Noether Teoremi

Noether teoremi, dinamiklerin her simetrisinin bir koruma yasası anlamına geldiğini belirten fizikteki temel bir sonuçtur. Ancak, birkaç açıdan eksiktir. Birincisi, sistemin bir çevreyle etkileşime girdiği dinamiklere uygulanabilir değildir ayrıca, sistem izole edilmiş olsa bile kuantum durumu karışıksa, Noether koruma yasaları simetrilerin tüm sonuçlarını kapsamaz. Burada, bir kuantum durumunun bir simetriyi ne ölçüde bozduğunun ölçümlerini sunarak bu eksiklikleri ele alıyoruz. Bu tür ölçümler, durum geçişleri üzerinde yeni kısıtlamalar sağlar. İzole olmayan sistemler için artamazlar aksine izole sistemler için korunurlar. Önemsiz olmayan asimetri ölçümleri bulma probleminin kuantum bilgi teorisinin araçları kullanılarak çözülebileceğini gösterir. Uygulamalar arasında, amplifikatörlerdeki kuantum gürültüsünde modelden bağımsız sınırlar türetmek ve yüksek hassasiyetli ölçüm elde etmek için kuantum şemalarını değerlendirmek yer alır.

Simetrilerin dinamikler için sonuçlarını bulmak, yüksek enerjili saçılma deneylerinden, mezoskopik (yoğun madde fiziğinin, ara boyuttaki malzemelerle ilgilenen bir alt disiplin) fizikteki kontrol problemlerine ve kuantum kozmolojisindeki sorunlara kadar fizikte geniş uygulamaları olan bir konudur. Birçok durumda, dinamiğin tam bir çözümü ya çok karmaşık olduğu ya da ilgili tüm parametreler hakkında kesin bir bilgi olmadığı için mümkün değildir. Bu gibi durumlarda, simetrileri göz önünde bulundurarak genellikle önemsiz olmayan çıkarımlar yapılabilir. En belirgin örnek, dinamik simetrilerden kapalı sistem dinamiklerindeki hareket sabitlerine çıkarımdır. Örneğin zaman içinde öteleme, uzayda öteleme ve dönüş altındaki hareket yasalarının değişmezliğinden sırasıyla enerjinin, doğrusal momentumun ve açısal momentumun korunumu çıkarılabilir. Bu sonucun kökeni Lagrange'ın (İtalyan aydınlanma dönemi matematikçisi ve astronomu) klasik mekanikteki çalışmalarına dayanır. Ancak ilgi duyulan simetriler türevlenebilir olduğunda, bağlantı Noether teoremi ile kurulur.

Günümüzde fizikçiler genel sonuca atıfta bulunmak için 'Noether teoremi' terimini kullanma eğilimindedir. Teorem, zaman evriminin simetrilerinin, tüm momentleri korunan bir gözlemlenebilirler kümesinin varlığını ima ettiği kuantum alanında da geçerlidir. Kuantum fiziği bu çalışmada ilgi çeken durumdur.

Simetrik evrim simetrik grubunun eylemiyle gidip gelen bir evrimdir. Örneğin, dönmeye karşı değişmez bir dinamik, dinamiklerden önceki durumun dönmesinin, dinamiklerden sonra dönmesiyle aynı etkiye sahip olduğu şekildedir. Bir asimetri ölçüsü, söz konusu simetrinin belirli bir durum tarafından ne kadar kırıldığını niceliksel olarak belirler.

Noether teoreminin geçerli olmadığı bir çevreyle etkileşim halindeki sistemler (açık sistem dinamikleri) için, her asimetri ölçüsü, simetrik dinamikler altında hangi durum geçişlerinin mümkün olduğuna dair önemsiz olmayan bir kısıtlama getirir, yani son durum üzerinde değerlendirilen ölçünün ilk durum üzerinde değerlendirilenden daha büyük olmaması gerekir. İzole sistemler (kapalı sistem dinamikleri) için, bazı durum geçişleri için simetrik bir ünitenin varlığı, ters geçiş için simetrik bir ünitenin varlığını ima eder. Dolayısıyla her asimetri ölçüsü, simetrik dinamikler altında korunan bir niceliktir. Karma durumlar arasındaki geçişler için bu şekilde elde edilen korunan niceliklerin genel olarak Noether teoremi tarafından öngörülenlerden bağımsız olabileceğini gösterir.

Asimetri Ölçümlerinin Uygulamaları

Faz duyarsız kuantum amplifikatörleri, simetri özelliğine sahip açık sistem dinamiklerinin örnekleridir. Sonuç olarak, asimetri ölçülerinin artmaması nedeniyle performanslarına ilişkin sınırlar türetebilir. Bir kuantum amplifikatörünün amacı, optik alanlar için sayı operatörü 14 gibi bazı gözlemlenebilirlerin beklenti değerini artırmaktır. Çoğu çalışmada amplifikasyon üzerindeki kısıtlamalar amplifikatörün belirli fiziksel modelleri için elde edilir. Dahası analiz tipik olarak doğrusal ve doğrusal olmayan amplifikatörler ile deterministik ( bir sistem, sistemin gelecekteki durumlarının gelişmesinde rastgelelik bulunmayan bir sistemdir) ve deterministik olmayan amplifikatörler için ayrı ayrı yapılır.

Simetrik açık sistem dinamiklerinde durum geçişleri üzerindeki bilgi, teorik kısıtlamalara bir örnek.

Dönme simetrik açık sistem dinamiğinin,( - )yönünde hizalanmış tutarlı durumu , dönme simetrik gürültüsüz bir amplifikatör olan tutarlı duruma dönüştürdüğünü varsayalım. Bu mümkün olsaydı açıklanan iletişim protokolünde , Bob önce bu dinamiği uygulayabilir ve sonra durumu kullanarak yönü tahmin edebilirdi. Böyle bir strateji, temel kuantum sınırının izin verdiğinden daha iyi olan ile orantılı varyansa sahip bir tahmin üretecektir.

Asimetri ölçülerinin ikinci bir uygulaması kuantum tutarlılığını ölçmektir. Tutarlılık, bireysel kuantaların (enerjinin bölünemez değeri) girişiminden süperiletkenliğe ve süperakışkanlığa kadar birçok belirgin kuantum olgusunun merkezinde yer alır. Pratik açıdan, tutarlılık, kuantum faz tahmini için kritik olan kuantum durumlarının bir özelliğidir. Bununla birlikte, faz kaymaları simetri dönüşümleridir. Bu nedenle, tutarlılığa sahip durumlar, faz kaymaları grubuna göre asimetrik olan durumlardır. Bundan bir tutarlılık ölçüsünü, faza duyarsız zaman evrimleri altında artmayan herhangi bir fonksiyon olarak tanımlayabileceğimiz sonucu çıkar.

Son olarak, asimetri ölçümleri önemlidir çünkü asimetri kuantum metrolojisine güç veren kaynaktır (bu, ilgili kaynağın dolanıklık olduğu daha standart görüşle çelişir, ancak bazen dolanıklık ölçümleri asimetri ölçümleriyle ilişkili olabilir).