Matematiğin En Güzel Formülü: Euler Formülü Nedir?

Matematikteki 5 Önemli Sabiti Bir Araya Getiren Euler Formülünün Anlamı Ne?

Matematiğin En Güzel Formülü: Euler Formülü Nedir?
Yazar Grant Sanderson  MehmetDemiryay Altyazı Çevirmeni Mehmet Demiryay
5 dakika
10,432 Okunma Sayısı
Notlarım
Reklamı Kapat

Meşhur matematik sabitleri dendiğinde akla gelen 5 sayı vardır: ee, π\pi, ii, 00 ve 11. Bunları kısaca hatırlayacak olursak:

  • Euler Sabiti (ee): 2.71828...2.71828... diye giden bu sayı, özellikle doğal logaritma ve üstel sayılar gibi kavramlarda çok büyük öneme sahiptir. Transendental bir sayı olan Euler sabiti, hiçbir sonu olmaksızın uzayıp gitmektedir. Euler sayısıyla ilgili çok daha fazla bilgiyi buradan alabilirsiniz.
  • Pi Sayısı (π\pi): 3.14159...3.14159... diye giden bu sayı, herhangi bir çemberin çevresinin çapına oranı olarak tanımlanabilir. Tıpkı Euler sayısı gibi transandental bir sayı olan pi sayısının da bilinen bir sonu yoktur. Pi sayısı ile ilgili çok daha fazla bilgiyi buradan alabilirsiniz.
  • Hayali Sayı Katsayısı (ii): −1\sqrt{-1} olarak tanımlanan bu sayı, karmaşık sayı sisteminde bir sayının "hayali" olarak ifade edilen kısmını tanımlamakta kullanılır.
  • Sıfır (00): Matematikte son derece merkezi bir role sahip olan bu çift doğal sayı, ne pozitif ne de negatif olan bir sayıdır. Genellikle "boş" veya "hiç" kavramları ile ilişkilendirilir. Toplama işleminin etkisiz elemanı olmasından ötürü bir sabit olarak görülebilir.
  • Bir (11): "Birim sayı" olarak bilinen bu en küçük pozitif tam sayı, herhangi bir şeyin tek başına olmasını ifade eder. Sıfır olmayan ilk doğal sayıdır. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olmasından ötürü bir sabit olarak görülebilir.

Elbette matematikte burada saydığımızdan çok daha fazla sayıda sabit vardır; ancak şüphesiz bu beşi, matematiğin temelinde yer alan sabitlerdir. Normalde birbirinden tamamen alakasız gibi gözüken bu sayılar, sıra dışı bir formülde bir araya gelirler:

eiπ+1=0\LARGE{e^{i\pi}+1=0}

Son derece karmaşık ve hatta "kaotik" sayıları bir araya getirerek, son derece zarif bir şekilde en basit ve en temel sayılara ulaşan bu yalın formül, tarih boyunca birçokları tarafından "Shakespearsı bir güzellik" veya "matematiğin en güzel formülü" gibi ifadelerle nitelendirilmiştir.

Reklamı Kapat

Euler Formülü Ne Anlama Geliyor?

Dikkat edebileceğiniz gibi, aslında formülün söylediği şey şudur:

eiπ=−1\LARGE{e^{i\pi}=-1}

Bunu anlamak için, 3Blue1Brown tarafından çekilen ve tarafımızdan Türkçe altyazılandırılan aşağıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Bu video 3Blue1Brown tarafından hazırlanmış, Evrim Ağacı tarafından altyazılandırılmıştır. Videoyu faydalı bulduysanız, aşağıdaki kaynak bağlantısına tıklayarak 3Blue1Brown'a beğeni atabilir ve takip edebilirsiniz.
3Blue1Brown

Aslında yukarıdaki formül, matematikte oldukça meşhur olan ete^{t} şeklinde ifade edilebilecek üstel fonksiyonun bir versiyonudur. Bu ifadeyle ilgili en meşhur olan şey, lise veya üniversite matematik derslerinden hatırlayacağınız üzere, ete^t ifadesinin türevinin kendisine eşit olmasıdır. Bir diğer deyişle:

ddt(et)=et\LARGE{\frac{d}{dt}(e^t)=e^t}

Bunu trigonometrik fonksiyonlardan yola çıkarak Euler Formülü'ne ulaştırmak mümkün; ancak daha eğitici bir yolu, 3Blue1Brown tarafından takip edilen geometrik yöntemdir. Çünkü o sayede, formülü zihnimizde görselleştirmemiz ve fiziksel bir gerçeklik ile ilişkilendirmemiz mümkün olur. Başlayalım:

Öncelikle matematikteki türev kavramının ne olduğunu hatırlayalım: Türev, değişimi ölçen bir araçtır ve buradaki yazımızdan konuyu tam olarak anlamanız mümkün olabilir. Buna ek olarak, fizikteki temel bir gerçeği de hatırlayabiliriz: Konumun zamana göre değişimi (türevi) hıza eşittir. Zaten bu nedenle hız kavramından, örneğin "1 saniyede 10 metre ilerleme" şeklinde bahsederiz. Yani zamana bağlı olarak konumun değişimi... Hızın zamana göre türevi (değişimi) ise ivmedir; ancak neyse ki Euler Formülü'nü anlamak için ivmeye ihtiyacımız olmayacak.

Bu durumda ete^t ifadesinin bir cismin (örneğin bir arabanın) konumunu belirttiğini varsayarsak, karşımıza ilginç bir gerçek çıkıyor: Bir şeyin türevinin kendine eşit olması demek; fiziksel bir bağlamda düşünecek olursak, bir cismin konumunun her zaman hızıyla orantılı olması demektir! Dolayısıyla bunu, başlangıç noktasından 10 metre uzaktaki bir cismin hızının saniyede 10 metre olması, cisim 20 metre uzağa ulaştığında hızının da saniyede 20 metreye çıkması ve bu şekilde düzenli olarak, mesafeyle doğru orantılı bir biçimde artması şeklinde de düşünebiliriz. Yani hızımız, başladığımız noktadan uzaklaştıkça, uzaklaşma miktarımıza eşit oranda artmaktadır. Bu tarz bir artış dengelidir ve kademeli olarak hızın (ve tabii ki mesafenin) artmasıyla sonuçlanır.

Reklamı Kapat

Eğer ete^t yerine e2te^{2t} olursa, başlangıç noktasından uzaklaşıldıkça, hızımız uzaklaşma miktarımızdan 2 kat daha hızlı artar. Çünkü e2te^{2t} ifadesinin türevi, 2e2t2e^{2t}'dir. Yani hızımız, konumumuzun her zaman 2 katıdır. Örneğin başlangıç noktasından 10 metre uzaktayken, hızımız saniyede 20 metredir. Başlangıç noktasından 30 metre uzağa ulaştığımızda, hızımız saniyede 30 metre değil, saniyede 60 metre olur. Bu, görebileceğiniz gibi hızla kontrolden çıkan, müthiş hızlı büyüyen bir hızlanmadır (ve uzaklaşmadır).

Eğer ete^t yerine e−0.5te^{-0.5t} olsaydı, bu defa hızımız ile konumumuz birbirine zıt olurdu; çünkü e−0.5te^{-0.5t} sayısının türevi −0.5e−0.5t-0.5e^{-0.5t}'dir. Sayının önündeki eksi işareti, hızımız ile konumumuzun zıt yönde olması anlamına gelir. Yani başlangıç noktasından 10 metre uzaktaysak, hızımız ters yönde saniyede 5 metre demektir. Başlangıçtan 5 metre uzağa geldiğimizde, hızımız saniyede 2.5 metreye düşer. Böylece hızımız durmaksızın azalarak, giderek başlangıç noktasına yakınsarız.

Bu durumda, aa'nın herhangi bir sayı olabildiği eate^{at} ifadesinde, aa yerine ii yazacak olursak elde ettiğimiz eite^{it} ifadesi nasıl bir hız/konum ilişkisi ifade ederdi? eite^{it} ifadesinin türevi ieitie^{it}'dir. Bir vektörün (örneğin hız vektörünün) ii ile çarpılması, onun sayı doğrusundan çıkarak, bir ekseni gerçek sayılar, diğer ekseni hayali sayılar olan karmaşık düzlemde 90o döndürülmesi anlamına gelir. Bu nedenle, artık başlangıç noktasından ulaştıkça, hızımız gittiğimiz yön ile aynı doğrultuda değil, ona 90o açıda olur. Bu da, hareket halinde olan cismin (örneğin aracımızın) sürekli bir daire etrafında dönmesi demektir. Tıpkı bir ipin ucuna bir kütle bağlayıp, tek bir merkez etrafında (mesela başınızın üzerinde) durmadan döndürmenizde olduğu gibi!

Bu dairesel hareket, aradan π\pi kadar süre geçtiğinde, yani eiπe^{i\pi} düzeyine ulaştığında, konumumuz, ilk başladığımızdan tam 180o ters olur. Yani 1 birimlik konum vektörümüz 0'dan başlayıp 1'e doğru işaret etmek yerine, 0'dan başlayıp -1'e işaret eder. Bu ne demektir?

Reklamı Kapat

eiπ=−1\LARGE{e^{i\pi}=-1}

Bunu da yeniden düzenleyecek olursak:

eiπ+1=0\LARGE{e^{i\pi}+1=0}

İşte! Euler Formülü'nü geometrik olarak göstermiş olduk. Tabii ki yukarıdaki videoda çok daha rahat anlayabilirsiniz; ancak yazılı olarak da anlatarak takip edebileceğiniz bir metin oluşturmaya çalıştık.

Artık "matematiğin en güzel, en zarif, en sıra dışı" formülünün ne anlama geldiğini ve neyi ifade ettiğini biliyorsunuz!

Okundu Olarak İşaretle
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 16
  • Muhteşem! 10
  • Bilim Budur! 4
  • Merak Uyandırıcı! 3
  • İnanılmaz 2
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 1
  • Güldürdü 1
  • Umut Verici! 1
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
  1. Türev İçerik Kaynağı: 3Blue1Brown | Arşiv Bağlantısı

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 29/07/2021 06:20:12 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/8250

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Reklamı Kapat
Size Özel
İçerikler
Instagram
Cinsellik Araştırmaları
Ahlak
Deprem
Evrim Kuramı
Kütleçekimi
Bilim Tarihi
Astronomi
Küresel Salgın
Yıl
Moleküler Biyoloji Ve Genetik
Sağlık Bakanlığı
Teori
Toplumsal Cinsiyet
Işık Hızı
Evrimsel Antropoloji
Duygu
Ağız
Çeşitlilik
Göz
Evrimleşme
Yemek
Oyun Teorisi
Hızlı
Elektrik
İspat Yükü
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), 2010 yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
Geri Bildirim Gönder
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Sizi Takip Ediyor

Devamını Oku
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın