Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat

Rahip Kirkman'ın Kız Öğrenci Problemi: İkişerli Gruplar Halinde Birden Fazla Defa Yan Yana Gelmek İstemeyen 15 Öğrenci Nasıl Sıralanabilir?

Rahip Kirkman'ın Kız Öğrenci Problemi: İkişerli Gruplar Halinde Birden Fazla Defa Yan Yana Gelmek İstemeyen 15 Öğrenci Nasıl Sıralanabilir?
6 dakika
5,892
Tüm Reklamları Kapat

Lady's and Gentleman's Diary, Company of Stationers tarafından 1841 ile 1871 arasında yıllık olarak yayımlanan ve çoğunlukla okuyucularının ortaya çıkardığı problemlerden ve sonraki ciltlerde verilen çözümlerden oluşan, aynı zamanda kelime bulmacaları ve şiir de içeren bir matematik dergisiydi. Derginin genel merkezi Londra'da bulunuyordu.

Tarihler 1850’yi gösterdiğinde, kilisede bir rahip olan Thomas Kirkman, Lady's and Gentleman's Diary dergisine, basitmiş gibi duran bir problem gönderdi. Problem şöyleydi:

Bir okuldaki on beş kız öğrenci, arka arkaya yedi gün boyunca üç kişilik gruplar halinde yan yana yürüyecektir. Kız öğrencilerden ikisi yan yana iki kez yürümeyecek şekilde nasıl sıralayabiliriz?

Bu problemi bir kez okuyunca çok da zor olmadığı anlaşılıyor; ancak soru, görünenden çok daha zor. Çünkü deneyecek olursanı, henüz 3. ya da 4. günde kafaların karıştığı ve işin içinden çıkılamaz bir hal aldığını görmeniz olasıdır.

Tüm Reklamları Kapat

Problemin hem kısa olması hem de çok uğraş gerektirmesi, problemi popüler yapmıştı. Problem elbette eğlenceli; ancak bunun gibi problem türleri, bu tarz dergilerde oldukça fazla yayımlanmıştır, dolayısıyla burada sıra dışı bir durum yok. Ama bu problemi diğerlerinden ayıran, Kombinatoryal Tasarım Teorisi adı verilen bir matematik alanını başlatmış olmakla kalmayıp, o zamandan beri deney tasarımında, hata düzeltme kodlarında, kriptografide ve hatta piyangoda uygulama alanı bulmuş olmasıdır.

Peki bu problemin çözümü var mı? Varsa, bu ve buna benzer problemlerin genel bir çözümü var mı? Birlikte bakalım.

Problemin Çözümü

Elbette amatör veya profesyonel matematikçiler bu soruyla pek çok kez uğraştılar ve bunun sonucunda birden fazla çözüm bulmayı başardılar. Bu birden fazla çözüm belki normal geliyor olabilir; ancak sorunun birden fazla cevabı olduğunu hesaba katarsak, hem çözümler farklı hem sonuçlar farklı çıkabiliyor. Biz bu çözümleri size işin denklem ve üst düzey hesaplama kısmından bahsetmeden anlatmaya çalışacağız.

Çözüm 1

Problemi ilk okuduğunuzda kalem kağıt çıkarıp haftanın günlerine ve kişilere harfler vererek (ya da numaralandırarak) işe koyulmuşsunuzdur. Kesinlikle tam olarak biz de böyle yapmaya çalışacağız.

Tüm Reklamları Kapat

Bir hafta boyunca üçerli gruplar halinde yürümeleri gerekiyorsa bir günde toplam grubun 5 olacağı aşikardır. Ve kişilerin isimlerinin A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N ve O olduğunu düşünelim. Bu sorunu çözmek için biraz lise düzeyinde matematiğe ihtiyaç duyuyoruz. Birkaç kişinin yan yana gelerek oluşturduğu dizilimler olsaydı rahatlıkla bulabilirdik ancak 15 öğrenci olunca iş biraz zorlaşıyor.

Şimdi, 15 kişinin bir günde yan yana sıralanması için 15!15! seçenek vardır. Bu sayı oldukça yüksek olmasına rağmen bunun bir hafta süreceğini hesaba katarsak (15!)7(15!)^7 olarak buluruz. Bu, çok çok büyük bir sayıdır; o yüzden bazı koşullar getirebiliriz. Koşullardan ilki, pazar gününü sabitlemek olacaktır.

Pazar günü sabitlenmiş olan gösterim
Pazar günü sabitlenmiş olan gösterim

Elbette bu bize biraz yardımcı oldu; ancak hâlâ (15!)6(15!)^6 seçenek var. Biraz daha zihnimizi yorarsak başka kısıtlamalar getirebiliriz. Şöyle ki; diğer günler ilk 3 grubun ilk üyelerini sabit tutabiliriz:

Diğer altı gün ilk üç grubun ilk üyeleri sabittir. (A, B, C)
Diğer altı gün ilk üç grubun ilk üyeleri sabittir. (A, B, C)

Bu durum sonucunda kişi sayısının seçilme durumunu 12'ye indirmiş oluyoruz böylelikle yeni olası yollar (12!)6(12!)^6 'dır. Evet, hâlâ yeterince büyük bir sayı ile karşı karşıyayız; bu öyle büyük bir sayı ki, evrenin yaşının yaklaşık 28 trilyon katıdır!

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Peki, daha fazlasını yapmamız gerekiyor. Bunun için belirli kısıtlamalara devam ediyoruz; ancak bu kısıtlamaları anlatabilmek için tablonun tamamını doldurmalıyız. Doldurma işlemi, elbette şu anda anlattığımız yöntemin sonucunda oluşarak yapılmıştır, dolayısıyla bunu aslında baştan bilmeniz mümkün değildir:

Yeşil ve kırmızı renkli harflerin gösterimi
Yeşil ve kırmızı renkli harflerin gösterimi

Tablonun tamamını gördüğümüzde karşımıza çıkan 3 yeni kuralı şöyle derleyebiliriz:

  • En soldaki sütundan aşağı inildiğinde değerler artar (yeşil renkli harfler).
  • İlk sıranın ortasındaki harf her gün artar (kırmızı renkli harfler).
Hesaplamalar sonucu oluşan tablo
Hesaplamalar sonucu oluşan tablo
  • Her satırda soldan sağa değerler artar. Yeşil harfler sarı harflerden daha düşük sarı harfler mavi harflerden daha düşük diyebiliriz. İlk satır hariç, çünkü ilk satırda sarı harf renklendirmesi yapmadık; halihazırda kırmızı oldukları için, onları şu şekilde sıralayabiliriz: Yeşil harfler kırmızı harflerden, kırmızı harfler mavi harflerden daha düşüktür.

Bu kısıtlamalar elbette işimizi kolaylaştırmış oldu; ancak tamamıyla bizim yapabileceğimiz bir tablo oluşturmak çok güç olduğu için, sadece bu kısıtlamalardan yararlanarak basit bir bilgisayarda yalnızca birkaç saniye süren, farklı konumlarda harflerin (yani kişilerin) 200 milyondan az deneme içeren bir geri izleme çözümü bulabiliriz. İşte bu kısıtlamalardan yararlanarak, bilgisayar yardımıyla geri izleme çözümlerinden bir tanesi, yukarıdaki tablodur.

Problemi ilginç kılan şeylerden bir tanesi tek bir çözümünün olmayışı demiştik, şimdi başka bir çözüme göz atalım.

Çözüm 2

15 kişiyi, sayılar yardımıyla isimlendirelim. 1, 2, 3, 4, ... ,15 gibi. Şimdi iç içe iki çemberi anımsatan numaralar ve ortak bir merkezlerinin olduğunu düşünelim. Bu numaralar iç içe geçmiş çember üzerindeki noktalara belirli şartlar yardımıyla yerleştirilecektir.

İç içe geçmiş çember şeklinde olan sayılar
İç içe geçmiş çember şeklinde olan sayılar
  • Dış çemberde bulunan 7 nokta, saat yönünün tersi (yeşil ok) şekilde sıralanmış olsun ve bu noktalara 1'den 7'ye kadar en üst noktadan yeşil ok yönünde sıralanmış olsun.
  • İç çemberdeki 7 nokta ise devam eden 7 tane sayıyı (8, 9, ..., 14) yine yeşil ok yönünde sıralanmış olsun.
  • Son olarak çemberin merkezi son sayı olan 15 olsun.
Pazar günü oluşacak durum
Pazar günü oluşacak durum

Bu veriler sonucunda, soruya cevap olabilmesi için herhangi üç noktanın (üç kişinin yan yana olması) birleşmesi gerekiyor. Bu birleşmeyi öyle yapmamız gerekiyor ki hiçbiri birbiriyle çakışmasın. Şuna dikkat ediniz: Çakışmadan kastımız, kırmızı çizgilerin üst üste gelmesi değildir; başka günlerde aynı bağlanmanın olmasıdır. Mesela şekilde pazar günü olarak 1, 2 ve 4 numaralı kişiler dizilmiş, başka gün tekrardan bu dizilimin gerçekleşmemiş olmasıdır.

Tüm Reklamları Kapat

Bu bağlama şeklini elde edebiliriz ama elbette bunu da bilgisayar yardımıyla elde etmiş oluyoruz ancak bu yöntem sadece bir günlüktür. Bu şeklin tamamını yeşil ok yönünde birer adım ilerletirsek haftanın diğer günlerini de elde etmiş oluruz.

7 gün boyunca oluşacak olası durumlar
Stack Exchange

7 gün boyunca hepsinin birlikte oluşturacağı şekil ise şöyledir.

Toplam günlerin oluşturduğu şekil
Toplam günlerin oluşturduğu şekil
Prof. Dr. Reinhard Laue

Ve aynı problemin Çözüm 1'deki sonucu ile şu anda çözdüğümüz sonuç farklı olmasına rağmen, doğru olmuş oluyor. Bu durumu tablo halinde gösterelim.

Tüm Reklamları Kapat

Geometrik çözümün tablo gösterimi
Geometrik çözümün tablo gösterimi

Burada gördükleriniz, bu problemin bugüne kadar geliştirilmiş 7 cevabından sadece ikisidir. Hatta buna benzer başka problemler de vardır; ancak matematikçilerin aklına takılan soru, elbette bu soruların neden genel bir çözümünün olmayışıdır.

Görüldüğü üzere, üstünden 170 yıl geçmesine rağmen bu ve buna benzer problemlerin sabit bir çözümünün olmadığı görülüyor. Belki de bu problemleri popüler tutan şey, tek bir çözümünün ve tek bir cevabının olmamasıdır.

Yazımızı, bir dörtlük ile sonlandırmak istiyoruz. Bu dörtlük, Lady's and Gentleman's Diary dergisine bu problemi ele alan bir kadın (veya derginin adına ithafen, bir "hanımefendi") tarafından yazılmıştır:

Büyük şöhretli mürebbiye,

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
Kimse Bakmazken Duygular Ne Yapar?

Farklı farklı duygular, az veya çok hepimizde varlar. Peki acaba bu tuhaf yaratıklar bizim onları hissetmediğimiz mesai saatleri dışında ne yapıyorlar?

Hangi duygu yükseklere tırmanıyor, hangisi yerin altına saklanıyor, hangisi bir baloncuğun içinde yaşıyor ve hangisi salyangozlara yardım ediyor? Kaygı, tam olarak neden çekiniyor? Güvenin kurduğu köprüden kimler kimler geçiyor?

25 dile çevrilen bu şairane kitap, içimizdeki duygulara bakmak, onları tanımak ve ailecek onlar hakkında sohbet etmek için harika bir davet.

Duygularımıza dair hem tatlı hem manidar gerçekler Oziewicz’nin şairane dili, Zając’ın muzip çizimleriyle birleşiyor; hoş detayları ve düşündüren metaforlarıyla her yaştan bizleri kendi içimizde yolculuğa çıkarıyor. Cevapları ararken çocukları kendi duygularıyla tanıştırıyor, hissetme ilhamı veriyor; duyguları yargılamadan sunarak onlar hakkında konuşmaya teşvik ediyor.

Devamını Göster
₺170.00
Kimse Bakmazken Duygular Ne Yapar?
  • Dış Sitelerde Paylaş

Kasabanın yakınlarında gezen,

On beş genç hanım vardı,

Yeşil çayırlar boyunca.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
27
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 9
  • Muhteşem! 6
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 5
  • Merak Uyandırıcı! 5
  • İnanılmaz 4
  • Bilim Budur! 3
  • Umut Verici! 3
  • Güldürdü 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
  • I. Italia. (2012). The Rise Of Literary Journalism In The Eighteenth Century: Anxious Employment. ISBN: 9780415651516. Yayınevi: Routledge.
  • E. W. Weisstein. Kirkman's Schoolgirl Problem. (28 Kasım 2020). Alındığı Tarih: 28 Kasım 2020. Alındığı Yer: Wolfram Alpha | Arşiv Bağlantısı
  • R. Laue. (2020). The Schoolgirl Problem Of Reverend Kirkman (1806-1895).
  • A. Hui. An Introduction To Kirkman’s Schoolgirl Problem. (28 Kasım 2020). Alındığı Tarih: 28 Kasım 2020. Alındığı Yer: Hong Kong University | Arşiv Bağlantısı
  • String. Is There A Memorable Solution To Kirkman's School Girl Problem?. (24 Mart 2015). Alındığı Tarih: 28 Kasım 2020. Alındığı Yer: Stack Exchange | Arşiv Bağlantısı
  • E. Klarreich. Answer To A 150-Year-Old Math Conundrum Brings More Mystery. (20 Haziran 2015). Alındığı Tarih: 28 Kasım 2020. Alındığı Yer: Wired | Arşiv Bağlantısı
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 26/05/2024 11:36:07 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/9612

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Karanlık Madde
Veri Bilimi
Uçuş
Dna
Irk
Yiyecek
Göç
Metabolizma
Kitlesel Yok Oluş
Doğa Yasası
Afrika
Araştırma
Böcek
Retrovirüs
Tümör
Taksonomik Sınıflandırma
Bebek Doğumu
Canlılık Cansızlık
Organizma
Elementler
Ekonomi
İlişki
Oyun
Mühendislik
Böcek Bilimi
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Bugün bilimseverlerle ne paylaşmak istersin?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
E. Ağacı, et al. Rahip Kirkman'ın Kız Öğrenci Problemi: İkişerli Gruplar Halinde Birden Fazla Defa Yan Yana Gelmek İstemeyen 15 Öğrenci Nasıl Sıralanabilir?. (30 Kasım 2020). Alındığı Tarih: 26 Mayıs 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/9612
Ağacı, E., Bakırcı, Ç. M. (2020, November 30). Rahip Kirkman'ın Kız Öğrenci Problemi: İkişerli Gruplar Halinde Birden Fazla Defa Yan Yana Gelmek İstemeyen 15 Öğrenci Nasıl Sıralanabilir?. Evrim Ağacı. Retrieved May 26, 2024. from https://evrimagaci.org/s/9612
E. Ağacı, et al. “Rahip Kirkman'ın Kız Öğrenci Problemi: İkişerli Gruplar Halinde Birden Fazla Defa Yan Yana Gelmek İstemeyen 15 Öğrenci Nasıl Sıralanabilir?.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, 30 Nov. 2020, https://evrimagaci.org/s/9612.
Ağacı, Evrim. Bakırcı, Çağrı Mert. “Rahip Kirkman'ın Kız Öğrenci Problemi: İkişerli Gruplar Halinde Birden Fazla Defa Yan Yana Gelmek İstemeyen 15 Öğrenci Nasıl Sıralanabilir?.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, November 30, 2020. https://evrimagaci.org/s/9612.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close