Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat

Türev ve İntegrali Gerçekten Anlamak: Türev Nedir? İntegral Nedir?

12 dakika
509,174
Türev ve İntegrali Gerçekten Anlamak: Türev Nedir? İntegral Nedir?
Podcast
19:25
Gülfem Akdemir
Seslendiren
76
  • İndir
  • Dış Sitelerde Paylaş
Tüm Reklamları Kapat

Türev ve integral, matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir. Günümüzde okullarda (liselerde) bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı olarak anlatılmaktadır. Özellikle de bu kavramların ne anlama geldiği öğrenciye anlatılmadan, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır. Örneğin türev için "sayının üssünü katsayı olarak önüne al ve üssü 1 azalt" denmekte, integrali anlatmak içinse "üssü 1 arttırıp, aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz" gibi kalıp halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde anlatılmaktadır.

İyi, bu işlemleri yapalım da... Neden? Ne işe yarıyor? Ya da öğrencilerin daha sık sorduğu şekliyle: Gerçek hayatta ne işimize yarayacak?

En başından şu kadarını söyleyeyelim: 21. yüzyıl itibariyle gördüğünüz teknolojilerin neredeyse istisnasız olarak her biri, türev ve integrale dayalıdır! Dolayısıyla gelin bu iki kavramın gerçekten ne olduğunu, basit bir şekilde anlayalım:

Tüm Reklamları Kapat

Türev ve İntegrali Basit Bir Örnekle Anlamak

Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki... Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız:

  • Türev, bir şeyin bir diğer şeye göre değişim miktardır. Yani türev, "değişim"i ölçmek için kullanılır. Genellikle türevi bir şeyin zaman geçtikçe ne kadar değiştiğini hesaplamak veya ifade etmek için kullanırız. Bunu az sonra örneklendireceğiz.
  • İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da "biriken değişim miktarını" ifade etmek için kullanılır.

Türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.

Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin saatte 1 veya günde 1) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranı türevdir! Zamanı saatle ölçersiniz, dersiniz ki 8 saat geçmiş, buna 8 birim zaman diyelim. Kovaya bakarsınız, boşken 8 litre dolmuş. Kovadaki bu hacim değişiminin, zamandaki değişime oranı türevdir!

Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. Eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş (ya da genel olarak, değişen hızlarda) akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır. Fakat sonuç değişmez: Eğer değişen şey her neyse, onun değişim biçimini ifade eden matematiksel bir formülünüz varsa, bunun zamana göre türevi, o şeyin zaman içinde nasıl değiştiğini ifade eder. Bu kadar basit!

Tüm Reklamları Kapat

Akan bir tavanın doldurduğu kova türev ile hesaplanabilir.
Akan bir tavanın doldurduğu kova türev ile hesaplanabilir.
Spruce

İşte tavanın akıtma hızını matematiksel olarak ifade eden formül her neyse, o formülün zamana göre "türevini almak", birim zamandaki değişim miktarını bulmanızı sağlar. Eğer ki tavan her saniye 1 damla akıtıyorsa, bu davranış V=tV=t formülüyle temsil edilebilir. Neden? Çünkü t, yani zaman her 1 birim (örneğin 1 saniye) arttığında, hacim de 1 birim (örneğin 1 damla) artacaktır. 10 saniye sonra, kovada 10 damla su bulunacaktır.

Peki ya değişim? Türevini alalım: y=ty=t formülünün t'ye göre türevi 1'dir. Bu işlemin nasıl yapıldığına dair de birçok anlatım yapılabilir; ancak lisede öğrendiğiniz düz mantıkla, bir formülün türevinin nasıl alındığını bildiğinizi varsayıyoruz. Yani y=ty=t formülünde, y'nin t'ye göre türevi, t'nin herhangi bir üssü olmadığı için, doğrudan önündeki katsayıya eşittir. Bu da 1'dir.

Bir formülün türevinin nasıl alındığını şimdilik boşverin. Sonuca odaklanın. Her saniye 1 damla akıyorsa, değişimin miktarının (türevin sonucunun) 1 olması mantıklı, öyle değil mi? Çünkü her saniye hacmin 1 damla arttığını zaten söylemiştik. Dolayısıyla türevin "1 damla" sonucunu vermesi çok normal. Çünkü türev, değişimdir!

Peki, diyelim ki kovamızın başına sandalyemizi çektik ve bir gözlem yaptık. Bu gözlem sonucunda şu verileri topladık:

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

  • İlk başta kovada su yok.
  • 1. saniye sonunda kovada 2 damla su birikti. Artış 2 damla.
  • 2. saniye sonunda kovada 8 damla su birikti. Artış 6 damla.
  • 3. saniye sonunda kovada 18 damla su birikti. Artış 10 damla.
  • 4. saniye sonunda kovada 32 damla su birikti. Artış 14 damla.
  • Ve böyle devam ediyor...

İşte bu hacim değişiminin formüle dönüştürmek isterseniz, karşınıza V=2t2V=2t^2 çıkacaktır. Örneğin 4. saniyede toplam hacmi bulmak için, t'yi 4 alırsanız, V, yani hacim 32 damla olacaktır. Gerçekten de, her saniyede damlayan miktarı birbirine ekleyecek olursanız 2+6+10+14=322+6+10+14 = 32'dir! Devam etmeden önce o tavanı tıkasanız iyi olacak, yoksa çok kısa bir süre içinde her yeri su götürecek!

Şaka bir yana, devam edelim: Bu durumda değişim miktarı için, formülün t'ye göre türevini alacak olursak, bu türev V′=4tV'=4t olacaktır. Bunu ilk etapta görmesi bir anlığına zor olabilir; ancak suyumuz düzenli olarak sızdırmak yerine, bir anda birkaç damla halinde kovamıza damlamakta. Böyle düşünecek olursanız, 1. saniye ile 2. saniye arasında geçen 1 saniyelik sürenin tamamı boyunca akıtmadığını, diyelim ki tam ortasında, yani 1.5'inci saniyede birden akıttığını varsayalım. Gerçekten de, 1.5 saniye ile 4'ü çarpacak olursak, 6 damlalık bir artış görürüz. Verilerimize bakacak olursak, 1 ila 2. saniyeler arasında 6 damla arttığını görürüz. Benzer şekilde, 3. saniye ile 4. saniye arasındaki değişimin tam da 3.5'inci saniyede olduğunu varsayarsak, 3.5×4=143.5\times{4}=14 damla olacaktır. Verilerimiz ile birebir örtüşüyor!

Ama sorabilirsiniz, ya musluk sürekli akıtsaydı? Hiç fark etmez! O zaman yukarıdaki gibi saniyelere bölünmüş bir hesap değil de, anlık olarak ölçebileceğiniz bir hesap yapardık. Bu durumda "damlalar" bazında değil de, hacim olarak, yani "litre" olarak düşünebiliriz. Formülümüz aynıdır: Eğer bir saat alıp, tam 3.2 saniyede kaç litre su biriktiğini ölçmek isterseniz, t yerine 3.2 yazabilirsiniz: V=2(3.2)2=20.48LV=2(3.2)^2=20.48L. Bu sayının, yukarıdaki ölçümümüzde 18 ila 32 damla arasında yer alması çok mantıklıdır.

Kovaya damlayan su, kovayı zamanla doldurur.
Kovaya damlayan su, kovayı zamanla doldurur.
Cranberry

Görebileceğiniz gibi değişimin yapısı basitse, türev de son derece basittir. Çoğu zaman türev, çok basit düzeyde çarpım, toplam ve üs alma işlemlerinden ibarettir. İşler zorlaşırsa, basitçe bir tabloya bakarak neyin türevinin nasıl alındığını bulabilirsiniz. Örneğin logaritmanın veya bölümün türevini ezberlemeniz şart değildir (okullar ezbere zorlasa da). Bunlar, internette 2 saniyelik bir aramayla bulabileceğiniz tablolardır! Logaritmanın türevini ezberlemek sizi dâhi yapmaz; onu nasıl kullanacağınızı bilip, bu aracı kullanarak değişim yaratmak sizi dâhi yapar. Türev gibi olun, değişim yaratın!

Kısaca: Bünyesinde değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır. Bu bakımdan türev, evrimsel biyoloji için de çok kıymetlidir. Çünkü evrim, popülasyonların gen ve özellik dağılımlarının nesiller içerisindeki değişimdir. Bu, aynı zamanda türevin tanımının ta kendisidir! Dolayısıyla matematiksel evrim çalışmalarında türev kavramı hemen her yerdedir! Türev, bir çeşit evrimdir. Evrim, popülasyonların gen ve özellik dağılımlarının zamana (veya nesillere) göre türevidir!

Görseldeki İntegrali Anlamak

İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır. Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz.

Tüm Reklamları Kapat

Aşağıdaki görselimizdeki (veya en yukarıda, ana görselimizdeki) "edebî integrali" ele alalım. Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedik.

Öncelikle, denklemde sol tarafta belirtilen "yaşam", integral işleminin sonucudur. Yani integral hesabını yaparak tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır. Burada, örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim:

Yaşam, ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir.

Bu cümlenin integral ifadesi, yukarıdaki görseldeki gibidir. Adım adım takip edelim:

Tüm Reklamları Kapat

  • Önce, değişken belirlenmelidir. Yani "Değişen şey ne?", kendimize bunu sormalıyız. Burada değişen şey, zamandır.
  • Sonrasında, hesaplamak istediğimiz şey belirlenir: mutluluk. Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz. Bunun, yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz.
  • İntegral işareti (uzunca bir S şeklinde olan ∫\int işareti) altına, değişkenin (bu durumda "zaman") başlangıcı yazılır: doğum. Elde ettiğimiz son durum: ∫dog˘um\int_{doğum}
  • Üstüne, hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır: ölüm. Son durumda formülümüz: ∫dog˘umo¨lu¨m\int_{doğum}^{ölüm}
  • İntegralin iç kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey yazılır. Bu durumda, "zaman başına düşen mutluluk" hesaplanmaktadır. Dolayısıyla "mutluluğun zamana bölümü" yazılmıştır. Benzer bir hesap, sadece "mutluluk" olarak da yapılabilirdi. Bu örnekte, zaman başına düşen mutluluk yazılmıştır. Son durumda elde ettiğimiz: ∫dog˘umo¨lu¨mmutlulukzaman\int_{doğum}^{ölüm} \frac{mutluluk}{zaman}
  • Son olaraksa, değişken Δ\Delta işaretiyle (ya da genelde "d" harfiyle) birlikte yazılır. Δzaman\Delta{zaman}, "birim zaman" demektir. Elimizde olan son formül şöyle: ∫dog˘umo¨lu¨mmutlulukzamanΔzaman\int_{doğum}^{ölüm} \frac{mutluluk}{zaman}\Delta{zaman}

İşte oldu! Zaman (ya da birim zaman) başına düşen mutluluğun birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu da yaşama eşitledik! Formülümüz, tam da görseldeki gibi: Yaşam=∫dog˘umo¨lu¨mmutlulukzamanΔzaman\text{Yaşam} = \int_{doğum}^{ölüm} \frac{mutluluk}{zaman}\Delta{zaman}

Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken; integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk değerlerinin bir toplamıdır.

Bu örnekte atlanan en temel nokta, "mutluluk" değerinin matematiksel ifadesidir. İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir. Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi. Mutluluğu nasıl tanımlayacağız? Mutluluğun matematiksel formülü nedir?

Örneğin, mutluluğu yaşamdaki ufak başarılar olarak tanımlayacak olursak, bunu "belli bir düzeni takip eden birden fazla terimin toplamı" anlamına gelen meşhur ∑ işaretiyle ifade edip, görselde "mutluluk" yerine Σ(kçk başarılar)u¨u¨\Sigma\text{(küçük başarılar)} yazabilirdik. Daha sonra bunu bir matematiksel formüle dönüştürebilir ve liselerde öğrendiğimiz yöntemleri kullanarak o formülün integralini alabilirdik.

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
Dünya Küresi: Fiziki ve Siyasi, 26 cm, Işıklı

Işığı kapalı vaziyette yeryüzünün dağlarını, ovalarını, nehirlerini kısaca fiziki durumunu gösteren küremiz, ışığı yanınca dünya ülkelerini gösteren “Siyasi Küre” görünümüne kavuşmaktadır. Öğrenciler ve öğretmenler için mükemmel bir eğitim materyali olan küremiz aynı zamanda şık bir aksesuar özelliği taşımaktadır.

  • Harita Türü: Fiziki ve Siyasi
  • Çap: 26 santimetre
  • Işık Durumu: Işıklı
Devamını Göster
₺809.00
Dünya Küresi: Fiziki ve Siyasi, 26 cm, Işıklı
  • Dış Sitelerde Paylaş

Ancak burada önemli olan, integralin nasıl alındığı değil; neden alındığı. Nasıl alındığını, basit bir formül tablosuna bakarak yapabilirsiniz. Unutmayın: İntegral tablolarını ezberlemek sizi uzman yapmaz; uzmanlık, o tabloyu nasıl kullanacağınızı bilmektir. Mutluluğa yönelik matematiksel formülünüz değiştikçe, integralin sonucu da değişecektir; ancak bu önemli değil. Mutluluğu her nasıl tanımlarsanız tanımlayın, matematiksel olarak ifade edebildiğiniz müddetçe integralini de alabilirsiniz.

Bu anlatımdaki asıl amacımızı unutmayın: Amaç, mutluluğu doğumdan ölüme kadar, ufak zaman aralıklarını takip eden bir seri halinde toplamak. Böylece "yaşam"ı elde ediyoruz. En azından edebiyatçılardan bir kısmı öyle diyor.

Mutluluğu matematiksel olarak ifade edebilir misiniz?
Mutluluğu matematiksel olarak ifade edebilir misiniz?
The Next Quarterly

Bu, gerçek hayatta gerçek sorunlarla boğuşan bilim insanlarının yaptığı şeydir. Belli bir zaman boyunca değişen parametreleri tespit ederler, bunların değişimlerini matematiksel olarak modellerler ve integrali kullanarak toplam değişim miktarını belirleyebilirler.

Grafiklerin Türev ve İntegralini Gerçekten Anlamak

Bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir. Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: "Türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir."

İyi de neden?

Türevin anlamını hatırlayın: değişim! Elimizdeki grafik (ya da "geometrik eğri"), tıpkı yukarıda anlattığımız "mutluluğun matematiksel tanımı" gibi, bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bu çizginin herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir "anındaki") değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir.

Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, tıpkı bir "kaydırak" görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. O kaydırak ne kadar "dik" ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir: Çünkü dik bir kaydıraktan, hızlı bir şekilde kayabilirsiniz. Değişim, çok hızlı olur. O teğet ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. Çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz, konumunuzun değişimi çok azdır! Yani gerçek hayattaki bir kaydırak, sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.

İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Zaten tanımı gereği, integralin "iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı" olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir.

Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: İlki, fiziktir. Liselerde ezberlediğimiz bir diğer cümleyi ele alalım: "Konum, hızın zamana göre integralidir." Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konum değişiminin verir. Anlaması, tıpkı lise sıralarında olduğu gibi zor, değil mi?

Ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir. İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre (Δx\Delta{x} veya dxdx yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir. 

Tüm Reklamları Kapat

Kalkülüs'ün Temel Teoremi'ne göre türev ve integral birbirinin tersidir. Dolayısıyla bir değişkenin önce integralini, sonra türevini alırsanız (ya da tam tersi), değişkenin kendisini elde edersiniz. Aslında bu her zaman doğru değildir; integralin sınırları da önemlidir. Ancak basitçe akılda tutmak için, bu kadar detaya ihtiyacınız şimdilik yok. İkisini birbirinin tersi olarak düşünebilirsiniz; fakat ufkunuzu bu basit zıtlıkla sınırlandırmayın. Her birinin kendi içindeki önemini, daha önemlisi anlamını kavrayın.

Bu konuda daha pek çok söz söylenebilir; ancak umuyoruz ki bu matematiksel terimlerin ne için kullanıldığını anlamanıza katkı sağlamışızdır.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
368
2
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 282
  • Muhteşem! 149
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 138
  • Merak Uyandırıcı! 89
  • Bilim Budur! 87
  • İnanılmaz 57
  • Umut Verici! 57
  • Korkutucu! 10
  • Güldürdü 8
  • Üzücü! 6
  • Grrr... *@$# 6
  • İğrenç! 4
Kaynaklar ve İleri Okuma
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 08/11/2024 01:52:16 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/2901

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Wuhan
Kitlesel Yok Oluş
Deprem
Bebek
Ölümden Sonra Yaşam
Nöron Hücresi
Çocuklar
Biyokimya
Bilinç
Farmakoloji
Süt
Hayvanlar
Sağlık Bilimleri
Coğrafya
Covıd-19
Şeker
Yeme
Bilim İnsanı
Atom
Sanat
Yıldız
Ölüm
Türleşme
Klinik Mikrobiyoloji
Aşılar
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Bugün Türkiye'de bilime ve bilim okuryazarlığına neler katacaksın?
Gündem
Bağlantı
Ekle
Soru Sor
Stiller
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Aklınızdan geçenlerin bu platformda bulunmuyor olabilecek kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
Ç. M. Bakırcı. Türev ve İntegrali Gerçekten Anlamak: Türev Nedir? İntegral Nedir?. (27 Ekim 2014). Alındığı Tarih: 8 Kasım 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/2901
Bakırcı, Ç. M. (2014, October 27). Türev ve İntegrali Gerçekten Anlamak: Türev Nedir? İntegral Nedir?. Evrim Ağacı. Retrieved November 08, 2024. from https://evrimagaci.org/s/2901
Ç. M. Bakırcı. “Türev ve İntegrali Gerçekten Anlamak: Türev Nedir? İntegral Nedir?.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, 27 Oct. 2014, https://evrimagaci.org/s/2901.
Bakırcı, Çağrı Mert. “Türev ve İntegrali Gerçekten Anlamak: Türev Nedir? İntegral Nedir?.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, October 27, 2014. https://evrimagaci.org/s/2901.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close