Altın Oran Nedir? Doğada ve Canlılarda Altın Oran Bulunduğu İddiası Ne Kadar Gerçekçi?

23 Eylül 2014

36 dakika

181,087

Altın Oran Nedir? Doğada ve Canlılarda Altın Oran Bulunduğu İddiası Ne Kadar Gerçekçi?

Evrim Ağacı Akademi: Sahtebilim Yazı Dizisi

Bu yazı, Sahtebilim yazı dizisinin 28 . yazısıdır. Bu yazı dizisini okumaya, serinin 1. yazısı olan " Bilimin Anlamını Gölgeleyen Tehlike: Sahtebilim!" başlıklı makalemizden başlamanızı öneririz.

Yazı dizisi içindeki ilerleyişinizi kaydetmek için giriş yapın veya kayıt olun.

EA Akademi Hakkında Bilgi Al

Çağrı Mert Bakırcı

Yazar

Altın oran 1.618033... diye giden bir sayıdır. Yunanca $φ\varphi$ veya $ϕ\phi$ veya $Φ\Phi$ işaretiyle gösterilen altın oran, "kutsal oran", "ilahi oran" veya "altın sayı" gibi isimlerle bilinmektedir. Bu abartılı isimlerin nedeni, 2400 yıl önce yaşamış Öklid'e kadar giden bir süredir insanların, Evren'deki olay, olgu ve süreçlerin bu sayı etrafında şekillendiğine inanmış olmasıdır. Gelmiş geçmiş en popüler kurgu yazarlarından Dan Brown'un Da Vinci Şifresi kitabı gibi eserleri bu inancın halk arasında pekişmesine katkı sağlamıştır. Bu inanca göre altın oran, elde edilebilecek en estetik, en ilahi geometrileri vermektedir.

Altın oranı veya $φ\varphi$ sayısını elde etmenin 3 temel yolu vardır: Bunlardan ikisi geometriye, biriyse aritmetiğe dayanmaktadır. Önce geometrik altın orana bakalım. Bir şeyin altın orana uyduğunu bulmak için uzun ve kısa kenarlarının toplamını, uzun kenarına bölmeniz gerekmektedir. Örneğin elinizde, aşağıdaki gibi iki segmente bölünmüş bir doğru parçası olduğunu düşünelim:

Bu iki segmentin altın orana uyması için, aşağıdaki kriterin sağlanması gerekmektedir:

$a+ba=ab=φ\LARGE{\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\varphi}$

İşte burada altın oranın değeri, şu şekilde verilmektedir:

$φ=1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622...\varphi=1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622...$

Bu sayı, aynı zamanda aşağıdaki denklemin de çözümüdür:

$x2−x−1=0\LARGE{x^2-x-1=0}$

Bunu doğru parçası yerine dikdörtgene uyarlamak da mümkündür:

Burada da aynı oranlar geçerlidir:

Matematik ile ilgili diğer içerikler ›

$a+ba=ab=φ\LARGE{\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\varphi}$

Yukarıdaki denklemden de görülebileceği gibi, hem tüm uzunluğu büyük kenara bölmek hem de büyük uzunluğu küçük uzunluğa bölmek altın oranı vermektedir. Bu, altın oranın ilginç bir özelliğidir ve "kutsallık" iddialarını pekiştirmekte kullanılmaktadır.

Altın Oranı Nasıl Popüler Oldu?

Günümüzde insan yapımı (mimarlık, müzik, resim, vb.) birçok eserde altın oran geometrisi kullanılsa da bu sayıyı meşhur eden, geometrik yöntemler değildi. Altın oranı meşhur eden, Pisalı Leonardo, yani Fibonacci idi.

Fibonacci, 1200'lü yıllarda kendi adıyla anılan meşhur bir seri üretti. Bu seri, matematiksel olarak şu şekilde ifade edilmektedir:

$Fn=Fn−1+Fn−2\LARGE{F_n=F_{n-1}+F_{n-2}}$

1, F_0=0, F_1=1"> $n>1, F_0=0, F_1=1$

İfadenin söylemeye çalıştığı şudur: Fibonacci Serisi'nde her sayı, kendinden hemen önce gelen iki sayının toplamıdır. Mesela 0 ve 1'den başlarsak, bunları topladığımızda 1 elde ederiz. Sonra hep son 2 sayıyı toplarız:

$0 + 1 = 1$

$1 + 1 = 2$

$1 + 2 = 3$

$2 + 3 = 5$

$3 + 5 = 8$

$5 + 8 = 13$

$8 + 13 = 21$

$13 + 21 = 55$

$21 + 34 = 55$

$34 + 55 = 89$

$55 + 89 = 144$

$89 + 144 = 233$

$144 + 233 = 377$

$233 + 377 = 610$

$377 + 610 = 987$

$...$

Yani bu seride elde ettiğimiz toplamları (Fibonacci Sayılarını) açık olarak yazarsak:

$F = {1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987...}$

Fibonacci aslında bunu fark etmedi, ama 1564'te Alman matematikçi Simon Jacob, ondan bağımsız olarak da 1608'de büyük astronom Johannes Kepler, Fibonacci sayılarında sıra dışı bir şey keşfetti. Bu sayılar büyüdükçe, serideki iki ardışık sayı arasındaki oran altın orana yakınsıyordu:

$2/1 = 2$

$3/2 = 1.5$

$5/3 = 1.6666666666...$

$8/5 = 1.6$

$13/8 = 1.625$

$21/13 = 1.61538461538...$

$34/21 = 1.61904761905...$

$55/34 = 1.61764705882...$

$89/55 = 1.61818181818...$

$144/89 = 1.61797752809...$

$233/144 = 1.61805555556...$

$377/233 = 1.61802575107...$

$610/377 = 1.61803713528...$

$987/610 = 1.61803278689...$

$...$

Görebildiğiniz gibi sayılar büyüdükçe oran da 1.618'e doğru yakınsamaktadır. Aslında bu oran mutlak değildir. Fibonacci Serisi'nin başlarında oran daha büyük bir hata payına sahiptir; ancak sayılar büyüdükçe, iki sayı arasındaki oran da 1.618 sayısına giderek daha fazla yakınsar. Bu yakınsama miktarını grafikle gösterecek olursak:

Fibonacci Serisi, hızlı bir şekilde altın orana yakınsamaktadır. Burada oranlar, küçük sayının büyük sayıya oranı şeklinde verildiği için 0.618... sayısına yakınsamaktadır. Tam tersi de aynı sonucu verecektir.

Pisagorcular ve Altın Oran

Altın oranla kafayı bozmaya başlayan geometri ve matematik uzmanları, geometride çok ilginç diğer örüntüler de tespit ettiler. Mesela altın oranı kullanarak kusursuz bir pentagram çizmek mümkün:

Bir beşgende de altın oran gizli:

Bunların, matematiğin ve özellikle de tam sayılar gibi bazı sayıların kusursuzluğuna inanan, "kusursuz sayılar" diye bir konsept geliştiren, geometri ile sağlık gibi şeyler arasında bile ilişkiler olduğunu düşünen, dodekahedron gibi geometrilerin mistik güçleri olduğuna inanan Pisagorcuları ne kadar etkilediğini tahmin edebilirsiniz.^{[1], [2], [3]}

Pisagorcular ve Cinayete Neden Olan Rasyonel Sayılar!

Pisagorcular, adeta rasyonel sayılara tapıyorlardı.^[4] Rasyonel sayılar, iki tam sayının birbirine bölümüyle ifade edilebilen sayılardır. Yani "rasyonel sayı" kavramındaki "rasyonel" sözcüğü bizim günlük hayatta kullandığımız "mantıklı" veya "akılcı" anlamına gelen bir sözcük değildir. Sözcüğün kökü "ratio", yani "kesir" veya "oran" demektir. Dolayısıyla rasyonel, yani "ratio-nel" sayılar, iki tam sayının bölümü olarak ifade edilebilen sayılardır.

Örneğin 0.25 sayısını $1/4$ olarak ifade edebiliriz. Demek ki 0.25 rasyonel bir sayıdır. Kendini tekrar eden ondalıklı sayılar da rasyonel sayılmaktadır. Örneğin 0.3333... diye giden sayıyı $1/3$ olarak, kusursuz bir şekilde ifade edebiliriz. Demek ki 0.3333... sayısı da rasyoneldir. Ama mesela $π\pi$ sayısı rasyonel değildir, çünkü onu hiçbir şekilde iki tam sayının bölümü olarak ifade edemeyiz. Belki lisede $22/7$ olarak öğrenmiş olabilirsiniz; ancak bu, $π\pi$ için pek iyi bir yakınsama değildir ve ondan %0.04 oranında uzak bir sayıdır:

$22/7 = 3.14285714286$

$π=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944...\pi=3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944...$

Bu ufacık fark bile, matematiksel olarak kabul edilebilir değildir. Günümüzde matematikçiler, halen pi sayısını gerçek anlamıyla ifade edebilecek yöntemler aramaktadırlar.^{[5], [6], [7]}

Sonuç olarak Pisagorcular, bu tür rasyonel sayılara hayranlardı. İnsanların canına kast edecek kadar! İki kenarı 1 birim olan bir Pisagor üçgeninde hipotenüsün kök iki olduğunu bilirsiniz. Pisagorcular, kök ikinin de rasyonel olduğuna inanıyorlardı ve bunu ispatlamaya çalışıyorlardı. Ama Pisagorculardan olan Hippasus, kök ikinin iki tam sayının bölümü olarak gösterilemeyeceğini, yani rasyonel değil, irrasyonel olduğunu ispatlayacak kadar iyi bir matematikçiydi - ki bu, matematik tarihini değiştirdi.^{[8], [9], [10]}

Peki sonu ne oldu? Söylenene göre Pisagor, irrasyonel sayılardan bahsedenlerin ölüm cezasına çarptırılması gerektiğini söyledi ve Hippasus'nun bir kayıktan atılarak öldürülmesine göz yumdu; hatta kendisinin ittiğini söyleyenler bile mevcuttur!^{[11], [12], [13]} Gerçekten böyle mi yaşanmıştır bilinmez (konu hakkında anlatılanlar biraz tutarsız) ama öyle veya böyle bir matematikçi, anlamsız yere kutsal sayılan bir sayının kutsallığını aldı diye öldürüldü. Bunu anlatma nedenimiz, hem bilimin içinden gelse bile saçma inanışların ne kadar tehlikeli olabildiğini hatırlatmak için, hem de Hippasus, altın oran üzerinde de çalışmıştı ve onun da irrasyonel bir sayı olduğunu göstermişti.^[14] Gerçekten de altın oranı kesirli olarak ancak şöyle ifade edebiliriz (bu, en başta verdiğimiz :

$φ=1+52\LARGE{\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$

Görebileceğiniz gibi altın oran, iki tam sayının bölümü olarak ifade edilemez ve işte bu, birazdan göreceğimiz gibi, Evren'de altın oran olduğu iddiasıyla ilgili sorunların kalbinde yatmaktadır: Altın oran, 1.618 değildir! Eğer öyle olsa, $809/500$ olarak ifade edebilirdik ve sayı, rasyonel bir sayı olurdu. Ama altın oranın bir sonu yok. 1.618 veya 1.61803 sayıları, "altın oran" değildir. Altın oran, yukarıda da verdiğimiz gibi, sonsuza kadar giden şu sayıdır:

$φ=1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622...\varphi=1.618033988749894848204586834365638117720309179805762862135448622...$

Öyleyse insanlar neden her yerde altın oranı görüyorlar?

Altın Oran Kültü

İnsanlar asırlardır altın oranı mimaride, sanatta, kitaplarda, müzikte, mühendislikte ve geri kalan her türlü tasarım ürünlerinde kullandılar. Modern mimarinin babası Le Corbusier, eserlerinde altın oranı kullandı.^[15] Salvador Dali'nin Son Akşam Yemeği Ayini, açıkça altın orana uyan şekilde çizildi.^{[16], [17]} 2 asır boyunca basılan kitapların sayfa ölçüleri altın oranı takip etti; hatta bugün bile birçok kitap, kartpostal, poster altın oranda basılmaktadır.^{[18], [19], [20]} İlk empresyonist besteci olarak da bilinen Claude Debussy'nin Sudaki Yansımalar eseri altın oranı takip etmektedir.^[21] Bunun gibi onlarca, yüzlerce örnek sayabiliriz.

Dolayısıyla altın oran gibi büyülü gözüken bir sayının cazibesine kapılarak çeşitli insan yapımı ürünlerimizde bunu kullanmamız anlaşılırdır. En nihayetinde tüm bunlar, insan yapımı eserlerdir, dolayısıyla eğer "öyle olsun" diye ayarlarsak, yaptığımız ürünler de elbette altın orana uyacaktır.

Sorun, altın oran kültüne biraz fazla kapılan insanların, insan tasarımlarının ötesine geçip, doğada da altın oran olduğunu ve bunun ilahi bir anlamı olması gerektiğini iddia etmeye başladıklarında yaşandı. Yani fiziksel, kimyasal ve biyolojik olgularda da bu sayıya uyulduğunu söylediklerinde...

Çünkü bu iddiayı ileri sürüp de bunun etrafında bir kült inşa etmek, bilimin boş hipotezi ile çelişmektedir. Boş hipotez, bize şunu söyler: Bir yönde pozitif argüman veya hipotez varsa, onun tersini doğru kabul et ve sonra o tersini çürütmeye çalış. Çürütürsen, ana argümanı desteklemiş olursun. Aksi takdirde, eğer pozitif argümanı direkt doğru kabul edersen, kendini kandırabilirsin.

Örneğin "Doğada altın oran var!" gibi bir hipotez kuruyorsak, bilimde "Doğada altın oran yok!" pozisyonunu "varsayılan tutum" kabul ederiz. Sonra onu çürütmeye çalışırız. Çürütürsek ne âlâ, doğada altın oranı göstermiş oluruz. Çürütemezsek de ne güzel, bu argümanı ileri süren kişinin inancına atlayıp da kendimizi kandırmamış oluruz. Her türlü insanlık ve gerçek kazanır yani... Bilimin gücü de buradan gelir.

Ancak insan psikolojisi, çok güçlü bir sistemdir. İnsanlar olağanüstü olana ve mucizelere inanmak isterler. Hayatın tamamının mucizelerle dolu olmasını isterler. Her şeyin birbirine kusursuz bir şekilde oturmasını, olaylar, olgular ve sistemlerde hiçbir pürüz olmamasını isterler. Bu, insan türünün beyin yapısı ve çalışma prensipleri düşünüldüğünde anlaşılırdır. İşte tam da bu nedenle yine de tanıdığımız en karmaşık yapı olan beynimizin, bu kadar basit hatalara düşebildiği gerçeğini göz önünde bulundurarak, etrafımızı incelerken çok daha dikkatli ve gerçekçi olmamız gerekmektedir.

Peki, doğada altın oran olmadığı boş hipotezini çürütebilir miyiz? Nerelerde altın oranı bulabiliriz?

Doğada Altın Oran

Doğada genelde dikdörtgen, beşgen gibi geometriler görülmez (veya çok nadiren görülürler), dolayısıyla altın oranın bu alanlardaki uygulamalarını doğada bulmak oldukça zordur. Ama altın oranla üretilebilen bir diğer meşhur geometri mevcuttur: Altın spiral!

Bunu üretmek için kısa kenarı 1 birim, uzun kenarı $φ\varphi$ birim olan bir altın dikdörtgen alırız. Bu dikdörtgenin de altın orana uyduğuna dikkat ediniz. Sonrasında uzun kenarı, altın orana göre iki parçaya böleriz. Bunu yapabilmek için, $φ\varphi$ uzunluğundaki kenarın 1 birim ve $1φ\frac{1}{\varphi}$ birimlik iki parçaya bölünmesi gerekir:

Altın spirali elde etmek için altın dikdörtgeni bölmemiz gerekir.

Burada, ilginç bir bilgi daha karşımıza çıkar: $1+1φ1+\frac{1}{\varphi}$ toplamı, altın oran sayısının ta kendisine eşittir! Zaten bu nedenle yukarıda Fibonacci Serisi'nin altın orana yakınsamasından söz ederken, küçük sayıları büyük sayılara bölerek elde ettiğimiz oranın $0.6180339...$ diye giden bir sayı olduğunu gördük. Eğer $1.6180339...$ olan fi sayısının çarpım tersini ( $1/φ1/\varphi$ ) alırsak, $0.6180339...$ sayısını elde ederiz. Buna 1 tam sayısını eklediğimizde, yine $φ\varphi$ sayısına ulaşırız.

İkinci bir ilginç detay da, en başta sahip olduğumuz $φ\varphi$ uzunluğundaki kenarı 1 birim ve $1φ\frac{1}{\varphi}$ birimlik iki parçaya böldüğümüzde, bir tarafta 1:1 oranında bir kare, diğer tarafta ise $1:1φ1:\frac{1}{\varphi}$ oranında bir altın dikdörtgen kalmasıdır. Yeni altın dikdörtgeni de altın orana göre böldüğümüzde, daha da ufak bir kare ve yeni bir altın dikdörtgen elde ederiz. Bu, bize fraktal bir yapı verir; ama bunun da ötesinde, her seferinde dikdörtgenin içinde oluşan ufak karelerin kenar ölçüsünün $1φn\Large{\frac{1}{\varphi^n}}$ kuvvetleri olmasıdır. Örneğin büyük dikdörtgeni ilk böldüğümüzde elde ettiğimiz küçük dikdörtgenin uzun kenarı $1φ\frac{1}{\varphi}$ iken, bir sonraki bölümde elde ettiğimiz küçük dikdörtgenin uzun kenarı $1φ2\frac{1}{\varphi^2}$ , bir sonrakinde $1φ3\frac{1}{\varphi^3}$ ve bu şekilde devam etmektedir.

Bu tür özellikler altın orana ek bir "gizem" katıyor gibi gelse de, matematikte bu tür ilginç özellikleri yüzlerce sayı mevcuttur. Dileyen biri, onlardan birine de saplanıp kalabilir ve etrafında bir kült inşa edip, doğada her yerde bunu görebilir. Ama bu konuya birazdan döneceğiz.

İşte bu şekilde böldüğümüz dikdörtgenlerin bölüm noktalarını birbiriyle birleştirdiğimizde, karşımıza bir spiral çıkar. İşte altın spiral denen bu spiral, doğada çok daha sık görebileceğimiz bir yapıdır. Gerçekten de insanlar, bu spirali her yerde görmüşlerdir: Ağaçlarda, yapraklarda, ananas gibi meyvelerde, enginar gibi sebzelerde, eğreltiotlarında, kozalaklarda, arıların soy ağaçlarında, ayçiçeklerinde, papatyalarda ve tabii ki... Salyangoz kabukları ve deniz kabuklarında.

"Aeonium tabuliforme" türü fincan bitkisinde Fibonacci Serisi'ni takip eden, dolayısıyla altın orana yakınsayan spiraller. Saat yönünün tersine olan kırmızı renkli spirallerden 8 adet, saat yönünde olan mavi renkli spirallerden 13 adet bulunmaktadır. Bu iki sayı arasındaki oran 1.625'tir ve altın oranın bir yakınsaması olarak kabul edilmektedir.

Ne var ki bu iddiaların neredeyse hiçbiri doğru değildir. Yani evet, bir ananas veya kozalakta saat yönündeki sarımları saat yönünün tersine olan sarımlara oranladığınızda, yukarıdaki görselden de görebileceğiniz gibi Fibonacci sayılarını, örneğin 8 ve 13 sayılarını bulabilirsiniz. Bunun biyolojik nedenlerine aşağıda geleceğiz, ama daha büyük bir sorun vardır: Altın orana uyduğu söylenen şeylerin neredeyse hepsi uydurma veya abartıdır. Hatta insan yapımı olan, dolayısıyla rahatlıkla altın orana uyabilecek eserler bile!

Altın Oransızlık Farkındalığı

HP, Apple, Netscape Communications gibi birçok büyük teknoloji firmasında yazılım mühendisi olarak görev almış olan, aynı zamanda astronomi, biyoloji, matematik gibi alanlarda araştırmalar yürüten, teknoloji ve bilim yazarlığı yapan, bilimin yayılması için konuşmalara katılan Akkana Peck, deniz kabuklarının matematiği ile ilgili bir araştırma yazısı üzerinde çalışırken ilginç bir gerçekle karşılaştı. Peck, bu gerçeği şöyle anlatıyor:

Bir arkadaşımın üniversitedeki matematik dersine Fibonacci sayılarıyla ilgili bilgi vermek üzere davet edilmiştim. Daha lisedeyken Fibonacci sayıları üzerine araştırmalar yapmaya başlamıştım ve onların büyüyen bir şehrin güç istasyonlarını planlamada nasıl kullanıldığını incelemiştim. Tüm bunları o derste anlatacaktım, dolayısıyla araştırmalarımda bulduğum tüm görselleri bulmaya ihtiyacım vardı. Bilirsiniz... Çam kozalaklarındaki, çiçeklerin yapraklarındaki, ağaçlardaki dallanmalardaki matematiksel oranları, Altın Oran'ı, Fibonacci/Altın Spiralini, vb. doğadaki matematiği gösteren görsellere ihtiyacım vardı. Örneğin bir Nautilus kabuğunun nasıl harika bir şekilde Fibonacci sayılarına uyduğunu göstermeyi istiyordum.
Çam kozalaklarını topladım, bazı fotoğraflar çektim, slaytlar hazırladım ve iş, altın orana uyan spiralleri göstermeye geldi. Ufak bir GIMP metni hazırlayarak bilgisayarımın otomatik olarak Fibonacci spiralini oluşturmasını sağladım. Sonrasında, odacıklı Nautilus fotoğrafı aramaya başladım. Amacım, bu spirale ne kadar kusursuz şekilde uyduğunu göstermekti. Sonunda Wikipedia'dan harika bir örnek buldum. GIMP içerisine yapıştırdım ve üzerine altın spirali çizdim. Sonrasında ise birbirine uydurmak üzere boyutlarla oynamaya başladım. İmkansızdı! Hiçbir şekilde spiral, kabuğun şekline uymuyordu!
Ne kadar çabalarsam çabalayayım, hiçbir şekilde kabuk ile spirali uyduramadım. Ben de Google Images'ı kullanarak daha fazla kabuk fotoğrafı bulmaya çalıştım. Bulduğum hiçbir kabuk spirale uymuyordu! Hatta Fibonacci sarmalına yaklaşamıyordum bile!

Akkana Peck'in başarısız altın oran denemesi

Evrim Ağacı Olarak Denemelerimiz

Tabii ki bir yazılım mühendisinin sözünü, sırf o diyor diye doğru kabul edecek değiliz. Hemen iş başına koyulup, bulabildiğimiz yüksek çözünürlüklü Nautilus fotoğrafları üzerine altın oran spiralini en kusursuz şekilde yerleştirmeye çalıştık. Sonuçlar aşağıdaki gibi:

Deneme 1: Hiçbir şekilde altın orana uydurmak mümkün değil. Altın spiralin, deniz kabuğunun sarımlarından birini tamamen es geçtiğine dikkat edin!

Deneme 2: Hiçbir şekilde altın orana uydurmak mümkün değil. Yine, kabuklunun yaptığı sarım, aktın oranı takip etmiyor.

Deneme 3: Hiçbir şekilde altın orana uydurmak mümkün değil.

Görebileceğiniz gibi, kabuğu hangi taraftan altın orana uydurmaya çalışırsanız çalışın, diğer taraflar hiçbir şekilde uymamaktadır. Lütfen bizim sözümüze güvenmeyin: Siz de test edin! İnternetten altın spirali bulup transparan olarak indirin. Sonra da istediğiniz gerçek salyangoz kabuğu veya deniz kabuğu fotoğraflarını indirip, Photoshop gibi bir araç kullanarak üst üste koyun. Ancak bulduğunuz görsellerin bilgisayar tarafından üretilmediğine emin olun, çünkü sahtekarlık yapmak isteyenler altın orana uygun kabuklar tasarlayıp, bunları gerçek gibi yayınlayabilmekteler.

Göreceksiniz ki neredeyse hiçbiri uymayacak! Neden? Çünkü salyangozlar altın oranı umursayarak büyümezler. O zaman niye böyle bir safsata dolaşıyor?

Spiral Kabukların Sırrı: Logaritmik Büyüme ve Altın Oran

İşin tuhaf tarafı, biyolojik olarak bu tür kabukların altın orana uymaması tamamen beklendik bir durumdur: Çünkü Nautilus gibi canlıların büyüme modunun hangi matematiksel modeli takip ettiğini ve o modelin altın oran olmadı zaten biliyoruz! Deniz kabukları gibi canlılar, logaritmik büyüme denen bir büyüme modunu takip etmektedir.

Logaritmik büyüme, başta daha hızlı büyüyüp sonra giderek yavaşlayan büyüme türlerine verdiğimiz bir isimdir. Bu, son derece mantıklıdır: Biyolojide yavrular, çok hızlı büyürler ama yaşlandıkça büyüme hızları da yavaşlar.^{[22], [23]} Yani logaritmik bir büyüme örüntüsü sergilerler:

$1+12+13+14+15+...\LARGE{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...}$

Bunu bir spirale dönüştürmek isterseniz, logaritmik spiral isimli bir spiral elde edersiniz. Bu spiral, şu şekilde tanımlanır:

$φ=1kln⁡ra\LARGE{\varphi=\frac{1}{k}\ln\frac{r}{a}}$

Buradaki $φ\varphi$ sayısı, altın oran değildir ve herhangi bir diğer sayı olabilir. Bu $φ\varphi$ sayısı, kutuplu (polar) koordinatlar olarak bilinen meşhur bir diğer koordinat sistemindeki $(r,φ)(r,\varphi)$ gösteriminden kaynaklanmaktadır ve isim benzerliği bir tesadüftür. Polar koordinat sisteminde $φ\varphi$ , altın oranı değil, herhangi bir açıyı belirtir.

Polar koordinatlarda da fi işaretinin olması bir tesadüftür. Logaritmik büyüme denklemindeki fi, altın oran olmak zorunda değildir. Burada fi işareti, konumunu tanımlamak istediğimiz vektörün yatay eksene göre açısını belirtir.

Logaritmik spiral denklemindeki $k$ , $r$ ve $a$ gibi parametreleri değiştirerek, farklı spiraller elde etmek mümkündür. Örneğin sadece $a$ parametresini sırasıyla 1, 2, 3, 4 ve 5 yaparak, aşağıdaki farklı spiralleri elde edebiliriz:

Logaritmik spiral ile elde edilebilecek farklı spiral davranışları.

İşte burada kritik bir gerçekle yüzleşmekteyiz: Logaritmik spiral, çok daha genel bir spiral davranışını temsil eder, öyle ki bu spiral de büyük matematikçi Jacob Bernouilli tarafından mucizevi spiral (Lat: Spira mirabilis) olarak, Alman teorist Albrecht Dürer tarafındansa sonsuz çizgi (Alm.: "ewige lini") olarak isimlendirilmiştir. Yani altın spiral ve altın oran gibi özel isimler, sadece $φ\varphi$ sayısına özel değildir.

Üstelik altın spiral, logaritmik spiralin olası formlarından sadece birisidir. Yani her altın spiral bir logaritmik spiraldir, ancak her logaritmik spiral bir altın spiral değildir. İşte bu altın oran saplantısından kurtulduğumuzda, logaritmik spirali kullanarak Nautilus gibi hayvanların gerçek büyüme dinamiklerini ifade edebilmeye başlarız:

Nautilus gibi kabuklular, altın oranla ilgisi olmayan, tamamen farklı bir logaritmik spiral örüntüsü göstermektedir.

Bu spiralin altın spiralle hiçbir ilgisi yoktur.

Altın Oran Uydurmasının Olduğu Diğer Yerler

Sadece doğada da değil; insan yapımı nesnelerde bile altın orana uyulduğu iddiası birçok durumda uydurmadır. Bunun en meşhur örneklerinden biri, da Vinci'nin meşhur "kusursuz insanı" olan Virtruvian Adamı'dır. Da Vinci'nin kusursuz insan vücudunun altın orana uyması gerektiğini düşünerek bu çizimi yaptığı ve adamın vücudunun altın orana uyduğu söylenir.

Vitruvius Adamı (ya da Vitruviyen Adam), Leonardo da Vinci tarafından 1490 yılında tamamlanmış şaşırtıcı bir eserdir. da Vinci, eserini Romalı mimar Vitruvius'un çalışmalarına dayanarak hazırlamıştır. Bir kağıt parçası üzerine kalem ve mürekkep ile çizilmiş olan eser, bir kare ve daire içerisine kolları süperpozisyon yöntemiyle üst üste oturtulmuş bir erkeği göstermektedir. Mimar Vitruvius, bu ölçüleri "ideal erkek ölçüleri" olarak tanımlamıştır. Bu iddianın bilimsel bir arka planı veya dayanağı bulunmamaktadır.

Bu, yalandır. Dilediğiniz gibi ölçebilirsiniz! Ne oranlar uyacaktır ne de da Vinci, Vitruvian Adamı'yla ilgili eseriyle ilgili yazılarında altın orandan bahsetmektedir.^{[24], [25], [26]} Mona Lisa da aynı şekilde, altın oranla hiçbir alakası olmayan bir çizimdir; Mona Lisa'ya altın oran oturtma çabaları, zorlamadan ibarettir. Da Vinci'nin Mona Lisa ile ilgili yazılarında altın orandan söz edilmemektedir.^[27]

Bu konudaki en yaygın yalanlardan biri de insanların altın dikdörtgeni takip eden tasarımları daha estetik bulduğu iddiasıdır. Berkeley Üniversitesi tarafından yapılan bir çalışmada, insanların estetik bulduğu dikdörtgenlerin oranının 1.414 ile 1.732 arasında değiştiği ve 1.618 civarında herhangi bir tepe noktası göremediklerini göstermiştir.^[28] Randolph-Macon Koleji matematik profesörü Eve Torrence, Smithsonian Müzesi tarafından düzenlenen bir etkinlikte şöyle diyor:^[29]

Kusursuz bir dikdörtgen olduğu, bunun altın orana dayandığı ve insanların da bu oranı takip ettiği iddiası, duyduğum en aptalca şeylerden biri. İnsanlar birbirinden oldukça farklıdır. Bazılarının sandığı gibi kusursuzluğu veren bir sayı yoktur. Bu tür fikirler matematikçiler için kirli fikirlerdir. Hokus pokustan ibarettir.

Gerçekten de insanlar için güzellik ölçüsü, anlamsız ve rastgele bir sayı değil, hormonlardan yüz kıllarına kadar çok daha sağlam biyolojik ve psikolojik temelleri olan, evrimsel tarihe dayanan olgulardır.^{[30], [31]}

Mimaride Altın Oran Safsatası

Partenon gibi meşhur mimari yapılarda da aynı yalan görülmektedir. Asırlar boyu Parthenon'un altın orana uygun şekilde inşa edildiğine inanılmıştır, ancak 1980'lerde başlayan bir rekonstrüksiyon çalışmasında yapılan ölçümler, antik yapının altın oranla hiçbir alakası olmadığını göstermiştir. Parthenon'daki parçaların her birinin oranları birbirinden farklıdır ve önceden ileri sürülen iddiaların, altın oran bulmak isteyenler tarafından yapılan zorlamalar olduğu görülmüştür. Örneğin Parthenon, 30.8 metre genişliğinde ve 69.51 metre uzunluğundadır. Bu, 4:9 oranını vermektedir ve Parthenon'da daha sık rastlanan bir orandır. $9/4$ oranı, $2.25$ sayısına eşittir ve görülebileceği gibi altın oranla hiçbir alakası yoktur.^[32]

Bu arada yeri gelmişken söyleyelim: Elbette altın oran kültünün popülerliği dolayısıyla, biraz da standart sağlama amacıyla, modern mimaride altın orandan faydalanılmaktadır ve modern yapılarda bu oran gerçekten görülebilir. Ancak bunun şaşırtıcı bir tarafı yoktur; çünkü mimarlar ve mühendisler, bilerek ve isteyerek bu orana uyan yapılar inşa etmektedirler.

Biyolojide Altın Oran Safsatası

Altın oranın doğada yaygın olduğu iddiasıyla ilgili en büyük problem, doğanın kendisini anlamamaktan kaynaklanmaktadır. Doğa, kusursuz bir yapı değildir. Doğadaki her şeyde çeşitlilik vardır. Örneğin evrim, bu sayede çalışmaktadır. Çeşitlilik olmasaydı yaşam, muhtemelen bugünlere gelemeyecekti. Yani doğadan alacağınız canlı örnekleri, belli oranlara sahip olabilir; ama bulmayı beklediğini oran her neyse, bir canlı popülasyonu o oran etrafında bir dağılım sergileyecektir. Hiçbiri kusursuz olarak tek bir sayıyı takip etmeyecektir.

Örneğin insan kolunun veya bacağının toplam uzunluğunu, dirsekten parmak ucuna olan uzunluğa bölersek altın oran çıkacağı iddia edilmektedir. Benzer şekilde, toplam boyunuzu göbek deliğinden veya belden aşağıya olan uzunluğunuza bölerseniz veya parmak uzunluğunuzu ilk parmak ekleminizden parmak ucunuza bölerseniz bu sayıyı bulacağınız söylenmektedir. Tuhaf bir şekilde insanlar, bu kadar basit bir şeyi bile denemeden inanmaktadırlar.

Lütfen bir an durun ve deneyin! Bizler, yıllardan beri çok sayıda kişide, tekrar tekrar denedik; ancak bırakın altın oranı, 1.61803 gibi bir sayı bile elde edemedik. 1.5 olan da gördük, 1.6 olan da, 1.9 olan da, 2.2 olan da... Üstelik bunu anekdotal olarak anlatmamıza gerek de yok: Bunu akademik olarak çalışanlar da insanların altın oranla alakası olmadığını gördüler.

Sadece insanlar da değil: Science News'de yayınlanan bir makalede deniz kabuklarının spiralleri ele alınmıştır. 1999 yılında emekli matematikçi Clement Falbo, San Francisco'da bulunan Kaliforniya Bilim Akademisi'nde bir dizi Nautilus kabuğunun ölçümünü yaptı. Bulguları ilginçti: Evet, kabuklar altın spiral gibi logaritmik bir seriyi takip ediyordu. Ancak kabukların oranı 1.24 ila 1.43 arasında değişiyordu.^[33] Altın Oran olarak bilinen 1.618, bu aralıkta değildir bile! Bu canlılarda görülen ortalama oran ise 1.33'tü! Bu, 1.618 civarında olması beklenen altın orana yakın bile değildi. Arada %17.8 gibi devasa bir fark bulunuyordu!

DNA ile ilgili de benzer bir zırva uydurulmuştur: İddiaya göre DNA'nın sarımları arası mesafe 34 angstrom, genişliği 21 angstromdur ve bu da altın oranı vermektedir. Her şeyden önce bu iki sayının oranı, 1.619 vermektedir; altın oranı değil. İkincisi, DNA sarımları arası mesafe 34 değil, 34.86 Angstrom civarındadır. Genişliği de 21 değil, 20 Angstrom civarındadır. Bu daha gerçekçi oranlarsa, daha da berbat bir şekilde, 1.743 sayısını vermektedir. Bunun altın oranla alakası olmadığı açıktır.

Aşağıda gördüğünüz sanatçı Igor Kochmala tarafından hazırlanan görseller, bir şeyleri altın orana zorlamanın saçmalığını harika (ve oldukça esprili) bir şekilde göstermektedir.^[34] Eğer ki birkaç tanıdık ünlünün yüzünü alıp kusursuz olacak şekilde gerçekten Fibonacci Dizisi'ne veya altın orana uydurmaya çalışsaydık, acaba nasıl sonuçlar elde ederdik? Bu bize estetik gelir miydi?

Nümeroloji ve Sayı Saplantısı

Nümeroloji, belli sayıların Evren veya kişi için özel anlamları olduğunu iddia eden bir sahtebilim türüdür. Burada bu sahtebilim dalının bütün detaylarına girmeyeceğiz; ancak buraya kadar olan örneklerde de gördüğümüz üzere, nümerologların kullandığı birtakım sahtekarlık yöntemleri vardır. Bu yöntemlerden haberdar olmakta fayda olduğunu düşünüyoruz.

Yukarıda örneklerini verdiğimiz şekilde açıkça yalan söylemenin (örneğin DNA'nın ölçülerini bilerek saptırmanın) ötesinde nümerologlar, konuştukları kişileri şartlandırma ve belli bir seçeneğe zorlama gibi tekniklerle kandırmaktadırlar. Yani örneğin insanlara bir dizi dikdörtgen gösterip, en çok hoşlarına gidenin hangisi olduğunu sorabilirler:

Bu dikdörtgenlerden hangisi en estetik olanı?

Örneğin burada hangi dikdörtgeni seçtiğinizin hiçbir önemi yoktur, çünkü hepsi altın orana uygun olarak çizilmiştir. Ama siz bunu bilmediğiniz için, hangisini seçerseniz seçin "Bakın, altın orana uyduğu için onu seçtiniz." denebilir. Halbuki yukarıda bahsettiğimiz araştırmaların gösterdiği üzere, insanların bu konuda tekil bir tercihi yoktur ve geniş bir aralığı estetik bulabilmektedirler.

İkinci yöntemdeyse karşıdaki kişi bir seçeneğe zorlanır. Örneğin aşağıdaki dikdörtgenlerden hangisinin daha estetik olduğu sorulabilir:

Sonrasında örneğin orta sütundaki en alttakine işaret ederek, "Tabii ki bu, öyle değil mi? Sorduğumuz kişilerin ezici çoğunluğu bunu seçti." diyebilirler. Özellikle de size yeterince düşünme süresi tanımadan bunları söyledikleri için ve dürüst olmak gerekirse, hangi dikdörtgenin daha estetik olduğu sorusu sizin için o kadar da önemli olmadığı için, "Aaa tabii, evet, o dikdörtgen en güzeli." diyebilirsiniz. Böylece kapana düşersiniz.

Örneğin yukarıdaki dikdörtgenlerden, sadece sol sütunda ortadaki dikdörtgen altın orana uygun çizilmiştir. Ama birçok kişi için diğerlerinden bazıları da eşit derecede estetiktir ve bir şarlatan, sizi bunlardan herhangi birini seçmeye "zorlayabilir" (o tercihe yönlendirebilir). Sonra da hikayesini bunun üzerine inşa ederek sizi kandırır.

Nümerologların (tıpkı diğer tüm sahtebilimciler gibi) başvurduğu safsatalardan diğerleri, aceleci genelleme ve cımbızlama gibi safsatalardır. Çünkü en nihayetinde bazı insanların bazı ölçümlerinde veya bazı moleküllerin belli oranlarında 1.618 sayısı karşınıza çıkabilir. Hatta yeterince çok örnek alırsanız belki bir iki kişide altın orana çok daha fazla sayıda basamakta uyan örnekler de bulursunuz. Tabii burada ölçüm aletinizin hassasiyeti ve hata payları da önemlidir: Sonuçta ölçüm aletiniz gerçekten 1.618 ile 1.62'yi ayırt edebilmekte midir?

Eyfel Kulesi, altın orana göre inşa edilmemiştir ama yeterince zorlarsanız, buna uyan bir ölçüm bulabilirsiniz.

Ama bu sorunu da çözsek, bir şey değişmez! Çünkü bir nesneyi ölçmenin çok fazla sayıda yolu vardır ve eğer yeterince ararsanız, 1.618 civarı bir sayı veren bir ölçüm veya işlem bulursunuz; bu hiç de zor değildir!

Ama altın orana uyan birkaç örnek bulsanız bile, bir bütün olarak Evren, bir organizma, bir yapı, gerçekten altın orana uyuyor, gerçekten bu özel sayıyı bilerek veya özellikle takip ediyor diyebilir misiniz? Elbette hayır. İşte nümerologların düştüğü hata da budur: Buna, aceleci genelleme denmektedir. Yani cımbızlanarak seçilmiş bir örnek grubundan yola çıkıp, çok büyük iddialarda bulunmaktadırlar. Bu süreçte bolca algıda seçicilik ve zorlama, hatta hatalı işlem de yapmaktadırlar.

Doğada Altın Oranın Gerçekten Görüldüğü Yerler

Tüm bunları anlatma nedenimiz, doğada altın oranın kesinlikle olmadığı veya bulunamayacağı değildir. Doğada gerçekten de altın oranın bulunduğu yerler vardır. Ancak bu örnekler, sanıldığı kadar ilginç değildir ve son derece makul, matematiksel ve biyolojik açıklamalara sahiptir.

Doğadaki Sıradan Oranlar ve Fibonacci Serisi

Öncelikle şunu anlayarak başlayalım: Altın oran bir yana, doğada bazı sayılar ile bazı nesnelerin fiziksel özellikleri arasında yüzeysel benzerlikler bulmak elbette mümkündür. Hatta bu, bir yerde kaçınılmazdır; çünkü bazı oranlar, aynı zamanda birçok fizik yasasının özünden gelen temel sayılar, sabitler ve bunların birbiriyle ilişkilerinden doğmaktadır. Etrafımız da bu fiziksel yasalarına bağlı olarak şekillendiği için, o oranları bu fiziksel yasaların ürünlerinde görmemiz şaşırtıcı bir durum değildir.

Ancak temel fizik yasalarının ötesinde, bazı sayı dizileri ve örüntüleri de oldukça fiziksel karşılıklara sahip olabilir ve dolayısıyla doğada bulunabilir. Örneğin Fibonacci sayıları, her seferinde kendisinden önce gelen sayıyla, sıradaki sayının toplamı ile büyüyen bir dizidir. Gelişim, var olan son malzemenin üzerine konarak ilerleyen bir süreç olarak modellenirse (ki bu oldukça yakın bir modelleme olacaktır), ardında büyüme izleri bırakan bazı canlıların (örneğin deniz kabuklularının) vücutlarında ister istemez Fibonacci dizisine uygun oranlar bulmak (en azından kabaca ve yaklaşık olarak bulmak) mümkün olacaktır. Dolayısıyla bu canlılar da, Fibonacci sayıları gibi, altın orana yakınsayacaktır.

Bir diğer deyişle, doğadaki matematik eğer ki fiziksel olarak anlamlı bir şeyi takip ediyorsa, elbette bu tür ilginç örüntüler o fizikte kendini gösterecektir. Örneğin "altın orana uymak" demek, son ürettiğiniz iki yapının toplamı kadar yapı üretmek demektir. Fibonacci sayılarının böyle oluştuğunu söylemiştik. İşte eğer ki Nautilus gibi bir canlı, kendine her seferinde şu anda içinde yaşadığı odacık artı bir önce inşa ettiği odacık kadar oda inşa etseydi, Fibonacci sayıları, dolayısıyla da altın oran karşımıza çıkardı. Nautilus böyle bir davranış sergilememektedir (ve yukarıda gösterdiğimiz gibi, altın orana da uymamaktadır); ama bu basit büyüme örüntüsüne yakın bir davranış bile sergileseler, kaçınılmaz olarak altın orana yakın bir sayı elde etmeyi bekleriz.

Ayrıca logaritmik spiral gibi örüntülere ek olarak, doğada bazı sabit büyüme örüntüleri de vardır. Örneğin 1.618 sayısı, 1.5 sayısına çok yakındır. Dolayısıyla "altın oran kadar büyüme", 1.5 kat büyümeye çok yakındır. 1.5 kat büyüme, her seferinde %50 irileşmeye, çoğalmaya veya büyümeye karşılık gelmektedir ve doğada çok sık görülen bir büyüme oranıdır. Eğer kendinize sağlam bir sınır çekmeyecek olursanız, doğada 1.5 kat büyüyen her şeyin altın orana uyduğunu iddia edebilirsiniz. Önemli olan, bulduğunuz oranın gerçekte altın oran olmadığını anlamaktır. Bu soruna yazı sonunda tekrar döneceğiz.

Altın Oranın Evrimi

Hepsinden önemlisi, matematiksel olarak $φ\varphi$ sayısı, bazı konularda verimliliği maksimize etmenin en iyi yollarından biridir! O alanların başında da yayılma ve paketleme örüntüleri gelmektedir. İşte ağaçlarda, dallarda, kozalaklarda altın orana benzer sayıların daha sık görülme nedeni budur! Çünkü bunlar, etrafa daha verimli şekilde yayılması gereken yapılardır. Anca o sayede Güneş ışığını daha çok alabilirler, tohumlarını daha iyi paketleyebilirler, polenlerini daha çok dağıtabilirler.

Şöyle düşünün: Bir bitkisiniz ve yeni oluşan gövdenizden bir yaprak ürettiniz. Şimdi, ikinci bir yaprak üreteceksiniz. Onu, eğer bir önce ürettiğiniz yaprağın üzerine koyacak olursanız, simetrik olan gövdenizin etrafına yeterince iyi yayılmıyorsunuz demektir. Yani verimli bir paketleme yapamıyorsunuz demektir. Dolayısıyla daha iyi bir paketleme yapmak için, ikinci yaprağınızı birinci yaprağınızdan bir miktar döndükten sonra yerleştirmeniz makul olacaktır.

Ama ne kadar dönmelisiniz? 10 derece mi? 30 derece mi? 22.73 derece mi? İşte burada, çeşitlilik devreye girer: Aslında bitkiler, tarih boyunca çok sayıda büyüme örüntüsü sergilemişlerdir ve günümüzde halen çok farklı büyüme ve yapraklanma örüntüleri görmekteyiz. Ancak diyelim ki bir bitki, kendi etrafında $1/4$ tur atarak yeni yapraklar üretiyor. Bu durumda 4 tane yaprak ürettikten sonra, başladığı noktaya geri dönecektir. 5. yaprak, 1. yaprağın üzerine gelecektir ve bu, 1. yaprağın alabileceği güneş ışınlarını kapatacak veya çiçeklerden söz ediyorsak, polenlerin/tohumların saçılmasını kısıtlayacaktır. Bir diğer deyişle, eğer ki bir bitki her seferinde bir rasyonel sayı kadar dönerek yaprak veya tohum üretecek olursa, yayılabileceği alanı maksimize etmiyor demektir.

Bu durumda tam kesirli olarak ifade edilemeyen, yani irrasyonel sayıları ve bunlara dayalı oranları kullanmak daha avantajlı olacaktır. Çünkü irrasyonel sayılar, 360 derecelik bir çemberi tam olarak bölemezler. Bu, olabildiğince geniş bir alanı kaplamaya çalışan ve dolayısıyla aldığı güneş ışığını maksimize etmeyi hedefleyen bir bitki için çok avantajlıdır. Elbette bitkiler bunların hiçbirini bilerek veya hesaplayarak yapmamaktadırlar. Bu tür bir varyasyona sahip olanlar; Güneş ışığını en çok almış olurlar veya tohumlarını en iyi dağıtmış olurlar, evrimsel süreçte de bu oranlar seçilir. Dolayısıyla günümüzde bazı bitkilerin irrasyonel sayıları takip eden büyüme örüntülerine sahip olması kaçınılmazdır.

Ancak elbette tek irrasyonel sayı $φ\varphi$ değildir. Örneğin $π\pi$ sayısı da irrasyonel bir sayıdır. Neden bu oranı doğada daha sık görmüyoruz da altın oran bu kadar önemseniyor? Çünkü ikisinin "irrasyonelliği eşit değildir". $φ\varphi$ , $π\pi$ sayısına göre "çok daha irrasyonel" bir sayıdır.

İlk etapta iki irrasyonel sayının irrasyonelliğinin nasıl farklı olabileceğini merak edebilirsiniz. Matematikte "irrasyonalite eksponenti" veya resmi ismiyle "Liouville-Roth İrrasyonalite Ölçüsü" diye bir kavram vardır.^{[35], [36]} Bu, bir irrasyonel sayının, rasyonel sayılarla en iyi ne kadar yakınsanabileceğinin bir ölçüsüdür. Bir irrasyonel sayı rasyonel sayılarla ne kadar iyi yakınsanabiliyorsa, o irrasyonel sayıya "o kadar rasyonel" demekteyiz.^{[37], [38]} İşte $φ\varphi$ eğer ki amacınız bir dağılma, bir merkezden yayılma örüntüsü sergilemekse ve dolayısıyla elinizdeki alanı en etkili şekilde kaplamak istiyorsanız, matematiksel olarak var olan en verimli veya "en irrasyonel" sayı da $φ\varphi$ sayısıdır.^{[39], [40], [41]}

Dolayısıyla her bir tohumu veya etrafa saçılan şey her neyse onu her seferinde 3, 5, 10, $π\pi$ veya başka bir miktarda değil de, Fibonacci sayılarını takip eden biçimde, yani altın oran kadar döndürerek yerleştirirseniz, o alanı en etkili şekilde kaplayabilirsiniz. Çünkü bu oran, ortaya çıkan örüntünün kendisiyle çakışma ihtimalini en aza indirmektedir.

Sonuç olarak doğada altın orana uyan belli oranlar bulabilirsiniz, ama bunda şaşırtıcı bir şey yoktur. Çünkü altın oran gibi bir oran, eğer ki bir cismi paketleme verimi açısından bir çeşit avantaj sağlıyorsa, böyle bir uyarlanım evrimsel süreçte seçilmiş olabilir. Sonrasındaysa bu oranın kısmen bol bulunması nedeniyle beyinlerimiz bu oran ve civarındakileri daha "estetik" algılayacak şekilde özelleşmiş olabilir (ki evrimde sık görülen bir durumdur). Dolayısıyla evrim de doğal bir algıda seçicilik filtresi yaratmaktadır, geriye bazen sadece belli oranları bırakmaktadır ve biz de bunları bulduğumuzda özel bir anlam keşfettik sanmaktayız.

Şunu unutmayın: Altın oran bu kadar önemliyse, neden her ağaç, her bitki, her hayvan, her özellik buna uymaz? Çünkü altın oran sadece belli alanlarda fayda saplamaktadır ve o alanlarda da yeterli çeşitlilik varsa ve bu yönde bir seçilim baskısı da varsa, bunlar arasından altın orana uyanlar kalmaktadır.

Ayrıca şunu da unutmayın: Neredeyse hiçbir zaman seçilen, spesifik bir sayı veya oran değildir. Belirli büyüme desenleri (paternleri) avantajlı oldukları için evrimsel süreçte seçilirler (veya fiziksel yasalar arasındaki oranlar belirli sayılara karşılık gelirler) ve dolayısıyla etrafımızda o sayıları daha sık görürüz. Ya da gördüğümüzü sanırız; çünkü mesela doğada 2 sayısına 1.618 oranından çok daha sık rastlarız; ancak nedense 1.618 sayısı bize daha "gizemli" gelir. Çünkü doğada örüntüler bulacak şekilde evrimleşen ve bundan ötürü bolca zaafa sahip olan beyinlerimiz, beklenmedik şeyler ardında karmaşık örüntüler bulma çabası güder ve bu sırada bolca yanılır. Yani 1.618 sayısına (veya diğer sayılara) olan saplantı, psikolojik bir zaaftan ileri gelmektedir.

Matematiksel Yakınsama ve Zorlamalar

Tüm bunlarda dikkat çekici ve çarpıcı bir problem şudur: Altın oranla ilgili iddialarda, temel bir tanım sıkıntısı da yaşanmaktadır: Bir sayı, diğerine ne kadar yakın olursa o iki sayı aynıdır diyebiliriz?

Bilimde ve matematikte neredeyse hiçbir zaman bu, %1, 3, 5 gibi büyük oranlarda olmaz; hatta %0.05 veya %0.01 gibi sayılar bile yeterli değildir. Örneğin $π\pi$ sayısıyla ilgili yakınsama çalışmalarından hiçbirinde bu kadar büyük hata payları kabul edilebilir değildir. Ancak $φ\varphi$ sayısıyla ilgili iddiaların büyük bir kısmı 1.6, 1.62-1.63 veya 1.618 gibi, noktadan sonra az sayıda basamağa dayanarak ileri sürülmektedir. Halbuki matematikçiler, bu tür konularda yaklaşık hesaplardan (İng: "approximation") nefret ederler ve bu, aralarında çok tartışmalı bir konudur. Çünkü yakınsama son derece keyfidir ve istediğiniz gibi, istediğiniz yere çekebiliriniz.

Mesela 1.618'i "altın oran" sayacaksak, 1.6'yı da sayacak mıyız? 1.5 veya 1.7 de yeterince yakın sayılır mı? Düşünsenize, $φ\varphi$ sayısı ile 1.7 arasında sadece %5'lik ufacık bir fark vardır. Ama bu, pi'yi 3.141 değil de 3.3 almak gibi bir şeydir! Bunu yapamaz mısınız? Elbette yaparsınız ama anca kendinizi kandırıyor olursunuz. Çünkü büyülü altın oran 1.5, 1.6, 1.7 veya 1.618 değil. Tıpkı pi'nin 3, 4, 3.5 veya 3.2 olmaması gibi...

Ve bu kriteri uyguladığınızda, bu yazı boyunca saydığımız örneklerin neredeyse hiçbirinin altın oranı takip etmediğimizi görürüz. Örneğin yazı içinde verdiğimiz "Aeonium tabuliforme" türü fincan bitkisinin saat yönü ve saat yönünün tersine olan sarımlarının oranı olan 13'e 8 oranı, 1.618 bile değildir. 1.625 sayısına eşittir. Eğer 1.625'i de "altın oran" sayacaksak, zaten sonsuz miktarda sayıyı "altın oran" sayıyoruz demektir. Bunu yaparsak, bu "kutsal sayı" bir anda anlamını yitirirdi.

Ama işte, nümeroloji olarak bilinen bu sahtebilim türü, 3, 5, 7, 10, 12, 13, 19, 23, 30, 360, 365 veya artık favori sayınız neyse onu alıp, size bu sayının mistik ve özel olduğunu kakalamaya çalışmaktadır. Eğer bir sayıyla kafayı bozarsanız, onu her yerde görürsünüz. Bu, algıda seçiciliktir, mistik bir özellik değil.

Arayan Bulur!

Ne yazık ki birçok matematikçi bile altın oran konusundaki birçok safsataya inanmaktadır. Bu nedenle birçok matematikçi arasında altın oran, "bir türlü bitmek bilmeyen mit" olarak adlandırılmaktadır. John Sharp şöyle söylüyor:

Bu yanlış iddiayla ilgili en ilgi çekici olan şey, ne kadar yaygın olduğudur. Hatta bu konuları daha iyi bilmeleri gereken matematikçiler bile bu hataya düşmektedirler. İşte bu, neden geometrinin daha geniş olarak ve sıradan olmayan bir şekilde öğretilmesi gerektiğini göstermektedir. Sadece geometri de değil, şekiller ve oranların görsel estetiği de düzgün öğretilmelidir.

Altın Oran ile ilgili en kapsamlı kaynaklardan biri olan Golden Number yazarı Gary Meisner, arayanın bulacağını şöyle ifade ediyor:

Nautilus cinsi hayvanların kabukları Altın Spiral'e uymamaktadır. Bu da, birçok kafa karışıklığına neden olmaktadır. Ancak Altın Spiral yaratmanın birden fazla yolu vardır. Örneğin kabuğun 90 derecelik açılarda dönmesi üzerine bir Altın Spiral inşa edebileceğiniz gibi, 180 derecelik dönüşler için de aynısını yapabilirsiniz. İkinci durumda, birçok Nautilus kabuğunun Altın Oran'a daha çok uyduğu görülmektedir.

Meisner, doğadaki yapıların Altın Oran'ı takip edip etmemesiyle ilgili olaraksa şöyle yazıyor:

Bazı doğal yapılar Altın Oran'ı takip etse de, birçoğu takip etmemektedir. Doğada gördüğümüz spirallerin büyük bir çoğunluğu logaritmiktir. Yani spiral, sabit bir oranla (ivmeyle) genişlemektedir. Bunun olma nedeni, fiziksel gerilim kuvvetlerinin bu gelişim tipinde daha düzgün dağıtılabiliyor olmasıdır. Bunun, Altın Oran ile hiçbir ilgisi yoktur. Yani yaygın olarak görülen ve Altın Oran'a uyduğu iddia edilen galaksi kolları, okyanus dalgaları, kasırgalar gibi şeylerin hepsi yanlıştır. Bu hatanın düzeltilmesi ve Altın Oran ile ilgili safsataların temizlenmesi için önemlidir. Öte yandan, doğada Altın Oran'a uyan ve sıklıkla görülen bir diğer tip spiral vardır: Kozalaklarda, ananasta, ayçiçeğin tohumlarında görülen spiraller. Bunlar, Fibonacci Dizisi'nin birbirini takip eden sayılarına uygun bir şekilde dizilirler. Örneğin saat yönünde 8 spiral varsa, saat yönünün tersine giden 13 spiral bulmayı beklersiniz. Ancak bunların hiçbiri Altın Oran'dan kaynaklı spiraller değildir! Sadece, Fibonacci Dizisi'ndeki ardışık sayılara uygun dizildikleri için, Altın Oran'a yakınsarlar.

Görüleceği gibi eğer bir yöntem uymuyorsa, hemen aynı organizma başka şekillerde ölçülerek altın orana zoraki bir şekilde uydurulabilir. Bu, nümerologlar tarafından bolca manipüle edilen bir uygulamadır. Örneğin spirallerin ortalama büyümesi olan 1.33 sayısını gidip de "1.618'e çok yakın, dolayısıyla bu canlılar altın orana uyuyorlar." dememiz mümkün değildir. Arada %17.8 hata bulunmaktadır! Eğer ki bunun "yeterince yakın" olduğunu düşünüyorsanız, bir sonraki dersinizde yaklaşık 3.14 olan pi sayısını, %17.8 hata payıyla 3.69 veya 2.58 almayı deneyin. Ya da, benzer şekilde, Dünya'nın kütleçekim ivmesini 9.81 almak yerine, %17.8 hata payıyla 8.06 veya 11.56 almayı deneyin!

Şaka bir yana, alınması gereken en sağlıklı tavır, canlıların bu tip oranların kusursuz bir şekilde uyduğu iddiasına çok ama çok dikkatli yaklaşmaktır.

Neden?

Çünkü iddia, muhtemelen tamamen asılsızdır.

Sonuç

Ancak illa bir şeylere tutunmak istiyorsanız, yazı boyunca da anlattığımız gibi, altın oran "yalan" değildir. Böyle bir oran gerçekten vardır ve insan yapımı ürünler de doğada da arada bir karşımıza çıkmaktadır. Ne var ki insan yapımı ürünlerde karşımıza çıkmasında ilginç bir taraf yoktur. Bir yapı, altın oranda olsun diyerek yapılırsa, elbette öyle olacaktır. Kaldı ki standartlaştırma ve yazıda da bahsettiğimiz aritmetik özelliklerinden ötürü bu oranı kullanmanın avantajları olabilir. Ama altın oran, insan yapımı ürünlerde bile sanıldığı kadar yaygın değildir (örneğin mimaride daha yaygındır ama sanatta sanılandan çok daha az yaygındır). Doğada ise iddia edilenden çok ama çok daha seyrek görülen bir yapıdır ve görüldüğü yerlerde de son derece makul bir izahı vardır.

Böyle bir iddiada "Ne var canım, doğada altın oran tam olmasın da birazcık sapıversin." gibi bir savunma geçerli olmayacaktır. Çünkü bu diziler ve oranlar, çok spesifik nedenlerle geliştirilen ve ortaya çıkarılan oranlardır. Bunlardan %30-40 dolaylarında sapmalar, geride hiçbir anlam bırakmayacaktır. Zaten söz konusu iddiaların "olağanüstülüğü", söz konusu kusursuz oranlara uymaları iddiası nedeniyledir! Bir kişininki 0.58, diğerininki 0.50, diğerininki 0.70 iken bunun "kusursuz bir orana uyduğunu" iddia etmek mantık dışı olacaktır.

Tüm bunlar gözetildiğinde, altın oranın ilgi çekici bir matematiksel sayı olmanın ötesinde, doğada kısıtlı bazı uygulamaları haricinde herhangi bir evrensel anlamı olmadığı görülmelidir. Doğada, altın orandan çok daha sık görülen sayılar ve altın spiral gibi geometrilerden çok daha sık görülen geometriler vardır. Bunlardan sadece birine saplanıp kalmak, bilimsel bir sorgulama değil, psikolojik bir saplantıdır.

Bu Makaleyi Alıntıla

Okundu Olarak İşaretle

Evrim Ağacı Akademi: Sahtebilim Yazı Dizisi

Yazı dizisi içindeki ilerleyişinizi kaydetmek için giriş yapın veya kayıt olun.

EA Akademi Hakkında Bilgi Al

123

Paylaş
Alıntıla
Alıntıları Göster

Paylaş

Sonra Oku

Notlarım

Yazdır / PDF Olarak Kaydet

Bize Ulaş

Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git

Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?

Kaynaklar ve İleri Okuma

^ C. J. Vamvacas. (2014). The Founders Of Western Thought The Presocratics. ISBN: 9781402097911. Yayınevi: Springer.
^ L. Zhmud. (2012). Pythagoras And The Early Pythagoreans. ISBN: 9780199289318. Yayınevi: Oxford University Press (UK).
^ G. Cornelli, et al. (2013). On Pythagoreanism. ISBN: 9783110318500. Yayınevi: de Gruyter.
^ C. K. Caldwell. The Prime Glossary: Pythagoras. Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: University of Tennessee at Martin | Arşiv Bağlantısı
^ P. Beckmann. (2007). A History Of Pi. ISBN: 9780880294188. Yayınevi: Marboro Books.
^ S. Plouffe. On The Computation Of The N^th Decimal Digit Of Various Transcendental Numbers. (2 Aralık 2009). Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: arXiv | Arşiv Bağlantısı
^ J. D. Cook. Best Rational Approximations For Pi. (22 Mayıs 2018). Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: Applied Mathematics Consulting | Arşiv Bağlantısı
^ Plato, et al. (1987). Theaetetus. ISBN: 9780140444506. Yayınevi: Penguin Classics.
^ Aristotle, et al. (1989). Prior Analytics. ISBN: 9780872200647. Yayınevi: Hackett Publishing Company, Inc..
^ T. L. Heath. (1981). A History Of Greek Mathematics, Volume I: From Thales To Euclid. ISBN: 9780486240732. Yayınevi: Dover Publications.
^ M. Kline. (1990). Mathematical Thought From Ancient To Modern Times, Volume 1. ISBN: 9780195061352. Yayınevi: Oxford University Press, USA.
^ S. Singh. (1998). Fermat's Enigma: The Epic Quest To Solve The World's Greatest Mathematical Problem. ISBN: 9780385493628. Yayınevi: Anchor.
^ Iamblichus. (1963). De Vita Pythagorica. Yayınevi: Project Gutenberg.
^ W. Burkert, et al. (1972). Lore And Science In Ancient Pythagoreanism. ISBN: 9780674539181. Yayınevi: Harvard University Press.
^ R. Padovan. (1999). Proportion: Science, Philosophy, Architecture. ISBN: 9780419227809. Yayınevi: Taylor & Francis.
^ Maths. The Golden Ratio And Aesthetics. (1 Kasım 2002). Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: Maths | Arşiv Bağlantısı
^ M. Livio. (2002). The Golden Ratio: The Story Of Phi, The World's Most Astonishing Number. ISBN: 9780767908153. Yayınevi: Broadway.
^ J. Tschichold. (1995). Form Of The Book: Essays On The Morality Of Good Design. ISBN: 9780881791167. Yayınevi: Hartley & Marks Publishers.
^ A. Johnson. (2000). Famous Problems And Their Mathematicians. ISBN: 9781563084461. Yayınevi: Teacher Ideas Press(NH).
^ S. Cox. (2004). Cracking The Da Vinci Code. ISBN: 9780760759318. Yayınevi: Barnes & Noble.
^ P. F. Smith. (2003). The Dynamics Of Delight: Architecture And Aesthetics. ISBN: 9780415300100. Yayınevi: Routledge.
^ Khan Academy. Exponential Growth & Logistic Growth (Article) | Khan Academy. Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: Khan Academy | Arşiv Bağlantısı
^ J. Vandermeer. How Populations Grow: The Exponential And Logistic Equations. (1 Ocak 2010). Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: Nature | Arşiv Bağlantısı
^ K. Devlin. The Myth That Will Not Go Away. (1 Mayıs 2007). Alındığı Tarih: 10 Mart 2019. Alındığı Yer: Devlin's Angle | Arşiv Bağlantısı
^ M. Livio. (2003). The Golden Ratio: The Story Of Phi, The World's Most Astonishing Number. ISBN: 9780767908160. Yayınevi: Broadway Books.
^ D. E. Simanek. Fibonacci Flim-Flam. (9 Ocak 2010). Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: LHUP | Arşiv Bağlantısı
^ Maths. The Golden Ratio And Aesthetics. (1 Kasım 2002). Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: Maths | Arşiv Bağlantısı
^ P. Raghubir. (2006). Ratios In Proportion: What Should The Shape Of The Package Be?. Journal of Marketing, sf: 95-107. | Arşiv Bağlantısı
^ I. Johnston. Mathematicians Dispute Claims That The 'Golden Ratio' Is A Natural Blueprint For Beauty. (27 Nisan 2015). Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: The Independent | Arşiv Bağlantısı
^ R. Brooks, et al. (2010). Much More Than A Ratio: Multivariate Selection On Female Bodies. Journal of Evolutionary Biology, sf: 2238-2248. doi: 10.1111/j.1420-9101.2010.02088.x. | Arşiv Bağlantısı
^ R. C. Brooks, et al. (2015). The Multivariate Evolution Of Female Body Shape In An Artificial Digital Ecosystem. Evolution and Human Behavior, sf: 351-358. doi: 10.1016/j.evolhumbehav.2015.02.001. | Arşiv Bağlantısı
^ HowStuffWorks. Does The Parthenon Really Follow The Golden Ratio?. (22 Nisan 2015). Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: HowStuffWorks | Arşiv Bağlantısı
^ I. Peterson. Sea Shell Spirals. (1 Nisan 2005). Alındığı Tarih: 10 Mart 2019. Alındığı Yer: Science News | Arşiv Bağlantısı
^ C. Nast. How Celebrity Faces Would Look If They Fit The Golden Ratio. (4 Haziran 2015). Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: Wired | Arşiv Bağlantısı
^ Y. Bugeaud. (2012). Distribution Modulo One And Diophantine Approximation. Cambridge University Press. doi: 10.1017/CBO9781139017732. | Arşiv Bağlantısı
^ V. Becher, et al. (2016). The Irrationality Exponents Of Computable Numbers. Proceedings of the American Mathematical Society, sf: 1509-1521. doi: 10.1090/proc/12841. | Arşiv Bağlantısı
^ E. W. Weisstein. Irrationality Measure. Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: Wolfram | Arşiv Bağlantısı
^ D. Duverney, et al. (2020). Irrationality Exponents Of Numbers Related With Cahen’s Constant. Monatshefte für Mathematik, sf: 53-76. doi: 10.1007/s00605-019-01335-0. | Arşiv Bağlantısı
^ reddit. Why Is Phi Called As The Most Irrational Number?. Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: reddit | Arşiv Bağlantısı
^ J. Ellenberg. The Number That Becomes More Amazing The More You Study It. (8 Haziran 2021). Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: Slate Magazine | Arşiv Bağlantısı
^ M. A. Alekseyev. On Convergence Of The Flint Hills Series. (27 Nisan 2011). Alındığı Tarih: 5 Eylül 2021. Alındığı Yer: arXiv | Arşiv Bağlantısı
A. Peck. The Fibonacci Spiral And The Nautilus. (15 Şubat 2007). Alındığı Tarih: 10 Mart 2019. Alındığı Yer: Shallow Sky | Arşiv Bağlantısı
G. Meisner. Golden Ratio Myth, Fact And Misunderstanding: The Missing Evidence. (16 Haziran 2014). Alındığı Tarih: 10 Mart 2019. Alındığı Yer: Golden Number | Arşiv Bağlantısı

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 17/11/2024 21:40:20 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/2718

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Kategoriler ve Etiketler

Tümünü Göster