Monty Hall Paradoksunun Açıklaması: Tercihinizi Değiştirmek Neden Avantajlıdır?

Bu yazı, Evrim Ağacı'na ait, özgün bir içeriktir. Konu akışı, anlatım ve detaylar, Evrim Ağacı yazarı/yazarları tarafından hazırlanmış ve/veya derlenmiştir. Bu içerik için kullanılan kaynaklar, yazının sonunda gösterilmiştir. Bu içerik, diğer tüm içeriklerimiz gibi, İçerik Kullanım İzinleri'ne tabidir.

Belki şu meşhur soruyu duymuşsunuzdur: Diyelim ki bir yarışma programındasınız ve karşınızda 3 tane kapı var (üzerlerinde de 1, 2 ve 3 diye numaralar bulunuyor). Bu kapılardan bir tanesinin arkasında son model bir Lamborghini, diğer ikisinin arkasında ise birer tane keçi var. Tek bir kapı seçme şansınız var ve içinizden geçen kapıyı, örneğin 2 numaralı kapıyı seçtiniz. Bu, tıpkı Türkiye'deki "Var Mısın, Yok Musun?" yarışmasında kendi kutunuzu seçmek gibi. O kutuda (veya kapıda) gerçekten büyük ödül olabilir ama olmayabilir de... Diyelim ki siz 3 kapıdan 2 numaralı olanı seçtiniz. Sinsi sunucu, heyecanı arttırmak için sizin seçmediğiniz kapılardan bir tanesini, diyelim ki 3 numaralı kapıyı açtı. Ve tabii ki arkasında büyük ödül değil, keçi vardı. Dolayısıyla şu anda büyük ödül ya sizin kapınızda, ya da sunucunun açmamış olduğu diğer kapıda. İşi daha da kızıştırmak için sunucu size şunu soruyor: "Başta seçtiğiniz kapıyla mı devam etmek istiyorsunuz, yoksa diğer kapıyı mı seçmek istersiniz?" Yani zaten seçtiğiniz 2 numaralı kapıyla mı yola devam edeceksiniz ve arkasında ne varsa onu mu alacaksınız, yoksa bu örnekte henüz açılmamış olan 1 numaralı kapıya mı geçmeyi tercih edeceksiniz? 

Normalde, içi boş heyecan fırtınaları ve "kutusunda büyük hissetme" geyikleri bir kenara bırakıldığında, yarışmanın özü bakımından tercihin hiçbir önemi olmaması gerekir, öyle değil mi? Başlangıçta %33 (3'te 1) şansınız vardı, 1 kapı açılınca şansınız %50'ye (2'de 1) yükseldi; ancak sonuçta kararınızı değiştirmenizin herhangi bir önemi olmamalı, öyle değil mi? Matematik "Öyle değil!" diyor ve ekliyor: "Eğer size sunulan fırsatı seçerseniz ve seçtiğinizin haricindeki kapıyı tercih ederseniz, şansınız tam 2 kat artar!" diyor. Ama nasıl olur?

Bu problem, Türkiye'deki "Var Mısın Yok Musun" programının atası olan, ABD'li Monty Hall tarafından 1960-1970'li yıllarda sunulan "Let's Make A Deal" (Bir Anlaşma Yapalım) yarışmasından ötürü bu isimle anılmaktadır. O zamanlar yarışmanın formatı birazcık daha farklıydı; ancak mantık birebir aynıydı. 

21 Temmuz 1991 günü New York Times gazetesinde John Tierney tarafından yazılan bir yazıda ilk defa, bu yarışmada size sunulan fırsatı alıp kararınızı değiştirmenin şansınızı arttıracağı iddia edildi. Eylül 1991'de ise gazetenin yazarlarından biri olan Marilyn vos Savant'ın Pazar köşesine ilk defa bu konuyu açık olarak ortaya koyan bir soru gönderildi ve soru yazar tarafından paylaşılınca, ABD çapında 10.000'den fazla cevap alarak popülerlik kazandı. Cevap gönderenlerin ezici bir çoğunluğu, kararı değiştirmenin herhangi bir katkı sağlamayacağını ve şansın aynı olduğunda hemfikirdi. Zaten sağduyunun söylediği de budur.

Ancak sorunun bir paradoks olması, sorunun soruluş biçiminden kaynaklanmaktadır. Tüm matematik hesaplarını değiştiren unsur, sunucunun kapının arkasında ne olup ne olmadığını bilmesidir! Eğer ki sunucu da hangi kapının arkasında ne olduğunu bilmiyorsa ve sırf heyecan yaratmak için rastgele bir kapıyı açıyorsa ve şans eseri keçi olan bir kapı açılıyorsa, elbette kararınızı değiştirmenin matematiksel olarak hiçbir etkisi olmayacaktır. Şansınız aynıdır. Ancak böyle bir yarışmada, 3 tane kapı varken, sunucunun "kör bir şans" ile keçi olanı açma ihtimali ve yanlışlıkla arabayı gösterme ihtimali yok denecek kadar azdır. Yani sunucunun kapıların arkasında ne olduğunu bildiğini varsaymak son derece güvenli bir varsayımdır. Bu durumda, yani sunucunun kapıların arkasında olanları birebir biliyor olması durumunda, işler tamamen değişmektedir. Böyle bir durumda kararı değiştirmek, şansınızı arttıracaktır!

Neden mi? Aslında soruyu birçok farklı şekilde analiz ederek neden şansımızın arttığını görebiliriz. Ancak her cevap eşit derecede kolay anlaşılır değil. En basit anlama yolu, 1990 yılında yazdığı makalesinde Cecil Adams'ın izah ettiği gibi, aslında kapıyı değiştirme sorusunun şu anlama geliyor olması: "Başta seçtiğin tek kapıyla mı devam etmek istiyorsun, yoksa diğer 2 kapıyı mı almak istersin?" Çünkü sunucu, keçinin yerini %100 bilmektedir ve araba olan kapıyı açma şansı yoktur. Sunucu (ve herkes), aynı zamanda sizin seçtiğiniz kapıyı da bilmektedir. Dolayısıyla sunucunun bildiği bir kapıyı açmasından sonra size tercih hakkı tanıması, şansınızı arttırmanız için bir fırsattır. Eğer başta seçtiğiniz kapıda kalacak olursanız, %33'lük ihtimalinizi sürdürüyorsunuz demektir, çünkü analize yeni bilgi henüz dahil olmadığında (keçili bir kapı açılmadığında) yaptığınız tercihi devam ettirmektesinizdir. Ancak kapı açıldıktan sonra tercihinizi değiştirirseniz, sunucunun seçmediği kapıyı seçecek olduğunuz için şansınız artmaktadır. Şöyle de düşünebilirsiniz: Sunucu, arabanın olduğu yeri bilen kişi olarak, neden 1 numaralı kapıyı değil de, 3 numaralı kapıyı açmıştır? Bu kuşkunun doğması, matematiksel bir anlama sahiptir.

Bunu Keith Devlin de 2003 yılındaki makalesinde çok güzel bir şekilde izah etmektedir. Sunucunun kapılardan birini açıp keçiyi göstermesinin şu anlama geldiğini söylemektedir:

"Seçmemiş olduğun 2 adet kapı var. Bunlardan birisinin arkasında büyük ödülün olmama ihtimali %66 (3'te 2). Bende olan bilgiyi kullanarak sana yardım edeceğim ve o kapılardan 1 tanesinin istediğin ödüle sahip olmadığını sana göstereceğim. Başta tercih ettiğin kapının kazanma ihtimali %33'tü. Hala da öyle, çünkü senin kapına müdahale etmedim. Ancak diğer 2 kapıdan 1 tanesini eleyerek, diğerinde ödül olma şansını %66'ya (3'te 2) çıkarmış oldum. Dolayısıyla elindeki kapıda kalacak olursan, %33 şans ile kazanacaksın. Eğer kapını değiştirirsen, şansın %66'ya çıkacak. Çünkü ben kapıların arkasında ne olduğunu biliyorum ve kapı tercihini değiştirmekle, bir nevi, kendi tahmininle benim bilgimi takas etmiş oluyorsun."

Konuyu anlamanın bir diğer kolay yolu da, 3 kapı yerine 1.000.000 kapı olduğunu düşünmektir. 999.999'unun arkasında keçi ve 1 tanesinin arkasında büyük ödül var olduğunu düşünelim. Yarışmacı kapılardan birini seçerek tercihini yaptıktan sonra, geriye 999.999 kapı kalır. Sunucu, heyecanı arttırmak için bu kapılardan 999.998'ini açar ve geriye yarışmacının zaten seçmiş olduğu haricinde sadece 1 tane bırakır. Burada sorulması gereken şudur: yarışmacının kapılar açılmadan önce, 1 milyonda 1 olan ihtimali tutturmuş olması mümkün müdür? Sunucu tüm kapıları eledikten sonra tercihinizi değiştirmek istediğinizi sorması, bir nevi "Kendi 1 milyonda 1 olan şansına mı güveneceksin, yoksa benim tüm kapıları elemiş olmamdan ötürü hangisinin arkasında keçi olduğunu bildiğimi görerek, geride bıraktığımı mı tercih edeceksin?" Tabii ki mantıklı olan, tercihi değiştirmek ve sunucuya güvenmektir.

Evrim Ağacı olarak bizim anlatmak için kullandığımız, kendimizin geliştirdiği anlatım biçimi ise şudur: diyelim ki sunucu, soruyu sormadan önce kapılardan birini açsın. Sonuçta sizin 1 kapıyı seçip de sonra sunucu tarafından diğer bir kapının açılmasıyla, sunucunun kapıyı açıp da sonradan sizin bir kapıyı seçmeniz arasında hiçbir fark yoktur (eğer ki sunucu hangi kapının ardında ne olduğunu biliyorsa). 3 kapıdan 1 tanesini açacak olan sunucu, yarışmayı sürdürmek adına mutlaka arkasında keçi olanı açacaktır. Dolayısıyla geriye kalan iki kapıdan birini seçmeniz gerekecektir. Bu da, olasılığınızın %50 olması anlamına gelir (2 kapıdan 1'inde büyük ödül vardır). Dolayısıyla sunucu kapıyı sonradan açıyor olsa da, şansın baştaki %33'ten %50'ye çıkmaktadır.

Tabii burada sıklıkla atlanan ve anlaşılmasını zorlaştıran bir mevzu, sanki tercih değiştirmenin %100 kazanma anlamına geldiğini düşünmeye başlamaktır. Paradoks üzerine çok fazla kafa yorunca, bu olasılık gözden kaçmaktadır. Elbette tercihi değiştirmek sizi kesin olarak kazandırmayacaktır. Çünkü belki ilk seçtiğiniz kapı doğrudur ve sunucu belki de zihninizle oynuyordur. Ancak burada tüm olayın olasılıklarından bahsetmekteyiz. Dolayısıyla tüm olasılıklar değerlendirilmelidir. Elbette kazanma şansını %100'e çıkarmanın bir yolu yoktur. Dikkat edilecek olursa, tercihi değiştirme sonrasında kazanma ihtimali %33'ten %66'ya çıkmaktadır. %100'e değil. Yani geriye kalan %33'lük olasılık, başta doğru kapıyı seçmiş olma olasılığınızdır. Ancak %33'lük başlangıçta doğru seçimi yaptığınız olasılığına mı tutunacaksınız, yoksa %66'lık diğer kapıya geçme halinde kazanma olasılığına mı? 

Gerçekten de, hem insanlar üzerinde yapılan, hem bilgisayar simülasyonlarıyla yapılan analizler, aynı sonucu vermektedir. San Diego'da bulunan Kaliforniya Üniversitesi'nin 788 kişi üzerinde yaptığı araştırmada, kararını değiştirenlerin %68.5'i kazanırken, kararını değiştirmeyenlerin sadece %34.3'ü kazanabilmiştir. Gerçekten de şans, 2 kat artmaktadır!

Size fırsat tanındığında, eğer ki sunucu kapıların arkasındakileri biliyorsa, tercihinizi değiştirmek kazanma şansınızı 2 kat arttırmaktadır! Eğer sunucu bilmiyorsa, tercih değiştirmenin herhangi bir faydası ya da zararı olmaz. Sadece "kutumda büyük hissediyorum" zırvalarına biraz daha meydan tanımış olur, o kadar.

Eğer İngilizce biliyorsanız, buraya tıklayarak bu oyunu kendiniz de oynayarak olasılıkları görebilirsiniz.

Kaynaklar ve İleri Okuma:

  • UCSD. Let's Make A Deal. (2018, Haziran 30). Alındığı Tarih: 30 Haziran 2018. Alındığı Yer: The Monty Hall Page
  • Wikipedia. Monty Hall problem. (2018, Haziran 28). Alındığı Tarih: 30 Haziran 2018. Alındığı Yer: Wikipedia

Kuzey ve Güney Yarımkürelerdeki Lavabolarda/Klozetlerde Su Ters Yönde Girdaplar Mı Oluşturur?

Zamanı Bükebilmek...

Yazar

Çağrı Mert Bakırcı

Çağrı Mert Bakırcı

Yazar

Evrim Ağacı'nın kurucusu ve idari sorumlusudur. Popüler bilim yazarı ve anlatıcısıdır. Doktorasını Texas Tech Üniversitesi'nden almıştır. Araştırma konuları evrimsel robotik, yapay zeka ve teorik/matematiksel evrimdir.

Konuyla Alakalı İçerikler

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
Geri Bildirim