Her Gün Karşılaştığımız Gizli Kahraman: Sonlu Farklar Yöntemi ile Mühendislik ve Matematiğin Günlük Hayata Etkisi

Günlük yaşamımız, farkında olmasak da, sayısız hesaplamanın üzerine kuruludur. Bu hesaplamalar, çevremizdeki dünyayı anlamamıza ve daha iyi hale getirmemize yardımcı olur. Peki, bu hesaplamalar nasıl yapılır? İşte burada devreye Sonlu Farklar Yöntemi (FDM) girer, sayısal çözümler dünyasının güçlü bir oyuncusu.

Hadi bir örnek üzerinden gidelim: hava durumu tahminleri. Bu tahminler, hava durumu modelleri kullanılarak yapılır ve bu modeller, atmosferdeki sıcaklık, nem, rüzgar hızı gibi parametrelerin nasıl değişeceğini hesaplar. Sonlu Farklar Yöntemi, bu değişimleri adım adım hesaplayarak meteorologlara yarın yağmur mu yağacak yoksa güneş mi açacak, bunu söyleme şansı tanır.

Bir diğer örnek, mühendislikte karşımıza çıkan yapısal analizlerdir. Örneğin, bir binanın depreme dayanıklılığını hesaplarken, Sonlu Farklar Yöntemi kullanılarak binanın her bir noktasındaki stres ve gerilme miktarları detaylı bir şekilde hesaplanabilir. Bu, yapıların daha güvenli ve dayanıklı olmasını sağlar.

Isı Transferinde Sonlu Farklar Yöntemi

Isı transferi, yaşamımızın her alanında karşımıza çıkar: Evimizi ısıtmaktan, yiyeceklerimizi pişirmeye kadar. Peki, bu süreçleri nasıl optimize ederiz? İşte burada Sonlu Farklar Yöntemi devreye girer.

Bir örnek olarak, modern binaların ısı yalıtımını ele alalım. Mühendisler, Sonlu Farklar Yöntemi ile duvarlardan pencereye kadar binaların her bölgesindeki ısı transferini hesaplar ve yalıtım malzemelerini bu hesaplara göre seçer. Bu, binaların daha enerji verimli olmasını sağlar ve ısıtma/soğutma maliyetlerini düşürür.

FDM hesaplamaları çok kolaydır. Siz de bu hesaplamaları hemen yapabilirsiniz. Hatta şimdi beraber bir hesaplama yapalım! Aşağıdaki İstanbul haritasında üç nokta işaretlenmiş. Bu noktalardan 1.sinde ve 3.sünde sıcaklığı ölçecek istasyonlar bulunuyor. Ancak 2. bölgede sıcaklığı ölçecek bir istasyon bulunmuyor. Rüzgarsız bir günde 2. bölgedeki sıcaklığı bulabilir misiniz? Hava durumu bilgisi her zaman tahmin edilir. En basit tahmin yöntemlerinden birisi de ortalama almaktır. 2. bölgedeki sıcaklık muhtemelen 1. ve 3. bölgedeki sıcaklığın arasında bir yerde olacaktır. 18 ve 20 derecenin ortalamasından 19 derece olarak tahmin edebiliriz. Bu işlem ile ilk FDM hesaplamınızı yapmış oldunuz! Tebrikler!

Google Earth

Aynı işlemi 5 bölge için tekrarlayalım. Aynı harita üzerinde 4 tane sıcaklık ölçen istasyon olduğunu düşünelim. Daha fazla istasyon ile İstanbul üzerindeki sıcaklık dağılımını tahmin edelim. Ortadaki bölge etrafındaki dört istasyonun sıcaklık ortalaması bize bu bölgenin sıcaklığını verecektir. (18+20+21+15) = 18.5 ℃. Önceki tahminimizden biraz daha farklı bir sonuç çıktı. Daha fazla istasyondan bilgi geldiği için bu daha doğru bir tahmin olacaktır.

Google Earth

Şimdi istasyon sayımızı oldukça arttıralım. Böylelikle daha yüksek çözünürlüklü bir sıcaklık dağılımı elde edebiliriz. Beyaz çerçeveli bölgelerdeki sıcaklık bilgisini bildiğimizi, diğerlerini bilmediğimizi varsayalım. İç noktalardaki her bir bölgenin sıcaklığının etrafındaki dört bölgenin ortalaması olduğunu düşünelim. Bu işlem öncekiler gibi hızlıca hesaplanacak gibi değil. Ama kesinlikle aynı şekilde hesaplanacak.

Google Earth

Her bir bölge için geçerli olan bir formül yazalım. Herhangi bir x ve y pozisyonunda bulunan bölgenin sıcaklığı aşağıdaki gibi yazılabilir.

$T_{x,y}=\frac{T_{x-1,y}+T_{x+1,y}+T_{x,y-1}+T_{x,y+1}}{4}$

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Bu formül tam olarak, herhangi bir x,y konumunda bulunan bölgenin; yatayda kendinden önceki ve sonraki bölgelerin ve dikeyden üstündeki ve altındaki bölgelerin sıcaklıklarının ortalaması hesaplıyor. 5 bölgeli hesabımızın birebir aynısı.

Her bir bölge için bir denklem yazılması gerekiyor. Bu 10x10 = 100 denklem anlamına geliyor. 100 denklemin her biri aynı anda çözülmeli çünkü birindeki bilinmeyen bazı diğerlerinde de bilinmiyor. Bu kadar çok denklemi aynı anda matrix yardımı ile çözebiliriz. Elde çözmek istemeyeceğimiz kadar uzun sürecek bu denklemler seti bilgisayar yardımıyla kolayca çözülecektir ve bize İstanbul üzerindeki sıcaklık dağılımını verecektir. Bu denklemlerin çözümü en sade şekliyle “difüzyon ile yayılan ısı transferi” çözümünü verir. Ortalama alma metodu, ısı denkleminin iki boyutlu Birinci Dereceden Merkezi Fark (2D First Order Central Difference) yöntemi ile çözülmesine karşılık gelir. Çözdüğümüz fizik denklemi aşağıdadır.

$\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2}=0$

Denklem çok karmaşık gözükse de biraz Calculus bilenler için oldukça kolaydır. Bu denklem, sıcaklığın x yönündeki değişim hızı ile y yönündeki değişim hızının toplamı sıfırı verir diyor. Bir başka deyişle, x yönündeki yayılım hızı artarsa, y yönündeki yayılım hızından harcayarak artabilir. Ve y için de aynısı geçerli. Bir yerden tanıdık geldi mi? Evet bu tam olarak enerjiyi koruyan denklem!

Örneğimizde zamana göre değişimin etkisini katmadık. Katacak olsaydık aşağıdaki denklemi çözmüş olacaktık. Bu denklemin FDM ile çözümü için sadece etrafındaki 4 noktanın sıcaklık değerini değil aynı zamanda bir önceki zamandaki sıcaklıklarının etkisini de almamız gerekecekti. Böylelikle çok daha karışık bir denklemler sistemi çözmemiz gerekecek. Bu denklemin adı enerjinin korunumu denklemidir. Lisede ne demiştik, enerji vardan yok olmaz, yoktan var olmaz: enerji korunur!

$\frac{\partial T}{\partial t}-\alpha (\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}T}{\partial y^2})=0$

Bu denklemlerin üzerine bir de rüzgarın da etkisini katacak olsaydık çözülmesi gereken iki denklem daha eklememiz gerekecekti. Bir tanesi kütlenin korunumu denklemi, bir diğeri ise momentumun korunumu denklemi. Kütle korunumu, enerji korunumu ve momentum korunumu denklemlerinin hepsine birden Navier-Stokes denklemleri deniyor. Bu denklemlerin tam çözümleri henüz bulunmuş değil. Biz sadece bazı basit koşullar için numerik olarak çözebiliriz. Bu da FDM sayesinde oluyor! Hatta Navier-Stokes denklemlerinin kesin çözümünü bulanlar için de bir ödül var: Bin yılın çözülmesi en önemli olan 7 denklemi içerisinde sayılıyor. Clay Matematik enstitüsü bu denklemleri kesin olarak çözebilene 1 milyon dolar para ödülü verecek.^[1]

Akışkanlar Mekaniğinde Sonlu Farklar Yöntemi

Su yönetimi, özellikle büyük şehirlerde yaşamsal önem taşır. Sonlu Farklar Yöntemi, su borularındaki akışın nasıl optimize edileceğini, arıtma tesislerindeki işlemlerin nasıl iyileştirileceğini hesaplar. Bu yöntem sayesinde, su kaynaklarımız daha etkili kullanılır ve çevresel etkiler azaltılır.

Rüzgar türbinleri için de Sonlu Farklar Yöntemi kullanılabilir. Türbin kanatlarının aerodinamik tasarımında yapılan hesaplamalar, rüzgarın türbin üzerindeki etkilerini detaylıca gösterir ve bu sayede enerji üretimi maksimize edilir.

Navier-Stokes denklemlerinde ısı denklemini çıkardığımızda, yani sıcaklığın akışkan boyunca hiç değişmediğini düşündüğümüzde denklem çok sadeleşiyor ve FDM ile çözülebilecek bir hal alıyor. Belki de sıkça duyduğunuz ama nasıl çalıştığını tam olarak bilmediğiniz bir şeyi, katı bir yüzey üzerinden geçen akışı inceleyelim.

Basit Bir Köprü Hikayesi

İstanbul’da bugün rüzgarın kuzeyden güneye doğru estiğini düşünelim. Bu rüzgar Boğaz köprüsü üzerinden de esecektir. Peki acaba bugünkü rüzgar köprünün üzerine ne kadar kuvvet uygulayacak? Bu kuvvet köprümüzü yıkar mı? Bunu bilmenin yolu akışkanlar mekaniği denklemlerini FDM ile çözmekten geçiyor.

Google Earth

Düz bir köprü yüzeyi (flat plate) düşünün ve bu yüzey üzerinden sabit bir hızla esen rüzgarı inceleyeceğiz. Bu senaryoda, sıcaklığın akışkan üzerindeki etkisini ihmal ediyoruz, yani enerji denklemini dikkate almayacağız. Köprüyü hayali olarak kuzeyden güneye doğru bir bıçakla kestiğimizi düşünün. Bu hayali kesite yandan baktığımızda aşağıdaki gibi görürüz.

Agora Bilim Pazarı

EĞİTİMİN MEKANSAL BOYUTU

Devamını Göster

₺440.00

Satın Al Tüm Ürünler

Rüzgar, henüz köprüye varmadan sabit bir hızla eserken, köprü yüzeyine ulaştığında durum değişir. Köprünün yüzeyiyle olan sürtünme nedeniyle, yüzeydeki rüzgar hızı sıfıra iner. Köprüden yükseğe doğru çıktıkça, rüzgar hızı yavaş yavaş artar ve sonunda açık havadaki ilk hızına kavuşur. Bu hız dağılımını anlamak, köprünün rüzgar yüklerine nasıl tepki vereceğini belirlemek için kritik öneme sahiptir.

Her bir yükseklikteki rüzgar hızını bilmek, köprü üzerine uygulanan aerodinamik kuvvetleri hesaplamamıza olanak tanır. Rüzgarın köprüye uyguladığı kuvvet, rüzgarın kaybettiği hız kadardır. Bu kuvvetler, köprü tasarımının rüzgar yüklerine karşı ne kadar dayanıklı olması gerektiğini anlamak için esastır. Bu nedenle, köprü tasarımcıları için rüzgarın hız dağılımını detaylı olarak bilmek ve bu bilgiyi kullanarak köprüyü uygun şekilde tasarlamak ve güçlendirmek önemlidir.

Modelleme:

Hesaplama Alanı: Kesik yeşil çizgi ile gösterilen alana Hesaplama Alanı diyoruz. Bu alan içerisinde akış denklemlerini çözeceğiz.Yüksekliği 1 metre genişliği de 10 metre diye düşünelim.

Giriş Hızı: Rüzgar U hızıyla giriş yapacak.

Izgara Boyutu: Enerji denklemini çözerken 10x10 luk bir ızgara kullanmıştık. Burda da benzer bir şekilde yeşil alan içerisinde hayali noktalar belirleyeceğiz. Her nokta üzerinde denklemlerimizi çözeceğiz. Köprü üzerinde kullanacağımız ızgara yükseklikte 6 genişlikte 10 olmak üzere 6x10 olsun.

Sınır Koşulları:

Giriş: Sol tarafta hız soldan sağa doğru sabit hız.

Çıkış: Sağ tarafta hızı bilemiyoruz; hesaplamamarımız sonrasında öğrenicez. Ama bildiğimiz bir şey var ki hız buradan sonra hep aynı devam ediyor.

Yüzey: Köprü yüzeyi üzerinde rüzgarın hızı sıfır olur.

Üst Sınır: Yeterince yukarda rüzgar soldan sağa doğru aynı geldiği gibi geçer gider. Hızı değişmez.

Bu fiziksel problemi Navier-Stokes Denklemleri ile modelleyeceğiz. Rüzgarın hızı zamana göre değişmediğini düşünürsek denklemlerimiz şu şekilde olur:

Kütlenin Korunumu

$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0$

Momentumun Korunumu

$u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial x}=\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$

Düz bir plaka üzerindeki akış için temel denklemleri, yani süreklilik ve momentum denklemlerini, Sonlu Farklar Metodu (FDM) ile ayrıklaştırmak, bu problemleri sayısal olarak çözmek için gereklidir. Burada bu denklemleri adım adım ayrıklaştıralım:

1. Ayrıklaştırma: Kütle Korunumu

$\frac{u_{i+1,j}-u_{i+j}}{x}+\frac{v_{i,j+1}-v_{i+j}}{y}=0$

2. Ayrıklaştırma: Momentum Denklemi (x yönü)

ui,ju_{i,j}

$u_{i,j}\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2\Delta x}+v_{i,j}\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j-1}}{2\Delta y}=\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{\Delta y^2}$

Sınır Koşulları:

Plaka yüzeyinde (y = 0):

$u_{i,0}=0$

$v_{i,0}=0$

Sınır tabakanın dışında (y → ∞ veya son ayrık y-noktası):

$u_{i,n_y}=U$

Sonlu Farklar Matrisinin Oluşturulması:

Kırmızı kesik noktalı çizgilerin her kesiştiği noktada bu denklemleri FDM ile çözersek bu her nokta için rüzgarın hızını bulabiliriz. FDM’nin kütlenin kornumu ve momentumun korunumu denklemlerini çözmesi daha önceki gibi aslında bir çeşit ortalama alma metodudur. Ancak aritmetik ortalama değil, fiziksel gerçekliği yansıtma üzere yukarıdaki denklemlerden gelen farklı bir ortalama alma yöntemi ortaya çıkmaktadır. Rüzgarın her noktadaki hızı bulunduktan sonra rüzgarın köprü üzerinden geçerken kaybettiği momentumu hesaplayabiliriz. Rüzgar soldan esmeye başlayıp sağdan çıkıncaya kadar hızı azaldığı için momentum kaybetmiştir. Sistemin toplam momentumu korunduğuna göre rüzgar kaybettiği momentumu köprüye aktarmış demektir. Bu şekilde köprü üzerine uygulanan kuvveti bulabiliyoruz. Bu hesaplama aslında köprü inşa edilmeden önce, istanbulda gerçekleşebilecek en sert rüzgara göre hesaplanmıştır. Böylelikle daha köprüyü inşa edilmeden rüzgardan kaynaklı ne kadarlık yük olacağını biliyorduk. Şimdi sırada o kuvvete dayanabilecek köprü ayağını tasarlamakta. Tabi ki de yine FDM ile!

Katı Mekaniği ve Sonlu Farklar Yöntemi

Sonlu Farklar Yöntemi, katıların nasıl tepki vereceğini anlamada da kullanılır. Örneğin, otomobil endüstrisinde, araçların çarpışma testleri simülasyonları bu yöntemle yapılır. Bu simülasyonlar, güvenliğin nasıl artırılacağını gösterir ve araçlar daha güvenli hale getirilir. Bizim örneğimizde ise bir kolonun eğilme miktarını hesaplayacağız.

Köprü bacağı olarak kullanılan bir dikey kolon üzerine uygulanan noktasal bir kuvvetin neden olduğu bükülme miktarını hesaplamak için sonlu farklar yöntemi (FDM) kullanacağız. Bu kuvvet bir önceki analizimizde köprü üzerinden geçen akışın uyguladığı kuvvettir. Bu tür yapısal analizler, genellikle mühendislikte Euler-Bernoulli kiriş teorisi ile modelleştirilir. Kirişin bükülme denklemini çözerek, kirişin her noktasında yer değiştirme (defleksiyon) miktarını hesaplayabiliriz.

Problem Tanımı:

• Kolon uzunluğu: L metre
• Alt uç: Sabit (yer değiştirme ve hız sıfır)
• Üst uca uygulanan kuvvet: F Newton

Euler-Bernoulli Kiriş Teorisi:

$EI\frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}=q(x)$

Burada, q(x) kiriş üzerine uygulanan yük dağılımını ifade eder ve bu problemde q(x)=0 (yük yok) ve F kuvveti noktasal yük olarak x=L noktasında uygulanır.

Sınır Koşulları:

Alt uç (x = 0): Sabit destek.

y(0)=0 (yer değiştirme sıfır)

$\frac{\partial y}{\partial x}{|}_{y=0}=0$ (yer değişim hızı sıfır)

Üst uç (x = L): Noktasal kuvvet uygulanır.

$\frac{{\partial }^{2}y}{\partial x^2}{|}_{y=0}=0$ (moment sıfır)

$\frac{{\partial }^{3}y}{\partial x^3}{|}_{y=L}=-\frac{F}{EI}$ (kesme kuvveti)

FDM ile Ayrıklaştırma:

Dördüncü türevi sonlu farklar metodu (FDM) ile ayrıklaştırmak için, genellikle merkezi fark kullanılır. Bir ızgara üzerinde düğüm noktalarını ele alarak, her bir düğüm noktası için yer değiştirme y değerlerini hesaplarsınız. Δx adım boyunu L/n olarak tanımlayarak ve n ızgara sayısını belirleyerek, dördüncü türev için sonlu fark yaklaşımı şöyle ifade edilir:

$\frac{{\partial }^{4}y}{\partial x^4}=\frac{y_{i-2}-4y_{i-1}+6y_i-4y_{i+1}+y_{i+2}}{\Delta x^4}$

Kolonu bir boyutlu olarak düşündüğümüzde herhangi bir noktadaki yerdeğiştirmek miktarını yine bir çeşit ortalama alma metodu ile hesapladık. Bu aritmetik ortalama değil, fizik denkleminden doğan farklı bir ortalama alma tekniğidir. Bazı değerlerin ortalamaya katılım etkisi 4 ve 6 kat daha fazla. Hangi noktanın ne kadar etkili olacağına karar veren de fiziğin ta kendisi.

Denklemin FDM Formu:

Yukarıdaki ayrıklaştırma kullanılarak, Euler-Bernoulli kiriş denklemini aşağıdaki gibi yazabiliriz:

$EI\frac{y_{i-2}-4y_{i-1}+6y_i-4y_{i+1}+y_{i+2}}{\Delta x^4}=q_i$

Bu ayrıklaştırılmış form, bir lineer denklem sistemi olarak çözülebilir. Sistemin çözümü için genellikle doğrusal cebirsel yöntemler kullanılır. Kirişin sınır koşulları (örneğin, sabitlenmiş, serbest, kayma yok veya mafsallı destek), bu denklemler sistemine uygun olarak düğüm noktalarında ifade edilir ve sistem buna göre çözülür.

Sonlu farklar yöntemi kullanılarak elde edilen bu model, yapısal mühendislikte yaygın olarak kullanılan önemli bir araçtır. Bu yaklaşım sayesinde, karmaşık yük ve destek koşulları altında kirişlerin nasıl davranacağını etkili bir şekilde tahmin etmek mümkündür.

Sonlu Farklar Yöntemi ile Hayatımızı Şekillendiren Hesaplamalar

Ve işte böyle! Bugünkü gezintimizde, Sonlu Farklar Yöntemi'nin (FDM) mühendislikten günlük hayatımıza, hava durumu tahminlerinden köprü tasarımlarına kadar pek çok alanda nasıl kullanıldığını gördük. Bu yöntem, görünmese de hayatımızın her köşesinde karşımıza çıkıyor ve dünyamızı daha yaşanabilir, güvenli ve verimli kılıyor.

Bu karmaşık hesaplamaları yapabilmek için her birimizin cebinde bir süper bilgisayar taşımamıza gerek yok. Modern teknoloji ve bilgisayarlar sayesinde, mühendisler ve bilim insanları bu denklemleri saniyeler içinde çözebiliyor. Sonuçlar? Daha sağlam binalar, daha etkili ilaçlar, daha verimli araçlar ve elbette daha doğru hava durumu tahminleri!

Hayal edin, bir köprünün üzerinde yürüdüğünüzü ve altınızdaki asfaltın, Sonlu Farklar Yöntemi sayesinde hesaplanan kuvvetlere dayanıklı olduğunu biliyorsunuz. Ya da evinizde otururken, dışarıdaki rüzgarın gücünü hesaplayan bilim insanlarının çalışmalarına güvenerek, sıcak bir kahvenin keyfini çıkarıyorsunuz.

Sonlu Farklar Yöntemi, adeta bir matematik sihirbazı gibi, kağıt üzerindeki formüllerden yola çıkarak, köprülerden, binalardan, araçlardan ve daha fazlasından sorunsuz bir şekilde geçmemizi sağlıyor. Bu yöntem olmasaydı, mühendislik ve bilim dünyası şüphesiz çok daha farklı olurdu.

Önümüzdeki sefere köprüden geçerken ya da hava durumunu kontrol ederken, bu hesaplamaların arkasındaki bilim ve teknolojiyi düşünmek, belki de günlük hayatımıza biraz daha saygı duymamızı sağlayacaktır. Unutmayın, her güneşli günün arkasında, başarılı bir matematik hesabı yatıyor!

Ve evet, Sonlu Farklar Yöntemi gibi konular, belki de en heyecan verici bilim kurgu filmlerinden daha fazla hayal gücü barındırıyor. Çünkü bu, gerçek dünyada, gerçek zamanlı olarak gerçekleşen bir bilim! Hadi, bu bilgiyle donanmış olarak, hayatımıza devam edelim ve matematiğin bu sessiz kahramanına bir kez daha teşekkür edelim. Sonlu Farklar Yöntemi, gerçekten de gizli bir kahraman!