Matematikte Hata Fonksiyonu Nedir? Ne İşe Yarar?

Hata Fonksiyonu Nedir?

Matematikte hata fonksiyonu (İng:"error function) veya diğer bir ismi ile Gauss hata fonksiyonu analiz, termodinamik ve dağılım gibi fizik ve matematiğin bir çok alanında kullanımı bulunan ve
erf(x) şeklinde gösterilen bir fonksiyondur. Aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır^[1];

$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$

Hata Fonksiyonunun Ortaya Çıkışı

Hata fonksiyonu ilk olarak 1871 yılında İngiliz bir matematikçi olan James Whitbread Lee Glaisher tarafından "Error Function" ismi ve erf(x) kullanımı ile tanımlanmıştır. Hata fonksiyonunun ismi James Glaisher'ın da üzerinde çalıştığı hata teorisi (İng:"Error Theory") den gelmektedir. James Glaisher'ın hata fonksiyonu için ilk tanımı aşağıda gösterildiği gibiydi;

$erf(x)={\int }_x^{\infty }{e}^{-t^2}dt$

Daha sonrasında Sir James Hopwood Jeans, 1921 yılında yayımlanan "The Dynamical Theory of Gases" adlı kitabında hata fonksiyonuna $\frac{2}{\sqrt{\pi }}$ eklemesini yaparak ve Gaussian integralini düzenleyerek modern matematikte kullanılan son halini almasını sağlamıştır.

Hata Fonksiyonunun Matematiksel Analizi ve Özellikleri

Matematikte bir çok konu ve durum ile ilişkisi olan hata fonksiyonu bunlara bağlı olarak çeşitli tanım, varyasyon ve özelliklere sahiptir. Yaygın tanımına bakılacak olunursa;

$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$

Şeklinde bir gösterim ile ifade edilebilir. Burada ${\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$ Gaussian integrali olarak adlandırılır. Gaussian integrali yapısı gereği özel bir integral durumudur zira Gaussian integralinin belirsiz hali de aynı şekilde hata fonksiyonuna bağlı olarak ifade edilir. erfc(x) olarak gösterilen, hata fonksiyonunun tamamlayıcı fonksiyonu olan tamamlayıcı hata fonksiyonu (İng:"Complementary Error Function) hata fonksiyonuna bağlı olarak aşağıdaki gibi tanımlanan bir diğer ilgili fonksiyondur;

$erfc(x)=1-erf(x)$

Hata fonksiyonu tek fonksiyon özelliği göstermektedir ve eğrisi analitik düzlemde orijine simetriktir;

$erf(-x)=-erf(x)$

Aynı zamanda matematikte eğrisi "s" harfine benzeyen fonksiyonlar için kullanılan "sigmoid fonksiyonlar" kümesinin bir parçasıdır. Hata fonksiyonunun analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıdaki gibidir;

https://en.wikipedia.org/wiki/Error_function

Grafikten ve fonksiyon tanımlarından yararlanılarak hata fonksiyonu ve tamamlayıcı hata fonksiyonunun bazı temel noktalardaki değerleri hesaplanabilir;

$erf(0)=0,erfc(0)=1$

$\underset{x\to \infty }{\lim }(erf(x))=1,\underset{x\to -\infty }{\lim }(erf(x))=-1$

Hata fonksiyonu tüm gerçek sayılarda süreklidir ve türevinin özelliklerinden de anlaşılabileceği üzere sürekli artan özelliği gösterir. Hata fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılar ve değer kümesi$(-1,1)$ şeklindedir. Fonksiyon -1 ve 1 değerlerine sürekli yaklaşmakta fakat eşitlenmemektedir. Hata fonksiyonunun sürekli artan özellik göstermesi ve ekstremum noktası olmamasından dolayı tüm x değerlerinde limiti vardır ve fonksiyonun pozitif ve negatif sonsuzluklarda alınan limitleri sırası ile 1 ve -1 değerlerini verir.

Hata fonksiyonu Taylor Serileri yardımı ile de tanımlanabilir^[2]. Hata fonksiyonunun Taylor Serileri kullanılarak tanımlanması aşağıdaki gibidir;

$erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }(\frac{x}{2n+1})\prod _{k=1}^n(\frac{-x^2}{k})$

Hata fonksiyonunun Taylor Serisi daima Konverjans özelliği gösterir. Seri gösterimi $e^{-x^2}$nin Maclaurin Serisi olarak ifade edilmesi ile elde edilebilir.

Hata fonksiyonunun bir diğer gösterimi sonsuz kesirler ile gösterilebilir. Bu durumda hata fonksiyonu aşağıdaki gibi de tanımlanabilir;

$erf(x)=1-\frac{x}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}\frac{1}{x^2+\frac{1/2}{1+\frac{2/2}{x^2+\frac{3/2}{1+...}}}}$

Bu gösterim tamamlayıcı hata fonksiyonunda tanımlanmış olup tamamlayıcı hata fonksiyonunun hata fonksiyonuna dönüştürülmesi ile elde edilebilir.

Hata Fonksiyonunun Türevi ve İntegrali

Hata fonksiyonununun türevi ve integrali aynı diğer fonksiyonlarda olduğu gibi alınabilir. Hata fonksiyonunda türev ve integral fonksiyonla ilgili farklı özelliklerin belirlenmesinde yardımcı olur. Hata fonksiyonunun türevi;

$\frac{d}{dx}erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{e}^{-x^2}$

Agora Bilim Pazarı

Murdo: İmkânsız Hayaller Kitabı

 
2021 Premio Andersen ve Premio Strega Ödülleri

“Yetiler gerçek değil derler. Ama işte buradayım. Adım Murdo, ben bir yetiyim. Ne zaman böyle desem, yetilerin sadece hikâyelerde var olduğunu söylerler. Yalnızca efsanelerde. Kitap sayfalarının arasında. Kurduğum imkânsız hayallerden ilki bu işte: bir kitabın dışında var olmak. Kâğıttan olmayan dağlarda yaşamak.” 

Murdo, küçük hayali bir yeti. Her sayfada bize bir hayalini anlatıyor: şiirden bir hırka örmek, bir ayakkabıya saklanmak, bir çakıl taşıyla sırlarını paylaşmak, içinde “her şey”in olduğu bir sandviç, yağmurun yerden göğe doğru yağdığı tepetaklak bir dünya…

Alex Cousseau’nun kendisine Premio Andersen ve Premio Strega gibi iki prestijli ödül kazandıran sınır tanımaz yaratıcılığı Éva Offredo’nun yalın ve muzip çizimleriyle birleşiyor, ortaya çocukluğun şiirini muhteşem bir dille aktaran, yediden yetmişe herkesi sarıp sarmalayacak ve dönüp dönüp tekrar okuma isteği uyandıracak bu büyüleyici kitap çıkıyor.

Devamını Göster

₺195.00

Satın Al Tüm Ürünler

Şeklinde bulunur. Hata fonksiyonunun türevi tabanında Euler sayısı bulunan bir üstel fonksiyondur ve tüm x reel sayıları için pozitif değer alır. Hata fonksiyonunun gösterdiği sürekli artan özelliği türevinin daima pozitif olması ile anlaşılabilir. Hata fonksiyonunun integrali;

$\int erf(x)dx=xerf(x)+\frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}+C$

Olarak bulunur. Hata fonksiyonunun integrali diğer tüm integrallerde olduğu gibi belirli üst ve alt sınırlar arasında kalan alanın bulunması gibi işlevlere sahiptir.

Karmaşık(İmajiner) Hata Fonksiyonu

Karmaşık hata fonksiyonu erfi(x) gösterimi ile kullanılır ve $(i=\sqrt{-1})$ olmak üzere aşağıda ki gibi tanımlanabilir;

$erfi(x)=-ierf(ix)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt$

Adının aksine karmaşık hata fonksiyonu x sayısının değerine bağlı olarak reel sayı değerleri de almaktadır.

Son Söz

Burada bahsedilenler dışında hata fonksiyonunun sayısız özelliği ve türevi daha vardır ve matematiğin içine girildikçe bir o kadar daha potansiyel olarak bulunabilir. Bu yazı hata fonksiyonunu tanıtma, bazı temel özelliklerinden bahsetme ve fonksiyonun yapısın, tarihini ve matematikteki yerini anlamak için çok küçük bir başlangıç olması hedefi ile yazılmıştır.