Bu Reklamı Kapat

Öpücük Sayısı Nedir? Bir Küreye Aynı Anda ve Aynı Çapta En Fazla Kaç Tane Küre Dokunabilir?

Öpücük Sayısı Nedir? Bir Küreye Aynı Anda ve Aynı Çapta En Fazla Kaç Tane Küre Dokunabilir? numberphile
Bu Reklamı Kapat
Çağrı Mert Bakırcı Editör Çağrı Mert Bakırcı
5 dakika
2,171 Okunma Sayısı
Notlarım
Bu Reklamı Kapat

Günlük hayatımızda "öpücük" kelimesini her ne kadar sevgimizi belirtmek için kullansak da bu yazıda sevgiden bahsetmeyeceğiz. Öncelikle "öpücük" sözcüğünün başka bağlamlarda nasıl kullanıldığına açıklık getirelim: Örneğin bilardo oyununda, sert topların birbirine temas etmesine de "öpücük" denmektedir. Bu topların birbirine kaç kez temas ettiği ise "Öpücük Sayısı" olarak adlandırılır. Öpücük sayısının asıl çıkış noktası ise daha çok iki bilim insanı arasında geçen ve iddialaşma sonucu ortaya çıkan bir probleme dayanmaktadır. Bu iddialaşmanın başrolündeki bilim insanlarından biri; neredeyse bilim dallarının çoğunda etkisi bulunan klasik mekaniğin öncüsü, kalkülüsün babası, "Yaşamış Son Büyücü" olarak nitelendirilen Isaac Newton, diğeri ise Newton'un Principia'sının en büyük savunucularından biri olan İskoç Matematikçi David Gregory'dir.

1694 yılında Gregory, Cambridge Üniversitesi'nde bulunan Newton'u birkaç günlüğüne ziyaret etmiştir. Bu ziyareti sırasında iki bilim insanı sohbet ederken, Gregory adeta hocası olarak gördüğü Newton'un neredeyse ağzından çıkan her sözü defterine not almaya çalışmıştır. Yani aslında sohbet, büyük oranda tek taraflı ilerlemiştir. Bu durumu fark eden Newton, ilginçtir ki Gregory'in elindeki defteri alarak konuşmaktan ziyade, birkaç bilimsel ifadeyi kendisi bizzat yazmıştır. Yazarken defterde kendi bilimsel konuşmalarından bağımsız olarak bir soruyla karşılaşmıştır. Soru şudur: "Güneş etrafında dönen gezegenlerin sayısı kaçtır?" Bu soru üzerinde kısa bir tartışma yaparlar ve sonucunda "aynı boyuttaki merkezi bir topun (mesela bir bilardo topunun) etrafında eşit büyüklükte kaç top dönebileceği" sorusu üzerine düşünmeye başlarlar. Derken soru evrilerek "Bir top üzerinde eşit çaplara sahip 13 farklı top birbirini öpebilir mi?" halini almıştır ve tartışma ciddi anlamda kızışmıştır.

Günümüze uyarlanmış hali "Bir küreyi aynı anda ve aynı çapta en fazla kaç küre öpebilir?" olan sorunun çözümüne sezgisel yolla yaklaşan Newton, 12 tane top olarak cevap vermiştir; ancak Gregory'de buna istinaden biraz sıkıştırmayla 1 tane fazladan küre yerleştirerek 13 tane topun birbirine dokunabileceğini öne sürmüştür. Bu iki bilim insanının verdikleri cevapların 3 boyutlu uzayda geçerli olduğunu söylemekte yarar var.

Bu Reklamı Kapat

Bu durumda kimin cevabı doğru? Diğer bir soru ise, daha fazla boyutlarda (örneğin 4. veya 5. boyutta) bu sorunun cevabı var mı?

Tek Boyutta ve 2. Boyutta Problemin Çözümü

Tek boyutta cevap, açıkça 2'dir. Aşağıdaki görsel, bunu net bir şekilde göstermektedir:

Tek Boyutta Kürenin Aynı Çaplı Diğer Küreler İle Öpüşmesi
Tek Boyutta Kürenin Aynı Çaplı Diğer Küreler İle Öpüşmesi
wikimedia

2. boyutta ise öpüşme sayısı 6'dır. Kanıtını uygulamalı bir şekilde yapmaya çalışalım:

Bu Reklamı Kapat

2 Boyutta problemin çözümü

Başlangıçta merkezi konumda (koyu renkli) olan bir çember ve ona temas eden 6 tane aynı çaplı çember görülüyor. A merkezli çember ile B ve C merkezli çemberlerin, merkezlerinden doğru parçası çizerek ABC üçgeni elde edelim. ABC üçgeni oluşturan doğru parçaları aslından sırasıyla A, B ve C merkezli çemberlerin yarıçapları olmakla birlikte bu çemberlerin tamamı yarıçaplarının eşitliğinden dolayı birbirine eşittir. Dolayısıyla ABC üçgenini oluşturan doğru parçalarının her bir uzunluğu 2r2r'dir. Bu durum bize, ABC üçgeninin bütün kenarlarının eşit olduğunu göstermektedir ve sonuç olarak ABC üçgeni bir eşkenar üçgen olmuş olur. Eşkenar üçgenlerin kenarları eş olmakla birlikte iç açılarının ölçülerinin her biri 60°60\degree'dir. Bu yöntem ile A merkezli çembere diğer temas eden çemberlerin hepsi yapılabilir. Yapıldıktan sonra herhangi bir açı maksimum 360°360\degreeolacağından, A merkezi bu şekilde 360°360\degree olmuş olur. Bundan dolayı A merkezli çember, toplam 66 adet çember ile öpüşme gerçekleştirir.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

3. Boyutta Problemin Çözümü: 12 mi? 13 mü?

Asıl tartışmanın olduğu soruya gelmiş bulunmaktayız. Newton ile Gregory arasında geçen iddialaşma kızışınca "Bir top üzerinde eşit çaplara sahip 13 farklı top birbirini öpebilir mi?" şekilde bir soru ortaya çıkmış oldu. Newton, cevabın ısrarla 12 olduğunu yani bir topa, çapları eşit olan kürelerden en fazla 12 tane öpüşme gerçekleşeceğini vurguluyordu; ancak Gregory küreleri sıkıştırarak 1 tane daha ekleyebileceğini söylüyordu. Bu tartışmanın nihai sonucunu ne yazık ki iki bilim insanı da göremeyecekti. Ancak uygulamalı bir şekilde çözümü bulmaya çalışalım:

Küreye Aynı çapta kaç tane kürenin temas ettiğinin uygulamalı gösterimi

Yaptığımız uygulamada dikkate aldığımız ilk kural, topların aynı çapta olmasıdır. Sonra başlangıç olarak düzenli bir yerleşim olmasını istiyorsak merkezde duran topun ekvator çizgisine sırasıyla 6 tane top öpüştürülebilir.

Topun ekvator çizgisi( Bir küreyi ortadan iki eş parçaya ayıran çizgi olarak isimlendirilir.)
gifer

Daha sonra ekvatorun üst ve alt kısmı olarak iki bölüme ayırdığımızda, üstte 3 tane, alt kısma da yine 3 tane top yerleştirilir. Bu yerleştirmede toplamda 12 tane top, merkezde duran topu öpmüş oluyor. Ancak boşlukların olduğu bariz bir şekilde görülüyor. Burada Gregory, topları biraz sıkıştırarak 13 numaralı topu yerleştirebileceğimizi düşünüyordu.

Ancak görülüyor ki 13 numaralı top ne kadar sıkıştırsak da yine merkezdeki topa temas etmiyor. Bu çözümü siz de deneyip görebilirsiniz. Diğer taraftan sorunun matematiksel ispatını ise Oleg R. Musin "The Kissing Problem in Three Dimensions" adlı makalesinde yapmıştır. Ayrıca bu makale 4 ve diğer boyutlar için bir anahtar görevi görmüştür. Sonuç olarak sorunun cevabını doğru bilen kişi Newton olmuştur.

Diğer Boyutlardaki Problemin Çözümü

Filmlerde dahi boyut kavramı işin içine girdiğinde kaçınılmaz bir karmaşıklık ortaya çıkıyor. Bu durum, matematikte ne kadar fazla karmaşıklığın olduğunu anlamanıza yardımcı olacaktır. Boyutların karmaşasına girmeden şunu söyleyebiliriz ki diğer boyutların en küçüğü olarak 4 boyutlu uzayda öpüşme sayısı 24'tür. Bu sorunun şu ana kadar cevabı bulunan en büyük boyut olan 24 boyutlu uzayda ise öpüşme sayısı 196.560'tır. Yani 25 ve daha üst boyutlarda henüz çözümü mevcut değildir. Bazı başka boyutlarda ise sonuçlar; 5 boyutta 40-44, 6 boyutta 72-78, 7 boyutta 126-134, 8 boyutta 240... gibidir.

Bu Reklamı Kapat

Sonuç

Newton'un bilime kattıkları neredeyse hayatımızın her alanında etkisini gösterdiği gibi yaptığı sıradan bir sohbet sonucu ortaya çıkan problem, matematiğin ve bilimin ilerlemesine katkı sağlamaya devam etmiştir. Elbette soruyu soran Gregory de çok önemli bir matematikçi olmakla birlikte, bu problemin buralara gelmesinde önemli bir yere sahiptir. 250 yıl önce sorulan basit bir sorunun ardından geçen 2.5 asra rağmen hâlâ çözülmesi gereken diğer boyutlar olması, matematiğin derinliğini ve keşfedilmemiş kısımlarını gözler önüne sermektedir.

Okundu Olarak İşaretle
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Bilim Budur! 7
  • Muhteşem! 3
  • Tebrikler! 3
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 3
  • İnanılmaz 3
  • Güldürdü 1
  • Umut Verici! 1
  • Merak Uyandırıcı! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 20/01/2022 19:11:51 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/11240

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Bu Reklamı Kapat
Bu Reklamı Kapat
Size Özel (Beta)
İçerikler
Uçma
İhtiyoloji
Kalp
Karar
Kütle
Öğrenme Teorileri
Evrim Kuramı
Tehlike
Aminoasit
Diş Sorunları
Carl Sagan
2019-Ncov
Element
Metabolizma
Kan Hastalıkları
Samanyolu Galaksisi
Aile
Evrim
Bitki
Kuantum Fiziği
Ribozim
Cinsellik
Mit
Sars Virüsü
Manyetik
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), 2010 yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
Geri Bildirim Gönder
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nda reklamları 2 şekilde kapatabilirsiniz:

  1. Ücretsiz üye girişi yapmak: Sitedeki reklamların %50 kadarını kapatmak için ücretsiz bir Evrim Ağacı üyeliği açmanız ve sitemizi/uygulamamızı kullanmanız yeterli!

  2. Maddi destekçilerimiz arasına katılmak: Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Sizi Takip Ediyor

Devamını Oku
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın

Önizleme
Görseli Kaydet
Sıfırla
Vazgeç
Bu Eseri Neden Tavsiye Ediyorsun?
Aşağıdaki kutuya, isimli neden tavsiye ettiğini girebilirsin. Ne kadar detaylı ve kapsamlı bir analiz yaparsan, bu eseri [OKUMAK/İZLEMEK] isteyenleri o kadar doğru ve fazla bilgilendirmiş olacaksın. Tavsiyenin faydalı bulunması halinde Evrim Ağacı kullanıcılarından daha fazla UP kazanman [UP bilgi linki] mümkün olacak. Tavsiyenin sadece negatif içerikte olamayacağını, eğer bu sistemi kullanıyorsan tavsiye ettiğin içeriğin pozitif taraflarından bahsetmek zorunda olduğunu lütfen unutma. Yapıcı eleştiri hakkında daha fazla bilgi almak için burayı okuyabilirsin.
Tavsiye Et