Matematikte Hata Fonksiyonu Nedir? Ne İşe Yarar?

Hata Fonksiyonu Nedir?

Matematikte hata fonksiyonu (İng:"error function) veya diğer bir ismi ile Gauss hata fonksiyonu analiz, termodinamik ve dağılım gibi fizik ve matematiğin bir çok alanında kullanımı bulunan ve
erf(x) şeklinde gösterilen bir fonksiyondur. Aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır^[1];

$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$

Hata Fonksiyonunun Ortaya Çıkışı

Hata fonksiyonu ilk olarak 1871 yılında İngiliz bir matematikçi olan James Whitbread Lee Glaisher tarafından "Error Function" ismi ve erf(x) kullanımı ile tanımlanmıştır. Hata fonksiyonunun ismi James Glaisher'ın da üzerinde çalıştığı hata teorisi (İng:"Error Theory") den gelmektedir. James Glaisher'ın hata fonksiyonu için ilk tanımı aşağıda gösterildiği gibiydi;

$erf(x)={\int }_x^{\infty }{e}^{-t^2}dt$

Daha sonrasında Sir James Hopwood Jeans, 1921 yılında yayımlanan "The Dynamical Theory of Gases" adlı kitabında hata fonksiyonuna $\frac{2}{\sqrt{\pi }}$ eklemesini yaparak ve Gaussian integralini düzenleyerek modern matematikte kullanılan son halini almasını sağlamıştır.

Hata Fonksiyonunun Matematiksel Analizi ve Özellikleri

Matematikte bir çok konu ve durum ile ilişkisi olan hata fonksiyonu bunlara bağlı olarak çeşitli tanım, varyasyon ve özelliklere sahiptir. Yaygın tanımına bakılacak olunursa;

$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$

Şeklinde bir gösterim ile ifade edilebilir. Burada ${\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$ Gaussian integrali olarak adlandırılır. Gaussian integrali yapısı gereği özel bir integral durumudur zira Gaussian integralinin belirsiz hali de aynı şekilde hata fonksiyonuna bağlı olarak ifade edilir. erfc(x) olarak gösterilen, hata fonksiyonunun tamamlayıcı fonksiyonu olan tamamlayıcı hata fonksiyonu (İng:"Complementary Error Function) hata fonksiyonuna bağlı olarak aşağıdaki gibi tanımlanan bir diğer ilgili fonksiyondur;

$erfc(x)=1-erf(x)$

Hata fonksiyonu tek fonksiyon özelliği göstermektedir ve eğrisi analitik düzlemde orijine simetriktir;

$erf(-x)=-erf(x)$

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Aynı zamanda matematikte eğrisi "s" harfine benzeyen fonksiyonlar için kullanılan "sigmoid fonksiyonlar" kümesinin bir parçasıdır. Hata fonksiyonunun analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıdaki gibidir;

https://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

Grafikten ve fonksiyon tanımlarından yararlanılarak hata fonksiyonu ve tamamlayıcı hata fonksiyonunun bazı temel noktalardaki değerleri hesaplanabilir;

$erf(0)=0,erfc(0)=1$

$\underset{x\to \infty }{\lim }(erf(x))=1,\underset{x\to -\infty }{\lim }(erf(x))=-1$

Hata fonksiyonu tüm gerçek sayılarda süreklidir ve türevinin özelliklerinden de anlaşılabileceği üzere sürekli artan özelliği gösterir. Hata fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılar ve değer kümesi$(-1,1)$ şeklindedir. Fonksiyon -1 ve 1 değerlerine sürekli yaklaşmakta fakat eşitlenmemektedir. Hata fonksiyonunun sürekli artan özellik göstermesi ve ekstremum noktası olmamasından dolayı tüm x değerlerinde limiti vardır ve fonksiyonun pozitif ve negatif sonsuzluklarda alınan limitleri sırası ile 1 ve -1 değerlerini verir.

Hata fonksiyonu Taylor Serileri yardımı ile de tanımlanabilir^[2]. Hata fonksiyonunun Taylor Serileri kullanılarak tanımlanması aşağıdaki gibidir;

$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{x}{2n+1})\prod _{k=1}^n(\frac{-x^2}{k})$

Hata fonksiyonunun Taylor Serisi daima Konverjans özelliği gösterir. Seri gösterimi $e^{-x^2}$nin Maclaurin Serisi olarak ifade edilmesi ile elde edilebilir.

Hata fonksiyonunun bir diğer gösterimi sonsuz kesirler ile gösterilebilir. Bu durumda hata fonksiyonu aşağıdaki gibi de tanımlanabilir;

$erf(x)=1-\frac{x}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}\frac{1}{x^2+\frac{1/2}{1+\frac{2/2}{x^2+\frac{3/2}{1+...}}}}$

Bu gösterim tamamlayıcı hata fonksiyonunda tanımlanmış olup tamamlayıcı hata fonksiyonunun hata fonksiyonuna dönüştürülmesi ile elde edilebilir.

Hata Fonksiyonunun Türevi ve İntegrali

Hata fonksiyonununun türevi ve integrali aynı diğer fonksiyonlarda olduğu gibi alınabilir. Hata fonksiyonunda türev ve integral fonksiyonla ilgili farklı özelliklerin belirlenmesinde yardımcı olur. Hata fonksiyonunun türevi;

$\frac{d}{dx}erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}$

Agora Bilim Pazarı

Checklist Manifesto – İşi Doğru Yapmanın Basit Bilimi

Time dergisi tarafından 2010 yılının tüm dünyada en etkili 100 insanı arasında gösterilen ve Dünya Sağlık Örgütü’nün  Güvenli Cerrahi Hayat Kurtarır programını yürüten Dr. Atul Gawande, sıradan bir kontrol listesinin şaşırtıcı gücünü ortaya koyuyor.

Gawande muhteşem bir yazar ve bu kitabın iddialı amaçları var.” –Malcolm Gladwell

 

Modern dünya bize akıl almaz düzeyde teknik bilgi sunuyor. Yine de sağlık hizmetleri, devlet yönetimi, hukuk ve finans alanlarında, örgütlü etkinliklerin hemen hepsinde yapılan önlenebilir hataların acısını çekmeye devam ediyoruz. Ve bunun nedeni son derece basit: artık sahip olduğumuz bilgi hacmi ve karmaşıklık düzeyi, bireyler olarak bu bilgiyi uygun yoldan, tutarlı, doğru ve güvenli biçimde iletme becerimizi aşmış durumda. Daha uzun süre eğitim görüyor, daha fazla uzmanlaşıyor, daha ileri teknoloji kullanıyor ama yine de hata yapıyoruz.
Geniş bir okur kitlesine sahip yazar ve cerrah Atul Gawande, daha iyisini başarabileceğimiz görüşünü savunuyor ve çözüm olarak, olabilecek en mütevazı yolu gösteriyor bize: kendi halinde bir kontrol listesi. Gawande, kontrol listelerinin, uçakları uçurmaktan akıl almaz derecede incelikli teknik gerektiren gökdelenler inşa etmeye dek, yaptığımız en zor işlerden bazılarını nasıl altından kalkılabilir hale getirdiğini açıklıyor. Kendi deneyimine dayanarak, bu düşüncenin cerrahinin son derece karmaşık ve çeşitlilik gösteren dünyasında hayata geçirilmesiyle hazırlanan doksan saniyelik bir kontrol listesinin, dünyanın dört bir yanındaki sekiz hastanede, hemen bütün cerrahi girişim türlerinde, ölümleri ve komplikasyonları, ek maliyet getirmeksizin, üçte biri aşan oranda azaltmayı nasıl başarabildiğini gözler önüne seriyor.
Gawande, anlattığı sürükleyici öykülerle bizi, acil durum kontrol listesinin, suyun altında yarım saat kalan bir boğulma vakasında kurbanın kurtulmasını sağladığı Avusturya’dan, yoğun bakım birimlerinde kullanılan temizlik kontrol listesinin ölümcül bir hastane enfeksiyonu türünü ortadan kaldırdığı Michigan’a, ardında da düşmek üzere olan bir uçağın kokpitine götürüyor. Bu yolculuk sırasında, kontrol listelerinin neler yapıp neler yapamadığını, yalnız tıp alanında değil, ulusal güvenlikten yatırım bankacılığına, her çeşit meslek grubu ve iş alanında sağlayabileceği çarpıcı ilerlemeleri ortaya koyuyor.
Checklist Manifestosu, yaşamımızdaki karmaşıklığın doğasını irdeleyen, merak ettiren ve eyleme geçirten bir kitap. İşini doğru yapmak isteyen herkesin için…

Bilgiler ve Uyarılar:

1. Bu ürün sipariş alındıktan 1-3 gün içinde postalanacaktır.
2. Lütfen sipariş vermeden önce iade ve ürün değişikliği ile ilgili bilgilendirmemizi okuyunuz.
3. Bu kampanya, Domingo Yayınevi tarafından Evrim Ağacı okurlarına sunulan fırsatlardan birisidir.

Devamını Göster

₺255.00

Satın Al Tüm Ürünler

Şeklinde bulunur. Hata fonksiyonunun türevi tabanında Euler sayısı bulunan bir üstel fonksiyondur ve tüm x reel sayıları için pozitif değer alır. Hata fonksiyonunun gösterdiği sürekli artan özelliği türevinin daima pozitif olması ile anlaşılabilir. Hata fonksiyonunun integrali;

$\int erf(x)dx=xerf(x)+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}+C$

Olarak bulunur. Hata fonksiyonunun integrali diğer tüm integrallerde olduğu gibi belirli üst ve alt sınırlar arasında kalan alanın bulunması gibi işlevlere sahiptir.

Karmaşık(İmajiner) Hata Fonksiyonu

Karmaşık hata fonksiyonu erfi(x) gösterimi ile kullanılır ve $(i=\sqrt{-1})$ olmak üzere aşağıda ki gibi tanımlanabilir;

$erfi(x)=-ierf(ix)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt$

Adının aksine karmaşık hata fonksiyonu x sayısının değerine bağlı olarak reel sayı değerleri de almaktadır.

Son Söz

Burada bahsedilenler dışında hata fonksiyonunun sayısız özelliği ve türevi daha vardır ve matematiğin içine girildikçe bir o kadar daha potansiyel olarak bulunabilir. Bu yazı hata fonksiyonunu tanıtma, bazı temel özelliklerinden bahsetme ve fonksiyonun yapısın, tarihini ve matematikteki yerini anlamak için çok küçük bir başlangıç olması hedefi ile yazılmıştır.