Kalkülüsün ilk Adımları

Modern matematiğin büyüleyici dünyasında bir yolculuğa çıkmaya hazır mısınız? Kalkülüsün temellerine inerek, tarihte iz bırakan büyük matematikçilerin dehalarına tanıklık edeceğiz: Pierre Fermat (Piyer Ferma) ve Isaac Barrow (Ayzek Barrov). Bu öncü bilim insanları, bugün bildiğimiz ve kullandığımız tanjant kavramının gelişimine öncülük ettiler ve bu süreç, hem teorik hem de pratik yaşamlarımızda devrim niteliğinde bir değişim yarattı.

1600'lerin ortalarında, Fermat ve Barrow, eğrilerin tanjant doğrularının eğimlerini belirlemek için yenilikçi yöntemler geliştirdiler. Fermat'ın zekice yöntemi, bir fonksiyonun yakın noktalarındaki değerleri karşılaştırmayı içeriyordu; bu yöntem, bugünkü türev kavramına çok yakın. Barrow ise daha geometrik bir yaklaşım benimsedi ve bu fikirleri Newton’un kalkülüsü formalize etmesinde önemli bir rol oynadı.

Ekonomide, türev kavramı analistlerin maliyetlerin ve gelirlerin nasıl değiştiğini anlamalarına yardımcı oluyor. Bir maliyet veya gelir eğrisinin herhangi bir noktadaki tanjant eğimini bulmak, değişim hızını belirlemelerine olanak tanıyor ve bu, karar alma süreçleri için hayati bilgiler sağlıyor. Borsa ve kripto para yatırımı yapanlar bileceklerdir ki ellerindeki yatırımların bir sonraki zamanda ne kadar olacağını tahmin etmek zamanında satmak ya da ucuzken daha fazlasını alabilmek için çok önemlidir. Tanjantlar değişimin (artan ya da düşen değerin) ne kadar hızlı olduğunu gösterir. Şu şekilde örneklendirelim: Elimizdeki kripto paranın değeri grafikte yukarı doğru çıktığını çok kolay hesaplıyoruz ancak tanjantını hesaplarsak yukarı doğru çıkma isteği güçlü mü zayıf mı bilebiliriz. Bu, aynı bir cismin eğik atışı gibidir. Diğer bir deyişle, eğik atışta cismin aldığı yolun tanjantını hesaplamak hızını verir, hızının tanjantını hesaplamak bize ivmesini verir. Bir sonraki örneğimize bakalım borsa hareketleri ile kafanızda siz birleştirin.

Fizik dünyasında ise, tanjantlar hareket analizinde kullanılıyor. Bir cismin yörüngesini incelerken, fizikçiler, cismin yoluna teğet çizginin eğimini kullanarak anlık hız ve ivmeyi belirliyorlar. Bu bilgi, cismin nereye düşeceğini tahmin etmek için kullanılıyor.

Tanjantın hesaplanmasını takip ederek türevin ve integralin bulunmasıyla diferansiyel denklemleri kullanmaya başladık. Bugün, fizik yasalarını açıklamamıza yarayan hemen hemen bütün teoriler diferansiyel denklemler ile ifade edilir. Uçakların nasıl uçtuğundan, bir gitar telinin hangi notada titreyeceğine; uyduların hareketlerinden; doğadaki av-avcı popülasyonlarının hesaplanmasına kadar hemen hemen her alanda kullanmaktayız.

Fermat ve Barrow'un dehasına tanıklık ederken, onların mirasının hayatımızdaki izlerini keşfedeceğiz. Ama daha önemlisi Newton’nın türev dediği ama aslında Fermat’nın hali hazırda isim koymadan geliştiridiği; Barrow’un da aynı sonuca cebirsel değil, geometrik olarak ulaşıp bunu Newton’a öğrettiğini öğrenicez. Türevi bulan Newton mı yoksa ondan önce gelen devler mi siz karar verin. Hazır mısınız?

Antik Yunan medeniyeti üzerinden binlerce yıl geçerken ve takvim 1600’lü yılları gösterirken diğer birçok bilim insanı gibi Pierre Fermat ve Isaac Barrow da ondan çok etkilendi. 1453 itibari ile Konstantinopolis’den (Eski İstanbul) ayrılan insanlar beraberlerinde İtalya’ya bir çok kitap getirdiler. Bu kitaplar Yunanca yazılı olduğu için pek ilgi görmediler. Ünlü Antik Yunan eser Arithmetica’nın 1572'de Alman profesör Wilhelm Holzmann tarafından yapılan ilk tercüme ve basılı sürümü ortaya çıkana kadar bu durum devam etti. 1621'de orijinal Yunanca metninden Latince’ye tercümesinin yayınlamasıyla Avrupalı matematikçilerin tam erişimine açıldı. Batının, Arithmetica’yı okuması, kitabın gelişinden nerdeyse 200 yıl sonra başlamıştı. Fermat ve Barrow da dahil zamanının bir çok bilim insanı Antik Yunan matematiğini öğrenmeye ve üstüne bir şeyler katmaya başladılar.

Fermat, Barrow ve Newton’un yaşamları, matematiksel başarılarının yanı sıra ilginç ve şaşırtıcı kişisel detaylarla da doludur. Fermat, matematiksel çalışmalarını genellikle kitapların kenarlarına ve mektuplara notlar şeklinde yazardı. Fermat’nın son teoremi de bir kitabın kenarına yazdığı "Bu teoremin muhteşem bir kanıtını buldum ama bu kenar çok dar" notu sayesinde ünlendi. Bazı ispatları, en önemli kısımları atlanmış, not aldığı dar alanlara sıkıştırılmış olarak bulundu. İnsanlar, keşke teorilerini bu kadar gizli tutmasaydı ya da Arithmetica’nın kenar boşlukları daha fazla olsaydı diye espiriler yapar olmuşlardı. “Bu kenar çok dar dediği” kanıtı 350 yıl sonra 1994’te 125 sayfada ıspatlanabildi. Profesyonel olarak bir avukat olan Fermat, matematiği hobi olarak yapıyordu ve tam anlamıyla bir "amatör dahi" olarak biliniyordu. Çalışmalarını yayınlamazdı bile. Matematik camiasından övgü almaktan ve başarılı bir matematikçi olmaktansa buluşlarının kendisini tatmin etmesi yeterliydi. Ayrıca, şarap kültürüne olan düşkünlüğü ile tanınır ve Toulouse'da düzenli olarak şarap tadım etkinliklerine katıldığı söylenir.

Isaac Barrow, Cambridge Üniversitesi'nde Lucasian Matematik Kürsüsü profesörü olarak görev yaparken, Newton’a yer açmak için istifa etti. Matematik ve geometri dışında teolojiye büyük ilgi duyan Barrow, kariyerini bırakıp kiliseye yöneldi ve Cambridge'deki Trinity College’da görev aldı. Barrow’un eski rahiplerin yazılarına ilgi duymaya başlaması Konstantinopol’de yaşadığı döneme denk gelir ve Eski Yunan geometrisine olan tutkusuyla bilinir. Bunlar, cebirsel yöntemlerin popüler olduğu bir dönemde bile onun geometrik çalışmalara ağırlık vermesine neden olduğu gibi geometrinin yanılmazlığını ve değişmezliğini tanrının icadı olmasına bağlardı.

Isaac Newton’un başına düşen elma hikayesi herkes tarafından bilinir, ancak bu olayın gerçek olup olmadığı hala tartışmalıdır. Tartışmalı olan sadece bu hikaye değil, kalkülüsü kimin bulduğu da oldukça karışıktır. Newton ve Leibniz arasında, kalkülüsü kimin önce keşfettiği konusunda büyük ve uzun soluklu tartışma yaşandı. Zaten çok aksi biri olan Newton, bu rekabet sırasında oldukça sert bir tutum sergiledi. Tartışmalar devam ederken zavallı Leibniz’in ömrü yetmedi ve meydan Newton’a kaldı. Newton’un bir başka ilginç yönü de simya ve kimya ile olan ilgisiydi; ömrünün son yıllarında gizlice simya çalışmaları yaparak ölümsüzlük iksirini bulmaya çalıştığı söylenir. Newton’un duygusal olarak dengesiz olduğu ve sık sık öfke patlamaları yaşadığı da bilinir. Özellikle Robert Hooke ile olan düşmanlığı meşhurdur. Bu dedikodu ve ilginç bilgiler, Fermat, Barrow ve Newton’un sadece matematiksel başarılarını değil, aynı zamanda insan olarak zaaflarını ve ilginç yaşamlarını da gözler önüne seriyor. Şimdi bu üçlünün tanjantı nasıl hesapladıklarına bakalım. Newton'un yöntemini Modern yöntem olarak düşünebiliriz. Fermat ve Barrow’un yöntemlerini de hemen arkasından gösterelim. Eğer matematikten anlamam diyorsanız buralar sizi zorlayabilir. Dilerseniz hızlıca göz atıp sonuca doğru ilerleyebilirsiniz.

Modern Yöntem

$y=x^3+2x$ eğrisinin $(1,3)$ noktasındaki tanjantını bulmak istediğimizi varsyalım. Tanjant çizgisinin denklemini bulmak için türev kavramını kullanırız. Bir fonksiyonun türevi, eğrinin herhangi bir noktasındaki tanjant çizgisinin eğimini verir.

Fonksiyon: $y=x^3+2x$

Türev: $f^{\prime }(x)=3x^2+2$

$(1,3)$ Noktasındaki Eğim: $f^{\prime }(1)=3(1{)}^2+2=5$

Fermat'nın Yöntemi

Fermat, "sahte eşitlik" dediği bir yöntem kullanarak bu problemi ele aldı. $e$ kadar küçük bir artışı dikkate alarak fonksiyonun nasıl değiştiğini gözlemledi.

Sahte Eşitlik: $x$ yerine $x+e$ yazalım, $y=(x+e{)}^3+2(x+e)$

Fark: $f(x+e)-f(x)=(x+e{)}^3+2(x+e)-(x^3+2x)$

Sadeleştirme: $x^3+3x^{2}e+3x{e}^2+e^3+2x+2e-x^3-2x$ ">$=>$

$3x^{2}e+3x{e}^2+e^3+2e$

$e$ çok küçükse $e^2$ve e${}^3$sıfır olur: $\frac{f(x+e)-f(x)}{e}\approx 3x^2+2e$

$(1,3)$ Noktasındaki Eğim: $3(1)2+2=5$; $x$’in $1$ değeri için eğim $5$ olur.

Fermat'nın yöntemi, türevin temel fikrini, yani fonksiyonun küçük bir artışla nasıl değiştiğinden faydalanır.

Barrow'un Yöntemi

Newton’un hocası olan Barrow, aynı sonucu geometrik bir yaklaşımla buldu. $P$ noktasındaki tanjantı bulmak için önce ona çok yakın bir $Q$ noktası seçti. $Q$’nun $P$’ye uzaklığını $e$ ve $a$ uzunlukları olarak aşağıdaki grafikte işaretledi.

The History of Mathematics: An Introduction, David M. Burton, 12 Nis 2011, ISBN: 0073051896, 9780073051895, pg.391

$e$ ve $a$ ne kadar küçük olursa $Q$ ve $P$ o kadar birbirine yaklaşacak ve sonsuz küçüklükte $P$ noktası ile $Q$ noktası aynı nokta olacaktı. Bu durumda $f(x+e,y+a)=f(x,y)$ eşitliği mümkün olacaktı.

Agora Bilim Pazarı

BİLGİNİN BELİRSİZLİKLERİ

zaman kavramı her zaman değişkenli
arz eder. Çünkü “geleceğe olan inanç,
tarih içinde farklıklar göstermiştir.

Sosyal bilimin kendi ana mecrasına doğru yol almasında önemli bir rol oynayan İ. Wallerstein, Bilginin Belirsizliği kitabında bilginin sosyal bilim boyutundaki tartışmalı pozisyonunu sorguluyor. Ve bunun toplumsal mücadeleyle kazanacağı evrenin neler olacağını ortaya koymaya çalışıyor.

“… Sosyal bilimler, mevcut durumda neler olduğundan söz etmeye çalışır. Aynı anda hem toplumsal gerçekliği yansıtan, hem de bu gerçekliği etkileyen ve aynı anda hem güçlünün hem de ezilenin aracı olan bir toplumsal gerçeklik yorumu inşa eder. Sosyal bilimler bir toplumsal mücadele alanıdır; ama biricik toplumsal mücadele alanı değildir ve muhtemelen toplumsal mücadelenin en önemli alanı da değildir. Sosyal bilimlerin tarihi biçimini nasıl önceki toplumsal mücadeleler belirlemişse, bunların kazanacağı biçimi de gelecekteki toplumsal mücadelelerin sonuçları belirleyecektir.

Yirmi birinci yüzyıldaki sosyal bilimler hakkında söylenebilecek tek şey, onun entelektüel açıdan heyecan verici, toplumsal açıdan önemli ve su götürmez biçimde çekişmeli bir alan olacağıdır.”

Bu kitap, böylesi belirsiz bir bilginin parametrelerini araştırma çabası olmasının yanı sıra bu bilginin değerinin attırılması ve onun bireysel ve kolektif ihtiyaç, arzu ve umutlarımıza daha uygun hale getirilmesi için neler yapılabileceğini ortaya koyma girişimidir. Bilim hepimizi ilgilendiren bir macera ve fırsattır ve hepimizi ona katılmaya, onu inşa etmeye ve onun sınırlarını keşfetmeye sevk eder.

Devamını Göster

₺231.00

Satın Al Tüm Ürünler

Kurulum: $f(x+e,y+a)=f(x,y)$

Yerine Koyma: $y-a=(x-e{)}^3+2(x-e)$

Sadeleştirme: $y-a=x^3-3x^{2}e+3x{e}^2-e^3+2x-2e$

Yüksek Dereceli Terimleri Göz Ardı Etme: $-a=-3x^{2}e-2e-a=-3x^{2}e-2e$

Eğimi Çözme: $\frac{a}{e}=3x^2+2$

$(1,3)$ Noktasındaki Eğim: $3(1)2+2=5$

Barrow’un yaklaşımı, denklemi sonsuz küçükleri kullanmayı içeriyordu; bu da limitler kavramının öncüsüydü.

Fermat ve Barrow'un Yöntemlerinin Karşılaştırması

Fermat'nın ve Barrow'un yöntemleri, kalkülüsün gelişiminde kritik rol oynayan iki önemli yaklaşımdır. Fermat'nın yöntemi, sahte eşitlik kavramına dayanarak, bir fonksiyonun değişiminin minimal olduğu noktayı bulmaya odaklanmıştır. Küçük bir artış ekleyerek ve fonksiyondaki değişimi inceleyerek, Fermat, eğrideki bir noktanın eğimini etkin bir şekilde tanımlamıştır. Prosedür olarak, Fermat, $f(x+e)$ fonksiyonunu hesapladı ve ondan $f(x)$ fonksiyonunu çıkarıp $e$’ye böldü. $e$ sıfıra yaklaştığında, eğimi buldu ki bu, modern türevle benzerlik göstermektedir. Fermat’nın yöntemi, maksimum veya minimum noktada fonksiyonun değişim hızının sıfır olduğu verir, bu türevde de tam olarak böyledir.

Barrow'un yöntemi ise daha geometrikti ve sonsuz küçükler kavramını içeriyordu. Barrow, eğri üzerindeki $P(x,y)$ ve $Q(x-e,y-a)$ noktalarının koordinatlarını kullanarak, $f(x-e,y-a)=f(x,y)$ denklemi kurdu ve yüksek dereceli sonsuz küçüklerin değerinin ihmal edilebileceğini iddia etti. Bu, bize tanjant çizgisinin eğimini verdi. Ancak şöyle bir sorun vardı ki, Barrow modern türev almayı bulmasına rağmen ne bulduğunu tam olarak kendisi de kavrayamamıştı. Hatta ve hatta $e$ ve $a$’nın yüksek derecelerini ihmal etmesine rağmen bunu niye yaptığını kesin olarak bilmiyordu. Bilmiyordu çünkü bu işlem limit kavramı ile açıklanabilirdi ve o zaman limit kavramı oturmamıştı. İşte tam olarak bu yüzden, türevin tohumlarını atmasına rağmen türevi bulan kişi kendisi değil Newton olarak kabul edilmiştir.

Hem Fermat hem de Barrow’un yöntemleri, eğim ve tanjant bulmaya yönelikti, bu da diferansiyel kalkülüsün merkezi kavramlarıdır. Onların teknikleri, fonksiyonların sonsuz küçük aralıklardaki değişimini anlamanın önemini vurguladı. Bu temel fikirler, kalkülüsü formalize eden Newton ve Leibniz’i etkiledi. Bu ikisi ilerleyen zamanlarda birbirlerinden bağımsız olarak türev ve integrali buldular.

Sonuç

Fermat ve Barrow'un yöntemleri, kalkülüsün temel taşlarını oluşturmuş ve modern matematiğin kapılarını aralamıştır. Onların yenilikçi yaklaşımları, bugün birçok alanda uygulama bulmaktadır. Geçtiği konumu bildiğimiz bir göktaşının hangi anda hangi hızda olduğunu bu yöntemler sayesinde hesaplayabiliriz, böylece dünyamıza çarpıp çarpmayacağını önceden bilebiliriz. Nükleer reaktör atıklarının ne zamana kadar aktif olarak radyasyon yayacağını kesin olarak tanjantlar sayesinde hesaplayabiliyoruz. Bir hayvan çiftliği, sebze tarlası ya da bakteri çoğaltılan laboratuvarda, ölüm/doğum oranlarından popülasyonların ne zaman gereğinden fazla olacağını ve ne zaman tükeneceğini hesaplayabiliyoruz. Aort damarı içinden geçen kan akışını hesaplayabiliyoruz. Üretim yapan bir firmanın maliyet fonksiyonu ile marjinal maliyetini, marjinal arz ve marjinal karını hesaplamak için kullanıyoruz. Eğitim bilimlerinde insanların öğrenme eğrilerinden başarılarını hesaplayabiliyor, sosyolojide insanların belli trend ve modaları takip etme ve uyum sağlama davranışlarını inceleyebiliyoruz.

Bulunduğunuz odadaki ve şehrinizdeki modern hemen hemen herşey tanjantın hesaplanması sonraki gelişen bilimsel buluşlar sayesinde varlar. Bu iki devin buluşu olmasaydı muhtemelen odanız ve şehriniz 1600’lü yıllardaki ile aynı gözükecekti. Onların mirası, fonksiyonların davranışlarını anlamamızı sağlayarak, bilim ve mühendisliğin birçok alanında yenilikçi gelişmelere kapı aralamaya devam ediyor. Bu tarihi yöntemlerin anlaşılması ve karşılaştırılması, kalkülüsün evrimi ve modern matematikteki etkileri hakkında daha derin bir anlayış kazanmamıza yardımcı oldu. Son olarak, Sir Isaac Newton diğerlerinden daha ileriyi gördüysem bu devlerin omzunda yükseldiğim içindir dediği ünlü sözdeki devler Fermat ve Barrow oluyor. Newton bir ayağını Fermat’nın ötekisi sevgili hocası Barrow’un omzunda. Kendisi bu sözüyle bilimin nasıl ilerlediğini çok güzel anlatmış.