Öpücük Sayısı Nedir? Bir Küreye Aynı Anda ve Aynı Çapta En Fazla Kaç Tane Küre Dokunabilir?

Günlük hayatımızda "öpücük" kelimesini her ne kadar sevgimizi belirtmek için kullansak da bu yazıda sevgiden bahsetmeyeceğiz. Öncelikle "öpücük" sözcüğünün başka bağlamlarda nasıl kullanıldığına açıklık getirelim: Örneğin bilardo oyununda, sert topların birbirine temas etmesine de "öpücük" denmektedir. Bu topların birbirine kaç kez temas ettiği ise "Öpücük Sayısı" olarak adlandırılır. Öpücük sayısının asıl çıkış noktası ise daha çok iki bilim insanı arasında geçen ve iddialaşma sonucu ortaya çıkan bir probleme dayanmaktadır. Bu iddialaşmanın başrolündeki bilim insanlarından biri; neredeyse bilim dallarının çoğunda etkisi bulunan klasik mekaniğin öncüsü, kalkülüsün babası, "Yaşamış Son Büyücü" olarak nitelendirilen Isaac Newton, diğeri ise Newton'un Principia'sının en büyük savunucularından biri olan İskoç Matematikçi David Gregory'dir.

1694 yılında Gregory, Cambridge Üniversitesi'nde bulunan Newton'u birkaç günlüğüne ziyaret etmiştir. Bu ziyareti sırasında iki bilim insanı sohbet ederken, Gregory adeta hocası olarak gördüğü Newton'un neredeyse ağzından çıkan her sözü defterine not almaya çalışmıştır. Yani aslında sohbet, büyük oranda tek taraflı ilerlemiştir. Bu durumu fark eden Newton, ilginçtir ki Gregory'in elindeki defteri alarak konuşmaktan ziyade, birkaç bilimsel ifadeyi kendisi bizzat yazmıştır. Yazarken defterde kendi bilimsel konuşmalarından bağımsız olarak bir soruyla karşılaşmıştır. Soru şudur: "Güneş etrafında dönen gezegenlerin sayısı kaçtır?" Bu soru üzerinde kısa bir tartışma yaparlar ve sonucunda "aynı boyuttaki merkezi bir topun (mesela bir bilardo topunun) etrafında eşit büyüklükte kaç top dönebileceği" sorusu üzerine düşünmeye başlarlar. Derken soru evrilerek "Bir top üzerinde eşit çaplara sahip 13 farklı top birbirini öpebilir mi?" halini almıştır ve tartışma ciddi anlamda kızışmıştır.

Günümüze uyarlanmış hali "Bir küreyi aynı anda ve aynı çapta en fazla kaç küre öpebilir?" olan sorunun çözümüne sezgisel yolla yaklaşan Newton, 12 tane top olarak cevap vermiştir; ancak Gregory'de buna istinaden biraz sıkıştırmayla 1 tane fazladan küre yerleştirerek 13 tane topun birbirine dokunabileceğini öne sürmüştür. Bu iki bilim insanının verdikleri cevapların 3 boyutlu uzayda geçerli olduğunu söylemekte yarar var.

Bu durumda kimin cevabı doğru? Diğer bir soru ise, daha fazla boyutlarda (örneğin 4. veya 5. boyutta) bu sorunun cevabı var mı?

Tek Boyutta ve 2. Boyutta Problemin Çözümü

Tek boyutta cevap, açıkça 2'dir. Aşağıdaki görsel, bunu net bir şekilde göstermektedir:

wikimedia

2. boyutta ise öpüşme sayısı 6'dır. Kanıtını uygulamalı bir şekilde yapmaya çalışalım:

Başlangıçta merkezi konumda (koyu renkli) olan bir çember ve ona temas eden 6 tane aynı çaplı çember görülüyor. A merkezli çember ile B ve C merkezli çemberlerin, merkezlerinden doğru parçası çizerek ABC üçgeni elde edelim. ABC üçgeni oluşturan doğru parçaları aslından sırasıyla A, B ve C merkezli çemberlerin yarıçapları olmakla birlikte bu çemberlerin tamamı yarıçaplarının eşitliğinden dolayı birbirine eşittir. Dolayısıyla ABC üçgenini oluşturan doğru parçalarının her bir uzunluğu $2r$'dir. Bu durum bize, ABC üçgeninin bütün kenarlarının eşit olduğunu göstermektedir ve sonuç olarak ABC üçgeni bir eşkenar üçgen olmuş olur. Eşkenar üçgenlerin kenarları eş olmakla birlikte iç açılarının ölçülerinin her biri $60°$'dir. Bu yöntem ile A merkezli çembere diğer temas eden çemberlerin hepsi yapılabilir. Yapıldıktan sonra herhangi bir açı maksimum $360°$olacağından, A merkezi bu şekilde $360°$ olmuş olur. Bundan dolayı A merkezli çember, toplam $6$ adet çember ile öpüşme gerçekleştirir.

3. Boyutta Problemin Çözümü: 12 mi? 13 mü?

Asıl tartışmanın olduğu soruya gelmiş bulunmaktayız. Newton ile Gregory arasında geçen iddialaşma kızışınca "Bir top üzerinde eşit çaplara sahip 13 farklı top birbirini öpebilir mi?" şekilde bir soru ortaya çıkmış oldu. Newton, cevabın ısrarla 12 olduğunu yani bir topa, çapları eşit olan kürelerden en fazla 12 tane öpüşme gerçekleşeceğini vurguluyordu; ancak Gregory küreleri sıkıştırarak 1 tane daha ekleyebileceğini söylüyordu. Bu tartışmanın nihai sonucunu ne yazık ki iki bilim insanı da göremeyecekti. Ancak uygulamalı bir şekilde çözümü bulmaya çalışalım:

Yaptığımız uygulamada dikkate aldığımız ilk kural, topların aynı çapta olmasıdır. Sonra başlangıç olarak düzenli bir yerleşim olmasını istiyorsak merkezde duran topun ekvator çizgisine sırasıyla 6 tane top öpüştürülebilir.

Daha sonra ekvatorun üst ve alt kısmı olarak iki bölüme ayırdığımızda, üstte 3 tane, alt kısma da yine 3 tane top yerleştirilir. Bu yerleştirmede toplamda 12 tane top, merkezde duran topu öpmüş oluyor. Ancak boşlukların olduğu bariz bir şekilde görülüyor. Burada Gregory, topları biraz sıkıştırarak 13 numaralı topu yerleştirebileceğimizi düşünüyordu.

Ancak görülüyor ki 13 numaralı top ne kadar sıkıştırsak da yine merkezdeki topa temas etmiyor. Bu çözümü siz de deneyip görebilirsiniz. Diğer taraftan sorunun matematiksel ispatını ise Oleg R. Musin "The Kissing Problem in Three Dimensions" adlı makalesinde yapmıştır. Ayrıca bu makale 4 ve diğer boyutlar için bir anahtar görevi görmüştür. Sonuç olarak sorunun cevabını doğru bilen kişi Newton olmuştur.

Diğer Boyutlardaki Problemin Çözümü

Filmlerde dahi boyut kavramı işin içine girdiğinde kaçınılmaz bir karmaşıklık ortaya çıkıyor. Bu durum, matematikte ne kadar fazla karmaşıklığın olduğunu anlamanıza yardımcı olacaktır. Boyutların karmaşasına girmeden şunu söyleyebiliriz ki diğer boyutların en küçüğü olarak 4 boyutlu uzayda öpüşme sayısı 24'tür. Bu sorunun şu ana kadar cevabı bulunan en büyük boyut olan 24 boyutlu uzayda ise öpüşme sayısı 196.560'tır. Yani 25 ve daha üst boyutlarda henüz çözümü mevcut değildir. Bazı başka boyutlarda ise sonuçlar; 5 boyutta 40-44, 6 boyutta 72-78, 7 boyutta 126-134, 8 boyutta 240... gibidir.

Sonuç

Newton'un bilime kattıkları neredeyse hayatımızın her alanında etkisini gösterdiği gibi yaptığı sıradan bir sohbet sonucu ortaya çıkan problem, matematiğin ve bilimin ilerlemesine katkı sağlamaya devam etmiştir. Elbette soruyu soran Gregory de çok önemli bir matematikçi olmakla birlikte, bu problemin buralara gelmesinde önemli bir yere sahiptir. 250 yıl önce sorulan basit bir sorunun ardından geçen 2.5 asra rağmen hâlâ çözülmesi gereken diğer boyutlar olması, matematiğin derinliğini ve keşfedilmemiş kısımlarını gözler önüne sermektedir.