Çember ve Daire'nin Çevresini Hesaplarken Neden "2πr" Formülünü Kullanırız?

Öncelikle π sayısından bahsedelim. π sayısı çemberin çevresinin çapa oranıdır

Tanım 1: Çemberin çevresi C ve yarı çapı r olmak üzere (Tanım 1) $\pi =\frac{C}{2r}$ dir. Eminim ki bazılarınızın aklına pi sayısının neden her çember için sabit kaldığı takılmıştır. Bu bölümde bu oranın neden sabit kaldığını açıklayıp hem de bu ispat üzerinden çemberin çevre ispatını yapacağız.

Öncelikle çemberin çevresi C olmak üzere tanımlayalım. Esasında çemberin çevresinin matematiksel bir tanımı yoktur.^[1] Biz bu tanımı işlemle yapacağız. Bir çember alalım ve bu çemberin içine n kenarlı bir çokgenin çizelim ve bu çokgenin bir kenarını $e$ ile gösterelim. Eğer biz $n$’yi olabildiğince arttırırsak $e$’nin uzunluğu sürekli kısalır ancak sayısı artar bu da çokgenin gittikçe çembere yaklaşmasını sağlar. Yani:

$\underset{n\to \infty }{\lim }e.n\to C$ (Tanım 2)

Şimdi, bir $O$ merkezli çember alalım. Bu çemberin içine $n$ kenarlı bir çokgen çizelim. Çokgenin bir kenarını inceleyelim, incelediğimiz kenarın bir ucuna $A$ bir diğer ucuna da $B$ diyelim ve bu uçları $O$ ile birleştirelim. Bu durumda ikizkenar bir üçgen elde ederiz.

Yeniden, $O^{\prime }$ merkezli bir çember alalım, bu çembere aynı işlemleri uygulayalım ve incelediğimiz kenarın uçlarına $A^{\prime }$ ve $B^{\prime }$ diyelim. $m(\hat{O})=m(\widehat{O’})=\frac{360}{n}$ olduğundan ve bu açıların kenarları orantılı olduğundan. $A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }$ ve $AOB$ üçgenleri benzerdir diyebiliriz. Bundan dolayı,

$\frac{e}{r}=\frac{e’}{r’}$ olur.

$p$ ilk çokgenin ve $p^{\prime }$ ikinci çokgenin çevresi olmak üzere, $p=e.n$ ve $p^{\prime }=e^{\prime }.n$ olduğundan,

$\frac{p}{r}=\frac{p’}{r’}$ diyebiliriz.

Tanım 2’ye göre $p\to C$ ve $p^{\prime }\to C^{\prime }$$.$

$\frac{C}{r}=\frac{C^{\prime }}{r^{\prime }}$ diyebiliriz. Dolayısıyla da,

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

$\frac{C}{2r}=\frac{C}{2r^{\prime }}$ olur. Ki bu da her $r$ değeri için $\pi$ sayısının sağlandığının ispatıdır.

$\frac{C}{2r}=\pi ⟺C=2.\pi .r$ diyebiliriz. ^[1]Bir ispatımız daha var! Bu ispatta integral eğri hesaplama formülünü kullanacağız. Tabii ki de bu yazıda bu formülü de ispatsız geçmeyeceğiz. İntegral eğri hesaplama formülü:

${\int }_a^b\sqrt{1+[f’(x)]}dx$

Şeklindedir.

Paul's Online Notes

Yukarıdaki eğrinin uzunluğunu hesaplamak için eğriyi x ekseni üzerinde eşit uzunluğa sabit doğru parçalarına ayıralım. Ve her bir noktayı $p_i$ ile gösterelim. Her bir parçayı da $n$ ile gösterelim, o halde şekil 2’ye göre $n=9$ olur. Ve her bir parçanın uzunluğunu da$|p_{i-1}{p}_i|$ ile gösterelim. O halde eğrinin toplam uzunluğu yaklaşık olarak:

$L\approx \sum _{i=1}^n|p_{i-1}{p}_i|$

olur. Düşündüğümüzde, nokta sayısını ne kadar arttırırsak eğriye o kadar çok yaklaşırız, o yüzden eğrinin uzunluğu:

$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n|p_{i-1}{p}_i|$

olur. Parçaların uzunluğunu her eksende ayrı tanımlayalım.

${\Delta }_y=y_i-y_{i-1}$olsun ve bir f fonksiyonu için de ${\Delta }_y=y_i-y_{i-1}=f(x_i)-f(x{}_{i-1})$ olsun. Pisagor Teoremi'nin vasıtasıyla parçaların uzunluğunu:

$|p_{i-1}{p}_i|=\sqrt{(x_i-x_{i-1}{)}^2+(y_i-y_{i-1}{)}^2}$

olarak tanımlayabiliriz. Grafiğimizin sürekli olarak$[x_{i-1},x_i]$arasında olduğunu biliyoruz. O halde ortalama değer teoremini kullanabiliriz. Dolayısıyla da bir $x_i^{\ast }$ noktası da vardır. O halde,

$f(x_i)-f(x_{i-1})=f^{\prime }(x_i^{\ast })(x_i-x_{i-1})$

Agora Bilim Pazarı

Seçilmiş - Grafik Roman

“JONAS! BELLEK BİRİKTİRİCİ OLARAK EĞİTİLECEKSİN! ÇOCUKLUĞUN İÇİN TEŞEKKÜR EDERİZ!”

Jonas kusursuz bir dünyada yaşıyordu. Savaş yoktu, açlık yoktu, acı yoktu. Her şeyin yetkililer tarafından eksiksizce planlandığı komünde, on iki yaşına gelen yurttaşlara hayat boyu yapacağı görev verilirdi. Jonas komünün en önemli ve eşsiz görevi için seçildi: Bellek Biriktirici.

Yaşlı ve bilge Aktarıcı tarafından eğitilmeye başlayan Jonas hiç bilmediği bir geçmişin, duyguların –ve hatta renklerin– varlığını keşfetmeye başladı. Bu kusursuz düzen için feda edilenleri gördükçe derinden sarsılacak ama görevine sadık kalacaktı. Ta ki amansız bir gerçekle yüzleşip hayatının seçimini yapmak zorunda kalana kadar.

Lois Lowry’ye prestijli Newsbery Madalyası’nı kazandıran modern klasik Seçilmiş, okurları bu kez grafik roman olarak büyülüyor. Yakın dönemli pek çok popüler distopyanın ilham kaynağı sayılan bu özel roman, grafik roman uyarlamalarının üstadı P. Craig Russell’ın çizimleriyle yeniden hayat buluyor.

Devamını Göster

₺285.00

Satın Al Tüm Ürünler

$\Delta y=f^{\prime }(x_i^{\ast })\Delta x$

olur. Dolayısıyla bir doğru parçasının uzunluğunu bu şekilde yazabiliriz:

$|p_{i-1}{p}_i|=\sqrt{(x_i-x_{i-1}{)}^2+(y_i-y_{i-1}{)}^2}$

$=\sqrt{{\Delta }_{x^2}+[f^{\prime }(x_i^{\ast }){]}^2{\Delta }_{x^2}}$

$=\sqrt{1+[f’(x{\ast }_i){]}^2}{\Delta }_{x^2}$

Yukarıdaki denklemle birleştirirsek eğer bütün grafiğin yani ölçmek istediğimiz eğrinin uzunluğunu bulabiliriz.

$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n|p_{i-1}{p}_i|$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sqrt{1+[f^{\prime }(x{\ast }_i){]}^2}{\Delta }_{x^2}$

Sınırlı integralin tanımı kullanacak olursak eğer bu ifade bundan başka bir şey değildir:^[2]

${\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x)]}dx$

Formülümüzün nereden geldiğini anladığımıza göre devam edelim.

Merkezi orijinde olan çemberlerin denklemi:

$r^2=x^2+y^2$ şeklindedir. Bu denklemi düzenlersek $y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$ şeklinde bir fonksiyon elde ederiz. Bu fonksiyonu pozitif alırsak çemberin üst yarısını, negatif alırsak çemberin alt yarısını almış oluruz. Biz pozitif alıp çemberin üst yarısıyla ilgilenelim. Binaenaleyh, 2 ile çarparak ilerleyeceğiz.

Toplam çevre uzunluğunu da şu şekilde ifade edelim.^[4]${\int }_a^b\sqrt{1+[f’(x)]}dx$

$⟹2{\int }_{-r}^r\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx=2{\int }_{-r}^r\sqrt{\frac{1}{1-x^2/r^2}}dx$

olur.

Şimdi bir $g(x)$ fonksiyonu aldığımızı düşünelim. Bu $g(x)$ fonksiyonu, $g(x)=arcsinx$ olsun.

$(g^{-1}og)(x)=x$ ifadesinin türevini alalım:

$(g^{-1}{)}^{\prime }(g(x)).g^{\prime }(x)=1$

olur. Bu ifadeyi de düzenlersek:

$cos(arcsinx).g^{\prime }(x)=1⟺g^{\prime }(x)=\frac{1}{cos(arcsin(x))}$ diyebiliriz. $g(x)=arcsinx$ olduğunu söylemiştik. $g(x)=arcsinx=y$ için üçgenimizi çizelim ve daha iyi görelim:

Tabana kalan uzunluğun $\sqrt{1-x^2}$ olduğunu gördük. Bu olayın Pisagor teoremi vasıtasıyla gerçekleştiğini unutmayın. Buradaki amaç $\frac{1}{cos(arcsin(x))}$ ifadesindeki $cos(arcsinx)$ifadesini anlamlı hale getirmektir, kafanız karışmasın. Cosin komşu dik bölü hipotenüs olduğundan üçgenimizde arcsinx'e ait olduğundan $cos(arcsin(x))$ ifademizin $\sqrt{1-x^2}$ olduğunu anlarız.

$\frac{x}{r}=u$ olsun. Bunu yapma amacımız ise ifademizi $g^{\prime }(x)$ fonksiyonuna benzetmektir. O halde ifademiz $2{\int }_{-r}^r\sqrt{\frac{1}{1-u^2}}du.r$ olur. $r$ uzunluk belirtir ve her halükarda pozitiftir. O yüzden $r$ 'yi integralin dışına alalım. $2r{\int }_{-1}^1\sqrt{\frac{1}{1-u^2}}du=2r{\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=2r{\int }_{-1}^1{g}^{\prime }(u)du=$$2r.arcsin(u){|}_{-1}^1$ olur. Bu ifadeyi de düzenlersek:

$2r(arcsin(1)-arcsin(-1))$olur. Radyan cinsinden yazarsak eğer:

$=2r((\frac{\pi }{2})-(-\frac{\pi }{2}))=2.\pi .r$

İspatımız bitmiştir!