Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat

Bayes Teoremi'ne Basit Bir Giriş: Gerçekten Kanser misiniz?

8 dakika
22,539
Bayes Teoremi'ne Basit Bir Giriş: Gerçekten Kanser misiniz? Medical News Today
Tüm Reklamları Kapat

Gelin sizinle birazcık matematik ve biyoloji üzerine kafa yoralım. Hemen korkmayın! Aklınızı zorlayacak ama tahmin ediyoruz bundan keyif alacaksınız.

Şimdi, diyelim ki Türkiye'de kanserin görülme sıklığı 1000'de 1. Yani her 1000 kişiden 1'inde kanser görülüyor olsun. Ve diyelim ki şehrinizde bir laboratuvar var. Bu laboratuvar size kanser olup olmadığınızı söylüyor. Ancak elbette bu laboratuvarın sonuçları kusursuz değil. Buna rağmen şehrin en iyisi onlar! %99 ihtimalle doğru sonuç veriyorlar!

Bu ne demek? Eğer kanseriniz varsa, laboratuvar %99 ihtimalle kanserinizi tespit ediyor. Buna doğru pozitif diyoruz. Aynı şey, kanseriniz yoksa da aynı şekilde geçerli: Eğer kanser değilseniz, laboratuvar sonuçları %99 ihtimalle negatif geliyor. Buna doğru negatif diyoruz.

Tüm Reklamları Kapat

Ancak %1 ihtimalle laboratuvar hata yapıyor. Yani aslında siz kanser değilken bile kanser olduğunuzu söylüyor. Buna, hatalı pozitif veya Tip-1 Hata diyoruz. Veya kanserseniz, kanser olmadığınızı söylüyor. Buna hatalı negatif veya Tip-2 Hata diyoruz. Ama bu hata, %1 ihtimalle yaşanıyor.

O zaman size soru: Test sonuçlarınız bu laboratuvara gönderildi ve sonuçlar ne yazık ki pozitif geldi. Buna rağmen, aslında kanser olmama ihtimaliniz nedir?

Biraz düşünün... 

%1, öyle değil mi? Sonuçta laboratuvar sonuçları %1 ihtimalle hatalıysa, %1 ihtimalle aslında kanser değilsiniz ama sonuçlarınız yanlışlıkla pozitif geldi.

Tüm Reklamları Kapat

Değil işte! Olasılık matematiği bu şekilde çalışmıyor! Gelin işin aslına bakalım:

Kanser Olmama Olasılığınız

Diyelim ki şehrinizde 5000 kişi yaşıyor. Bunların 5 tanesinin kanser olmasını bekleriz; çünkü yazının başında her 1000 kişiden 1'inde kanser görüldüğünü söylemiştik. 5000'i 1000'e bölerseniz 5 çıkar. 

Diyelim bu 5000 kişiyi birden test ettik. O 5 kanser hastasını başarıyla tespit edebilmemiz lazım; çünkü testimiz %99 başarı oranına sahip. 5'in %99'u 4.95. Bireylerden bahsettiğimiz için bunu güvenle 5'e yuvarlayabiliriz. Yani hasta olan hepsini başarıyla tespit ettik. Bu noktada sorun yok.

Peki ya geri kalan 4995 kişi? Bunları test ettiğimizde, 50 kişinin sonuçları hatalı bir şekilde pozitif gelecektir. Neden? Testimiz %1 ihtimalle hatalı sonuç veriyor. Yani 4995 testin 49.95'i, ya da 50 tanesi hatalı olacak.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Bu ne demek? Elimizde 5000 kişi içinden 55 adet pozitif test sonucu var demek. Ancak bu 55 kişiden sadece 5 tanesi gerçekten kanser. 50'si aslında kanser değil!

O zaman, bu teste dayanarak gerçekte kanser olma ihtimalinin 55'te 5 ya da %9 civarında olduğunu söyleriz. Bir diğer deyişle, yine bu teste dayanarak gerçekte kanser olmama ihtimalinin 55'te 50, ya da %91 civarında olduğunu söyleriz.

Bu ne demek? Eğer 5000 kişi test edildiyse ve siz pozitif bir sonuç aldıysanız, bu teste dayanarak %91 ihtimalle gerçekte kanser değilsiniz!

Bayes Teoremi Bize Ne Öğretiyor?

Bu bize ne öğretiyor? Aslında çok fazla şey...

İlk olarak, tekil olasılıkların ne anlama geldiğini çok iyi düşünmemiz gerektiğini gösteriyor. Matematikten anlamanın ne kadar önemli olduğunu gösteriyor. Testlerin başarı oranları ile o testin test ettiği şeyin sizde olup olmadığına dair oranların birbiriyle ilişkili ama aynı şey olmadığını gösteriyor. 

Bu örnek bize aynı zamanda ikinci, üçüncü görüşlere başvurmanın ne kadar kıymetli olduğunu gösteriyor. Çünkü burada hesaplayarak kafanızı daha çok karıştırmayacağız; ancak ikinci bir laboratuvardan görüş alıp da, ondan da pozitif sonuç alacak olsaydınız, kanser olma ihtimaliniz %9'dan bir anda %90'ın üzerine fırlayacaktı. Aynı şey, aynı testi aynı laboratuvarda tekrar etmeniz halinde de geçerli; bu nedenle kimi zaman laboratuvarlar aynı kişi için bir testi birden fazla defa test edebilirler. Modern zamanlarda hastanelerin test metotları %99'dan çok ama çok daha isabetlidir. Örneğin bazı testler %99.999 isabetliliğe sahiptirler. Ayrıca hekimler makul düzeyde emin olmaksızın kanser tanısını koymazlar. Bu nedenle kanser veya bir diğer hastalığa dair tıbbi sonuçlarınızı sırf bu yazıdaki basitleştirilmiş bir örnekten yola çıkarak reddetmeye kalkmayın, hayatınızla oynamış olursunuz. Çünkü unutmayın: İşinin hakkını veren laboratuvar teknisyenleri ve hekimler, bu olasılık hesabından fazlasıyla haberdarlar ve tanılarını bunu göz önüne alarak koyarlar.

Tüm Reklamları Kapat

Ancak Bayes Teoremi'nin bize öğrettiği en önemli şey, hayatta hiçbir şeyden %100 emin olmamak gerektiği. Burada detaylarına girmedik; ancak aslında bilimin kalbinde yer alan Bayes Teoremi isimli müthiş önemli bir matematiksel teoremin nasıl çalıştığını öğrenmiş oldunuz. En azından temel prensibini öğrendiniz.

Bayes Teoremi ve Monty Hall Probleminin Çözümü

Bayes Teoremi (veya Bayes Formülü), belli bir kanıt veya veri ışığında, bir hipotezin gerçek olma olasılığını hesaplar:

P(H∣E)=P(E∣H)P(H)P(E)\LARGE{P(H|E)=\frac{P(E|H)P(H)}{P(E)}}

Tüm Reklamları Kapat

Eğer elde iki hipotez varsa:

P(H1∣E)=P(E∣H1)P(H1)P(E∣H1)P(H1)+P(E∣H2)P(H2)\LARGE{P(H_1|E)=\frac{P(E|H_1)P(H_1)}{P(E|H_1)P(H_1)+P(E|H_2)P(H_2)}}

Burada (ve genel olarak):

  • HH, veri veya kanıttan etkilenen ve onlar ışığında değişecek olan hipotezdir. Çoğunlukla bir gözlemi izah eden birden fazla hipotez vardır ve bu yaklaşımda amaç, en olası olanı tespit etmektir. H1H_1 birinci hipoteze, H2H_2 ikinci hipoteze karşılık gelmektedir.
  • P(H)P(H), önsel olasılık olarak bilinir. Bu, henüz EE kanıtı toplanmadan HH hipotezinin doğruluk oranıdır. Genelde bir hipotezin doğruluğuna yönelik olarak kestirdiğimiz bir ihtimalden veya önceden yapılan deneylere bağlı olarak hipotezin sahip olduğu doğruluk değerinden ibarettir.
  • EE, bir hipotez ile ilişkili olarak toplanan, daha önceden elde olmayan kanıt veya veridir.
  • P(H∣E)P(H|E), koşullu olasılık veya ardıl olasılık olarak tanımlayabileceğimiz, EE kanıtın toplandıktan sonra HH hipotezinin doğru olmasına yönelik olasılık değeridir. Yani bu, bilmek istediğimiz asıl olasılıktır. Bu olasılık, HH hipotezine bağlı olan bir fonksiyondur.
  • P(E∣H)P(E|H), eğer HH hipotezi doğruysa, EE kanıtını toplama ihtimalidir. Kimi zaman olabilirlik olarak da ifade edilir. Bu olasılık, toplanan kanıtların eldeki hipotezle tutarlılık oranını da yansıtır. Bu olasılık, EE kanıtına bağlı olan bir fonksiyondur.
  • P(E)P(E), eldeki bütün hipotezler için eşit olan marjinal olabilirlik değeridir. Herhangi bir hipoteze bağlı bir değer olmadığı için, farklı hipotezlerin göreli doğruluk oranını hesaplamakta kullanılmaz.

Ayrıca P(E)P(E), matematiksel olarak şu şekilde de genişletilebilir:

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
Bitki Biyolojisi (Graham and Wilcox)

ISBN: 9789758624904
Sayfa Sayısı: 497
Baskı Sayısı: 2
Ebatlar: 19.00 X 27.00
Basım Yılı: 2015

Devamını Göster
₺900.00
Bitki Biyolojisi (Graham and Wilcox)
  • Dış Sitelerde Paylaş

P(E)=P(E∣H)×P(H)+P(E∣H deg˘il)×P(H deg˘il)P(E)=P(E|H)\times{P(H)}+P(E|\text{H değil})\times{P(\text{H değil}})

Dolayısıyla Bayes Formülü'nü şöyle de yazabiliriz:

P(H∣E)=P(E∣H)×P(H)P(E∣H)×P(H)+P(E∣H deg˘il)×P(H deg˘il)\LARGE{P(H|E)=\frac{P(E|H)\times{P(H)}}{P(E|H)\times{P(H)}+P(E|\text{H değil})\times{P(\text{H değil}})}}

Eğer bu konuda kafanızı yakmak isterseniz, meşhur Monty Hall Problemi'ni düşünebilirsiniz. O soru bağlamında bulmak istediğimiz olasılık, sunucunun arkasında keçi olan bir kapıyı açtıktan sonra, seçtiğimiz kapının arkasında araba olma ihtimalidir (ve dolayısıyla kapımızı değiştirmeme davranışımızın başarı oranıdır). Şimdi, bunu Monty Hall Problemi için uyarlayacak olurask:

  • P(H)P(H), bizim seçtiğimiz 1 numaralı kapının arkasında, tercihimiz öncesinde araba olma ihtimalidir. İşte başta 1/31/3 veya %33.33... olan budur ve eğer ki oyunu hazırlayanların bir önyargısı varsa, bu sayıyı değiştirerek o önyargıyı da işin içine katabiliriz.
  • P(H deg˘il)P(\text{H değil}), araba olan kapıyı seçmeme ihtimalimizdir. Arkasında araba olan kapıyı seçme ve seçmeme ihtimalimizin toplamı %100 olmak zorunda olduğu için (başka bir olasılık olmadığı için), %100'den %33.33...'ü çıkarak bu sayıyı bulabiliriz: 2/32/3 veya %66.66...
  • P(E∣H)P(E|H), eğer araba seçtiğimiz 1 numaralı kapının arkasındaysa, sunucunun arkasında keçi olan bir kapı gösterme ihtimalidir. Sunucu, bu oyun dahilinde, her zaman arkasında keçi olan bir kapı göstermek zorunda olduğu için, bu değer 1'dir (%100). Farklı senaryolar ve varyantlar altında bu durumu da değiştirerek farklı sonuçlar elde etmek mümkündür.
  • P(E∣H deg˘il)P(E|\text{H değil}), eğer seçtiğimiz 1 numaralı kapı arkasında keçi varsa, sunucunun arkasında bir keçi olan bir kapı açma ihtimalidir. Yine, oyunun kuralları gereği sunucu her zaman bir keçi göstereceği için, bu oran da 1'dir (%100).

İşte bunların hepsini birleştirecek olursak, seçtiğimiz kapıyı değiştirmememiz halinde kazanma olasılığımıza yönelik sonucu elde ederiz:

P(H∣E)=1×131×13+1×23=131=13\LARGE{P(H|E)=\frac{1\times{\frac{1}{3}}}{1\times{\frac{1}{3}}+1\times{\frac{2}{3}}}=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{1}{3}}

Dilerseniz, kapıyı değiştirme durumunu da sıfırdan hesaplayabilirsiniz; ancak P(H∣E)+P(H deg˘il∣E)=1P(H|E)+P(\text{H değil}|E)=1 olmak zorunda olduğu için, yukarıdaki 1/31/3 oranını 1'den çıkararak, kapıyı değiştirme davranışının doğru olma olasılığının 2/32/3 olduğunu görebiliriz.

Hatta Bayes Formülü'nü kullanarak, sunucunun kapıların ardında ne olduğunu bilmediği durumu da hesaplayabiliriz! Bunu yapacak olursak:

P(H∣E)=1×131×13+12×23=1323=12\LARGE{P(H|E)=\frac{1\times{\frac{1}{3}}}{1\times{\frac{1}{3}}+\frac{1}{2}\times{\frac{2}{3}}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}=\frac{1}{2}}

Görebileceğiniz gibi burada tek değişen, P(E∣H deg˘il)P(E|\text{H değil}) değerinin %100 değil, %50 (1/21/2) olmasıdır. Görebileceğimiz gibi, tamamen rastgele olan durumda kapımızı değiştirmek veya değiştirmemek fark etmez, iki durumda da kazanma ihtimalimiz %50'dir.

Tüm Reklamları Kapat

Sonuç

İlerleyen yazılarda bu teoremin detaylarına da gireceğiz ve o zaman da göreceksiniz ki, bir olguyla veya gerçekle ilgili ne kadar çok kanıt toplarsak, onun gerçekliğinden o kadar emin oluruz. Ancak o olguya dair eminlik seviyemiz hiçbir zaman %100'e ulaşmaz.

Bu demek değildir ki her şeye paranoyak bir kuşkuyla yaklaşmalıyız. Bu demek değildir ki gerçek diye bir şey yoktur. Bayes Teoremi'nin bize öğrettiği şey, kanıtlarımızı sonuçlarımıza doğru şekilde bağladığımızdan emin olmak ve her şeyi kesin olarak bildiğimiz yanılgısına düşmemektir. Gerçeklere belki hiçbir zaman %100 isabetle ulaşamayacağız; ancak elimizde %99'un üzerini zorlayan bir bilgi türü olarak bilim varken, buna sırt çevirmek en kibar tabiriyle türümüz için ahmaklık olacaktır.

Kanıtlar, bizi gerçeğe götürür ve eğer ki bir şeyleri kanıt olmaksızın gerçek kabul ediyorsanız... %100 ihtimalle olmasa bile, çok büyük ihtimalle hata yapıyorsunuz. 

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
83
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 36
  • Bilim Budur! 18
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 14
  • Merak Uyandırıcı! 12
  • Muhteşem! 11
  • İnanılmaz 6
  • Umut Verici! 4
  • Grrr... *@$# 2
  • Üzücü! 1
  • Korkutucu! 1
  • Güldürdü 0
  • İğrenç! 0
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 21/11/2024 13:43:36 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/7795

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Eşey
Genler
Evrim Ağacı Duyurusu
Yeşil
Asteroid
Beslenme Bilimi
Kalıtım
Sendrom
Kanser
Dağılım
Ağrı
Nöronlar
Deniz
Sars
Ara Tür
Renk
Embriyo
Tür
Periyodik Tablo
Hukuk
Ortak Ata
Carl Sagan
Evrimsel Tarih
Hayatta Kalma
Kanser Tedavisi
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Bugün bilimseverlerle ne paylaşmak istersin?
Gündem
Bağlantı
Ekle
Soru Sor
Stiller
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Aklınızdan geçenlerin bu platformda bulunmuyor olabilecek kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
Ç. M. Bakırcı. Bayes Teoremi'ne Basit Bir Giriş: Gerçekten Kanser misiniz?. (13 Mayıs 2019). Alındığı Tarih: 21 Kasım 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/7795
Bakırcı, Ç. M. (2019, May 13). Bayes Teoremi'ne Basit Bir Giriş: Gerçekten Kanser misiniz?. Evrim Ağacı. Retrieved November 21, 2024. from https://evrimagaci.org/s/7795
Ç. M. Bakırcı. “Bayes Teoremi'ne Basit Bir Giriş: Gerçekten Kanser misiniz?.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, 13 May. 2019, https://evrimagaci.org/s/7795.
Bakırcı, Çağrı Mert. “Bayes Teoremi'ne Basit Bir Giriş: Gerçekten Kanser misiniz?.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, May 13, 2019. https://evrimagaci.org/s/7795.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close