Mühendisliğin Gizli Silahı: Sonlu Elemanlar Yöntemi ile Mühendislik ve Matematiğin Günlük Hayata Etkisi

Fizik kanunları bize evrenin nasıl çalıştığını söyler. Bu kanunların kağıt üzerinde gösterimini matematik yardımı ile yapıyoruz. Kanunları matematik ile yazabilmek bize evrenin hayali kopyasını yaratmamıza olanak sunuyor. Bu hayali kopya ile olaylar gerçekleşmeden neler olabileceğini bilebiliyoruz. Bu tam bir falcılık, ancak ayakları yere basan ve her zaman doğru sonucu veren bir fal!

Dünyanın en az anlaşılan ancak buna karşın en çok bilinen teoremi $E=m{c}^2$’ye bakalım. Bu Teori kütlenin enerjiye dönüşebildiğini söyleyen kanunun gösterimidir. Bu formül çok büyük miktarda enerjinin çok küçük bir kütleden elde edilebileceğini söyler. Küçük bir kütleyi parçalayıp, atom bombası yapıp, devasa enerji açığa çıkarmadan ne kadar enerji çıkacağını bilmemizi sağlıyor. Bize gelecekte neler olabileceğini anlatıyor. Hem de yanılmadan, fal gibi ama gerçek!

Ancak her denklemi çözmek bu kadar basit olmuyor. Günlük hayatta karşılaştığımız denklemler çok daha karmaşıktır. O kadar karmaşık oluyor ki insanlık tarihi boyunca biriktirdiğimiz matematik bilgisi ile çözemiyoruz. Peki bu denklemleri çözemiyoruz diye vaz mı geçiyoruz? Tabiki de hayır! Denklemi çözemiyorsak bile çözümü tahmin edebiliyoruz. Hem de o kadar iyi tahmin edebiliyoruz ki denklemi çözmeye gerek kalmıyor. Tahminimizin hata payı o kadar küçük oluyor ki, partikte buna hata bile demiyoruz. Bu hata payını şöyle düşünün, İstanbul Ankara arasında yolculuk yapacaksınız ve mesafenin kaç kilometre olduğuna bakıyorsunuz. Yaklaşık 450 km olarak görüyoruz. Ancak hiçbir zaman 450 km 11 cm 2 mm demiyoruz. Bu kadar uzun mesafede cm ve mm’nin hiç bir önemi yok.

Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM), teorilerde geçen denklemleri çok iyi şekilde tahmin etmemizi sağlıyor. Bu denklemler arasında ısı transferi denklemi, akışkanlar mekaniği denklemleri ve katı mekaniği denkleminden bahsedeceğiz.

Isı Transferinde Sonlu Elemanlar Yöntemi

İstanbul haritası üzerinde işaretlenmiş üç nokta bulunuyor. Sol ve sağdaki noktada sıcaklığı ölçen birer istasyon bulunuyor. Ortadaki noktada ise sıcaklığı ölçen bir istasyon bulunmuyor. Ortadaki noktanın sıcaklığını tahmin etmemiz gerekirse iki istasyonun sıcaklığının ortalamasını almamız bize yakın bir cevap verecektir. Aslında rüzgarsız bir günde bize oldukça iyi bir çözüm verecektir. Bu çözüme ortalama alma metodu diyebilirsiniz ancak bu Sonlu Farklar Metodunun (FDM) en basit şekilde uygulanmasıdır. Bu yöntemin nasıl çalıştığını bir diğer yazımda anlattım. O yazıya da bakmanızı öneririm. FDM çok hızlı ve basit bir şekilde doğru sonucu verir ancak ve ancak iki nokta arasında değerler doğrusal olarak değişiyorsa. Doğrusal olarak değişmek demek ortalama alma yoluyla bulabilmek demektir. Ancak işin fiziğinde her zaman rüzgarsız bir hava olmuyor, ya da ortadan geçen boğaz akıntısı hava sıcaklığını da etkiliyor. Hatta ve hatta konutların yerleşim düzeni, yeşil alanlar ve bulutların konumu da etkiliyor. Bu sebeple doğrusal bir örüntü ile karşılaşmak çok zor. Kaldı ki doğada hemen hemen hiçbir şey doğrusal olarak değişmiyor. Bu doğrusal olmayan değişimi tahmin etmenin daha iyi bir yolunu bulduk: Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM).

Google Earth

Bir anlığına üç nokta arasındaki her milimetrede sıcaklığı bildiğimizi düşünelim. Bu sıcaklık daha önce saydığımız birçok nedenden dolayı doğrusal olarak çıkmayacaktır. Sıcaklık bilgisini bir grafiğe dökecek olursak aşağıdaki gibi ilginç şekilli bir eğri olurdu ve sürekli değişirdi.

2. noktadaki sıcaklığı FDM ile bulmak isteseydik 1. ve 3. noktayı birleştiren bir çizgi çizecektik. Bu çizginin en orta noktası bize ortalama değeri verir. Bir sonraki grafikte bu çizgiye bakalım.

Sıcaklık değerini ortalama alarak 19 derece bulduk. Gerçek değerden 0.25 derece daha yüksek ancak oldukça iyi bir tahmin değil mi? Günlük hayatta iş görecek kadar iyi bir tahmin. Ancak çok daha hassas işlemler yapmamız gerekirse hata payımızı düşürmemiz gerekecek. Daha hassas neler olabilir ki? Sadece çeyrek derece! Hava durumunu tahmin etmek yerine bilgisayar çipi soğutucusu tasarımı yaparsanız, formula 1 motorunun verimliliğini arttırırsanız ya da uzaya bir roket gönderirseniz bu küçük farklar çok önemli!

Daha iyi bir tahmin nasıl yapılabilir? İki nokta arasında değişimin doğrusal olmadığını gerçeğini kabul edip, burayı ikinci dereceden bir denklem ile tahmin etmeye çalıştığımızda metodumuzun adı artık Sonlu Elemanlar Yöntemi oluyor (FEM). Grafikte kırmızı çizgi ile gösterilen çizgi doğrusal olmayan yeni tahminimizdir. 2. noktadaki sıcaklık değerine çok daha yaklaştık! Hata payımızı FEM ile çok çok daha azalttık.

FEM metodu aynı mantıkla akışkanlar mekaniği ve katı mekaniği denklemlerinin çözümleri için de kullanılıyor. En yaygın kullanım alanı yüksek türev derecesine sahip olduğu için katı mekaniği denklemleridir. Isı ve akışkanlar mekaniği denklemlerinde ikinci dereceden türev bulunurken, katı mekaniği denklemlerinde 4. dereceden türev bulunmaktadır.

FEM’in avantajları bununla da bitmiyor. FEM, çok daha iyi tahminler yapabildiği gibi karmaşık geometrileri de çok iyi modelleyebiliyor. Peki bunu nasıl yapıyor? Tekrar istanbul haritamıza bakalım.

Bu haritada sıcaklık ölçümü yaptığımız üç nokta bulunuyor. Gerçek hayatta da ölçüm yapılan konumlar düz bir çizgi üzerinde ya da bir karenin dört noktasında muntazamn bir şekilde bulunmıuyor: şehrin çok farklı yerlerinde oluyorlar. Üçgenimiz içerisinde kalan alandaki sıcaklık dağılımını hesaplamak istediğimizde FEM metodu üçgeni daha küçük üçgenlere bölebiliyor!

FDM, sıcaklık dağılımını bulmak istendiğimiz alanı sadece küçük karelere bölebilirken, FEM ile küçük üçgenlere bölebiliyoruz. Bu da bize çok karmaşık geometrilerde çalışma imkanı sağlıyor.

Akışkanlar Mekaniği ve Sonlu Elemanlar Yöntemi

Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM), sadece katı cisimlerin değil, aynı zamanda akışkanların gizemlerini çözmek için de harika bir yardımcıdır. Hayal edin ki bir nehirdeki akıntıyı, bir su damlasının yaprak üzerindeki yolculuğunu ya da bir uçak kanadı etrafındaki hava akışını anlamaya çalışıyorsunuz. İşte FEM, bu tür durumları modelleyerek akışkanların davranışlarını keşfetmemize olanak tanır.

Örnek vermek gerekirse, bir su parkındaki kaydırakları düşünün. Su, karmaşık yollar ve dönüşlerle dolu kaydıraklardan nasıl akar? Sonlu Elemanlar Yöntemi kullanarak, bu suyun hızını, basıncını ve akış yönünü simüle edebiliriz. Böylece mühendisler, daha eğlenceli ve güvenli kaydıraklar tasarlayabilir.

Bir diğer örnek, araba tasarımındaki aerodinamik testlerdir. FEM, bir aracın etrafındaki hava akışını modelleyerek, aracın aerodinamik performansını optimize etmek için kritik bilgiler sağlar. Bu, arabanın daha az yakıt tüketmesine ve daha hızlı gitmesine olanak tanır—herkes kazanır!

Son olarak, çevre mühendisliği alanında, petrol sızıntılarının deniz suyuna yayılma biçimini anlamak için FEM'den yararlanılabilir. Bu modelleme, sızıntının potansiyel etkilerini değerlendirir ve temizleme çalışmalarını yönlendirmek için hayati öneme sahiptir.

Aşağıda, uçak kanadının şekline bir göz atalım. Uçak kanadı, üst yüzeyi alt yüzeyine göre daha kavisli olarak tasarlanmış ve açılı olarak yerleştirilmiştir. Bu özel tasarım, hava moleküllerinin kanadın altından geçerken kanada çarparak onu yukarıya doğru itmesini sağlar.

Tec-science

Bu kuvvete "kaldırma kuvveti" diyoruz ve işte bu kuvvet, tonlarca metalin gökyüzünde süzülmesini sağlıyor. Bu etkiyi tecrübe ederek daha iyi anlayabilirsiniz. Arabada yolculuk ederken elinizi pencereden dışarı çıkarıp bir uçak kanadı gibi davranmasını sağlayabilirsiniz. Elinizin açısını ayarlayıp rüzgarın onu yukarıya doğru kaldırdığını göreceksiniz! Eliniz bir uçak kanadı kadar büyük olsaydı ve yeterince hızlı sürseydiniz arabanız havalanabilirdi!

Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM) ile uçak kanadının etrafındaki hava akışını modelleyerek, bu kaldırma kuvvetinin miktarını, kanadın farklı bölümlerindeki hava hızını ve basıncını detaylı bir şekilde analiz edebiliriz. Bu analizler, mühendislerin daha verimli, güvenli ve hızlı uçaklar tasarlamalarına imkan tanır. Hava akışını görselleştirmek, uçak kanadının sihirli dünyasında bir tur atmaktan farksızdır—her bir detay, gökyüzünde nasıl süzüleceğimizi belirler.

Katı Mekaniği ve Sonlu Elemanlar Yöntemi

Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM), katı mekaniklerinde, özellikle karmaşık yapıların, örneğin insan kemiklerinin, nasıl davrandığını anlamak için çok değerli bir araçtır. İnsan kemiği, üzerine uygulanan kuvvetler altında ne kadar esneyebileceği ve ne kadar yüke dayanabileceği gibi soruların yanıtlarını araştırırken FEM'den yararlanılır. Bu yöntem, kemik gibi karmaşık yapıları küçük geometrik şekillere, örneğin üçgenlere, böler. Bu küçük parçalara ayrılmış model, gerçekçi yüklemeler altında nasıl tepki vereceği üzerine detaylı bilgiler sunar. FEM kullanarak, kemiğin her bir bölgesinin stres ve deformasyon seviyelerini hesaplamak mümkündür. Bu da, örneğin tıbbi implant tasarımlarında veya kaza sonrası hasar analizlerinde oldukça faydalıdır. Bu analizler sayesinde, kemiğin hangi bölgesinin daha zayıf veya daha güçlü olduğu belirlenebilir, böylece hem tedavi yöntemleri hem de koruyucu önlemler daha etkin bir şekilde planlanabilir.

Wikimedia

Depremler, yer kabuğunun dramatik hareketleridir ve binalar bu hareketlerin ana sahne oyuncularıdır. Peki, bu yapılar sarsıntılı bir gösteride nasıl performans sergiler? İşte FEM burada devreye giriyor.

Binaların deprem anında nasıl tepki vereceğini anlamak, bir nevi mühendislik altyapısını sınayan bir test gibidir. FEM, binaları sanki LEGO bloklarıymış gibi küçük üçgen elemanlara ayırarak, her bir parçanın sarsıntı sırasında nasıl davranacağını tahmin eder. Bu yöntem sayesinde, bina tasarımcıları potansiyel zayıf noktaları görebilir ve bu alanları güçlendirerek yapının genel dayanıklılığını artırabilirler. Isı transferinde sıcaklık bilgisini bulmaya çalıştığımız gibi deprem anında ne kadar sarsıldığını ve sarsıntı sırasında yıkılıp yıkılmayacağını önceden tahmin edebiliriz.

Gfai Tech

Örneğin, bir gökdelen düşünün. Bu yapı, rüzgar ve deprem gibi etkilere maruz kaldığında nasıl sallanır? FEM kullanarak, mühendisler binanın tepesinden tabanına kadar her katta oluşacak stres ve deformasyonları hesaplayabilir. Bu detaylı analiz, gökdelenin tasarımını optimize etmek ve sismik güvenlik özelliklerini artırmak için hayati öneme sahiptir.

Agora Bilim Pazarı

MİKROELEKTRONİK DEVRELER (SEDRA / SMITH)

Devamını Göster

₺1,633.00

Satın Al Tüm Ürünler

Ayrıca, FEM teknolojisi köprüler gibi diğer yapısal unsurların deprem güvenliğini değerlendirirken de kullanılır. Köprü ayaklarının ve kirişlerinin nasıl bir yük taşıdığını ve bu yükler altında nasıl hareket edeceğini modelleyerek, depreme dayanıklı yapılar geliştirilir.

Sonuç olarak, FEM ile yapılan bu simülasyonlar, şehirlerimizi daha güvenli hale getiriyor. Bu simülasyonlar sayesinde mühendisler, binaları ve köprüleri sanki bir video oyununda karakterleri güçlendirir gibi, depreme karşı daha dirençli hale getirebilirler. Yani FEM, sadece bir hesaplama aracı değil, aynı zamanda bir kahramanlık hikayesinin gizli kahramanıdır!

Mühendisliğin Gizli Silahı

Sonuç olarak, Sonlu Elemanlar Yöntemi (FEM), fizik kanunlarını matematiksel olarak modelleyerek evrenin karmaşık olaylarını anlamamıza yardımcı oluyor. FEM, sadece teorik bir araç olmanın ötesinde, gerçek dünyadaki zorlukları çözmede bir köprü görevi görüyor. Isı transferinden akışkanların dinamiklerine, katı cisimlerin davranışlarından yapısal mühendisliğe kadar birçok alanda güvenilir tahminler ve çözümler sunuyor. Bu yöntem sayesinde mühendisler, bilim insanları ve tasarımcılar, geleceği şekillendiren inovasyonlar yapabiliyor ve bu süreçte hem güvenlik hem de verimlilik standartlarını yükseltiyorlar. Sonlu Elemanlar Yöntemi, zorlu problemleri aşmamızı sağlayan, bilimin ve teknolojinin sınırlarını zorlayan güçlü bir araçtır. Bu, bize sadece bilim ve mühendislikte değil, hayatın her alanında cesur adımlar atma gücü veriyor. FEM, gerçekten de modern dünyanın gizli ama etkili silahlarından biridir.