Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat

Unutulan Trigonometri: Pek Kullanılmayan ama Faydalı Olabilecek Trigonometrik Fonksiyonlar!

Kosekantı Tanımlayabildiğiniz İçin Bilge mi Hissediyorsunuz? Hakoverkosinüs ile Tanışın!

Unutulan Trigonometri: Pek Kullanılmayan ama Faydalı Olabilecek Trigonometrik Fonksiyonlar! Lumen Learning
5 dakika
10,635
Tüm Reklamları Kapat

Trigonometri, ülkemizin de dahil olduğu bir çok ülkede lise düzeyinden itibaren öğretilen, son derece önemli bir matematiksel disiplindir. Milattan önceki yıllardan beri inşa edilen trigonometrinin üzerinde çalışılmaya başlandığı ilk zamanlarda, bu araç Öklid geometrisini geliştirmekte kullanılmış ve gündelik hayatta bir çok şeyin hesabını kolaylaştırmıştır: gölgelerin boyundan, Güneş'in doğuşu ve batışının ne zaman olacağını hesaplamaya kadar...

Birçok cilt halinde basılan kitaplara konu olan trigonometri, artık günümüzde modern matematiğin disiplinlerine yardımcı olan bir araç rolü üstlenmektedir. En eski matematik disiplinlerinden biri olmasına rağmen, günümüzde de hala çok popülerdir. Daha gündelik bir tabirle, "yıllar onu eskitmemiş, aksine daha güçlendirmiştir" denebilir. Ne var ki, her köklü disiplinde olduğu gibi, trigonometride de bazı kavramlar zaman geçtikçe daha az kullanılmıştır; hatta bazıları neredeyse tamamen unutulmuştur. Bunlardan birkaçına bakmadan önce, lise derslerinden de hatırlayabileceğiniz bazı temel trigonometrik fonksiyonlara göz atalım:

  1. Sinüs fonksiyonu (sin⁡\sin)
  2. Kosinüs fonksiyonu (cos⁡\cos)
  3. Tanjant fonksiyonu (tan⁡\tan)
  4. Kotanjant fonksiyonu (cot⁡\cot)
  5. Sekant fonksiyonu (sec⁡\sec)
  6. Kosekant fonksiyonu (cosec⁡\cosec)

Tabii bunların her birine ek olarak, bu fonksiyonların tersi olan fonksiyonlar da düşünülebilir. Örneğin sin(x)sin(x) fonksiyonunun tersi, sin−1(x)sin^{-1}(x) veya arcsin(x)arcsin(x) olarak verilir. Bu fonksiyonların geometrik olarak neyi ifade ettiğini merak ediyorsanız, aşağıdaki grafiği inceleyebilirsiniz. Örneğin "sinüs" olarak adlandırdığımız fonksiyon, bir çemberin merkezinden herhangi bir açıyla yola çıkıp (aşağıdaki örnekte qq açısıyla yola çıkıp), vardığınız noktadan yarıçapa çizeceğiniz dik kenarın uzunluğunu hesaplamakta kullanılabilir; "kosinüs" fonksiyonu ise komşusu olan kenarın uzunluğunu verir.

Tüm Reklamları Kapat

Birim çember üzerinde iyi bilinen trigonometrik fonksiyonlar ve az bilinen trigonometrik fonksiyonların bazıları.
Birim çember üzerinde iyi bilinen trigonometrik fonksiyonlar ve az bilinen trigonometrik fonksiyonların bazıları.
Wikimedia Common

Fakat görselden de fark etmiş olabileceğiniz gibi; trigonometrik fonksiyonlar, bu altı yaygın fonksiyon ve terslerinden ibaret değildir. Günümüzde unutulmaya yüz tutmuş birçok diğer trigonometrik fonksiyon vardır. Gelin bunlara bir bakalım ve her birinin neyi sembolize ettiklerini tanıyalım.

Unutulmaya Yüz Tutmuş Trigonometrik Fonksiyonlar

1) Versin fonksiyonu

versin(θ)=1−cos⁡(θ)versin(\theta)=1-\cos(\theta) olarak tanımlanır. Geometrik olarak birim çemberde x−x- ekseni üzerinde yarıçap ile cos⁡(θ)\cos(\theta) uzunluğu ile arasında kalan uzunluktur. Tabii sadece birinci bölgede geçerlidir.

2) Vercos fonksiyonu

vercos(θ)=1+cos⁡(θ)vercos(\theta)=1+\cos(\theta) olarak tanımlanır.

3) Coversin fonksiyonu

coversin(θ)=1−sin⁡(θ)coversin(\theta)=1-\sin(\theta) olarak tanımlanır. Geometrik olarak versinversin fonksiyonuna benzer, fakat bu kez y−y- ekseni için olan versiyonudur. Yine bu geometrik bakış açısı birinci bölgede geçerlidir.

Tüm Reklamları Kapat

4) Covercos fonksiyonu

covercos(θ)=1+sin⁡(θ)covercos(\theta)=1+\sin(\theta) olarak tanımlanır.

5) Haversin fonksiyonu

haversin(θ)=1−cos(θ)2haversin(θ)=\frac{1-cos(θ)}{2} olarak tanımlanır.

6) Havercos fonksiyonu

havercos(θ)=1+cos⁡(θ)2havercos(\theta)=\frac{1+\cos(\theta)}{2} olarak tanımlanır.

7) Hacoversin fonksiyonu

hacoversin(θ)=1−sin⁡(θ)2hacoversin(\theta)=\frac{1-\sin(\theta)}{2} olarak tanımlanır.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

8) Hacovercos fonksiyonu

hacovercos(θ)=1+sin⁡(θ)2hacovercos(\theta)=\frac{1+\sin(\theta)}{2} olarak tanımlanır.

9) Exsec fonksiyonu

exsec(θ)=sec⁡(θ)−1exsec(\theta)=\sec(\theta)-1 olarak tanımlanır.

10) Excosec fonksiyonu

excosec(θ)=1−cosec⁡(θ)excosec(\theta)=1-\cosec(\theta) olarak tanımlanır.

11) Crd fonksiyonu

En eski tip trigonometrik fonksiyonlardan birisidir, şöyle oluşturulur: Bir ABCABC üçgeni düşünelim, öyle ki iki kenarı eşit ve uzunlukları 11 olsun. Bu ikiz kenarların arasındaki açıya θ\theta diyelim, işte θ\theta açısının baktığı kenarın uzunluğu crd(θ)crd(\theta) olur. Sinüs teoreminden crd(θ)=2sin⁡(θ2)crd(\theta)=2\sin(\frac{\theta}{2}) olur.

Sonuç

Görülüyor ki fonksiyonlar aslında sadece bilinen fonksiyonların birbiriyle toplanması çıkarılması vs. ile oluşturuluyor. Neden böyle fonksiyonlar eski zamanlarda tanımlansın ki?

Bunun çok basit bir cevabı var: Eski zamanlarda işlem kolaylığı sağlıyorlardı ve günlük problemler için aslında çok kullanışlı fonksiyonlar. Çünkü bu trigonometrik fonksiyonların hepsi herhangi bir θ\theta değeri için sıfır ve sıfırdan büyük değerler alır (crdcrd fonksiyonu uzunluk üzerine kurulduğu için o da pozitiftir). Ayrıca bu fonksiyonlar sin⁡,cos⁡,tan⁡,cot⁡,sec⁡,cosec⁡\sin, \cos, \tan, \cot, \sec, \cosec fonksiyonları ile tanımlanmadan önce, antik zamanlarda uzunluklar aracılığı ile tanımlanıyordu; daha sonra trigonometri kuramının üzerine çalışılmaya başlandığında bu fonksiyonlar yerine daha geometrik açıdan anlaşılabilir fonksiyonlar olan sinüs, kosinüs vb. fonksiyonlar daha öne çıktı ve dolayısıyla bu fonksiyonlar da bu modern fonksiyonlar üzerinden günümüzdeki tanımlarını kazandılar. Aşağıdaki grafikte bütün bu fonksiyonların grafiklerini görebilirsiniz.

Tüm Reklamları Kapat

Unutulmaya yüz tutmuş trigonometrik fonksiyonların grafikleri
Unutulmaya yüz tutmuş trigonometrik fonksiyonların grafikleri
MATLAB

Bu grafikte fonksiyonların [−π,π][-\pi,\pi] aralığındaki grafikleri verilmiştir. Görüleceği üzere hiçbir zaman negatif olmazlar. Şimdi bu fonksiyonlar üzerindeki bazı özdeşlikleri kanıtlarıyla görelim.

  1. versin(θ)vercos(θ)=(1+cos⁡(θ))(1−cos⁡(θ))=1−cos⁡2(θ)=sin⁡2(θ)versin(\theta)vercos(\theta)=(1+\cos(\theta))(1-\cos(\theta))=1-\cos^2(\theta)=\sin^2(\theta)
  2. coversin(θ)covercos(θ)=(1+sin⁡(θ))(1−sin⁡(θ))=1−sin⁡2(θ)=cos⁡2(θ)coversin(\theta)covercos(\theta)=(1+\sin(\theta))(1-\sin(\theta))=1-\sin^2(\theta)=\cos^2(\theta)
  3. haversin(θ)=1−cos(θ)2=versin(θ)2haversin(θ)=\frac{1-cos(θ)}{2}=\frac{versin(\theta)}{2}
  4. havercos(θ)=1+cos(θ)2=vercos(θ)2havercos(θ)=\frac{1+cos(θ)}{2}=\frac{vercos(\theta)}{2}
  5. hacoversin(θ)=1−sin(θ)2=coversin(θ)2hacoversin(θ)=\frac{1-sin(θ)}{2}=\frac{coversin(\theta)}{2}
  6. hacovercos(θ)=1+sin(θ)2=covercos(θ)2hacovercos(θ)=\frac{1+sin(θ)}{2}=\frac{covercos(\theta)}{2}
  7. versin(θ)+vercos(θ)=1−cos⁡(θ)+1+cos⁡(θ)=2versin(\theta)+vercos(\theta)=1-\cos(\theta)+1+\cos(\theta)=2 (bu toplam herhangi bir θ\theta için sabit değer alır. )
  8. coversin(θ)+covercos(θ)=1−sin⁡(θ)+1+sin⁡(θ)=2coversin(\theta)+covercos(\theta)=1-\sin(\theta)+1+\sin(\theta)=2
  9. haversin(θ2)havercos(θ2)=(1−cos⁡(θ2))(1+cos⁡(θ2))4=sin⁡2(θ2)4=(crd(θ))2haversin(\frac{\theta}{2})havercos(\frac{\theta}{2})=\frac{(1-\cos(\frac{\theta}{2}))(1+\cos(\frac{\theta}{2}))}{4}=\frac{\sin^2(\frac{\theta}{2})}{4}=(crd(\theta))^2

Bu liste bu şekilde uzatılabilir. Ancak işin özü şudur: Trigonometrinin olduğu yerde her şey, her şeyle müthiş bağlantılıdır. Bu özdeşliklerde de bu bağlantıların bazılarını görmenizi istedik.

Atalarımızın yaptığı, "ilkel" diye küçümsediğimiz bu trigonometrinin bile ne kadar güzel özdeşliklere yol açtığı çok ilgi çekicidir ve aynı zamanda matematiğin hiçbir daim ilkel olamayacağının kanıtıdır.

Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
46
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

İçeriklerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu içeriğimizle ilgili bir sorunuz mu var? Buraya tıklayarak sorabilirsiniz.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu İçerik Size Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 25
  • İnanılmaz 12
  • Bilim Budur! 10
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 8
  • Muhteşem! 6
  • Merak Uyandırıcı! 6
  • Güldürdü 2
  • Korkutucu! 2
  • Umut Verici! 1
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
Kaynaklar ve İleri Okuma
  • University of California at Berkeley. The Chord Function. (1 Ocak 2021). Alındığı Tarih: 6 Ocak 2021. Alındığı Yer: UCR | Arşiv Bağlantısı
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 24/05/2024 23:50:37 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/9829

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Keşfet
Akış
İçerikler
Gündem
Kan
Samanyolu Galaksisi
Hastalık Kontrolü
Film
Patlama
Kedi
Nötron Yıldızı
Embriyo
Kişilik
Bilinç
Demir
Tohum
Biyokimya
Bellek
Taklit
Dağılım
Bakteriler
Sinaps
Semptom
Uygulama
Oyun Teorisi
Dinozorlar
Goril
Sahte
Şeker
Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Gündem
Kafana takılan neler var?
Bağlantı
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Bu platformda cevap veya yorum sistemi bulunmamaktadır. Dolayısıyla aklınızdan geçenlerin, tespit edilebilir kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Ekle
Soru Sor
Sosyal
Yeniler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
M. Taşdemir, et al. Unutulan Trigonometri: Pek Kullanılmayan ama Faydalı Olabilecek Trigonometrik Fonksiyonlar!. (8 Ocak 2021). Alındığı Tarih: 24 Mayıs 2024. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/9829
Taşdemir, M., Bakırcı, Ç. M. (2021, January 08). Unutulan Trigonometri: Pek Kullanılmayan ama Faydalı Olabilecek Trigonometrik Fonksiyonlar!. Evrim Ağacı. Retrieved May 24, 2024. from https://evrimagaci.org/s/9829
M. Taşdemir, et al. “Unutulan Trigonometri: Pek Kullanılmayan ama Faydalı Olabilecek Trigonometrik Fonksiyonlar!.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, 08 Jan. 2021, https://evrimagaci.org/s/9829.
Taşdemir, Mert. Bakırcı, Çağrı Mert. “Unutulan Trigonometri: Pek Kullanılmayan ama Faydalı Olabilecek Trigonometrik Fonksiyonlar!.” Edited by Çağrı Mert Bakırcı. Evrim Ağacı, January 08, 2021. https://evrimagaci.org/s/9829.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close