Euler Formülü ve Euler Özdeşliği

Euler'in özdeşliği, Shakespeare'in bir sonesine benzetilen ve " en güzel denklem " olarak tanımlanan, matematikte bulunan bir eşitliktir. Karmaşık aritmetikte Euler Formülü adı verilen temel bir denklemin özel bir durumudur. Büyük fizikçi Richard Feynman derslerinde buna "mücevherimiz" ve "matematikteki en dikkat çekici formül" adını vermiştir.

Euler'in Özdeşliği basitçe şöyle yazılır: e iπ + 1 = 0

0 sayısı .

1 numara.

π sayısı , bir dairenin çevresinin çapına oranı olan irrasyonel bir sayıdır (sonsuz basamaklı). Yaklaşık olarak 3.14159 …

e sayısı , aynı zamanda irrasyonel bir sayıdır. Bileşik faiz ve kalkülüs çalışmasıyla doğal olarak ortaya çıkan doğal logaritmaların temelidir . e sayısı matematiğe nüfuz eder ve çok sayıda önemli denklemde kullanılır. Yaklaşık olarak 2,71828….

i sayısı , negatif birin karekökü olarak tanımlanır: √(-1). Hayali sayıların en temeli, böyle adlandırılması, gerçekte hiçbir sayının kendisiyle çarpılarak negatif bir sayı üretilememesinden kaynaklanır (ve bu nedenle negatif sayıların gerçek karekökleri yoktur). Ancak matematikte, negatif bir sayının karekökünü almaya zorlanan birçok durum vardır. Bu nedenle i harfi , bunun yapıldığı yerleri işaretlemek için bir tür vekil olarak kullanılır.

Leonhard Euler, modern matematiğin ayrılmaz bir parçası olan birçok kavramı geliştiren 18. yüzyılda İsviçre doğumlu bir matematikçiydi. Kariyerinin çoğunu Rusya'nın St. Petersburg kentinde geçirdi. ABD Deniz Akademisi'ne (USNA) göre, 886 makale ve kitap yayınlayarak tüm zamanların en üretken matematikçilerinden biriydi. Ürettiği eserlerin çoğu, tamamen kör olduğu hayatının son yirmi yılında geldi. O kadar çok eser vardı ki St. Petersburg Akademisi, ölümünden sonra 30 yıldan fazla bir süre çalışmalarını yayınlamaya devam etti.

Euler'in önemli katkıları arasında, her ikisi de bağlı olarak farklı şeyler ifade edebilen Euler Formülü ve Euler Teoremi yer alır. USNA'ya göre, mekanikte "Euler açıları (katı bir cismin yönelimini belirtmek için), Euler teoremi (her dönüşün bir ekseni olduğu), Euler'in sıvıların hareketi için denklemleri ve Euler-Lagrange denklemi (varyasyonlar hesabından gelir)" vardır.

Karmaşık Sayıların Çarpılması

Euler'in Özdeşliği, iki parçadan oluşan karmaşık sayıların etkileşimlerinden doğal olarak ortaya çıkar. Bir gerçek sayı ve bir sanal sayı ; bir örnek 4+3 i'dir . Karmaşık sayılar, dalga mekaniği ( kuantum mekaniği içinde bir çalışma ) ve alternatif akım kullanan devrelerin tasarımı ( elektrik mühendisliğinde yaygın bir uygulama) gibi çok sayıda uygulamada görülür . Ayrıca, karmaşık sayılar (ve kuzenleri olan hiper karmaşık sayılar ) onları bilgisayar grafikleri, robotik, navigasyon, uçuş dinamikleri ve yörünge mekaniği çalışmalarında özellikle yararlı kılan bir özelliğe sahiptir: bunları birbiriyle çarpmak dönmelerine neden olur. Bu özellik, Euler'in Özdeşliğinin ardındaki mantığı anlamamıza yardımcı olacaktır.

Kutupsal Formun Türetilmesi

Euler'in Özdeşliği karmaşık sayıların kutupsal formundan kaynaklansa da, kutupsal formu (özellikle e sayısının kendiliğinden ortaya çıkışı ) kalkülüs olmadan elde etmek imkansızdır.

Karmaşık sayının dikdörtgensel biçimi:

a + bi

Diyagramdan ve trigonometriden aşağıdaki ikameleri yapabiliriz:

( r ·cos φ ) + ( r ·sin φ ) i

Buradan r'yi çarpanlarına ayırabiliriz :

r ·(cos φ + i ·sin φ )

Bazen “cos φ + i ·sin φ ” ifadesi cis φ olarak adlandırılır ; bu, “ c osine plus i virtual sinus ” ifadesinin kısaltmasıdır .

r ·sis φ

cis φ fonksiyonu e iφ'ye eşit çıkıyor . Bu, hesaplama olmadan gösterilmesi imkansız olan kısımdır.

En Güzel Denklemin Ardında Ne Var?

Denklemi bir an düşünürseniz, basit ve anlaşılır görünüyor. i , herhangi bir sayıya eklenebilecek başka bir değişkendir, değil mi? İlk bakışta bu doğru gibi görünebilir ancak dikkatli bir şekilde düşünüldüğünde burada daha ilginç bir şeylerin olması gerektiği görülebilir. Euler'in özdeşliğinin arkasında, onu matematik tarihinin en güzel denklemlerinden biri yapan birçok gizli hazine olduğu ortaya çıkıyor.

Agora Bilim Pazarı

Histoloji ve Hücre Biyolojisi

Histolojiye hücre biyolojisi ve patoloji açısından yaklaşmak isteyenlerin mutlaka edinmesini tavsiye ettiğimiz bir eser. Çünkü doku biyolojisini anlamak yetmez; onu hücreler bazında ve hücre hastalıkları açısından da anlayabilmek gerekir…

Notlar:

1. Bu kampanya, Palme Yayıncılık tarafından Evrim Ağacı okurlarına sunulan fırsatlardan birisidir.

Devamını Göster

₺1,164.00

Satın Al Tüm Ürünler

Fazörler (vektörlerin dönüşleri)

Görsel bir bakış açısıyla Euler formülünü karmaşık bir sayı veya geometrik bir vektör olarak görebiliriz. Euler sayısının sanal bir sayının kuvvetinin karmaşık düzlemde bir dönüş sağladığı ortaya çıktı. Euler formülünün kosinüs ve sinüs ile açıkça ifade ettiği şey budur.

De Moivre'nin Kökleri

İleriye dönük olarak, rotasyonlar Euler formülünün dışında değildir, herhangi bir karmaşık sayı için uygulanabilir. Ancak vektörün büyüklüğünün farkında olmalısınız. Başka bir deyişle, bu karmaşık sayıları büyüklük ve yönün ayrıldığı şekilde yeniden yazmalısınız. Karmaşık sayıları kartezyenden polar'a eşlemenin en hızlı süreci doğal logaritmayı uygulamaktır.

Çözüm

Peki Euler'in özdeşliğinin güzelliğini nasıl açıklayabiliriz? Bunu şu soruyla açıklamak daha iyi olabilir: Bu güzel denklemin ardında ne var?

Cevap, rotasyonun derinlik kavramında yatmaktadır. Rotasyonlar genellikle anlaşılması kolaydır çünkü bunları salınımlar olarak hayal edebilirsiniz.

Matematikte cebir ve geometrik arasındaki bağlantı olarak önemli bir rol oynar, topoloji gibi daha karmaşık konular bu bağlantıyla birleştirilebilir. Ayrıca diferansiyel denklemlerin çözümlerinin çoğu e^(lambda*t) gibidir.