Gece Modu

Bu türev bir içeriktir. Yani bu yazının omurgası, 3Blue1Brown isimli kaynaktan çevrilerek dilimize uyarlanmıştır; ancak "çeviri" içeriklerimizden farklı olarak, bu içerikte orijinal metin birebir korunmamıştır. Anlatım ve konu akışı gibi detaylar Evrim Ağacı yazar(lar)ı ve/veya editörler tarafından güncellenmiş, değiştirilmiş ve/veya geliştirilmiştir. Yazar, kaynaktan alınan metin omurgası üzerine kendi örneklerini, bilgilerini, detaylarını eklemiş; içeriği ve anlatımı zenginleştirmiş ve/veya çeşitlendirmiş olabilir. Bu ek kısımlarla ilgili kaynaklar da, yazının sonunda gösterilmiştir. Metnin omurgasını oluşturan kaynağı, orijinal dilinde okumak için lütfen yukarıdaki bağlantıya tıklayınız. Bu içerik, diğer tüm içeriklerimiz gibi, İçerik Kullanım İzinleri'ne tabidir.

Meşhur matematik sabitleri dendiğinde akla gelen 5 sayı vardır: ee, π\pi, ii, 00 ve 11. Bunları kısaca hatırlayacak olursak:

  • Euler Sabiti (ee): 2.71828...2.71828... diye giden bu sayı, özellikle doğal logaritma ve üstel sayılar gibi kavramlarda çok büyük öneme sahiptir. Transendental bir sayı olan Euler sabiti, hiçbir sonu olmaksızın uzayıp gitmektedir. Euler sayısıyla ilgili çok daha fazla bilgiyi buradan alabilirsiniz.
  • Pi Sayısı (π\pi): 3.14159...3.14159... diye giden bu sayı, herhangi bir çemberin çevresinin çapına oranı olarak tanımlanabilir. Tıpkı Euler sayısı gibi transandental bir sayı olan pi sayısının da bilinen bir sonu yoktur. Pi sayısı ile ilgili çok daha fazla bilgiyi buradan alabilirsiniz.
  • Hayali Sayı Katsayısı (ii): −1\sqrt{-1} olarak tanımlanan bu sayı, karmaşık sayı sisteminde bir sayının "hayali" olarak ifade edilen kısmını tanımlamakta kullanılır.
  • Sıfır (00): Matematikte son derece merkezi bir role sahip olan bu çift doğal sayı, ne pozitif ne de negatif olan bir sayıdır. Genellikle "boş" veya "hiç" kavramları ile ilişkilendirilir. Toplama işleminin etkisiz elemanı olmasından ötürü bir sabit olarak görülebilir.
  • Bir (11): "Birim sayı" olarak bilinen bu en küçük pozitif tam sayı, herhangi bir şeyin tek başına olmasını ifade eder. Sıfır olmayan ilk doğal sayıdır. Çarpma işleminin etkisiz elemanı olmasından ötürü bir sabit olarak görülebilir.

Elbette matematikte burada saydığımızdan çok daha fazla sayıda sabit vardır; ancak şüphesiz bu beşi, matematiğin temelinde yer alan sabitlerdir. Normalde birbirinden tamamen alakasız gibi gözüken bu sayılar, sıra dışı bir formülde bir araya gelirler:

eiπ+1=0\LARGE{e^{i\pi}+1=0}

Son derece karmaşık ve hatta "kaotik" sayıları bir araya getirerek, son derece zarif bir şekilde en basit ve en temel sayılara ulaşan bu yalın formül, tarih boyunca birçokları tarafından "Shakespearsı bir güzellik" veya "matematiğin en güzel formülü" gibi ifadelerle nitelendirilmiştir.

Euler Formülü Ne Anlama Geliyor?

Dikkat edebileceğiniz gibi, aslında formülün söylediği şey şudur:

eiπ=−1\LARGE{e^{i\pi}=-1}

Bunu anlamak için, 3Blue1Brown tarafından çekilen ve tarafımızdan Türkçe altyazılandırılan aşağıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Bu video 3Blue1Brown tarafından hazırlanmış, Evrim Ağacı tarafından altyazılandırılmıştır. Videoyu faydalı bulduysanız, aşağıdaki kaynak bağlantısına tıklayarak 3Blue1Brown'a beğeni atabilir ve takip edebilirsiniz.
3Blue1Brown

Aslında yukarıdaki formül, matematikte oldukça meşhur olan ete^{t} şeklinde ifade edilebilecek üstel fonksiyonun bir versiyonudur. Bu ifadeyle ilgili en meşhur olan şey, lise veya üniversite matematik derslerinden hatırlayacağınız üzere, ete^t ifadesinin türevinin kendisine eşit olmasıdır. Bir diğer deyişle:

ddt(et)=et\LARGE{\frac{d}{dt}(e^t)=e^t}

Bunu trigonometrik fonksiyonlardan yola çıkarak Euler Formülü'ne ulaştırmak mümkün; ancak daha eğitici bir yolu, 3Blue1Brown tarafından takip edilen geometrik yöntemdir. Çünkü o sayede, formülü zihnimizde görselleştirmemiz ve fiziksel bir gerçeklik ile ilişkilendirmemiz mümkün olur. Başlayalım:

Öncelikle matematikteki türev kavramının ne olduğunu hatırlayalım: Türev, değişimi ölçen bir araçtır ve buradaki yazımızdan konuyu tam olarak anlamanız mümkün olabilir. Buna ek olarak, fizikteki temel bir gerçeği de hatırlayabiliriz: Konumun zamana göre değişimi (türevi) hıza eşittir. Zaten bu nedenle hız kavramından, örneğin "1 saniyede 10 metre ilerleme" şeklinde bahsederiz. Yani zamana bağlı olarak konumun değişimi... Hızın zamana göre türevi (değişimi) ise ivmedir; ancak neyse ki Euler Formülü'nü anlamak için ivmeye ihtiyacımız olmayacak.

Bu durumda ete^t ifadesinin bir cismin (örneğin bir arabanın) konumunu belirttiğini varsayarsak, karşımıza ilginç bir gerçek çıkıyor: Bir şeyin türevinin kendine eşit olması demek; fiziksel bir bağlamda düşünecek olursak, bir cismin konumunun her zaman hızıyla orantılı olması demektir! Dolayısıyla bunu, başlangıç noktasından 10 metre uzaktaki bir cismin hızının saniyede 10 metre olması, cisim 20 metre uzağa ulaştığında hızının da saniyede 20 metreye çıkması ve bu şekilde düzenli olarak, mesafeyle doğru orantılı bir biçimde artması şeklinde de düşünebiliriz. Yani hızımız, başladığımız noktadan uzaklaştıkça, uzaklaşma miktarımıza eşit oranda artmaktadır. Bu tarz bir artış dengelidir ve kademeli olarak hızın (ve tabii ki mesafenin) artmasıyla sonuçlanır.

Eğer ete^t yerine e2te^{2t} olursa, başlangıç noktasından uzaklaşıldıkça, hızımız uzaklaşma miktarımızdan 2 kat daha hızlı artar. Çünkü e2te^{2t} ifadesinin türevi, 2e2t2e^{2t}'dir. Yani hızımız, konumumuzun her zaman 2 katıdır. Örneğin başlangıç noktasından 10 metre uzaktayken, hızımız saniyede 20 metredir. Başlangıç noktasından 30 metre uzağa ulaştığımızda, hızımız saniyede 30 metre değil, saniyede 60 metre olur. Bu, görebileceğiniz gibi hızla kontrolden çıkan, müthiş hızlı büyüyen bir hızlanmadır (ve uzaklaşmadır).

Eğer ete^t yerine e−0.5te^{-0.5t} olsaydı, bu defa hızımız ile konumumuz birbirine zıt olurdu; çünkü e−0.5te^{-0.5t} sayısının türevi −0.5e−0.5t-0.5e^{-0.5t}'dir. Sayının önündeki eksi işareti, hızımız ile konumumuzun zıt yönde olması anlamına gelir. Yani başlangıç noktasından 10 metre uzaktaysak, hızımız ters yönde saniyede 5 metre demektir. Başlangıçtan 5 metre uzağa geldiğimizde, hızımız saniyede 2.5 metreye düşer. Böylece hızımız durmaksızın azalarak, giderek başlangıç noktasına yakınsarız.

Bu durumda, aa'nın herhangi bir sayı olabildiği eate^{at} ifadesinde, aa yerine ii yazacak olursak elde ettiğimiz eite^{it} ifadesi nasıl bir hız/konum ilişkisi ifade ederdi? eite^{it} ifadesinin türevi ieitie^{it}'dir. Bir vektörün (örneğin hız vektörünün) ii ile çarpılması, onun sayı doğrusundan çıkarak, bir ekseni gerçek sayılar, diğer ekseni hayali sayılar olan karmaşık düzlemde 90o döndürülmesi anlamına gelir. Bu nedenle, artık başlangıç noktasından ulaştıkça, hızımız gittiğimiz yön ile aynı doğrultuda değil, ona 90o açıda olur. Bu da, hareket halinde olan cismin (örneğin aracımızın) sürekli bir daire etrafında dönmesi demektir. Tıpkı bir ipin ucuna bir kütle bağlayıp, tek bir merkez etrafında (mesela başınızın üzerinde) durmadan döndürmenizde olduğu gibi!

Bu dairesel hareket, aradan π\pi kadar süre geçtiğinde, yani eiπe^{i\pi} düzeyine ulaştığında, konumumuz, ilk başladığımızdan tam 180o ters olur. Yani 1 birimlik konum vektörümüz 0'dan başlayıp 1'e doğru işaret etmek yerine, 0'dan başlayıp -1'e işaret eder. Bu ne demektir?

eiπ=−1\LARGE{e^{i\pi}=-1}

Bunu da yeniden düzenleyecek olursak:

eiπ+1=0\LARGE{e^{i\pi}+1=0}

İşte! Euler Formülü'nü geometrik olarak göstermiş olduk. Tabii ki yukarıdaki videoda çok daha rahat anlayabilirsiniz; ancak yazılı olarak da anlatarak takip edebileceğiniz bir metin oluşturmaya çalıştık.

Artık "matematiğin en güzel, en zarif, en sıra dışı" formülünün ne anlama geldiğini ve neyi ifade ettiğini biliyorsunuz!

Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Muhteşem! 8
  • Tebrikler! 13
  • Bilim Budur! 3
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 1
  • Güldürdü 1
  • İnanılmaz 1
  • Umut Verici! 1
  • Merak Uyandırıcı! 3
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 08/04/2020 09:29:01 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/8250

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Soru Sorun!
Öğrenmeye Devam Edin!
Evrim Ağacı %100 okur destekli bir bilim platformudur. Maddi destekte bulunarak Türkiye'de modern bilimin gelişmesine güç katmak ister misiniz?
Destek Ol
Gizle
Türkiye'deki bilimseverlerin buluşma noktasına hoşgeldiniz!

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
“Gerçekliğe kıyasla bilimimiz oldukça ilkel ve çocukçadır. Ancak o, sahip olduğumuz en değerli şeydir.”
Albert Einstein
İnsan Zekasının Evrimi: Neden Sadece İnsanın Beyni Bu Kadar Evrimleşmiştir?
Geri Bildirim Gönder