Karmaşık Sayılarda sinus ve kosinus Fonksiyonları

Kısaca Reel Sayılarda sinus ve kosinus

Bunları herkes biliyor bu yüzden fazla uzatmaya gerek yok. Kısaca $sin$ ve $cos$ birim çember üzerindeki $x$ ve $y$ uzunluklarının belli oranları. Her zaman $0$ ve $1$ arasındalar yada eşitler. Artık okullarda ezberletilen $si{n}^2(x)+co{s}^2(x)$ gibi birkaç tane formul.

Karmaşık Sayılarda sinus ve kosinus

Artık az önceki kuralların hepsinden bağımsızız! $sin(z)=42$ de olur $7$ de olur $3^{\pi +e^{23}}$ hatta karmaşık sayılarda olur! Nasıl mı? Euler eşitliğini kullanacağız! Tabikide L. Euler tarafından bulunan bu eşitlik çok inanılmaz (şaka tabiki inanılmaz değil ispatımız var ve gayet matematiksel şekilde kanıtlanabilir bir durum!). Peki ne der bu eşitlik?

$e^{i\cdot x}=cos(x)+i\cdot sin(x)$

Hem ispatı hemde daha fazla fazla bilgi için bu gönderiye bakabilirisiniz. Peki bu ne işe yarayacak? Öncelikle bir şey daha yapacağız: $x$ yerine $-x$ yazalım.

$e^{-i\cdot x}=cos(x)-i\cdot sin(x)$

$cos$ çift ve $sin$ tek fonksiyon olduğu için böyle! Şimdi bunları taraf tarafa topluyalım ve $2$ ye bölüp $cos(x)$'i bulalım.

$\frac{e^{i\cdot x}+e^{-i\cdot x}}{2}=cos(x)$

Aynısını $sin(x)$ için yaparsak:

$\frac{e^{i\cdot x}-e^{-i\cdot x}}{2i}=sin(x)$

Bunları kullanarak herhangi bir değer için $sin$ ve $cos$ değerini bulabilirsiniz! $e^{i\cdot x}$ ye t deyip sonra çıkan ikinci dereceden denklemi t için çözüp sonla iki tarafı doğal logaritmaya alıp bide $-i$ ile çarptınız mı işlem tamam!