olası 36 kombinasyonundan sadece 6 tanesi aynıdır, geri kalan 30'u farklıdır). Klasik dünyada hile yapmak haricinde yapabileceğiniz hiçbir şey, bu ihtimali arttırmanızı sağlayamazdı - ki hile yapmak da yasak.

Ama işte eğer ki zarlarınız klasik nesneler olmasaydı da zarlar arası bir iletişim veya "önceden anlaşma" olsaydı, ilk zar, geldiği sayıyı diğerine bildirebilir ve ikincisi de %100 ihtimalle farklı bir sayı gelebilirdi; daha doğrusu $5/6$'dan yüksek bir orana erişmek mümkün olabilirdi. Bir diğer deyişle, bu tuhaf özelliğe sahip "kuantum zarlar", klasik beklentimizin üst sınırının ötesine geçebilirdi. Benzer şekilde, oyunu farklı bir biçimde tanımlayıp, klasik dünyada bir "alt sınır" tespit edebilirdik; ama kuantum nesneler tuhaf özellikleri sayesinde o alt sınırın da altına inebilirlerdi. İşte Bell Eşitsizliği denen kavram tam olarak buradan gelmektedir.

Sınırın "En Az" mı Yoksa "En Çok" mu Olduğunu Neye Göre Belirliyoruz?

Bu, tamamen oyununuzu veya deneyinizi nasıl kurduğunuza bağlı olarak belirleniyor. Önemli olan, kuantum dolanıklıktan kaynaklı klasik-olmayan haberleşmenin oyunun kurallarını ne yönde etkilediği... Genel (ve basitleştirilmiş) bir kural olarak, zıt sonuç alındığında kazanılan oyunlarda klasik dünyadaki analizin bir alt sınır olduğunu, aynı sonuç alındığında kazanılan oyunlardaysa klasik dünyadaki analizin bir üst sınır olduğunu düşünebilirsiniz. Örneğin, yukarıda kurduğumuz 0-120-240 derece açılarla yapılan ölçüm deneyinde:

• Eğer deneysel sonuçlar, istatistiki sonuçlardan beklendiğiyle aynıysa (veya daha azsa), parçacıklar arasında gizli bir bilgi paylaşımı yok demektir (ve bu durumda kuantum, klasik doğaya sahip değildir).
• Eğer deneysel sonuçlar, istatistiki sonuçlardan beklendiğinden yüksekse, parçacıklar arasında gizli bir bilgi paylaşımı var demektir (ve bu durumda kuantum, klasik doğaya sahiptir).

Yazının ilerleyen kısımlarında CHSH Eşitsizliği altında aynı sonuç alındığında kazanılan bir oyun da göreceğiz; orada bunun tam tersi olduğundan bahsedeceğiz: Klasik dünyada yaptığımız analiz, bize bir üst sınır verecek ve onun üzerine çıkabiliyor olmak Bell Eşitsizliği'ni ihlâl etmeye karşılık gelecek. Yani oyunu kuruş biçiminize göre, Bell Eşitsizliği yön değiştirebilir ve bu, kuantumla ilgili çıkarımlarımızı etkilemez. Bunu, cebirsel olarak $a<b$ ifadesiyle $b>a$ ifadesinin matematiksel olarak aynı olmasına benzetebilirsiniz.

Şimdi, zıt sonuçlar alma üzerinden yapacağımız analizlere başlayalım. Ama bu tür bir deneyden, her biri aynı anlama geliyor olmasına rağmen birkaç farklı sonuç elde etmek mümkün olduğundan, birkaç varyant üzerinden aynı konuyu farklı şekillerde anlatacağız.

Bell Eşitsizliği Deneyleri ve Varyantlar

Varyant-1: A Dedektörünün Sonucu Sabit, B'ninki Değişken...

Yukarıda, dolanık parçacıkların yapabileceği planlardan ilkinde (1. Plan'da) istatistiki beklenti $\%100$'dür. Dolayısıyla bu çok da ilginç olmayan senaryoyu şimdilik bir kenara bırakıyoruz. Ama unutmayın ki Einstein ve Bohr, bu tip senaryolara takıldıkları için Bell'in görebildiğini (ara ölçümün iki tarafın argümanlarını sınamayı sağlayacağı gerçeğini) gözden kaçırmışlardır.

Hatırlayacak olursanız 2. Plan'daysa parçacıklar şu şekilde anlaşmışlardı: İlk parçacık, 3 yönde sırasıyla yukarı-aşağı-yukarı verecekti, diğeriyse aynı 3 yönde sırasıyla aşağı-yukarı-aşağı verecekti. "Amaçları", olabildiğince çok zıt sonuç üreterek oyunu kazanmak... Bu anlaşma, şu şekilde grafiğe dökülebilir:

Bu 2. Plan'da, istatistiki beklenti eşiği 1. Plan'daki gibi %100 değildir. Tam olarak $5/9$ oranındadır, yani $\%55$'tir. Bu sayıya nasıl vardığımızı merak ediyorsanız, her bir olasılığı tek tek masaya yatırabiliriz:

• Ölçüm 1. dedektörde 1. yönde, 2. dedektörde 1. yönde yapılmıştır. Plan gereği 1. parçacık "yukarı", ikinci parçacık "aşağı" sonucunu vermiştir. Bu sonuç birbirine zıt olduğu için, "plan tutmuştur".
• Ölçüm 1. dedektörde 1. yönde, 2. dedektörde 2. yönde yapılmıştır. Plan gereği 1. parçacık "yukarı", ikinci parçacık "yukarı" sonucunu vermiştir. Bu sonuç birbirine zıt olmadığı için, "plan suya düşmüştür".
• Ölçüm 1. dedektörde 1. yönde, 2. dedektörde 3. yönde yapılmıştır. Plan gereği 1. parçacık "yukarı", ikinci parçacık "aşağı" sonucunu vermiştir. Bu sonuç birbirine zıt olduğu için, "plan tutmuştur".
• Ölçüm 1. dedektörde 2. yönde, 2. dedektörde 1. yönde yapılmıştır. Plan gereği 1. parçacık "aşağı", ikinci parçacık "aşağı" sonucunu vermiştir. Bu sonuç birbirine zıt olmadığı için, "plan suya düşmüştür".
• Ölçüm 1. dedektörde 2. yönde, 2. dedektörde 2. yönde yapılmıştır. Plan gereği 1. parçacık "aşağı", ikinci parçacık "yukarı" sonucunu vermiştir. Bu sonuç birbirine zıt olduğu için, "plan tutmuştur".
• Ölçüm 1. dedektörde 2. yönde, 2. dedektörde 3. yönde yapılmıştır. Plan gereği 1. parçacık "aşağı", ikinci parçacık "aşağı" sonucunu vermiştir. Bu sonuç birbirine zıt olmadığı için, "plan suya düşmüştür".
• Ölçüm 1. dedektörde 3. yönde, 2. dedektörde 1. yönde yapılmıştır. Plan gereği 1. parçacık "yukarı", ikinci parçacık "aşağı" sonucunu vermiştir. Bu sonuç birbirine zıt olduğu için, "plan tutmuştur".
• Ölçüm 1. dedektörde 3. yönde, 2. dedektörde 2. yönde yapılmıştır. Plan gereği 1. parçacık "yukarı", ikinci parçacık "yukarı" sonucunu vermiştir. Bu sonuç birbirine zıt olmadığı için, "plan suya düşmüştür".
• Ölçüm 1. dedektörde 3. yönde, 2. dedektörde 3. yönde yapılmıştır. Plan gereği 1. parçacık "yukarı", ikinci parçacık "aşağı" sonucunu vermiştir. Bu sonuç birbirine zıt olduğu için, "plan tutmuştur".

Olabilecek 9 senaryodan 5 tanesinde plan tutmaktadır, 4 tanesinde suya düşmektedir. $5/9$, yani $\%55$'lik "beklenen en düşük başarı oranı" işte buradan gelmektedir. Bunu, şu şekilde grafiğe dökebiliriz:

Veya daha büyük görebilmeniz için, dedektör kombinasyonlarını şu şekilde büyüterek gösterebiliriz:

Dikkat ederseniz grafikte "Dedektör Kombinasyonları" olarak verilen 1/1 veya 3/2 gibi sayılar, A ve B dedektörlerinin hangi açıda ölçüm yaptığını belirtmektedir. Görebileceğiniz gibi, bu tabloda olabilecek 9 kombinasyonun hepsi vardır. Her bir kombinasyonun altındaki tik veya çarpı işaretleri, soldaki "anlaşma" şartları altında o kombinasyonun zıt sonuç verip vermediğini, yani parçacıkların, yaptıkları anlaşma sayesinde oyunu o kombinasyonda kazanıp kazanamadığını göstermektedir. Örneğin:

• Anlaşma ("gizli değişken varsayımı") gereği, 1/1 kombinasyonunda, sol tarafta A dedektörü kırmızı, B dedektörü yeşil okuyacaktır: Bu, tik işaretiyle gösterilmiştir.
• Öte yandan 2/3 kombinasyonunda, A dedektörüne giden parçacık 2 ölçümünde "aşağı" ("yeşil") ölçüleceği konusunda anlaştığı, B dedektörüne giden parçacıksa 3 ölçümünde "aşağı" ("yeşil") ölçüleceği konusunda anlaştığı için ve bu sonuçlar aynı olduğu için, parçacıklar oyunu kaybetmiştir. Bu, "çarpı" işaretiyle gösterilmektedir.
• Bütün tabloyu bu şekilde doldurmak ve bu anlaşmayla 9 oyundan kaçının kazanıldığını hesaplamak mümkündür.

İşte buradaki can alıcı nokta şudur: Eğer parçacıkların önceden paylaştıkları gizli bir bilgi varsa (yani kuantum mekaniği klasik bir doğaya sahipse), ikinci plan dahilinde $5/9$ oranından daha büyük bir yüzdeyle farklı sonuçlar görmemiz gerekmektedir.

Deney ile Mantığın Kıyaslanması

Deney sonuçları çarpıcıdır: Bu dolanık parçacıkların birbirine zıt olma oranı sadece %50 civarındadır; yani %55'in altındadır. Bu, "gizli bilgi" hipotezinin doğru olmadığını göstermektedir! Bir diğer deyişle bu deney, farklı yönlerde hangi dönüş sonucu vereceklerine dair gizli bir bilgi taşıdıkları varsayımını çürütmektedir.

Sık Sorulan Sorular

Neden "En Az %55" Deniyor?

"En az %55" deme nedenimiz de şu: Yukarıdaki 9 durumu sadece 2. anlaşma senaryosuna göre yaptık. Halbuki ondan eşsiz bir anlaşma senaryosu olan 1. senaryo da var ("ilk parçacık ne olursa olsun yukarı, diğeri ne olursa olsun aşağı ölçmesi" senaryosu). O senaryoda zıt değer elde etme ihtimali %100 olduğu için, iki senaryonun bileşik ihtimali, aslında %55'in üzerindedir. Dahası, eşsiz/özgün olmayan ek senaryolarla bu oranı daha da yükseltmek mümkündür; fakat bizim için önemli olan en düşük sınır olduğu için, en ekstrem koşula göre hesaplamak en avantajlısı olacaktır.

%50 Oranı Nereden Geliyor?

%50 sonucu, deneysel çalışmalarda elde edilen sonuçtur. Bunu hatırlamak için, yukarıdaki tabloyu bir kenara bırakıp, daha önceden anlattığımız $co{s}^2\frac{\theta }{2}$ hesabına geri dönmeniz gerekmektedir. Adım adım izah edelim:

• $\text{A}$ dedektörüne giden parçacık 1. ayarda ("0 derecede" veya "düşeyde") ölçülmüş ve "kırmızı" sonucu vermiş olsun.
• $\text{B}$ dedektörünün hangi açıda ölçüm yapacağı rastgele seçilecektir. 3 farklı ayar olduğu için, onun da 1. açıda (0 derecede) ölçüm yapma ihtimali $1/3$'tür.
• 1. ayarda ölçüm yapan $\text{B}$ dedektörü, $\%100$ ihtimalle "yeşil" (dolayısıyla zıt) ölçecektir. Daha önce de tekrar tekrar söylediğimiz gibi bu, doğanın yasasıdır ve deneysel sonucun ta kendisidir. Bu sayı, $co{s}^2\frac{0°}{2}=1=\%100$ hesabından gelmektedir. Yani bu ihtimalde kazanma olasılığı $\%100$'dür.
• $\text{B}$ dedektörü, $1/3$ ihtimalle, 2. ayarda (120 dereceyle) ölçüm yapacaktır. Bu senaryoda zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{120°}{2}=0.25=\%25$ olarak hesaplanacaktır.
• $\text{B }$dedektörü $1/3$ ihtimalle, 2. ayarda (240 dereceyle) ölçüm yapacaktır. Bu senaryoda zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{240°}{2}=0.25=\%25$ olarak hesaplanacaktır.

Bu üç sonucun ortak ihtimali (bileşke ihtimali) şu şekilde hesaplanabilir:

$\frac{1}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 0.25+\frac{1}{3}\cdot 0.25=0.5=\%50$

İşte $\%50$ sonucu buradan gelmektedir. Kuantum parçacıklar, klasik dünyanın izin verdiği minimum limitin altına inebilmektedir!

Varyant-2: Sonuçları Genelleştirebiliriz!

Peki ya bu iki dolanık parçacık başka şekillerde anlaşmalar yapsalardı? Yani 1. parçacık "yukarı-aşağı-yukarı" değil de "aşağı-aşağı-yukarı" olmayı seçseydi? 2. parçacık "aşağı-yukarı-aşağı" yerine "yukarı-yukarı-aşağı" sonucunu verseydi? İşte bu, bir Varyant-1'in sonuçlarını genelleştirmemizi gerektirirdi.

Mantıksal (Klasik) Analiz

Tek yapmamız gereken, 2 ayrı Stern-Gerlach Dedektörü'nün her birinin 3 ayrı konumundan doğabilecek bütün olasılıkları bir tabloya dönüştürmektir. Çünkü hatırlayın: Böyle bir tablo, eğer ki kuantum fiziği klasik bir doğaya sahipse, standart olasılık/permütasyon hesabından bekleyeceğimiz bütün ihtimalleri barındıracaktır. Bu tablo, şöyle bir sonuç verecektir:

Sixty Symbols

Veya Varyant-1'de kullandığımız gibi gösterecek olursak:

Bu genelleştirilmiş tabloda iki şeye dikkat etmeniz önemlidir: İlki, bu tablonun olabilecek bütün kombinasyonları barındırdığı gerçeğidir; her biri 3 açıda ölçüm yapabilen 2 dedektör kullanarak ölçtüğünüz, her biri sadece sadece 2 değer alabilen parçacıklar ile, bu tablodakilerden başka hiçbir olasılık türetmek mümkün değildir. Bir diğer deyişle, fark edebileceğiniz gibi, soldaki grupla sağdaki grup birbirinin tam tersi olmak zorundadır. Burada sadece olabilecek tüm kombinasyonları yazıyoruz; yani yaptığımız, lise düzeyinde permütasyon hesabıdır!

İkinci önemli farkındalıksa, Varyant-1'in, buradaki tablonun satırlarından bir tanesi olduğu gerçeğidir. Kolay görebilmeniz için, o satırı işaretleyelim:

İşte Einstein ve Bohr, bu tabloda sadece aynı açılarda (mesela 1/1 veya 3/3 kombinasyonunda) ölçüm yapma konusunda takılıp kaldıkları için sorunu çözemediler: Sadece dik eksenlerde ölçüm yaptıkları için, %100 zıt sonuçlara saplanıp kalmışlardı. Halbuki biz, biri düşeyde ölçerken diğerini ara açılardan birinde ölçebiliriz!

Şimdi, tıpkı Varyant-1'de yaptığımız gibi, bütün kombinasyon/ölçüm ihtimallerini sıralayalım:

Bu tabloda da iki kritik noktayı fark etmek önemlidir: İlki, en alt ve en üst sıralar hariç, yani parçacıkların hangi açıda ölçülürlerse ölçülsünler birbirine tamamen zıt sonuçlar verecekleri konusunda anlaştıkları 2 senaryo hariç, bütün senaryolar birbirinin dengidir. İşte bu nedenle Varyant-1'de ve Bell'in dehasından söz ederken bu farkındalıktan bahsetmiştik. Parçacıkların ne tür bir anlaşma kombinasyonu yaptığı, $5/9$ ihtimalini değiştirmemektedir.

İkincisi ve daha önemlisi, var olabilecek bütün anlaşma kombinasyonlarının toplam kazanma ihtimali, en az $48/72$ veya $2/3$ veya $\%66.6$'dır. Bu, klasik fizikten beklediğimiz mantıksal limittir. Bir diğer deyişle, kuantum mekaniğinin aşıp aşamadığını test edebileceğimiz bir diğer eşiktir. Eğer kuantum nesneler bu sınırın altına inebiliyorlarsa, klasik doğaya sahip olamazlar ve sadece klasik fizikle açıklanamazlar.

Dilerseniz bu tabloyu Google Sheets üzerinden inceleyebilirsiniz.

Deneysel Sonuçlar

Bu 9 farklı kombinasyonda ne sonuçlar elde edeceğimizi tek tek hesaplamamız gerekmektedir. Unutmayın: Bu kısım, gerçek ve fiziksel dünyadan elde edilen sonuçları yansıtmaktadır, dolayısıyla yine $co{s}^2\frac{\theta }{2}$ formülümüz işin içine girecektir. Yapmamız gereken, her bir kombinasyonda iki ölçüm arasındaki açıyı tespit etmek ve formülümüze yerleştirmektir.

Tek tek bütün kombinasyonları irdeleyelim:

• 1/1 kombinasyonunda $\theta =0°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{0°}{2}=1=\%100$ olmaktadır.
• 1/2 kombinasyonunda $\theta =120°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{120°}{2}=0.25=\%25$ olmaktadır.
• 1/3 kombinasyonunda $\theta =240°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{240°}{2}=0.25=\%25$ olmaktadır.
• 2/1 kombinasyonunda $\theta =240°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{240°}{2}=0.25=\%25$ olmaktadır.
• 2/2 kombinasyonunda $\theta =0°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{0°}{2}=1=\%100$ olmaktadır.
• 2/3 kombinasyonunda $\theta =120°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{120°}{2}=0.25=\%25$ olmaktadır.
• 3/1 kombinasyonunda $\theta =120°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{120°}{2}=0.25=\%25$ olmaktadır.
• 3/2 kombinasyonunda $\theta =240°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{240°}{2}=0.25=\%25$ olmaktadır.
• 3/3 kombinasyonunda $\theta =0°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{0°}{2}=1=\%100$ olmaktadır.

Bu, yapabileceğiniz bütün deneylerin sonuçlarıdır. Bu düzenekle bundan başka deney mümkün değildir. Bu deneylerde zıt sonuç almanın bileşke olasılığını şöyle hesaplayabiliriz:

$\frac{1+0.25+0.25+0.25+1+0.25+0.25+0.25+1}{9}=\frac{4.5}{9}=0.5=\%50$

Deney ile Mantığın Kıyaslanması

Görebileceğiniz gibi, deneysel olarak elde edilen $\%50$ oranı, klasik dünyanın izin verdiği minimum $\%66$ oranından küçüktür ve Bell Eşitsizliği ihlâl edilmektedir. Bir diğer deyişle, bu varyantta da kuantum mekaniğinin klasik fizikten fazlası olduğu görülmektedir.

Varyant-3: Sonuçları (Biraz) Sadeleştirebiliriz!

En dar ve en genel varyantları gördükten sonra, artık daha ara varyantları da inceleyebiliriz. Sonuç değişmeyecektir; ama konuyu tam olarak kavrayabilmeniz açısından bunun faydası olacağını düşünüyoruz.

Mantıksal (Klasik) Analiz

Örneğin, en basitinden, 1/1, 2/2 ve 3/3 kombinasyonlarını görmezden gelebiliriz; çünkü bunlar klasik dünyanın sınırlarını gereksiz yere şişirmektedir. Yani bunları eleyerek, kuantumu daha da köşeye sıkıştırabiliriz. Bu durumda tablomuz şöyle değişirdi:

Sixty Symbols

Yine, sağdaki yeni tablonun en üstündeki sırada, 2 dedektörün olası tüm kombinasyonlarını görüyorsunuz. Hatırlatma olması ve iyice pekiştirmek için birkaç örnek verelim:

• $\text{A}$ dedektörü 1 ayarındayken, yani 0 derece ölçümünü yaparken $\text{B}$ dedektörü 2'de, yani 120 derece ölçümünü yapıyorsa, bunu 1/2 olarak yazıyoruz.
• $\text{A}$ 1'deyken $\text{B}$ 3'teyse 1/3 yazıyoruz.
• $\text{A }$2'deyken $\text{B }$1'deysa 2/1 yazıyoruz
• Bu böyle gidiyor...
• Bunlar, (kasten çıkardığımız 1/1, 2/2 ve 3/3 hariç) var olabilecek tüm olasılıklar!

Yine, soldaki tablodaki $\text{A}$ ve $\text{B}$ dedektörlerinin sonuçlarına bakarak, zıt sonuç aldığımız durumları tik ile, iki rengin aynı olduğu durumlarıysa çarpıyla işaretliyoruz. Örneğin en üst ve en alt sıranın hepsi tikli, çünkü tüm kombinasyonlar zıt renklerde (evet, doğru tahmin ettiniz: Varyant-4'te de onu eleyeceğiz!). Yine, anladığınızdan emin olmak adına bazı örnekler verelim:

• $\text{A}$ dedektörü 1 konumundayken "kırmızı", $\text{B}$ dedektörü 2 konumundayken yeşil, dolayısıyla tik atıyoruz.
• Ama mesela 3. satırda, $\text{A }$dedektörü 1 konumundayken "kırmızı" ölçmüştük, $\text{B}$ dedektörü 2 konumundayken de "kırmızı" ölçmüştük, dolayısıyla bu kombinasyonu çarpı ile işaretliyoruz.
• Ama onun hemen yanında, 1/3 kombinasyonuna bakalım: $\text{A}$ dedektörü 1 konumundayken kırmızı ölçtük, $\text{B}$ dedektörü 3 konumundayken yeşil ölçtük, bunlar zıt, dolayısıyla tik atıyoruz.

Bu şekilde tüm tabloyu doldurmak çok kolay; çünkü dümdüz mantık yürütüyoruz!

Tabloyu tamamladıktan sonra, yine her bir satırdaki tik oranını sağ tarafa yazıyoruz: İlk satır $6/6$, 2. satır $2/6$, 3. satır $2/6$ ve bu böyle gidiyor. Bu oranları toplarsanız, $24/48$, yani %50$\%50$ sonucunu buluyorsunuz.

Bu ne demek? Eğer kuantum fiziği, klasik fiziğe uygun davransaydı, 0, 120 ve 240 derece ölçümlerinde en az %50 ihtimalle zıt sonuçlar almayı beklerdik. İşte bu "en az %50" sınırı, Bell Eşitsizliği olarak biliniyor.

Yine, bu da şu demek: Eğer ortada Einstein'ın dediği veya sizin umduğunuz gibi "gizli bir değişken" varsa, yani bir diğer deyişle kuantum mekaniği aslında klasik bir davranışa sahipse de sadece biz bunu bir nedenle fark edemiyorsak, o zaman klasik fiziğin kuralları altında, bu deneydeki denemelerin en az %50'sinde zıt sonuç almayı beklerdik.

Deneysel Sonuçlar

Bu varyantta deneysel sonuçları hesaplamayı size ödev olarak bırakabilirdik; ama bir kez daha gösterelim. Yine, deneysel sonuçları kullandığımıza göre, $co{s}^2\frac{\theta }{2}$ formülümüze başvurmamız gerekiyor - ve bu defaki tablomuz, Varyant-2'dekinin biraz daha basit versiyonu. Tek tek bütün kombinasyonları irdeleyelim:

• 1/2 kombinasyonunda $\theta =120°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{120°}{2}=0.25=\%25$ olmaktadır.
• 1/3 kombinasyonunda $\theta =240°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{240°}{2}=0.25=\%25$ olmaktadır.
• 2/1 kombinasyonunda $\theta =240°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{240°}{2}=0.25=\%25$ olmaktadır.
• 2/3 kombinasyonunda $\theta =120°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{120°}{2}=0.25=\%25$ olmaktadır.
• 3/1 kombinasyonunda $\theta =120°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{120°}{2}=0.25=\%25$ olmaktadır.
• 3/2 kombinasyonunda $\theta =240°$ olmaktadır. Dolayısıyla zıt sonuç alma ihtimali $co{s}^2\frac{240°}{2}=0.25=\%25$ olmaktadır.

Bu, yapabileceğiniz bütün deneylerin sonuçlarıdır. Bu düzenekle bundan başka deney mümkün değildir. Bu deneylerde zıt sonuç almanın bileşke olasılığını şöyle hesaplayabiliriz:

$\frac{0.25+0.25+0.25+0.25+0.25+0.25}{6}=\frac{1.5}{6}=0.25=\%25$

Deney ile Mantığın Kıyaslanması

Görebileceğiniz gibi, deneysel olarak elde edilen $\%25$ oranı, klasik dünyanın izin verdiği minimum $\%50$ oranından küçüktür ve Bell Eşitsizliği yine ihlâl edilmektedir. Bir diğer deyişle, bu varyantta da kuantum mekaniğinin klasik fizikten fazlası olduğu görülmektedir. Bu durumda, kuantum mekaniğinin klasik bir doğaya sahip olmadığını, gerçekten tuhaf bir niteliğe sahip olduğunu, deneysel olarak ispatlamış oluyoruz. İşte 2022 Nobel Fizik Ödülü de bu keşfe verildi.

Fark edebileceğiniz üzere, kuantumu ne kadar köşeye sıkıştırmaya çalışırsak, yine de bizden kaçmayı başarıyor. Biraz daha sıkıştıralım...

Varyant-4: Kuantumu Köşeye Sıkıştırabilir miyiz?

Artık bunu size pratik olarak bırakıyoruz, ama yapacağımız şu: Varyant-3'te kullandığımız tablonun en üst ve en alt sıralarını çıkaracak olursanız (nasılsa %100 sonuç veriyorlar), satırlardaki olasılıkların $2/6$, yani $1/3$ yani $\%33.3$ düzeyine indiğini göreceksiniz. Yani kuantumu daha da köşeye sıkıştırıyoruz: Kuantum, klasik bir doğaya sahipse, bu şartlar altında %33.3'ün altına inememeli.

Bu varyantta deneysel kombinasyonlar Varyant-3'te olanla aynı, yani fiziksel deneyler yine $\%25$ zıt sonuç verecek. Çünkü çıkardığımız satırlar, deneysel kombinasyonlar değiller; daha ziyade, kuantumu köşeye sıkıştırmak adına "Bu parçacıklar asla 3 ölçümde de zıt sonuçlar verecek şekilde anlaşamazlar!" diye kurallar koyuyoruz. Kuantum, bunu da yeniyor!

Fark edeceğiniz üzere, bu katı kurallarla bile $\%25$ sınırına ulaşamıyoruz; dolayısıyla kuantumu Bell Eşitsizliği'nden kurtarmanın bir yolu bulunmuyor.

Sadece bu da değil: Bunu hangi açı kombinasyonuyla denerseniz deneyin elde ediyorsunuz.

Bell Eşitsizlik Teoremi'nin Matematiksel Türetimi

Bell Eşitsizlik Teoremi'nin temel fikri üzerine inşa edilmiş, bazıları diğerlerinden daha güçlü matematiksel varsayımlar kullanan çok sayıda varyasyon vardır. Aslında Bell-tipi teoremler, yerel gizli değişkenlerin herhangi bir özel teorisine belirgin bir şekilde atıfta bulunmaz; bunun yerine kuantum fiziğinin, doğanın klasik fizik çerçevesinde çizilen resimlerinin arkasında yatan genel varsayımları ihlal ettiğini gösterir. Bell tarafından 1964'te kanıtlanan orijinal teorem, deneye dönüştürmeye pek uygun değildir. Bu nedenle Bell-tipi eşitsizlikleri, sonradan geliştirilmiş bir örnek üzerinden tanıtmak daha uygun olacaktır.

CHSH Eşitsizliği Nedir?

Diyelim ki iki varsayımsal karakter olan Alice ve Bob, birbirinden oldukça uzak yerlerde dursunlar. Meslektaşları Victor, onlar için bir çift parçacık hazırlar ve birini Alice'e, diğerini Bob'a gönderir. Alice parçacığını aldığında, iki olası ölçümden birini yapmayı seçer (eğer isterse, hangi ölçümü yapacağına karar vermek için yazı tura atabilir). Bu ölçümlere $A_0$ ve $A_1$ diyelim. Buradaki kritik bir detay, hem $A_0$ hem de $A_1$'in ikili (İng: "binary") ölçümler olduğudur: $A_0$ ölçümünün sonucu ya $+1$'dir ya da $-1$'dir. Bob da kendi parçacığını aldığında, yine ikili bir ölçüm olan $B_0$ ve $B_1$ ölçümlerinden birini yapsın.

Diyelim ki her bir ölçüm, parçacığın daha önceden sahip olduğu bir özelliği açığa çıkarıyor olsun. Örneğin Alice $A_0$ ölçümünü yapmayı seçip $+1$ sonucunu elde ediyorsa, o zaman eline geçen parçacığın $a_0$ adlı bir özellik için $+1$ değerine sahip olduğunu öğreniyor olsun. Bu durumda şu kombinasyonu düşünelim:

$a_0{b}_0+a_0{b}_1+a_1{b}_0-a_1{b}_1=(a_0+a_1)b_0+(a_0-a_1)b_1$

$a_0$ ve $a_1$'in her ikisi de $\pm 1$ değerlerini alabildiği için, ya $a_0=a_1$ olmalıdır ya da $a_0=-a_1$ olmalıdır. İlk durumda (eğer $a_0=a_1$ ise), $(a_0-a_1)b_1=0$ olur. İkinci durumdaysa $(a_0+a_1)b_0=0$ olmalıdır. Dolayısıyla yukarıda verdiğimiz uzun denklemde sağ taraftaki terimlerden biri sıfırlanacaktır ve diğeri de $\pm 2$'ye eşit olacaktır. Buna bağlı olarak, eğer deney tekrar tekrar yapılacak olursa (ve her seferinde Victor yeni parçacık çiftleri üretirse), $a_0{b}_0+a_0{b}_1+a_1{b}_0-a_1{b}_1$ kombinasyonunun ortalama değeri 2'ye eşit veya 2'den küçük olacaktır.

Burada fark edilmesi gereken kritik bir nokta şudur: Hiçbir tekil ölçüm bu sonucu direkt olarak veremez; çünkü Alice ve Bob her seferinde sadece 1 ölçüm yapabilmektedir. Ancak eğer ki bu parçacıkların sahip olduğuna inanılan klasik özellikleri varsa, o zaman bu toplamın ortalama değeri, her bir terimin ortalamalarının toplamına eşit olacaktır. Eğer bu ortalamaları üçgen parantezlerle ifade edecek olursak:

$⟨A_0{B}_0⟩+⟨A_0{B}_1⟩+⟨A_1{B}_0⟩-⟨A_1{B}_1⟩\le 2$

İşte Bell Eşitsizliği budur! Spesifik olarak bu, CHSH Eşitsizliği olarak bilinen özel bir Bell-tipi eşitsizliktir. Bu eşitsizliğin burada gösterdiğimiz derivasyonu iki temel varsayıma dayanmaktadır:

1. Birincisi, temeldeki fiziksel özellikler ($a_0$, $a_1$, $b_0$ ve $b_1$), gözlemden veya ölçümden bağımsız olarak var olmalıdırlar (buna realizm varsayımı denir).
2. İkincisi, Alice'in eylem seçimi, Bob'un sonucunu etkileyemez veya tam tersi (buna yerellik varsayımı denir).

Kuantum Mekaniği, CHSH Eşitsizliğini Matematiksel Olarak Nasıl İhlâl Eder?

Diyelim ki Victor, Bell durumlarını şu şekilde tanımladığı bir kübit çifti oluştursun:

$|\psi ⟩=\frac{|0⟩⨂|1⟩-|1⟩⨂|0⟩}{\sqrt{2}}$

Burada $|0⟩$ ve $|1⟩$, Pauli matrislerinden birinin eigendurumlarıdır:

${\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Victor, daha sonra ilk kübiti Alice'e, ikinci kübiti Bob'a iletsin. Alice ve Bob'un olası ölçüm seçenekleri de Pauli matrisleri cinsinden tanımlanmıştır. Alice, gözlemlenebilir olan iki seçenekten (${\sigma }_z$ ve ${\sigma }_x$) birini ölçer:

$A_0={\sigma }_z$

$A_1={\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

Bob ise şu iki seçenekten birini ölçer:

$B_0=-\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_z}{\sqrt{2}}$

$B_1=\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_z}{\sqrt{2}}$

Victor, Born kuralından faydalanarak, bu iki gözlemlenebilir durumun kuantum beklentisini hesaplayabilir:

$⟨A_0\otimes B_0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$⟨A_0\otimes B_1⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$⟨A_1\otimes B_0⟩=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$⟨A_1\otimes B_1⟩=-\frac{1}{\sqrt{2}}$

Her ne kadar tek bir deneyde bunların sadece 1 tanesi ölçülebilir olsa da, Victor, çok sayıda deneme sonucunda görmeyi beklediği toplamı şu şekilde hesaplayabilir:

$⟨A_0\otimes B_0⟩+⟨A_0\otimes B_1⟩+⟨A_1\otimes B_0⟩-⟨A_1\otimes B_1⟩=2\sqrt{2}$

Dikkat ederseniz bu sayı, daha önceden bulduğumuz ve yerel gizli değişkenler varsayımıyla türettiğimiz 2 limitinin üzerindedir. $2\sqrt{2}$ değeri, beklenen değerlerin kombinasyonunun alabileceği maksimum değerdir (ve bu nedenle Tsirelson sınırı olarak bilinir).

Kuantum Mekaniği, CHSH Eşitsizliğini Rasyonel Olarak Nasıl İhlâl Eder?

Klasik Dünyada Olabilecek En İyi Senaryo

CHSH eşitsizliği, Alice ve Bob'un eylemlerini koordine etmeye çalıştığı bir oyun olarak da düşünülebilir: Victor yine $x$ ve $y$ bitlerini tamamen bağımsız ve rastgele bir şekilde hazırlıyor olsun. $x$ bitini Alice'e, $y$ bitini Bob'a gönderiyor olsun. Alice ve Bob'un bu oyunu kazanmasının yolu, sırasıyla (ölçüm sonucuna karşılık gelen) $a$ ve $b$ bitlerini Victor'a geri göndermeleri olsun; ancak bu "cevap bitleri" şu kuralı sağlamak zorunda olsun:

$xy=a+b\mathrm{mod}2$

Yani oyunun amacı özünde şu: Eğer hem Alice hem Bob $1$ bitini alacak olursa, oyunu kazanmak için birbirlerinden farklı bitleri çıktı olarak vermeliler (yani $x=y=1$ durumunda Alice $a=1$, Bob $b=0$ vermeli veya Alice $a=0$, Bob $b=1$ vermeli). Geriye kalan tüm durumlarda Alice ve Bob'un görevi aynı çıktıyı vermek (yani $a=b=0$ veya $a=b=1$ vermek). Aksi tüm durumlarda oyunu kaybettiklerini varsayalım. Ek olarak, diyelim ki Alice ve Bob, oyundan önce istedikleri herhangi bir strateji üzerinde anlaşabilsinler; ancak oyun başladıktan sonra hiçbir şekilde iletişim kuramasınlar.

Eğer Alice ve Bob tamamen rastgele çıktılar verecek olurlarsa (yani $a$ ve $b$'yi rastgele seçecek olurlarsa), kazanma ihtimalleri %50 olacaktır. Çünkü Victor $3/4$ ihtimalle $\{0,0\}$, $\{0,1\}$, $\{1,0\}$ kombinasyonlarından birini gönderecektir. Bu kombinasyonlar geldiğinde Alice ve Bob'un kazanmak için yapması gereken aynı sonuçları üretmektir; yani $\{1,1\}$ veya $\{0,0\}$ vermektir. Rastgele oynuyorlarsa, bunun olma ihtimali %50'dir. Keza Victor, $1/4$ ihtimalle $\{1,1\}$ kombinasyonunu gönderecektir. Bu durumda Alice ve Bob'un kazanmak için yapması gereken zıt sonuçlar, yani $\{0,1\}$ veya $\{1,0\}$ üretmektir. Rastgele oynuyorlarsa, bunun da gerçekleşme ihtimali %50'dir. Dolayısıyla bu senaryoların toplamının ortalama kazanma ihtimalini klasik dünyada şöyle hesaplayabiliriz:

$3/4\cdot 1/2+1/4\cdot 1/2=1/2$

Bir diğer deyişle, rastgele oynuyorlarsa kazanma ihtimalleri %50 olacaktır.

Ancak Alice ve Bob, eğer biraz zekilerse, bundan daha iyisini yapabileceklerini görebilirler. Klasik dünyada yapabilecekleri en iyi şey, Victor ne gönderirse göndersin aynı sonucu üretmektir: Örneğin Victor ne gönderirse göndersin $\{0,0\}$ üreteceklerinde hemfikir olabilirler. Çünkü bunu yaparlarsa, kazanma ihtimalleri %75'e yani $3/4$'e çıkmaktadır. Düşünelim:

• Victor $\{0,0\}$ gönderirse, Alice ve Bob $\{0,0\}$ üretecekleri için kazanacaklar.
• Victor $\{0,1\}$ gönderirse, Alice ve Bob $\{0,0\}$ üretecekleri için kazanacaklar.
• Victor $\{1,0\}$ gönderirse, Alice ve Bob $\{0,0\}$ üretecekleri için kazanacaklar.
• Ama Victor $\{1,1\}$ gönderirse, Alice ve Bob $\{0,0\}$ üretecekleri için kaybedecekler (çünkü sadece bu durumda zıt sonuç üretmeleri gerekiyordu).

Görebileceğiniz gibi bu basit stratejiyle, 4 olası vakadan 3'ünde (%75 ihtimalle) kazanıyorlar. Kritik nokta şu: Klasik dünyada ne tür bir strateji geliştirirseniz geliştirin, bu %75 ihtimali daha da iyileştirmeniz mümkün değil. İşte CHSH Eşitsizliği dediğimiz Bell-tipi eşitsizliğin koyduğu limit bu: Kuantum mekaniği bundan daha iyi bir sonuç üretiyorsa, o zaman klasik fiziğin ötesinde bir şeyler dönüyor olmalıdır.

Ufak bir parantez açalım: Bu arada daha teknik okurlar için bunu düşünmenin bir diğer yolu, Alice ve Bob'un $x$ ve $y$'nin mantıksal VE kapısı değerlerinin $a$ ve $b$'nin mantıksal XOR kapısı değerleri olduğu durumda kazanıyor olduğunu hayal etmektir. Çünkü VE kapısı hem Alice'in hem Bob'un aynı ölçümü yapması durumunda 1 sonucunu verecektir ve XOR kapısı da sadece bu ölçümlerin zıt olduğu durumda 1 sonucunu verecektir; bu durum, kunatum mekanik durumu tam olarak yansıtmaktadır.

Dediğimiz gibi, bu şartlar altında, yerel gizli değişkenlere dayanan herhangi bir teoride, önceden hangi strateji üzerinde anlaştıklarına bakılmaksızın, Alice ve Bob'un kazanma olasılığı $3/4$'ten büyük olamaz. Yani anlamanız gereken kritik detay şudur: Bu oyun kurgusu kuantum mekaniğinden ve niteliklerinden bağımsızdır. Alice ve Bob, $a$ ve $b$ sonuçlarının ne olduğunu istedikleri gibi seçebilirler. Ancak eğer kuantum stratejisini kullanmazlarsa (ve birbirleriyle iletişim de kuramıyorlarsa), bir diğer deyişle klasik dünyanın kurallarına uymak zorunda kalırlarsa, o zaman kazanma oranları $3/4$ değerini aşamamaktadır. Deneyin: Daha iyi bir strateji bulamayacaksınız!

Kuantum Dünyada Olabilecek En İyi Senaryo

Alice ve Bob, eğer klasik dünya yerine kuantum dünyada ölçüm yapıyorlarsa, %75 barajını aşabilecek bir strateji geliştirebilirler!

Bunu anlamak için, yukarıdaki Stern-Gerlach Aparatı üzerinden anlattığımız deneyleri ve ölçümleri iyi anlamanız gerekiyor; fakat özetle, Alice ve Bob'un deneye başlamadan önce yapacakları anlaşma şöyle:

• Alice, Victor'dan $0$ alırsa, kübiti $\theta =0$ açısında ölçecek (\theta her zaman yataydan, saat yönünün tersine ölçülecek).
• Alice, Victor'dan $1$ alırsa, kübiti $\theta =45$ açısında ölçecek.
• Bob, Victor'dan $0$ alırsa, kübiti $\theta =22.5$ açısında ölçecek.
• Bob, Victor'dan $1$ alırsa, kübiti $\theta =-22.5$ açısında ölçecek.

Bunun amacı, Stern-Gerlach Aparatı'nda da gördüğümüz gibi, kuantum nesneleri farklı açılarda ölçmek ve tuhaf kuantum özelliklerinden faydalanmak. Yine, bu açıları seçme nedenimiz, tam olarak $0$ ve $90$ derece gibi ana açılar kullanmamak; ama buna karşılık yine de simetrik olan, dolayısıyla matematiğin kendiliğinden kolaylaştığı bir durum yaratmak. Sonuçta kuralı ihlal eden bir tanecik örnek bile bulabilmek yeterli (o nedenle yukarıda ne kadar uğraşırsanız uğraşın %75'i aşabilecek bir senaryo geliştiremeyeceğinizi söyledik; bir tanecik bile).

Ne olursa olsun, aklınızdan çıkarmamanız gereken en kritik nokta şu: Eğer bitler ve kübitler aynıysa (yani kuantum da klasik bir doğaya sahipse), bu strateji de en fazla %75 başarılı sonuç verebilmeli. Ama kübitler, bitlerden fazlasıysa (yani kuantumun olasılıkçı bir doğası varsa), %75'in ötesine geçmek mümkün olmalı.

Bu durumda, var olabilecek olasılıklar şunlar:

• Alice, Victor'dan $0$ aldı; Bob Victor'dan $0$ aldı. Dolayısıyla yukarıdaki anlaşmaları gereği Alice kübiti $\theta =0$ açısında ölçtü, Bob kübiti $\theta =22.5$ açısında ölçtü. Açı farkı $\Delta \theta =22.5$ olduğuna göre, ${\cos }^2(22.5)\approx 0.85$ ihtimalle kazanacaklar.
• Alice, Victor'dan $0$ aldı; Bob Victor'dan $1$ aldı. Dolayısıyla yukarıdaki anlaşmaları gereği Alice kübiti $\theta =0$ açısında ölçtü, Bob kübiti $\theta =-22.5$ açısında ölçtü. Açı farkı $\Delta \theta =-22.5$ olduğuna göre, ${\cos }^2(-22.5)\approx 0.85$ ihtimalle kazanacaklar.
• Alice, Victor'dan $1$ aldı; Bob Victor'dan $0$ aldı. Dolayısıyla yukarıdaki anlaşmaları gereği Alice kübiti $\theta =45$ açısında ölçtü, Bob kübiti $\theta =22.5$ açısında ölçtü. Açı farkı $\Delta \theta =-22.5$ olduğuna göre, ${\cos }^2(-22.5)\approx 0.85$ ihtimalle kazanacaklar.
• Alice, Victor'dan $1$ aldı; Bob Victor'dan $1$ aldı. Dolayısıyla yukarıdaki anlaşmaları gereği Alice kübiti $\theta =45$ açısında ölçtü, Bob kübiti $\theta =-22.5$ açısında ölçtü. Açı farkı $\Delta \theta =-67.5$ olduğuna göre, ${\cos }^2(-67.5)\approx 0.15$ ihtimalle kaybedecekler. Bu seçenekte işlerin tersine dönmesinin nedeni, oyunun kuralları gereği, Victor'dan her ikisinin de $1$ alması hâlinde, diğer vakalarda olduğu gibi aynı sonucu değil, ters sonuçları vermeleri gerekmesi... Dolayısıyla aynı stratejiyi devam ettirirlerse, aslında bu seçenekte de $0.85$ ihtimalle kazanacaklar.

Ufak bir parantez açalım: Burada neden Stern-Gerlach Aparatı'ndaki gibi ${\cos }^2\frac{\theta }{2}$ değil de direkt olarak ${\cos }^2\theta$ aldığımızı merak ediyorsanız, sebebi şu: İkiye bölme işlemi, spinin (açısal momentumun) hesabındaki bir $1/2$ faktöründen geliyor (merak edenler için, spesifik olarak spin-z eigenvektörlerinin $S_z=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$olarak tanımlanmasından kaynaklanıyor). Gerçekte iki farklı açıda yapılan ölçümlerde ${\cos }^2\theta$ ile hesaplamamız gerekiyor. Zaten yukarıdaki herhangi bir açıyı ikiye bölecek olursanız, sonucun daha da büyük çıktığını göreceksiniz (örneğin ${\cos }^{2}22.5=0.85$ iken, ${\cos }^{2}11.25=0.96$; yani eşitsizliği daha da beter ihlâl ediyor).

Ama ne olursa olsun, görebileceğiniz gibi aynı oyunu kuantum nesnelerle oynadığınızda, klasik dünyada elde edebileceğiniz maksimum kazanç olan $3/4$, yani %75 başarı oranını aşabilmeniz mümkündür. Eğer kübitler de bitler gibi davransaydı, sırf farklı açılarda ölçüm yaparak %75 ihtimalini aşmanız mümkün olmazdı. Bu durum, kuantum mekaniğinin yerel gizli değişkenler varsayımını sağlamadığını ispatlamaktadır.

Deneyler, Bell'i Nihai Olarak Doğruluyor!

Tüm bunları bilimin temel prensipleri açısından, daha "meta" bir şekilde ele alarak, deney sonuçlarını daha iyi anlamanızı sağlayabiliriz. Aşağıdaki grafikte mavi renkli çizim klasik fiziğin, yani Einstein-Podolski-Rosen üçlüsünün "Gizli Değişken Hipotezi'nin" farklı açı kombinasyonlarında görmeyi beklediği veri dağılımını göstermektedir; kırmızıysa Bohr ve arkadaşlarının aynı ölçüm için kuantum mekaniği öngörüsünü göstermektedir:

Bu, işin teorik tarafında beklediğimizdir. Pratikte bu deneyi yaptığımızda ne sonuç elde ediyoruz dersiniz? 3 olasılık var: Gerçek dünya verileri ya bir hipoteze uymalı, ya diğerine uymalı veya ikisine de uymayacak ve yeni hipotez gerekecek. Gerçek duruma bir bakalım (siyah kareler, farklı açılarda yapılan deneylerin sonuçlarını göstermektedir):

Görebileceğiniz gibi tartışılacak pek bir şey bulunmamaktadır. Kuantum, olasılıkçı bir doğaya sahiptir; klasik fiziğe uymamaktadır, deterministik de değildir. Bir diğer deyişle: Kuantum, kendi çapında nihai bir teoridir. Olasılıkçı olması, eksik olduğunu iddia etmek için yeterli değildir.

Sonuç

Einstein Yanıldı: Tanrı, Zar Atıyormuş!

İşte 2022 Nobel Ödülü, eğer 1990 yılında, sadece 62 yaşındayken hayatını kaybetmemiş olsaydı, kuşkusuz John Stewart Bell'e verilecekti. Ancak ölmüş kişilere Nobel verilmediği için, onun teoremini burada anlattığımız türden gerçek deneylerle yaparak ispatlayan ve sonradan deneyde fark edilen bazı açıkları da kapatan Alain Aspect, John Clauser ve Anton Zeilinger üçlüsüne verildi. Bu üçlü, yaptıkları deneylerle, dolanık parçacıklardan birinin ölçüm bilgisinin gerçekten de diğerine bir şekilde anında ulaştığını gösterdiler.

Dolayısıyla eğer siz de "Hayır, dolanık parçacıklar başından beri diğerinin ne yapacağını biliyor olmalı, arada bir gizli değişken olmalı." diye direniyorsanız, nafile. Ya deneyle gelmeniz gerekiyor, ya da doğayı olduğu gibi kabul etmeyi öğrenmeniz gerekiyor.

Anlayacağınız, Einstein yanıldı. Ve görünen o ki, Tanrı gerçekten de zar atıyor.

Einstein'ı Kurtarmak: Kuantumu Klasik Fiziğe Bağlamak İmkansız mı?

Ana akım kuantum yorumları çerçevesinde hayır. Ama alternatif kuantum yorumları bazı çıkış yolları sunabilir:

• Everett'in Paralel Evrenler Yorumu, bütün kuantum olasılıkların aslında paralel evrenlerdeki gerçeklikler olduğunu varsayar. Bu durumda, her bir ölçüm sırasında yeni paralel evrenler yaratılır. Bu paralel evrenlerin her biri, kendi içinde determinist kalabilir.
• Kuantumun Süperdeterminizm yorumu, kuantum parçacıkların ve ölçüm araçlarının deney öncesinde ve sırasında değil, Büyük Patlama anında ve belki öncesinde deterministik bir şekilde birbirine dolandığını ileri sürer. Bu, Einstein'ı kurtarsa da büyük ihtimalle özgür irade kavramının ortadan kalkmasına neden olur.
• Bell Eşitsizliği, teknik olarak sadece yerel (lokal) gizli değişkenleri eleyebilir. Teknik olarak yerel-olmayan gizli değişkenler halen var olabilir. Ancak bu yaklaşım, dolanık parçacıkların nasıl olup da birbiriyle ışık hızından hızlı iletişim kurabildiğini izah edememektedir; sadece bunun mümkün olduğunu iddia edebilmektedir.

Bunlar uzun yıllar tartışılacak konular olsalar da, 2022 Nobel Fizik Ödülü'nün gidişatın yönünü büyük oranda tayin ettiği söylenebilir: Kuantum ölçekte deterministik varsayımları bir kenara bırakmamız ve Evren'in olasılıkçı doğasını kabullenmemiz gerekiyor. Çünkü yukarıdaki gibi alternatif açıklamalar, bundan daha kolay veya yutulur lokmalar değiller.