e Sayısı Neden İrrasyoneldir?

$e$ sayısı özellikle logaritma ve üstel sayılar içeren konularda sıklıkla gördüğümüz bir sabittir. Doğrudan doğruya tanımını yapmak zor olsa da şu özelliği sağlayan $0$'dan farklı sayıyı $e$ diye tanımlamakta pek bir sakınca yoktur:

$\frac{d}{dx}{e}^x=e^x$

üstel fonksiyon olan türevinin kendine eşit olması $e$ sayısının ana özelliklerinden birisi olarak söylenebilir. Hatta bir $c_1$ sabiti için $c_1{e}^x$ şeklinde olmayan hiçbir fonksiyon bunu sağlayamaz. Kısaca kanıtlamak gerekirse:

$\frac{d}{dx}f(x)=f(x)$

$\frac{\frac{d}{dx}f(x)}{f(x)}=1$

$\int \frac{\frac{d}{dx}f(x)}{f(x)}dx=\int 1dx$

$\int \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}dx=\int 1dx$

Şimdi $f(x)=u$ diyerek değişken değiştirme yaparsak $f^{\prime }(x)dx=du$ gelir ve ikinci integrali çözersek şu denkliğe ulaşırız:

$\int \frac{1}{u}du=x+C_1$

İlk integral $\ln (u)+C_2$ olarak çıkar o zaman:

$\ln (f(x))+C_2=x+C_1$

Şimdi $x$'li terimleri bir tarafa toplayalım:

$\ln (f(x))-x=C_1-C_2$

Burada $x$'lerin sadeleşip bir sabit vermesinin tek yolu $f(x)=C_3{e}^x$ olmasıdır. Bu durumda:

$\ln (C_3)+\ln (e^x)-x=\ln (C_3)=C_1-C_2$

İşte bu kadar! Bu yüzden e'nin tanımı olarak "türevi kendine eşit olan fonksiyon" demekde sorun yok.

Peki bu sayı neden irrasyonel olmaktadır?

Kanıt

Taylor Serisi ile $e^x$'i sonsuz toplam olarak yazalım:

$e^x=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

Şimdi eğer $e$ rasyonelse $a/b$ ($a,b\ne 0\in \mathbb{Z}$) şeklinde yazılabilir. O zaman $e^{-1}$ de $b/a$ şeklinde yazılabilir. Şimdi Taylor Serisinde $x=-1$ için bakalım:

$e^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n!}$

Şimdi sonsuz toplamı iki farklı toplam şeklinde yazalım. $0$'dan $a$'ya ve $a+1$'den $\infty$'ye şeklinde ve bu yoldan çelişki elde etmeye çalışalım:

$e^{-1}=\frac{b}{a}=\sum _{n=1}^a\frac{(-1{)}^n}{n!}+\sum _{n=a+1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n!}$

O zaman sonlu toplamı sola alıp sonsuz toplamı tek başına bırakalım:

$\frac{b}{a}-\sum _{n=1}^a\frac{(-1{)}^n}{n!}=\sum _{n=a+1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n!}$

Her tarafı $(-1{)}^{a+1}a!$ ile genişletelim:

$\frac{b(-1{)}^{a+1}a!}{a}-(-1{)}^{a+1}a!\sum _{n=1}^a\frac{(-1{)}^n}{n!}=b(-1{)}^{a+1}(a-1)!-(-1{)}^{a+1}a!\sum _{n=1}^a\frac{(-1{)}^n}{n!}$

Toplamı da açarsak:

$b(-1{)}^{a+1}(a-1)!-(-1{)}^{a+1}a!\sum _{n=1}^a\frac{(-1{)}^n}{n!}=b(-1{)}^{a+1}(a-1)!-(-1{)}^{a+1}a!(\frac{1}{0!}-\frac{1}{2!}\dots \frac{(-1{)}^{a-1}}{(a-1)!}+\frac{(-1{)}^a}{(a)!})$

Toplamda her paydanın $(-1{)}^{a+1}a!$ ile sadeleşebildiğini görüyoruz. Yani sonuç bir tam sayı çıkıyor. Bir de diğer sonsuz toplama bakalım:

$(-1{)}^{a+1}a!\sum _{n=a+1}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{n!}=(-1{)}^{a+1}a!(\frac{(-1{)}^{a+1}}{(a+1)!}+\frac{(-1{)}^{a+2}}{(a+2)!}\dots )=\frac{(-1{)}^{2a+2}}{a+1}+\frac{(-1{)}^{2a+3}}{(a+1)(a+2)}+\frac{(-1{)}^{2a+4}}{(a+1)(a+2)(a+3)}\dots$

Gördüğünüz gibi bu sefer de tam sayı olmayan bir rasyonel sayı elde ettik. Ama az önce bir tam sayı almıştık. Yani bir tam sayı bir kesirli sayıya eşit çıktı. Buradan da çelişki gelir. Demekki bu şekilde $a$, $b$ tam sayıları seçilemiyor. Buradan da $e$'nin irrasyonel olduğu çıkar.