Unutulan Trigonometri: Pek Kullanılmayan ama Faydalı Olabilecek Trigonometrik Fonksiyonlar!

Kosekantı Tanımlayabildiğiniz İçin Bilge mi Hissediyorsunuz? Hakoverkosinüs ile Tanışın!

Unutulan Trigonometri: Pek Kullanılmayan ama Faydalı Olabilecek Trigonometrik Fonksiyonlar! Lumen Learning
Çağrı Mert Bakırcı Editör Çağrı Mert Bakırcı
5 dakika
2,620 Okunma Sayısı
Notlarım
Reklamı Kapat

Trigonometri, ülkemizin de dahil olduğu bir çok ülkede lise düzeyinden itibaren öğretilen, son derece önemli bir matematiksel disiplindir. Milattan önceki yıllardan beri inşa edilen trigonometrinin üzerinde çalışılmaya başlandığı ilk zamanlarda, bu araç Öklid geometrisini geliştirmekte kullanılmış ve gündelik hayatta bir çok şeyin hesabını kolaylaştırmıştır: gölgelerin boyundan, Güneş'in doğuşu ve batışının ne zaman olacağını hesaplamaya kadar...

Birçok cilt halinde basılan kitaplara konu olan trigonometri, artık günümüzde modern matematiğin disiplinlerine yardımcı olan bir araç rolü üstlenmektedir. En eski matematik disiplinlerinden biri olmasına rağmen, günümüzde de hala çok popülerdir. Daha gündelik bir tabirle, "yıllar onu eskitmemiş, aksine daha güçlendirmiştir" denebilir. Ne var ki, her köklü disiplinde olduğu gibi, trigonometride de bazı kavramlar zaman geçtikçe daha az kullanılmıştır; hatta bazıları neredeyse tamamen unutulmuştur. Bunlardan birkaçına bakmadan önce, lise derslerinden de hatırlayabileceğiniz bazı temel trigonometrik fonksiyonlara göz atalım:

  1. Sinüs fonksiyonu (sin⁡\sin)
  2. Kosinüs fonksiyonu (cos⁡\cos)
  3. Tanjant fonksiyonu (tan⁡\tan)
  4. Kotanjant fonksiyonu (cot⁡\cot)
  5. Sekant fonksiyonu (sec⁡\sec)
  6. Kosekant fonksiyonu (cosec⁡\cosec)

Tabii bunların her birine ek olarak, bu fonksiyonların tersi olan fonksiyonlar da düşünülebilir. Örneğin sin(x)sin(x) fonksiyonunun tersi, sin−1(x)sin^{-1}(x) veya arcsin(x)arcsin(x) olarak verilir. Bu fonksiyonların geometrik olarak neyi ifade ettiğini merak ediyorsanız, aşağıdaki grafiği inceleyebilirsiniz. Örneğin "sinüs" olarak adlandırdığımız fonksiyon, bir çemberin merkezinden herhangi bir açıyla yola çıkıp (aşağıdaki örnekte qq açısıyla yola çıkıp), vardığınız noktadan yarıçapa çizeceğiniz dik kenarın uzunluğunu hesaplamakta kullanılabilir; "kosinüs" fonksiyonu ise komşusu olan kenarın uzunluğunu verir.

Birim çember üzerinde iyi bilinen trigonometrik fonksiyonlar ve az bilinen trigonometrik fonksiyonların bazıları.
Birim çember üzerinde iyi bilinen trigonometrik fonksiyonlar ve az bilinen trigonometrik fonksiyonların bazıları.
Wikimedia Common

Fakat görselden de fark etmiş olabileceğiniz gibi; trigonometrik fonksiyonlar, bu altı yaygın fonksiyon ve terslerinden ibaret değildir. Günümüzde unutulmaya yüz tutmuş birçok diğer trigonometrik fonksiyon vardır. Gelin bunlara bir bakalım ve her birinin neyi sembolize ettiklerini tanıyalım.

Reklamı Kapat

Unutulmaya Yüz Tutmuş Trigonometrik Fonksiyonlar

1) Versin fonksiyonu

versin(θ)=1−cos⁡(θ)versin(\theta)=1-\cos(\theta) olarak tanımlanır. Geometrik olarak birim çemberde x−x- ekseni üzerinde yarıçap ile cos⁡(θ)\cos(\theta) uzunluğu ile arasında kalan uzunluktur. Tabii sadece birinci bölgede geçerlidir.

2) Vercos fonksiyonu

vercos(θ)=1+cos⁡(θ)vercos(\theta)=1+\cos(\theta) olarak tanımlanır.

3) Coversin fonksiyonu

coversin(θ)=1−sin⁡(θ)coversin(\theta)=1-\sin(\theta) olarak tanımlanır. Geometrik olarak versinversin fonksiyonuna benzer, fakat bu kez y−y- ekseni için olan versiyonudur. Yine bu geometrik bakış açısı birinci bölgede geçerlidir.

4) Covercos fonksiyonu

covercos(θ)=1+sin⁡(θ)covercos(\theta)=1+\sin(\theta) olarak tanımlanır.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

5) Haversin fonksiyonu

haversin(θ)=1−cos(θ)2haversin(θ)=\frac{1-cos(θ)}{2} olarak tanımlanır.

6) Havercos fonksiyonu

havercos(θ)=1+cos⁡(θ)2havercos(\theta)=\frac{1+\cos(\theta)}{2} olarak tanımlanır.

7) Hacoversin fonksiyonu

hacoversin(θ)=1−sin⁡(θ)2hacoversin(\theta)=\frac{1-\sin(\theta)}{2} olarak tanımlanır.

8) Hacovercos fonksiyonu

hacovercos(θ)=1+sin⁡(θ)2hacovercos(\theta)=\frac{1+\sin(\theta)}{2} olarak tanımlanır.

Reklamı Kapat

9) Exsec fonksiyonu

exsec(θ)=sec⁡(θ)−1exsec(\theta)=\sec(\theta)-1 olarak tanımlanır.

10) Excosec fonksiyonu

excosec(θ)=1−cosec⁡(θ)excosec(\theta)=1-\cosec(\theta) olarak tanımlanır.

11) Crd fonksiyonu

En eski tip trigonometrik fonksiyonlardan birisidir, şöyle oluşturulur: Bir ABCABC üçgeni düşünelim, öyle ki iki kenarı eşit ve uzunlukları 11 olsun. Bu ikiz kenarların arasındaki açıya θ\theta diyelim, işte θ\theta açısının baktığı kenarın uzunluğu crd(θ)crd(\theta) olur. Sinüs teoreminden crd(θ)=2sin⁡(θ2)crd(\theta)=2\sin(\frac{\theta}{2}) olur.

Sonuç

Görülüyor ki fonksiyonlar aslında sadece bilinen fonksiyonların birbiriyle toplanması çıkarılması vs. ile oluşturuluyor. Neden böyle fonksiyonlar eski zamanlarda tanımlansın ki?

Reklamı Kapat

Bunun çok basit bir cevabı var: Eski zamanlarda işlem kolaylığı sağlıyorlardı ve günlük problemler için aslında çok kullanışlı fonksiyonlar. Çünkü bu trigonometrik fonksiyonların hepsi herhangi bir θ\theta değeri için sıfır ve sıfırdan büyük değerler alır (crdcrd fonksiyonu uzunluk üzerine kurulduğu için o da pozitiftir). Ayrıca bu fonksiyonlar sin⁡,cos⁡,tan⁡,cot⁡,sec⁡,cosec⁡\sin, \cos, \tan, \cot, \sec, \cosec fonksiyonları ile tanımlanmadan önce, antik zamanlarda uzunluklar aracılığı ile tanımlanıyordu; daha sonra trigonometri kuramının üzerine çalışılmaya başlandığında bu fonksiyonlar yerine daha geometrik açıdan anlaşılabilir fonksiyonlar olan sinüs, kosinüs vb. fonksiyonlar daha öne çıktı ve dolayısıyla bu fonksiyonlar da bu modern fonksiyonlar üzerinden günümüzdeki tanımlarını kazandılar. Aşağıdaki grafikte bütün bu fonksiyonların grafiklerini görebilirsiniz.

Unutulmaya yüz tutmuş trigonometrik fonksiyonların grafikleri
Unutulmaya yüz tutmuş trigonometrik fonksiyonların grafikleri
MATLAB

Bu grafikte fonksiyonların [−π,π][-\pi,\pi] aralığındaki grafikleri verilmiştir. Görüleceği üzere hiçbir zaman negatif olmazlar. Şimdi bu fonksiyonlar üzerindeki bazı özdeşlikleri kanıtlarıyla görelim.

  1. versin(θ)vercos(θ)=(1+cos⁡(θ))(1−cos⁡(θ))=1−cos⁡2(θ)=sin⁡2(θ)versin(\theta)vercos(\theta)=(1+\cos(\theta))(1-\cos(\theta))=1-\cos^2(\theta)=\sin^2(\theta)
  2. coversin(θ)covercos(θ)=(1+sin⁡(θ))(1−sin⁡(θ))=1−sin⁡2(θ)=cos⁡2(θ)coversin(\theta)covercos(\theta)=(1+\sin(\theta))(1-\sin(\theta))=1-\sin^2(\theta)=\cos^2(\theta)
  3. haversin(θ)=1−cos(θ)2=versin(θ)2haversin(θ)=\frac{1-cos(θ)}{2}=\frac{versin(\theta)}{2}
  4. havercos(θ)=1+cos(θ)2=vercos(θ)2havercos(θ)=\frac{1+cos(θ)}{2}=\frac{vercos(\theta)}{2}
  5. hacoversin(θ)=1−sin(θ)2=coversin(θ)2hacoversin(θ)=\frac{1-sin(θ)}{2}=\frac{coversin(\theta)}{2}
  6. hacovercos(θ)=1+sin(θ)2=covercos(θ)2hacovercos(θ)=\frac{1+sin(θ)}{2}=\frac{covercos(\theta)}{2}
  7. versin(θ)+vercos(θ)=1−cos⁡(θ)+1+cos⁡(θ)=2versin(\theta)+vercos(\theta)=1-\cos(\theta)+1+\cos(\theta)=2 (bu toplam herhangi bir θ\theta için sabit değer alır. )
  8. coversin(θ)+covercos(θ)=1−sin⁡(θ)+1+sin⁡(θ)=2coversin(\theta)+covercos(\theta)=1-\sin(\theta)+1+\sin(\theta)=2
  9. haversin(θ2)havercos(θ2)=(1−cos⁡(θ2))(1+cos⁡(θ2))4=sin⁡2(θ2)4=(crd(θ))2haversin(\frac{\theta}{2})havercos(\frac{\theta}{2})=\frac{(1-\cos(\frac{\theta}{2}))(1+\cos(\frac{\theta}{2}))}{4}=\frac{\sin^2(\frac{\theta}{2})}{4}=(crd(\theta))^2

Bu liste bu şekilde uzatılabilir. Ancak işin özü şudur: Trigonometrinin olduğu yerde her şey, her şeyle müthiş bağlantılıdır. Bu özdeşliklerde de bu bağlantıların bazılarını görmenizi istedik.

Atalarımızın yaptığı, "ilkel" diye küçümsediğimiz bu trigonometrinin bile ne kadar güzel özdeşliklere yol açtığı çok ilgi çekicidir ve aynı zamanda matematiğin hiçbir daim ilkel olamayacağının kanıtıdır.

Okundu Olarak İşaretle
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 9
  • Muhteşem! 5
  • Bilim Budur! 4
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 4
  • İnanılmaz 4
  • Merak Uyandırıcı! 3
  • Güldürdü 0
  • Umut Verici! 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
  • Korkutucu! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
  • University of California at Berkeley. The Chord Function. (01 Ocak 2020). Alındığı Tarih: 06 Ocak 2021. Alındığı Yer: UCR | Arşiv Bağlantısı

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 05/08/2021 12:21:16 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/9829

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Reklamı Kapat
Size Özel
İçerikler
Instagram
Dinozor
Kimya Tarihi
Yıldız
Sars Virüsü
Neandertal
Kanser
Gıda
Yaşamın Başlangıcı
Anksiyete
Yapay Seçilim
Zooloji
Köpekbalığı
Epistemik
Evrimsel Tarih
Transkripsiyon
Kanser Tedavisi
Etik
Malzeme
Mantar
Depresyon
Makine
Psikoloji
Mers
Editör Seçkisi
Eczacılık
Daha Fazla İçerik Göster
Evrim Ağacı'na Destek Ol
Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katmak için hemen buraya tıklayın.
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
EA Akademi
Evrim Ağacı Akademi (ya da kısaca EA Akademi), 2010 yılından beri ürettiğimiz makalelerden oluşan ve kendi kendinizi bilimin çeşitli dallarında eğitebileceğiniz bir çevirim içi eğitim girişimi! Evrim Ağacı Akademi'yi buraya tıklayarak görebilirsiniz. Daha fazla bilgi için buraya tıklayın.
Etkinlik & İlan
Bilim ile ilgili bir etkinlik mi düzenliyorsunuz? Yoksa bilim insanlarını veya bilimseverleri ilgilendiren bir iş, staj, çalıştay, makale çağrısı vb. bir duyurunuz mu var? Etkinlik & İlan Platformumuzda paylaşın, milyonlarca bilimsevere ulaşsın.
Podcast
Evrim Ağacı'nın birçok içeriğinin profesyonel ses sanatçıları tarafından seslendirildiğini biliyor muydunuz? Bunların hepsini Podcast Platformumuzda dinleyebilirsiniz. Ayrıca Spotify, iTunes, Google Podcast ve YouTube bağlantılarını da bir arada bulabilirsiniz.
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close
Geri Bildirim Gönder
Reklamsız Deneyim

Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, Evrim Ağacı'nda çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.

Kreosus

Kreosus'ta her 10₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.

Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.

Patreon

Patreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.

Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.

YouTube

YouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.

Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.

Diğer Platformlar

Bu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.

Giriş yapmayı unutmayın!

Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.

Destek Ol
Sizi Takip Ediyor

Devamını Oku
Evrim Ağacı Uygulamasını
İndir
Chromium Tabanlı Mobil Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
İlk birkaç girişinizde zaten tarayıcınız size uygulamamızı indirmeyi önerecek. Önerideki tuşa tıklayarak uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu öneriyi, yukarıdaki videoda görebilirsiniz. Eğer bu öneri artık gözükmüyorsa, Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Chromium Tabanlı Masaüstü Tarayıcılar (Chrome, Edge, Brave vb.)
Yeni uygulamamızı kurmak için tarayıcı çubuğundaki kurulum tuşuna tıklayın. "Yükle" (Install) tuşuna basarak kurulumu tamamlayın. Dilerseniz, Evrim Ağacı İleri Web Uygulaması'nı görev çubuğunuza sabitleyin. Uygulama logosuna sağ tıklayıp, "Görev Çubuğuna Sabitle" seçeneğine tıklayabilirsiniz. Eğer bu seçenek gözükmüyorsa, tarayıcının Ayarlar/Seçenekler (⋮) ikonuna tıklayıp, Uygulamayı Yükle seçeneğini kullanabilirsiniz.
Safari Mobil Uygulama
Sırasıyla Paylaş -> Ana Ekrana Ekle -> Ekle tuşlarına basarak yeni mobil uygulamamızı kurabilirsiniz. Bu basamakları görmek için yukarıdaki videoyu izleyebilirsiniz.

Daha fazla bilgi almak için tıklayın