Matematikte Hata Fonksiyonu Nedir? Ne İşe Yarar?
- Blog Yazısı
Hata Fonksiyonu Nedir?
Matematikte hata fonksiyonu (İng:"error function) veya diğer bir ismi ile Gauss hata fonksiyonu analiz, termodinamik ve dağılım gibi fizik ve matematiğin bir çok alanında kullanımı bulunan ve
erf(x) şeklinde gösterilen bir fonksiyondur. Aşağıdaki gibi tanımlanmaktadır[1];
erf(x)=2π∫0xe−t2dterf(x)=\frac{2}{ \sqrt{ \pi} } \displaystyle\int_0^xe^{-t^{2}}dt
Hata Fonksiyonunun Ortaya Çıkışı
Hata fonksiyonu ilk olarak 1871 yılında İngiliz bir matematikçi olan James Whitbread Lee Glaisher tarafından "Error Function" ismi ve erf(x) kullanımı ile tanımlanmıştır. Hata fonksiyonunun ismi James Glaisher'ın da üzerinde çalıştığı hata teorisi (İng:"Error Theory") den gelmektedir. James Glaisher'ın hata fonksiyonu için ilk tanımı aşağıda gösterildiği gibiydi;
erf(x)=∫x∞e−t2dterf(x)=\displaystyle\int_x^\infty e^{-t^{2}}dt
Daha sonrasında Sir James Hopwood Jeans, 1921 yılında yayımlanan "The Dynamical Theory of Gases" adlı kitabında hata fonksiyonuna 2π\frac{2}{\sqrt\pi} eklemesini yaparak ve Gaussian integralini düzenleyerek modern matematikte kullanılan son halini almasını sağlamıştır.
Hata Fonksiyonunun Matematiksel Analizi ve Özellikleri
Matematikte bir çok konu ve durum ile ilişkisi olan hata fonksiyonu bunlara bağlı olarak çeşitli tanım, varyasyon ve özelliklere sahiptir. Yaygın tanımına bakılacak olunursa;
erf(x)=2π∫0xe−t2dterf(x)=\frac{2}{\sqrt{ \pi}} \displaystyle\int_0^xe^{-t^{2}}dt
Şeklinde bir gösterim ile ifade edilebilir. Burada ∫0xe−t2dt\displaystyle\int_0^xe^{-t^{2}}dt Gaussian integrali olarak adlandırılır. Gaussian integrali yapısı gereği özel bir integral durumudur zira Gaussian integralinin belirsiz hali de aynı şekilde hata fonksiyonuna bağlı olarak ifade edilir. erfc(x) olarak gösterilen, hata fonksiyonunun tamamlayıcı fonksiyonu olan tamamlayıcı hata fonksiyonu (İng:"Complementary Error Function) hata fonksiyonuna bağlı olarak aşağıdaki gibi tanımlanan bir diğer ilgili fonksiyondur;
erfc(x)=1−erf(x)erfc(x)=1-erf(x)
Hata fonksiyonu tek fonksiyon özelliği göstermektedir ve eğrisi analitik düzlemde orijine simetriktir;
erf(−x)=−erf(x)erf(-x)=-erf(x)
Aynı zamanda matematikte eğrisi "s" harfine benzeyen fonksiyonlar için kullanılan "sigmoid fonksiyonlar" kümesinin bir parçasıdır. Hata fonksiyonunun analitik düzlemdeki görüntüsü aşağıdaki gibidir;
Grafikten ve fonksiyon tanımlarından yararlanılarak hata fonksiyonu ve tamamlayıcı hata fonksiyonunun bazı temel noktalardaki değerleri hesaplanabilir;
erf(0)=0,erfc(0)=1erf(0)=0, erfc(0)=1
limx→∞(erf(x))=1,limx→−∞(erf(x))=−1\lim\limits_{x\to\infty}( erf(x))=1, \lim\limits_{x\to-\infty}(erf(x))=-1
Hata fonksiyonu tüm gerçek sayılarda süreklidir ve türevinin özelliklerinden de anlaşılabileceği üzere sürekli artan özelliği gösterir. Hata fonksiyonunun tanım kümesi tüm reel sayılar ve değer kümesi(−1,1)( -1,1) şeklindedir. Fonksiyon -1 ve 1 değerlerine sürekli yaklaşmakta fakat eşitlenmemektedir. Hata fonksiyonunun sürekli artan özellik göstermesi ve ekstremum noktası olmamasından dolayı tüm x değerlerinde limiti vardır ve fonksiyonun pozitif ve negatif sonsuzluklarda alınan limitleri sırası ile 1 ve -1 değerlerini verir.
Hata fonksiyonu Taylor Serileri yardımı ile de tanımlanabilir[2]. Hata fonksiyonunun Taylor Serileri kullanılarak tanımlanması aşağıdaki gibidir;
erf(x)=2π∑n=0∞(x2n+1)∏k=1n(−x2k)erf(x)=\frac{2}{\sqrt{ \pi}} \displaystyle\sum_{n=0}^\infty ( \frac{x}{2n+1})\displaystyle\prod_{k=1}^n ( \frac{-x^2}{k})
Hata fonksiyonunun Taylor Serisi daima Konverjans özelliği gösterir. Seri gösterimi e−x2e^{-x^{2}}nin Maclaurin Serisi olarak ifade edilmesi ile elde edilebilir.
Hata fonksiyonunun bir diğer gösterimi sonsuz kesirler ile gösterilebilir. Bu durumda hata fonksiyonu aşağıdaki gibi de tanımlanabilir;
erf(x)=1−xπe−x21x2+1/21+2/2x2+3/21+...erf(x)=1-\frac{x}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}\frac{1}{x^2+\frac{1/2}{1+\frac{2/2}{x^2+\frac{3/2}{1+...}}}}
Bu gösterim tamamlayıcı hata fonksiyonunda tanımlanmış olup tamamlayıcı hata fonksiyonunun hata fonksiyonuna dönüştürülmesi ile elde edilebilir.
Hata Fonksiyonunun Türevi ve İntegrali
Hata fonksiyonununun türevi ve integrali aynı diğer fonksiyonlarda olduğu gibi alınabilir. Hata fonksiyonunda türev ve integral fonksiyonla ilgili farklı özelliklerin belirlenmesinde yardımcı olur. Hata fonksiyonunun türevi;
ddxerf(x)=2πe−x2\frac{d}{dx} erf(x)=\frac{2}{\sqrt{ \pi}}e^{-x^{2}}
Şeklinde bulunur. Hata fonksiyonunun türevi tabanında Euler sayısı bulunan bir üstel fonksiyondur ve tüm x reel sayıları için pozitif değer alır. Hata fonksiyonunun gösterdiği sürekli artan özelliği türevinin daima pozitif olması ile anlaşılabilir. Hata fonksiyonunun integrali;
∫erf(x)dx=xerf(x)+e−x2π+C\int erf(x)dx= xerf(x)+\frac{e^{-x^{2}}}{\sqrt{ \pi}}+C
Olarak bulunur. Hata fonksiyonunun integrali diğer tüm integrallerde olduğu gibi belirli üst ve alt sınırlar arasında kalan alanın bulunması gibi işlevlere sahiptir.
Karmaşık(İmajiner) Hata Fonksiyonu
Karmaşık hata fonksiyonu erfi(x) gösterimi ile kullanılır ve (i=−1)(i= \sqrt {-1}) olmak üzere aşağıda ki gibi tanımlanabilir;
erfi(x)=−ierf(ix)=2π∫0xet2dterfi(x)=-ierf(ix)=\frac{2}{\sqrt{ \pi}}\displaystyle\int_0^x e^{t^{2}}dt
Adının aksine karmaşık hata fonksiyonu x sayısının değerine bağlı olarak reel sayı değerleri de almaktadır.
Son Söz
Burada bahsedilenler dışında hata fonksiyonunun sayısız özelliği ve türevi daha vardır ve matematiğin içine girildikçe bir o kadar daha potansiyel olarak bulunabilir. Bu yazı hata fonksiyonunu tanıtma, bazı temel özelliklerinden bahsetme ve fonksiyonun yapısın, tarihini ve matematikteki yerini anlamak için çok küçük bir başlangıç olması hedefi ile yazılmıştır.
-
1
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
- ^ H.M. Srivastava, et al. Introduction And Preliminaries. (23 Kasım 2011). Alındığı Tarih: 2 Mayıs 2024. Alındığı Yer: ScienceDirect doi: 10.1016/B978-0-12-385218-2.00001-3. | Arşiv Bağlantısı
- ^ Bhailal P. Patel, et al. (2024). Error Functions And Their Application. Journal of Pure and Applied Sciences, sf: 30-34. | Arşiv Bağlantısı
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 18/05/2024 14:17:23 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/17486
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.
