Her Şeyin Teorisine Analitik Bir Yaklaşım

Douglas Adams'ın Otostopçu'nun Galaksi Rehberi adlı bilim kurgu eserine göre "42", hayat, evren ve her şeye dair nihai sorunun cevabıdır. Peki gerçekten gözlemlenebilir evrendeki her olayı açıklayabilecek tek bir formül bulabilir miyiz?

Newton'un, Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (Doğa Felsefesinin Matematiksel İlkeleri) adlı eserinde tanımladığı hareket ve kütleçekim kanunları, günlük hayatta karşılaştığımız hızlar ve ölçeklerdeki cisimlerin davranışlarını açıklamak için mükemmeldir. Newton'un yasaları sayesinde; tepeden bırakılan bir topun ne kadar sürede yere düşeceği, sürtünmesiz yatay bir düzlemde kuvvet uygulanan bir cismin ne kadar ivme kazanacağı ya da bir kaldıraçın kollarının uzunluklarına göre ne ağırlıkta cisimler taşıyabileceğini bilebiliriz.

Fakat, incelediğimiz cisimler çok büyüdüğünde (örneğin, büyük yıldızlar, kara delikler) ya da çok küçüldüğünde (örneğin, atom altı parçacıklar); Newton'un yasaları o kadar iyi sonuç vermemeye başlar. Çok büyük cisimlerin davranışlarını Genel Görelilik Teorisi, çok küçük cisimlerin davranışlarını ise Kuantum Mekaniği daha iyi açıklamaktadır.

Peki, farklı büyüklüklerdeki cisimlerin farklı yasalara göre davranıyor gibi görünmesi, tüm evreni açıklayan tek bir formül asla bulamayacağımız anlamına mı geliyor? Bu soruyu düşününce aklıma ilk gelen şey lise matematiğinde öğrendiğimiz parçalı fonksiyonlar oldu.

Bildiğiniz üzere, parçalı fonksiyonlar, x'in tanım aralığının alt aralıklara bölündüğü ve farklı alt aralıklar için farklı birer formülün tanımlandığı fonksiyonlardır. Şu şekilde gösterilirler:

Wikipedia

Fonksiyondaki x değerini, davranışını incelediğimiz cismin büyüklüğü olarak düşünelim. f(x) de bize (diğer koşullar sabitken) cismin araştırdığımız davranışını (hız, ivme, momentum vb.) veren formül olsun. Eğer cisimler çok büyük ve çok küçük boyutlarda farklı yasalara göre davranıyorsa, bu bize parçalı bir fonksiyon verecektir. Çünkü, farklı büyüklük aralıkları için farklı birer formül kullanılması gerekmektedir. Ancak, parçalı fonksiyon da sonuçta tek bir fonksiyondur. Yani, fonksiyonda tanımlı olan bir x değerini bu fonksiyona girdi olarak girdiğimizde, tek ve kesin bir f(x) değeri elde ederiz. Diğer bir değişle, evrenin formülü bir parçalı fonksiyon olsa bile sonuçta bize evrenin cevaplarını verecektir. Burada önemli olan fonksiyonun sürekli mi parçalı mı olduğundan çok, fonksiyonun tanım aralığıdır. Eğer fonksiyon tüm reel sayılar için tanımlıysa, her boyuttaki cisim için bir cevabımız var demektir. Ama fonksiyon bazı x değerleri için tanımlı değilse, henüz evrenin tüm cevaplarına ulaşamamışızdır.

Calipercorp

Devamı da var.

Bence yine de evrenin formülünün parçalı bir fonksiyon değil de, sürekli bir fonksiyon olması mümkün. Nasıl mı?

Evrenin boyutunu düşündüğümüzde, bizim gözlemleyebildiğimiz ve üstünde deney yapabildiğimiz büyüklükler çok dar bir aralık. Evrendeki tüm büyüklüklükler, pozitif ve negatife (yani büyüğe ve küçüğe) doğru sonsuz reel sayı içeren x ekseni iken, bizim gözlem çerçevemiz birkaç tam sayı boyutunda. Bu kadar küçük bir çerçeveden evrene bakınca, örüntünün tamamını göremezsiniz.

Örneğin, evrenin formülü üçüncü dereceden bir polinom olsun. Şöyle bir grafiği var diyelim:

Wikipedia

Fakat bu büyük resim, adeta Tanrı'nın perspektifi gibi. Bilim insanları evrene yalnızca küçük çerçevelerden bakabiliyor. Şimdi elimize küçük bir çerçeve alalım, ve incelediğimiz cisim değişik büyüklüklerdeyken, yani değişik x aralıklarında, grafiğimizin nasıl göründüğüne bakalım.

Mesela eğer koyu mor çerçevenin olduğu boyut aralıklarında gözlem yapıyorsak, tüm bu fonksiyonu bir sabit fonksiyon gibi görürüz. Örneğin incelediğimiz değişken f(x), bu çerçevenin içinde kalan boyuttaki tüm cisimler için yaklaşık 2,5 ise, bu değişkenin formülünün f(x)=2,5 olduğunu düşünebiliriz. Fakat, bir gün biri farklı büyüklükteki cisimlerin davranışlarını incelerse, bilinen formülün işe yaramadığını görecektir. Örneğin, turuncu çerçevedeki büyüklük aralığındaki cisimlerin davranışları yaklaşık olarak, negatif yönlü doğrusal bir denklemin formülünü verecektir. Fakat aslında tüm denklem üçüncü dereceden bir polinomdur.

Değişik büyüklük aralıklarındaki cisimlerle deney yaptıkça tüm resmi çizmeye gittikçe yaklaşırız fakat resmi, hiçbir boşluğu kendimiz matematiksel çıkarım yaparak doldurmadan, bütün haliyle görebilmemiz için sonsuz sayıda farklı büyüklükte cisimle deney yapmamız gerekir aslında.

Not: Bu örnekte tek bilinmeyenli bir denklem kullandım çünkü diğer bütün değişkenlerin sabit tutulduğunu varsaydım. Tabi ki, evreni bütünüyle açıklayan formül milyonlarca değişkenli bir denklem olacak. Böyle bir fonksiyonun grafiği, iki boyutlu düzlemde değil ancak milyon boyutlu bir uzayda çizilebilir. Bunu akılda canlandırmak pek kolay olmazdı.

Louisiana State University Mathematics