Eliptik Bilardo: Eliptik Bir Masada Bilardo Oyununu Sürekli Kazanmak Mümkün mü?

Bilardo oyununda kusursuz bir açılış yapmadıysanız ve profesyonel bir oyuncu değilseniz, işiniz biraz zor olabilir. Bu durumda kazanmak için biraz değişiklik yapmaya ne dersiniz? Yani dikdörtgen bilardo masasını, eliptik bir masa haline getirirsek oyunu kim kazanır? Elbette bu bir oyun olduğu için, muhakkak şans faktörünü göz önünde bulundurmalıyız. Yani isteka tutuş açınız, vuruş açınız ve bilardo toplarının kenarlara değme noktaları tamamıyla bir kaos etkisi yaratabilir. Öte yandan matematik, kazanma şansınızı artırabilir. Ama ne düzeyde? Sadece matematikten faydalanarak, bir bilardo oyununu sürekli kazanabilir miyiz?

Bilardo oyunu, üzerine topların yerleştirildiği dikdörtgen bir masada ("bilardo masası" olarak bilinir) oynanır. Bilardo oyununun birden fazla çeşidi vardır: Örneğin, cepleri (veya delikleri) olmayan ve iki kırmızı bir beyaz top ile oynanan "karambol" olarak da isimlendirilen üç top bilardosu veya cepli olarak oynanan sekiz top bilardosu gibi. Bu oyunlarda toplara, "isteka" adı verilen bir çubuğun ucuyla vurulur ve bu dürtme, vurulan topun diğer toplara çarpmasına ve masanın kenarlarından yansımasına neden olur. Gerçek bilardo, topu düz bir çizgide hareket etmeyecek (kavisli) şekilde döndürmeyi içerebilir; ancak bilardonun matematiksel çalışması genellikle yansıma ve geliş açılarının aynı olduğu durumlardan oluşur. Bu bakımdan bilardo toplarının davranışı, aynaya düşen ışığın davranışıyla modellenebilir.

pimath

Bu oyunda matematiği kullanmanın yanında sürtünme ve şans gibi faktörlerde devrede olduğu için elbette iyi bir oyuncu olmak gerekmektedir. Dolayısıyla sürekli çalışma yoluyla bu oyunda kendinizi geliştirmediyseniz veya profesyonel bir oyuncu değilseniz, kazanmakta oldukça zorlanabilirsiniz. Ancak sadece masa geometrisini değiştirmek, istemeseniz bile (veya asla kazanamayacak kadar berbat olsanız bile) kazanmanızı sağlayabilir!

Eliptik Bilardo Masası

Öncelikle eliptik bir bilardo masası için, elips adını verdiğimiz geometrik şekli ve özelliklerini bilmek gerekiyor. Elips, koniklerin ayrılmaz bir parçası olmakla beraber, özellikleri kısmen bir daireye benzemektedir. Daireden farklı olarak elips, ovaldir. Günlük hayatımızda karşımıza çıkan eliptik şekillere basit örnekler olarak, bir yumurtanın şeklinin 2 boyuttaki izdüşümünü ve bir spor stadyumu etrafındaki koşu pistini sayabiliriz. Matematiksel olarak tanımı ise, iki sabit noktaya olan uzaklıklarının toplamı sabit bir değer olan noktaların geometrik şekli olarak verilir. Söz konusu iki sabit noktaya elipsin "odakları" denir. Elipsin odakları, bilardo oyununu kolaylıkla kazanmamızı sağlayacak önemli bilgilerden bir tanesidir.

loopthegame

Eliptik bilardoda topların düşeceği ceplerden biri, işte bu odak noktalarından bir tanesine yerleştirilir. Diğer odak noktası ise, bilardo topunun başlangıçta olması gerektiği yerdir. Odaklardan birine topu, diğerine cebi yerleştirmemizin temel nedeni ise, yine yukardaki görselde bahsedilen temel geometri kuralı olan yansıma açısından kaynaklanmaktadır. İşte kazanmanız için bir fırsat: Hızı düzgün ayarlayabilirseniz, eliptik bir masada bilardo topunu cebe sokmak gerçekten çok kolaydır. The Guardian gazetesinde matematik ve bulmaca hakkında köşe yazarlığı yapan ve aynı zamanda eliptik bilardo masasının fikir sahibi olan Alex Bellos'un bizzat uyguladığı videoda bunu görebilirsiniz:

Ayrıca Bellos, neden bu masayı tasarladığını şu sözlerle açıklıyor:

Bunun nedeni, matematik ders kitaplarının da her zaman bahsettiği şeydir: Elips şeklinde bir bilardo masası yaptığınızı hayal edin. Topu bir odak noktasına koyarsanız, diğer odak noktasına mutlaka geri dönecektir.

Elbette bu durumu deneyimlemek, konuyu anlamak açısından oldukça önemli olacaktır. Dinamik bir matematik yazılımı olan Geogebra'da bu durumu deneyimlemek mümkündür. Buradan bakabilirsiniz, ancak nasıl yapılması gerektiğini açıklamaya çalışalım: "a" sürgüsü ana ekseninde (x ekseni) genişletme ve daraltma yaparken, "b" sürgüsü yedek ekseninde (y ekseni) aynı işlemi yapmaktadır. Herhangi bir ayarlama yapınca "Reset" ile yenileme yaparsak, ayarlarımız güncel olacaktır. Bu ayarlamalardan sonra "Play" tuşuna basabiliriz; ancak çok uzun süre değil, çünkü topumuzun odak noktasında bulunan cepten geçtiğini görmemiz gerekiyor. Dolayısıyla topu birkaç çarpmadan sonra durdurursak, olayı daha rahat anlayabiliriz. Ayrıca mavi noktayı odaklardan bir tanesinin üstüne getirmeyi unutmayalım. Son olarak, yön değiştirme işlemi yapacaksak, imleci eksende bulunan açık mavi noktanın (veya okun sivri kısmı) ucuna getirirsek, istediğimiz yöne çevirebiliriz. İşte hepsi bu kadar! Yazarak anlatması zor olsa da, umuyoruz ki uygulaması çok daha kolay olacaktır.

Bellos, bu masayı ürettikten sonra "Loop" adlı bir oyun tasarlamıştır. Bu oyuna birlikte bakalım.

Loop Oyunu: Eliptik Bilardo!

Bilardonun aksine, Loop oyununda sadece dört top vardır. Bir tanesi beyaz (isteka topu), bir tanesi siyah ve iki tanesi renklidir. Topların dizlimi ise şöyledir: Siyah top odakta dururken, alt ve üst bitişiğine renkli toplar yerleştirilir. Beyaz top ise siyah top (odakta olduğu için) ile cep arasında bir noktaya yerleştirilir. Aşağıdaki görselde izah etmeye çalıştığımız Loop oyun açılışını görebilirsiniz.

Loop the Game

İki oyuncu ile oynanan bu oyunun kuralları ise şöyledir: Oyun, sırayla ilerler. Birinci oyuncu, ilk olarak, seçtiği renkli topu cebe sokmaya çalışır. Başarılı olursa, siyah topu da cebe sokmaya çalışır. Eğer bunda da başarılı olduysa, oyunu kazanır. Yani seçtiği renkli topu ve siyah topu sırasıyla cebe sokmayı başaran oyuncu oyunu kazanır. Ancak seçtiği renk masadayken yanlışlıkla siyah topu cebe sokan oyuncu kaybetmiş olur.

Bellos, kazanmanın sırrının tamamen odak noktalarında olduğunu ve topları ceplere sokmak için geometriyi kullanmamız gerektiğini vurguluyor. Oyunu sürekli kazanmanın yolu ise, cebe sokmak istediğiniz topu tam da odak noktasına getirmekte yatıyor. Henüz oyun yeterince yaygın olmadığı için, bu oyunda ustalaşmanın ne kadar süreceği ve dikdörtgen bir masanın geometrisini içselleştiren bir profesyonelin bu yeni oyuna ne kadar kolay adapte olabileceğini bilmek hâlâ zor. Ama dijital ortamda kendiniz denemek isterseniz, oyunu buraya tıklayarak oynayabilirsiniz.

Bu oyunu resmen üreten kurumlar da mevcut: Onlardan biri, Waterloo Üniversitesi Matematik Bölümü. Matematik fakültesi dekanı Stephen Watt, oyunu şu şekilde yorumluyor:

Göründüğünden çok daha zor, çünkü tüm matematiksel geometrinizi devreye sokmanız gerekiyor. Matematik fakültesi için mükemmel bir oyun.

Waterloo Üniversitesi'nde üçüncü sınıf bilgisayar bilimi öğrencisi ve matematik topluluğu başkanı Jason P'ng, oyun hakkında şu sözleri söylüyor:

Her zaman masadaki odak noktasını düşünüyorum; çünkü bu, gerçekten nasıl oynadığınızın merkezinde - stratejiyi nasıl bulacağınızı belirliyor. Bence bu masa; insanlara sohbet edecek, takılacak ve topluluk oluşturacak bir yer veriyor.