Rubik Küp ve Ötesi

Bilim-sanat-teknoloji üçlüsünü Rubik Küp’ün konfigürasyonları olarak görseydik ne olurdu? Sanırım bu soruyu sormama neden olan şey Küp’ü kendi başıma çözmeye çalışmamdı. Onu meydana getiren yapının temelindeki düşünceyi anlamak istiyordum ve bu yapı hakkında sizi de düşünmeye davet etmek için “Sonuca Giden Yol” başlıklı bölümü ipucu kullanarak yazdım.

Böyle bir bulmacayı algoritma ezberlemeden çözmeye çalışmak defalarca başarısız olmayı, yeniden başlamayı ve yeni yollar bulmayı öğretir. Algoritma ezberleyen kişiler bu fırsatlardan mahrum kalıyor. Sosyal medyanın aşırı kullanımı kişiyi kısa yoldan sonuç elde etmeye özendirip ezbere ittiği ve yoğunlaşmaktan alıkoyduğu için derinleşmek onlara imkânsız geliyor; Giriş başlığına konu ettiğim iddiaların arkasındaki en büyük nedenlerden birinin bu olduğunu düşünüyorum. Amacım söz konusu nedenleri anlamak ve ufuk açıcı içerikleri Rubik Küp aracılığıyla bir araya getirmek olduğu için aşağıdaki üç bilgiyi okumanız yararlı olabilir:

1- Kapak fotoğrafındaki şekilleri beni heveslendirdiği ve birkaç ipucu içerdiği için paylaştım. Bu şekiller aracılığıyla Küp yüzeylerinde gerçekleşen değişimleri aynı anda görebilmek istiyordum fakat bulduğum hamleleri arada bir not etmeye yaradılar daha çok; yazılıma dönüştürüp oyunlaştırmak daha iyi olurdu belki. Üst soldaki şekil 2x2 küpü, üst sağdaki şekil ise Rubik Küp’ü temsil ediyor. Her ikisi de üstten bakış açısıyla çizildi. Yeşil ve lacivert renkler küplerin üst ve alt taraflarıdır. Alttaki şekil grubu 2x2 küpte keşfettiğim ve Rubik Küp’ün temel mantığını anlamamı sağlayan en önemli iki hareket dizisini gösteriyor. Dizilerden birini temsil eden “yeşil ok” bir defa, diğerini temsil eden “turuncu ok” ise iki defa döndürme yapılması gerektiğini ifade ediyor.

2- Yazı aralarına eklemek istediğim bazı metinler İngilizceydi. Seviyem yeterli olmadığı için bu metinleri DeepL-Google Translate ikilisini kullanarak çevirdim ve anadildeki başlıklarıyla paylaştım. Orijinal hallerine başlıklara tıklayarak (ya da dokunarak) ulaşabilirsiniz.

3- Öneride bulunduğum bazı web sayfaları da İngilizce içeriğe sahip. Onları keyif ve merakla okumanın yolu İngilizce öğrenmekten geçiyor tabii ama benim gibi henüz öğrenmediyseniz Google tarayıcıdaki otomatik çeviri seçeneğiyle bu sayfaları Türkçe görüntüleyebilirsiniz. Yapmanız gereken tek şey sayfanın herhangi bir yerine sağ tıklayarak “Türkçeye çevir” seçeneğine basmak. Mobildeyseniz sağ üstteki üç noktayı kullanabilirsiniz. Paylaştığım yabancı videoların otomatik çeviri seçeneği ise kendi içinde zaten mevcut.

Not: Bu blog yazısı ve onu oluşturan fikirler kendi emeklerime dayanmaktadır. Yapay zekâyı bazı yerlerde sadece dilbilgisel kontrol amacıyla kullandım. Kapak fotoğrafındaki şekiller bilgisayarda çizdiğim bir taslak üzerine kurulu olduğu için bozuk görünüyordu; çok fazla uğraşmamak adına onları da yapay zekâyla düzelttim. İyi okumalar.

1. Giriş

Aslında yakın zamanda küpü çözmek gibi bir niyetim yoktu. Denemek için bir tane almıştım fakat ne yapmam gerektiğini az çok anlayınca 2x2 küp’e geçmiş ve Rubik Küp ile uğraşmayı ileri bir tarihe (neredeyse 1 yıl sonraya!) ertelemiştim. Böyle bir işkenceyle uğraşmaktansa kitaplara göz atmak daha iyiydi benim için -en azından işten eve geldikten sonraki düzenimi bu şekilde planlamıştım. Forumlarda gördüğüm “Algoritmalara Bakmadan Rubik Küp Çözülebilir mi?” sorusuna verilen bazı olumsuz cevapları görünce (uzun yıllardır küp yarışmacısı olduğunu belirtip “hayır” diyenden “muhtemelen 130 IQ’ya sahip olmalısınız” diyene kadar) bu düzeni toplamda bir ay boyunca Küp ile uğraşarak bozdum. Çözümü kendi başına bulan kişilerden örnek verip olumlu yaklaşanlar vardı tabii fakat konuyla bizzat uğraşmak meraklı okurlar açısından faydalı olabilir diye düşündüm.

Öncelikle algoritma konusuna değinmek istiyorum. Mimari Profesörü Ernö Rubik, Küp’ü icat eden kişi olarak onu tek başına çözmek zorundaydı. Algoritma bilgisi yoktu ve bunu kendi yöntemlerini kullanarak bir ayda başardı (bkz. Ernö Rubik, Küp: Bulmacalarla Dolu Bir Hayat, s. 95, İthaki Yayınları). Astrofizikçi Neil deGrasse Tyson bile yapana kadar başka hiçbir şeye odaklanmadan bir haftada sonuca ulaştı. Ben ise bazı günler beş dakika bazı günler ise üç-dört saat uğraşarak toplam 32 günde çözüme ulaştım.

Değinmek istediğim diğer nokta ise zekâ seviyesi. Konuya olan merakım nedeniyle yaklaşık iki sene önce profesyonel bir kurumda IQ testine girdim. Sonucum 112 çıktı. Aldığım sonuç normal seviyenin sadece biraz üstünde olduğu için (ki bu puan normal aralık içerisinde yer alıyor) yüksek normal olarak tanımlanıyormuşum; yani forumlarda bahsedilen seviyelerin altında. Deha ya da yüksek zekâ dolaylarında olmadığım açık.

Konu hakkında eleştiri yapmak haddime değil fakat bu tür testlere girmenin pek bir anlamı olmayabilir. Zira testi ciddiye alan araştırmacılar bile alınan sonucun bir kader olmadığını vurgulamaktalar. Onlardan biri olan Tobias Wolfram’ın bana verdiği bazı cevaplar şunlar mesela: “(1) Bilişsel testlerdeki bir sayının kader olduğunu varsaymamalıyız. Dediğim gibi, ölçüm hatası bir sorundur ve insanlar -hiyerarşik bir g modeli bağlamında- farklı güçlü ve zayıf yönlere sahip, oldukça farklı zekâ profillerine sahip olabilirler. (2) Olağanüstü bilişsel olmayan özellikler ile (sabır, merak, ilgi duymak gibi) durumu telafi eden istatistiksel aykırı değerler vardır. (3) Bence en önemli soru ‘IQ'm yeterince yüksek mi?’ değil, ‘Neden bunu yapmak istiyorum?’ olmalı.”

Başka bir örnek olarak alanın tartışmalı isimlerinden Amerikalı psikolog Arthur Jensen’ın bir öğrencisiyle olan mektuplaşmasını gösterebilirim. Mektubun içeriği teste girme konusunda endişe yaşayan (ya da gerekliliğini sorgulayan) kişiler açısından faydalı olabilir:

• Should you worry about what your IQ score is?

Geçenlerde kendisini dezavantajlı geçmişe sahip biri olarak tanımlayan bir lise son sınıf öğrencisinden mektup aldım. Avukat olma umuduyla üniversiteye gitme konusunda güçlü bir arzusu vardı ve bundan sonraki rotasına karar verirken IQ’suna ne kadar önem vermesi gerektiğini merak ediyordu. Kişinin kendi IQ'su hakkında endişelenmesinin, sigorta şirketinin aktüerya tablolarına bakan bir kişinin öleceği yaş hakkında endişelenmesinden daha mantıklı olduğundan şüpheliyim. Diğer şeylerin yanı sıra, araştıran öğrencime şunları yazdım:

Öğrenciyken testlere olan yaklaşımım onlar üzerine fazla düşünmek değil, sadece gerçekçi görünen bir hedef belirlemek ve sonra bunu başarmak için elimden gelenin en iyisini yapmaktı. Neleri bilmeniz gerektiğini, neleri yapabilmeniz gerektiğini, hangi becerileri geliştirmeniz gerektiğini daha önce başarmış olan kişilerden öğrenirsiniz. Bu işleri yapmaya, tıpkı yapılması gerektiğini bildiğiniz herhangi bir işi yapmaya başladığınız gibi başlarsınız. Hedeflerinizi çok düşük belirlerseniz yapması çok kolay olur ve potansiyelinizi geliştiremezsiniz. Gerçekçi olmayan yüksek hedefler koyarsanız cesaretiniz kırılır. Her seferinde bir adım atmanızı öneririm; her adım, gerçekten çalışırsanız başarabileceğinizi düşündüğünüz bir şey olmalıdır. İlk adımı başarıyla attığınızda, bir sonraki adımı nasıl atacağınız konusunda daha iyi bir fikre sahip olursunuz. Eğer bu şekilde gereken her şeye sahipseniz, başaracaksınız; gereken her şeye sahip değilseniz, bunu öğreneceksiniz.

Ama elinizden gelenin en iyisini yapmadan bunu asla bilemezsiniz. Ne için çalışacağımı herhangi bir test puanının belirlemesine izin vermem. Gerçek olan tek test, kendi performansınızın gerçekliği ve hedeflerinize doğru çabalarken karşılaştığınız rekabettir. Bu yaklaşımın kişiye sonunda en uygun olduğu şeyi yapma şansı verdiğine inanıyorum ve bu tatmin edici bir yaşamın koşullarından biridir.

Zekâ testlerini ele alan şu video ve kitap ikilisine de göz atılabilir:

• Bilimin Siyaseti: IQ Notunuz Hakkınızda Ne Söylüyor?
• Zekayı Anlamak - Ken Richardson / Koç Üniversitesi Yayınları

Bunlara Ali Nesin’in alttaki düşüncelerini eklemek faydalı olacaktır:

…Oysa düşünmek demek yalnız kalmak demektir. Temel bilimlerde iyi olmak için zeki doğman gerekmiyor, yoğunlaşabilmen gerekiyor. Temel bilimlerde, mantıkta, matematikte iyi olmak bu konuda çalışmaktan değil, yazmaktan ve okumaktan geçer. Bana anne-babalar ‘Ne yapalım çocuğun matematikte gelişmesi için’ dediklerinde; bol bol kitap okusun, spor yapsın, sıkılıncaya kadar tek başına kalsın derim. İnsanın kendi zihninden zevk almayı öğrenmesi lazım.^[1]

• Başka Türlü Bir Matematik Eğitimi Olabilir mi?
• Ali Nesin'den Öğütler - Matematik Dünyası Dergisi. Yıl: 2009 / Sayı: 80

***

Yukarıda paylaştığım içerikleri matematik özelinde incelemek mümkün. Bunun için “Matematik Çalışmak İçin Kapsamlı Bir Rehber” yazımı okuyabilir, Evrim Ağacı’nın alttaki videosunu izleyebilirsiniz:

• Matematikten Neden Bu Kadar Korkuyorsunuz?

Yukarıdaki video ve araştırmalara baktığımız zaman normal zekâ seviyelerinde olan kişilerin de lisans seviyesinde matematiksel düşünme becerisi geliştirebilecek potansiyele sahip olduğunu söyleyebiliriz. Wolfram’ın dediği gibi, insanlar farklı güçlü ve zayıf yönlerden oluşan oldukça farklı zekâ profillerine sahip olduğu için disiplin, merak, sabır ve ilgi duymak gibi bilişsel olmayan özelliklerin söz konusu potansiyele etkisi yüksek. Quora’daki yazarlardan biri olan James Short buna iyi bir örnek olabilir. Short, Türkiye’de İTÜ ve YTÜ gibi kurumlara denk gelen Carleton Üniversitesinin matematik bölümünü bitirmiş biri. 7 ve 17 yaşlarında bir psikolog tarafından yapılan testlerde 105 gibi son derece normal sayılabilecek bir puan almış. Anılarını şuradan okuyabilirsiniz:

• Can you become a brilliant theoretical physicist with an average IQ?
• https://www.quora.com/Can-you-become-a-brilliant-theoretical-physicist-with-an-average-IQ-95-105

“Çavdar Tarlasında Çocuklar” kitabının yazarı J. D. Salinger da iyi bir örnek olacaktır, Early Life başlığından test sonuçlarını görebilirsiniz:

• J. D. Salinger - Early Life

Lisans seviyesinin üstündeki hedefler içinse dikkatli düşünmek gerekiyor. Kendi adıma şunu demek istiyorum: 4x4 küp ve ötesini çözemeyebilirim, emin değilim. Sonuca ulaşmam uzun zaman alacağı için sıkılabilirim de. Yazının giriş bölümünde bahsettiğim nedenlerden dolayı buna gerek duymuyorum. Küpleri kendi mantığım ve çabam ile çözmemi sağlayan şeyler o nedenlerdi zaten, IQ sonucum değil. Öyleyse forumlardaki düşünceleri bir kenara bırakıp neler yaptığıma bir bakış atalım.

2. Sonuca Giden Yol

Bu bölüm çeşitli ipuçları barındırıyor. Amacım küpü nasıl çözeceğinizi göstermekten ziyade ona kendi yöntemleriniz ile yaklaşmanızı sağlamak. İpucu bile olmadan uğraşmak isteyenler 2.1 numaralı başlığın ikinci paragrafından sonuncu paragrafına kadar olan kısmı atlayabilir.

2.1 Kademeli Sürecin Önemi

Başlığa konu olan süreç birçok alanda iniş çıkışlarla doludur. Alttaki içeriklere göz atarak konuya dair daha derin bilgiler edinebilirsiniz:

• Yeni Bir Yıl, Yeni Bir Ben: Hedeflerinize Bu Yıl Ulaşabilecek misiniz?
• Düşünmek Her Şeyin Başlangıcı – Ali Kurmuş
• Röportaj – Ali Kurmuş
• Öğütler – Ali Nesin

Üstte paylaştığım video ve yazılardan aldığım ilhamla mekanik yapısı düzgün, çevrildiği zaman birbirine takılmayan bir Rubik Küp satın aldım. İki-üç gün boyunca renkleri bir araya getirmeye çalıştım fakat bu yöntem işe yaramadı. Bir süre sonra köşe parçalarını doğru pozisyona getirmenin renkleri bir araya getirmeye çalışmaktan çok daha yararlı olduğunu fark ettim. Köşeleri doğru yerleştirirsem küpün ortalarına odaklanmam yeterli olacaktı çünkü.

Durumu anladıktan sonra köşe hareketlerine hâkim olabilmek adına 2x2 küp satın aldım. Bu strateji, Rubik Küp’te işe yarayacak taktikleri 2x2 küpte keşfetmemi sağladı. Büyük adımların çoğunu bu basitleştirmeleri yaparak attım. Problemi basitleştirmek çok önemli ve tüm bunlar kendi yöntemlerimden oluşuyor; siz de kendi yöntemlerinizi bulmaya çalışın. Planım şuydu:

2x2 Küp

• Üst kısmı rahatça doğru pozisyona getirebilecek seviyeye gel.
• Doğru pozisyona gelmiş üst kısmın başka bir tarafta toplanmasını sağlayacak hareket dizileri bul.
• Bulduktan sonra geriye kalan kısımları döndür (yani alt tarafı).
• Başka tarafta topladığın üst kısmı eski haline getir.
• Bulduğun hareket dizilerini değişmiş olan alt kısma uygulayarak küp parçalarının konumlarını incele.
• Çözüme ulaştıysan Rubik Küp’e geç ve köşeleri doğru pozisyona getir.

Rubik Küp: Doğru Konumdaki Köşelerin Arasında Kalan Kenarlar

• 2x2 küpteki tecrübelerine göz at.
• Üst ve alt yüzeyin orta kenarlarını rahatça konumlandırabilecek seviyeye gel.
• Pratik yapmak ve ilerlemeni kaydetmek için ikinci bir küp al.
• Üst ve alt yüzeyin arasında kalan parçaların tamamına hakim olabilecek hamle dizilerini bulmak için ikinci küp üzerinde pratik yap.

2x2’yi 22 günde, Rubik Küp’ü 10 günde çözebildim. Asıl amaç Rubik Küp olduğu için toplam çözüm süresi 32 günü buldu. Bu arada üst ve alt yüzeyin arasında kalan kenar parçalarını doğru yerlere taşıyabilmek için 2x2 küpte kazandığınız tecrübelere göz atmak önemli. Zor gibi görünse de işi biraz daha sezgisel hale getiriyor.

Not: Hareket dizileri her zaman işe yaramayabilir. Tıkandığınız anlarda hamleleri geriye almanız ve işlem dizilerini tekrarlamanız gerekecek. Dediğim gibi, amacımız algoritma ezberlemek değil kendi başımıza çözmeye çalışmak. Sonuca ulaştıktan sonra çeşitli algoritma yapılarını inceleyerek kendi hamlelerinizi geliştirebileceğiniz bir yöntem bulursunuz belki. Fridrich Yöntemi’nin mucidi Jessica Fridrich’in yaptığı şey neredeyse buymuş, hikayesi şurada:

• Jessica Fridrich - Story

2.2 Küp Kitabı Hakkında

Her şey bittikten sonra Ernö Rubik’in yazdığı şu kitabı okudum:

Küp - Bulmacalarla Dolu Bir Hayat, İthaki Yayınları

80. sayfadan sonrasını okurken kendisiyle neredeyse aynı taktikleri uyguladığımı fark ettim! Bunun nedeni renge değil konuma yoğunlaşmamdı. Ayrıca Rubik’in bulmacalara olan yaklaşımını öğrenmek istiyorsanız kitabın 22. ve 37. sayfalarına göz atabilirsiniz.

3. Rubik Küp ve Matematik

3.1 Cebirsel Yapılar ile Olan İlişkisi

İcadından bir süre sonra grup teorisi için yararlı olduğu anlaşılan Küp’ü akademik seviyede inceleyen dört makaleye aşağıdan ulaşabilirsiniz:

1. The Mathematics of the Rubik’s Cube
2. Group Theory via Rubik’s Cube
3. A Mathematical Approach To Solving Rubik's Cube
4. Group Theory and the Rubik’s Cube
5. Bulmacayı çeşitli amaçlar ile analiz eden arXiv makaleleri: Rubik's Cube - arXiv

Öte yandan Fields madalyalı Manjul Bhargava, matematiksel bir yapıyı Rubik Küp’e uygulayarak “gauss composition” olarak adlandırılan tekniğin kübik bir benzerini oluşturduğu için bazı önemli keşifler yapmış. İlgili konuşmayı aşağıdaki video aralığından orijinal dil veya otomatik çeviri seçeneğiyle izledikten sonra hemen altındaki maddeye eklediğim röportajı okumanızı tavsiye ederim:

• Manjul Bhargava: The Musical, Magical Number Theorist
• Fields medallist: How Rubik's cube inspired new maths

Not: Bhargava, sayılar teorisi alanında ve Hilbert’in onuncu problemini ele alan bir konuda Levent Alpöge ve birkaç yazar ile çalışmış. Alpöge’nin çalışmaları alttaki bağlantıdan incelenebilir:

• Levent Alpöge

3.2 Deneysel Çalışmalar

Kombinasyonel bulmacaların özelliklerini hesaplamayı amaçlayan bir projeden küpü piyano olarak hayal etmeye kadar uzanan yelpazede pek çok çalışma bulunuyor. Matematikteki “borromean ring” nesnesini kullanarak Rubik Küp’ün tamamında gerçekleşen değişimlerin aynı anda görünmesini sağlayan bir animasyon bile var (kapak fotoğrafındaki şekilleri bu animasyondan haberim yokken yapmıştım, borromean ring epey güzel). Onlardan bazıları şöyle:

• The Largest Rubik's Cube Calculator
• The Rubik's Cube is a Calculator
• Grup teorisi 101: Rubik küpünü bir piyano gibi nasıl çalabilirsiniz - Michael Staff
• Permutations of Rubik’s Cube on Borromean Rings
• Borromean Rings
• The Mathematics of a Rubik’s Cube
• Games and Puzzles as Multicomputational Systems
• Rubik Küp Nedir? Bir Rubik Küp, Kara Delikleri Aydınlatabilir mi?

4. Matematiği Anlamak Üzerine

4.1 Konuya Dair Söyleşiler

Kombinasyon bulmacalarının matematiksel uygulamaları merak uyandırıcı olduğu için bu bölümü ufuk açıcı olabilecek bazı matematik konuşmalarına ayırmak istedim. Alttaki videonun çok önemli olduğunu düşünüyorum mesela. Nesin’in bahsettiği “soyutlayarak masaya yatırma” konusu, üç numaralı başlığın “Cebirsel Yapılar ile Olan İlişkisi” alt başlığında paylaştığım makalelerin yaptığı şeydi:

• Matematik Hayatımızda Ne İşe Yarar? – Ali Nesin
• Manjul Bhargava’nın matematik çalışmak üzerine düşünceleri: India Questions math genius Professor Manjul Bhargava
• Ali Nesin sorularınızı cevaplıyor. Videonun açıklamalar kısmındaki zaman damgalarına mutlaka bakın.

4.2 Soyut Düşüncenin Dili

Matematiksel düşünmeyi bir dil haline getirmek soyut modeller inşa edilmesini sağlayarak keşif ve problem çalışmalarını daha iyi tanımlayabilir, onları daha anlaşılır kılabilir. Yazı boyunca bahsettiğim bulmacaları grup teorisi bağlamında inceleyip çözenler bu dili kullandı. Nobel ödüllü akademisyen Daron Acemoğlu ekonomi çalışmalarını matematiksel bir temele oturturken yine aynı dili kullandı; konuşmasını aşağıdan dinleyebilir ve hemen altında yer alan maddeden çokyüzlüler üzerine yapılan soyut modellemelerin derin ve güzel bir listesine ulaşabilirsiniz:

• Bir Hayat Hikayesi: Prof. Dr. Daron Acemoğlu | Profil
• List of regular polytopes
• E8 (mathematics)

Evrenin temel fiziksel yasalarını hesaplamalı bir çerçevede açıklamaya çalışan proje: Wolfram Physics Project. Şu an bilimsel geçerliliği kanıtlanmış ya da kabul görmüş bir teori değil fakat matematiğin kullanımı açısından sayfadaki görselleri ve notları inceleyebilirsiniz:

• Wolfram Physics Project
• Bilimkurgu filmi Arrival için bilim danışmanlığı yapmış olan matematikçi ve bilgisayar bilimci Christopher Wolfram’ın kişisel web sitesi: Christopher Wolfram. Kurduğu modeller ile siyaset, oyun ve antik alfabeler gibi konuları analiz ediyor.
• Yararlı Olabilecek Uygulama ve Web Siteleri

Buraya önemli bir not düşmek istiyorum: Daha fazla adalet sağlaması gereken matematiksel modellerin kötüye kullanımı yıkıcı etkilere sebep olabilir. Bu durumu somut örnekler üzerinden anlamak isteyenlere veri bilimci ve matematikçi Cathy O'Neil’ın alttaki kitabını tavsiye ederim:

Matematiksel İmha Silahları / Cathy O'Neil = Tellekt Yayınları

4.3 Bazı Önemli Konuşmalar

Abel ödüllü matematikçi Michel Talagrand’ın ders niteliğindeki röportajlarından bir seçki:

• I. Abel interview 2024: Michel Talagrand
• II. Why 2024 Abel prize winner Michel Talagrand became a mathematician

Yukarıdaki röportajdan bir bölüm:

…benim çözümüm, bir konuda hayal kırıklığına uğradığımda onu bir kenara bırakmaktır. Daha fazla ilerleme kaydedemeyeceğim belli olduğunda onu bir kenara bırakıp başka bir şeyle ilgilenirim. Daha sonraki bir tarihte ona geri dönerim ve bu stratejiyi büyük bir verimlilikle kullanmışımdır. Başarılı olmasının nedeni de insan beyninin işlevidir, bakmadığınız zaman her şey olgunlaşır.

Talagrand’ın bu sözleri “Matematik Çalışmak İçin Kapsamlı Bir Rehber” yazımda paylaştığım alttaki paragrafa çok benziyor:

Eğer bir konu sizi fazla zorluyor ise o konudan uzaklaşıp farklı bir konudan devam ederek aynı çıkmaza girip girmediğinizi tespit etmeye çalışın. Sonunda çıkmazın kaynağını bu biçimde belirleyebilirsiniz. Birçok matematiksel kavram birbirine bağlanır, bu nedenle birini öğrenmek diğerini güçlendirmeye yardımcı olur.^[2]

Buna benzer şeyleri Rubik Küp'te de yaşayabiliyorsunuz. Tabii ki Talagrand başka bir seviye.

• III. Michel Talagrand Wins Abel Prize for Work Wrangling Randomness

Not: Yukarıdaki III numaralı bağlantıda Talagrand yavaşlık hakkında bir cümle kuruyor. Bu cümleyi doğru bir bağlama oturtmalıyız: O düzeydeki birinin bahsettiği “yavaşlık” bizim için aynı şeyi ifade etmiyor olabilir. Burada önemli olan şey ileri seviye matematik topluluğunda yer alan birinin bunları dile getirmesi. Dolayısıyla bahsettiği yavaşlık türev-integral gibi konuların zorluk seviyesini değil bulunduğu konuma öylesine gelmediğini gösteriyor. Babası sayesinde alıştığı düşünme disiplininin bunda büyük payı var ve söylediği şeyler seviye fark etmeksizin yol gösterici bir anlama sahip.

Benzer konuşmalar yapan bir diğer matematikçi ise Alexander Grothendieck. Şunları söylemiş:

• “The capacity to be alone” by Alexander Grothendieck

O zamandan beri beni içtenlikle karşılayan matematik dünyasında, hem "büyüklerim" hem de genel yaş grubumdaki gençler arasında, benden çok daha zeki, çok daha "yetenekli" olan birçok insanla tanışma şansım oldu. Yeni kavramları oyun oynar gibi kolaylıkla öğrendikleri ve onları beşikten beri biliyormuşçasına hokkabazlık yaptıkları için onlara hayranlık duydum –ben ise kendimi ağır ve beceriksiz hissediyor, öğrenmemin önemli olduğu (bana garanti edilen) ve içini-dışını kavramaktan aciz hissettiğim şekilsiz bir dağın içinde bir köstebek gibi acı çekerek yolumu bulmaya çalışıyordum.

Gerçekten de prestijli yarışmaları kazanan veya en zor konuları neredeyse el çabukluğuyla özümseyen parlak öğrenci türünü tanımlayan çok az şey vardı bende. Aslında, benden daha zeki olduğunu düşündüğüm bu arkadaşlarımın çoğu seçkin birer matematikçi oldular. Yine de 30-35 yıllık bir perspektiften baktığımda, zamanımızın matematiği üzerindeki etkilerinin çok derin olmadığını söyleyebilirim. Hepsi, kendilerinden önce belirlenmiş ve bozma eğiliminde olmadıkları bir bağlamda, genellikle güzel şeyler yaptılar. Farkında olmadan, belirli bir çağda belirli bir çevrenin evrenini sınırlayan o görünmez ve despotik çemberlerin tutsağı olarak kaldılar. Bu sınırları aşmak için, tıpkı benim olduğu gibi onların da doğuştan hakkı olan o yeteneği yeniden keşfetmeleri gerekirdi: Yalnız kalma yetisini.

• Ek 1: Terence Tao’dan düşünceler: Does one have to be a genius to do maths? // Terence Tao Mathematical Thinking
• Ek 2: “Hızlı olmak iyidir ama derin olmak daha önemlidir.” Jinyoung Park’ın hayatına yön veren bu cümlenin neden kurulduğunu şu videodan öğrenebilirsiniz: Paths to Math: Jinyoung Park | Institute for Advanced Study
• Ek 3: M. Serdar Kuzuloğlu’nun hayatından bir kesit: Hediye Olarak Beceriksizlik

4.4 Temel Konuları Sorgulamak

“Pisagor Okulu” ve “derincesi” ekibinin matematiksel düşünme, eğitim vb. konuları sorgulayan alttaki video serisini mutlaka izleyin, buraya kadar yazdığım birçok şeyi daha iyi bir temele oturtabilir:

1. Matematik Popüler Olabilir mi?
2. Herkes Matematik Bilmeli mi?

Yayın serisinde geçen bazı önemli konuşmaları kısa ve net olması için özetleyerek aşağıda listeledim, orijinal hallerine zaman damgalarından ulaşabilirsiniz:

Eren Kesim’in yayın sırasında belirttiği üzere birinci video üç ana başlıkta toplanmış: Eğitim, popüler matematik ve araştırma matematiği. Aklımda kalan satırlar şunlar:

• “Öğretme ve anlatış biçimi anlamında matematik popüler olabilir, araştırma matematiğinin popüler olmasına gerek yok.” 18.04
• “Bir şeyi popülerleştirme kaygısı o şeyin kalitesini düşürür. İşin kendisi kaliteli olursa o şey muhtemelen popülerleşir, kıymeti bilinir.” 36.32
• “Herkes temel düzeyde matematik, sanat ve spor gibi eğitimlere kaliteli bir şekilde maruz kalmalı ve hangisine ilgisi varsa, neye heyecanlanıyorsa, neye yatkınsa oradan ilerlemeli.” 48.08
• “Matematikle ilgilenmeyen kalabalık kitlelerin, matematiksel düşünce yetisini kazanacak kadar konuyu bilmesi toplum adına faydalı olabilir. Matematiği sevmenin bile farklı düşünme biçimleri olduğundan kimi durumlarda bu gerçekleşmeyebilir.” 52.25

İkinci video “Herkes ne düzeyde matematik bilmeli?” sorusu ile başlıyor. Bu yayından aklımda kalan satırlar ise şunlar:

• “Bir yandan gerçek hayattaki uygulamaları çok somut ve gerekli olan hesaplama meselesi var (abaküsçülük) bir yandan da onun kadar somut olmayan ispatlayabilme ve netleştirme meselesi var (düşünebilme). Kendimize matematikçi derken “düşünebildiğimizi” kastediyoruz.” 30.25
• “İnsanların kendisini daha iyi ifade ederek rahatça anlaşabilmesi konusundaki en etkili yol matematik olabilir. Çünkü matematiğin tüm metodolojisi şuna dayanıyor: “Eğer şu önermeler doğruysa bunlar da doğru mudur? Bana verilen ön koşullar hangi sonuçlara yol açıyor?” Bu metodoloji o kadar kesin ki, ön koşulların hiçbir şüpheye yer bırakmadan o sonuçlara yol açtığı durumlarla ilgileniyor sadece. Matematik, akıl yürütmenin en kesin ve en keskin hali. Akıl yürütmenin özünde matematik var bence.” 30.42
• “Matematik, doğru ve yanlışı ayırt etmede diğer disiplinlere göre daha fazla deneyim kazandırır. Bu deneyimi kazanmış olan insanlar adaletli olur. Çünkü matematiğin kazandırdığı asıl becerinin tutarlılık olduğunu düşünüyorum. Matematik evrensel bir doğruluktan bahsetmez. “Kesinlikle bu doğrudur” cümlesini kurmak yerine “şu ön koşullar doğruysa bunlar da doğrudur” cümlelerini kurar. Bu onların kesinlikle doğru olduğunu ifade etmek değil, tutarlı konuşmaktır. Dolayısıyla matematik tutarlı olmayı öğretir. Adalet de zaten insan davranışlarına verilen karşılıkların tutarlı olmasıdır. Dolayısıyla matematikten alması gerekeni alan birisi adaletli olmak zorundadır.” 32.52

Not 1: 32.52 zaman damgalı bu konuşma John Nash’in şu sözünü aklıma getiriyor: İyi matematik bilmeyen toplumlarda adalet yoktur.

• “Herkes temel anlamda matematik bilmeli; hayatta kalabilmek için, adil olabilmek için, doğru kararlar ve tercihler verebilmek için. Mantıksal ilişkiler kurabilecek kadar matematiğe maruz kalınmalıdır. Tabii ki bir kısmı kendi çabasıyla hiç matematik bilmeden de doğru kararlar almayı öğrenir ve deneyim kazanır ama matematik kritik bir kavram.” 55.02

Not 2: Gerekli ve somut uygulamaları olan abaküsçülükten bahsedilmiyor sadece burada. Doğru bağlamda değerlendirmeniz için 30.42 ve 32.52 zaman damgalı paragrafları okumanızı tavsiye ederim.

Ayrıca Matematik Köyü’nden Haluk Memili’nin şu videolarına da bakılabilir:

• Matematiksel Düşünce Sistemine Giriş
• Neden Matematik Öğrenmeni İstemezler?

Son olarak, gelişen yapay zekâ teknolojisini bahane ederek okuma-araştırma yapmayı gereksiz görmeye başlayan kişiler için alttaki blog yazımı ve Andrej Karpathy'nin YZ hakkındaki düşüncelerini paylaşmak istiyorum:

• Yapay Zekanın Geleceği
• Karpathy Açıkladı: "Gerçek Yapay Zekâ Henüz Yok!"

Küp üzerine çalışırken okuduğum, izlediğim ve düşündüğüm şeyler bunlardı. Umarım faydalı olmuştur.