Basit Bir Köprü Problemi Matematiğin Hangi İki Dalını Bulmaya Yardımcı Oldu?

Nehir kıyısında yapılan bir yürüyüş, matematiğin iki yeni alanının doğmasına neden olabilir mi? Eğer bu yürüyüşü yapan kişi Leonhard Euler ise, cevabı tereddütsüz bir şekilde “evet” olur.

18. yüzyılda Prusya'nın Königsberg kentinde yaşayanlar birbirlerine şu soruyu soruyorlardı: “Şehrin tarihi yedi köprüsünden her birini tam olarak bir kez geçen bir yürüyüş yolunu nasıl bulabiliriz?”

Köprüler iki büyük adanın bulunduğu bir nehri kapsıyordu. Rotalarını ne kadar stratejik olarak planlasalar da bir köprüyü tekrar, tekrar geçmekten kaçınamıyorlardı.

Sonunda yerel halk bu sorunu çözmesi için ünlü matematikçi Leonhard Euler'e yalvarırcasına bir mektup yazdı. Anacak Euler, sorunun "matematikle çok az ilişkisi" olduğunu iddia ederek küçümseyici bir şekilde yanıt verdi. Bir bakıma haklıydı, çünkü ilgili matematik henüz icat edilmemişti. Başlangıçta tereddüt etmesine rağmen Euler, Königsberg'in yedi köprüsünün bulmacasını çözdü lakin bu süreçte iki yeni matematik dalı buluşunun farkında değildi.

Herhangi bir matematik problemini çözmenin ilk zorluğu, yalnızca temel öğeler kalana kadar gereksiz bilgileri ayıklamaktır ve bu sürece “soyutlama” denir. Köprülerin uzunlukları, kara kütlelerinin boyutları, hatta kara ve köprülerin coğrafi yönelimleri bile atılabilir. Önemli olan tek şey, hangi kara parçalarının hangilerine ve kaç kez bağlandığıdır.

Diyelim ki Königsberg'de ikamet ediyoruz. Yukarıdaki haritaya bakarak her köprüyü bir kez geçen bir yol tasarlayabilir miyiz? Bu cevabı vermek için bir matematikçi gibi düşünmemiz gerekecek. Şimdi, sırasıyla kara ve köprüleri temsil eden sadece dairelerden ve çizgilerden oluşan çok daha basit bir diyagram oluşturabiliriz.

Modern matematik jargonunda buna "grafik" denir, xy düzlemindeki çizimler veya çubuk grafikler gibi istatistiksel görselleştirmeler gibi diğer alakasız matematiksel grafiklerle karıştırılmamalıdır. Belki de herhangi bir karışıklığı önlemek için "ağ" daha iyi bir terim olurdu. Dairelere "köşeler" ve çizgilere "kenarlar" diyoruz. Günümüzde grafik teorisi, geniş kapsamlı uygulamalara sahip matematik ve bilgisayar biliminin önemli bir alanıdır. Grafiklerin kara ve köprüleri temsil etmesi gerekmez.

Euler, başlangıçta köprü problemine alaycı bir şekilde yaklaşsa da, sonunda onu her zamanki araç setiyle çözememesi onu cezbetti. Bir arkadaşına şöyle yazdı: "Bu soru çok sıradan, ancak ne geometri, ne cebir, ne de sayma sanatı onu çözmek için yeterli olmadığı için dikkate değer gördüm." O zamanlar geometri konuları sadece mesafe, açı ve alan gibi niceliksel kavramlarla ilgiliydi. Ancak köprü problemi doğası gereği geometrik görünse de, herhangi bir ölçüm gerektirmiyordu. Problem, geleneksel geometrik nicelikleri göz ardı eden ve sorunun özündeki çiftler arası bağlantılara saygı gösteren yeni bir soyutlama gerektiriyordu.

Königsberg haritasını basit bir grafiğe indirgeme fikri geriye dönüp bakıldığında aşikâr görünebilir, ancak en iyi soyutlamaların çoğu bunu yapar. Matematiğin tarihi, soyutlamanın gücünün hikâyesini anlatır. Eğer eski matematik zihinleri elmalar, inciler veya hatta Dünya hakkında niceliksel sorular sormuş olsaydı, her yeni zorluğun üstesinden gelmek için özel bir dil ve teknik geliştirebilirlerdi. Ancak bu farklı görünen nesnelerin hepsinin aynı üst düzey varlığı, yani bir küreyi örneklediği fark edildiğinde çaba çok daha kolay ve net hale gelir. Soyutlamaya bir isim ve tanım vermek, hiç tanışmamış insanların tekerleği yeniden icat etmeden birbirlerinin çalışmalarını geliştirmelerine olanak tanır.

Euler'in makalesi yalnızca grafik teorisi alanını başlatmakla kalmadı, aynı zamanda topoloji adı verilen bir başka önemli matematik dalının tohumlarını da ekti. Topoloji, nesneleri son derece elastik kauçuktan yapılmış gibi gerdiğimizde, sıkıştırdığımızda veya deforme ettiğimizde bile devam eden geometrik özelliklerin incelenmesini ifade eder. Dolayısıyla, bir soyutlama düzeyi bizi dağ, tepe veya herhangi bir gerçek dünya nesnelerinden şekillerine (küreler, piramitler ve küpler) götürürken, topoloji küreleri, piramitleri ve küpleri daha da yüksek mertebeden bir varlığın örnekleri olarak gördüğümüz ikinci bir soyutlama düzeyi sunar. Topologlar bu katıları eşdeğer olarak görürler çünkü her biri gerilse de bir delik koruyacağı için kauçuk bir dünyada diğerlerine kalıplanabilirler.

Königsberg haritasındaki nicel ayrıntıları soyutlayarak Euler, binlerce yıldır konuya egemen olan mesafe ve açı nicel ayrıntılarından bağımsız yeni bir tür geometrik düşünceye kapı açmış oldu.