Gauss Toplamı

Vikipedi

Eminim ki hepiniz gauss toplamını biliyorsunuzdur ya da duymuşsunuzdur. Bu teoremin hikayesini merak ettiniz mi?

Johann Carl Friedrich Gauss, 30 Nisan 1777 yılında Kutsal Roma Germen İmparatorluğu'nda doğdu. Carl F. Gauss, Gebhard ve Dorothea Gauss çiftinin tek çocuğuydu. Ailesi bilindiği kadarıyla fakirdi. Gauss 8 yaşındayken matematik öğretmenleri J. G. Büttner sınıfı oyalamak için bir soru sorar:

$1+2+3+4+5+...+99+100=?$

Soru kolaydır fakat zaman alıcıdır. Matematik öğretmenleri Büttner, çocukları oyalayabileceğini sanmıştı fakat yanılıyordu çünkü Gauss cevabı hemen buluverdi. Gauss, uçlarındaki sayıların toplamının her zaman 101 verdiğini farketti:

$100+1=101,99+2=101,98+3=101,...,51+50=101$

O halde, 50 tane 101 olmalıydı ve $50\cdot 101=5050$ ,doğru cevap olmalıydı. Ki öyleydi de. Bu örnek, Gauss'un dehasını gösteren örneklerden bir tanesi.

O halde, doğal sayılarda 1'den başlayıp ardışık olarak artarak $n$'ye kadar giden toplamların sonucunu kısa yoldan $\frac{n.(n+1)}{2}$ ile hesaplayabiliriz.

Eşitliğin Tümevarım İle İspatı

Teorem: $\forall n\in {\mathbb{N}}^{+}$ için $1+2+3+...+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}$'dir.

İspat: Gauss ile aynı fikirde gidelim.

$1+2+3+...+(n-1)+n=A$ olsun. Eşitliği ters çevirip kendisiyle toplayalım.

$1+2+3+...+(n-1)+n=A$

$n+(n-1)+...+3+2+1=A$

$(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)=2A$

Dikkatinizi çekerim, burada n tane n+1 vardır: zaten yukarıdaki eşitlikte n tane terim vardır. Burada yaptığımız her bir terimle aşağıdaki bir terimi toplamak olduğundan üstteki eşitlikte sadece her bir terimin değeri artar yani terim sayısı değişmez. O zaman:

$n(n+1)=2A⟺\frac{n(n+1)}{2}=A$

diyebiliriz. Gauss, gerçekten çok büyük bir dehaydı. Zaten, daha 8 yaşındayken bunları yapan bir zihnin gelecekte neler yapabileceğini kestirmişsinizdir.

Gauss, 1792 yılında Dük Karl Wilhelm Ferdinand'dan burs almaya başladı. Göttingen Üniversitesi'nde matematik eğitimi aldı. Gauss, 1796'da 2000 yıldır kimsenin çözemediği bir problem olan bir onyedigenin cetvel ve pergelle çizilebileceğini ispatladı. Bu, Gauss'u matematik kariyerini ilerletme fikrine ikna etti. 1797'de ise cebirin temel teoremini (her karmaşık katsayılı, sabit olmayan bir polinomun derecesi kadar kökü vardır.) ispatlamıştır. 1801'de ise Disquisitiones Arithmeticae’yı (Aritmetik Araştırmalar) yayımladı. Bu kitap kendisinden önceki matematikçiler ve kendisinin fikirlerini içeriyordu. Hayatının geri kalanında yaşadığı kayıplara ve sıkıntılara rağmen çalışmalarını aksatmayan; matematik, optik, gökbilim, jeodezi ve manyetizma gibi alanlarda bilime pek çok şey katan Gauss, 23 Şubat 1885'de hayata gözlerini yummuştur.