Elektromanyetik Alan Teorisi Dersi & Fizik 2 Dersi Soru Çözümü 1

Bu yazıda aşağıda yer alan ve genelde Elektromanyetik Alan Teorisi veya Fizik 2 dersi alanların karşısına çıkabilecek bir elektrik alan sorusu ve bunun çözümüne yer vereceğiz.

Soru

Aşağıda, noktasal yükler ve bu noktasal yüklerin bulunduğu noktalar veriliyor.

$Q_1=Q,P_1(1,-1,2)$

$Q_2=-Q,P_2(3,2,-1)$

$Q_3=-Q,P_3(-1,-2,-1)$

Bu noktasal yüklerin A (1, 1, 1) noktasında yarattığı elektrik alanı bulunuz. Noktaların koordinatları, dikdörtgensel koordinat sisteminde yazılmıştır.^[1]

Geogebra

Soruda bize dikdörtgensel yani kartezyen () koordinat sisteminde yer alan 3 adet Q yükünün bilgileri verilmiş ve bu yüklerin tek tek A noktasında oluşturduğu elektrik alan sorulmuş.

Öncelikle Elektrik alan formülümüzü hatırlayalım.

$\left(E=\frac{F}{Q}\to E=\frac{\frac{Q_1\cdot Q}{4\pi {ϵ}_0|R{|}^2}{a}_R}{Q}\right)$

Burada a_R vektörü bize elektrik alanın sorulduğu koordinattan elektrik alanı oluşturan yükün koordinatını çıkararak elde edilir. Yine bu formülde Q1 elektrik alanı oluşturan yükün değerini temsil ederken Q ise elektrik alanın oluşacağı noktadaki yükü temsil etmektedir. Bahsedilen Q yukarıdaki formülde de gözlemlendiği üzere sadeleştiği için elektrik alan bulurken önemsizdir ve soruda da A için herhangi bir yük verilmemiştir - gerekte yoktur-.

Formülün sade halini aşağıya yazalım.

$\left(E=\frac{Q_n}{4\pi {ϵ}_0|R{|}^2}{a}_R=\frac{Q_n(R-R^{\prime })}{4\pi {ϵ}_0|R-R^{\prime }{|}^3}\right)$

Burada eşitliğin ikinci kısmında yer alan ifadeyi elde edebilmek için a_R vektörünün aşağıdaki eşitlik ifadesini bilmemiz gerekiyor.

$\left(A=|A|a_R\to a_R=\frac{R}{|R-R^{\prime }|}\right)$

Burada R vektörü elektrik alanın sorulduğu noktanın koordinatlarından elektrik alanı oluşturan yükün koordinatlarının çıkarılması ile elde edilir. Bu nokta da tam tersi işlem yaparak yanlış sonuç bulan kişi sayısı maalesef oldukça fazla.

Şimdi sırasıyla Q₁, Q₂ ve Q₃ yüklerinin A noktasında oluşturduğu elektrik alanları bulalım.

Q₁ yükü Q yüke sahip ve kartezyen koordinat sisteminde (1, -1, 2) noktasında yer alıyormuş o halde formülde yerine koyalım.

$\left(\frac{Q_n(R-R^{\prime })}{4\pi {ϵ}_0|R-R^{\prime }{|}^3}=\frac{Q[(1,1,1)-(1,-1,2)]}{4\pi {ϵ}_0|R-R^{\prime }{|}^3}\right)$

$\left(\frac{Q(0,2,-1)}{4\pi {ϵ}_0{\sqrt{0^2+2^2+(-1{)}^2}}^3}=\frac{Q(0,2,-1)}{4\pi {ϵ}_{0}5\sqrt{5}}\right)$

$E_1=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{(2a_y-1a_z)}{5\sqrt{5}}$

İşlemlerini sırasıyla yaparak E₁ sonucu bulduk. Şimdi aynı işlemleri Q₂ yükü için yaparak E₂ 'i bulalım.

$\left(\frac{Q_n(R-R^{\prime })}{4\pi {ϵ}_0|R-R^{\prime }{|}^3}=\frac{-Q[(1,1,1)-(3,2,-1)]}{4\pi {ϵ}_0|R-R^{\prime }{|}^3}\right)$

$\left(\frac{-Q(-2,-1,2)}{4\pi {ϵ}_0{\sqrt{(-2{)}^2+(-1{)}^2+2^2}}^3}=\frac{-Q(-2,-1,2)}{4\pi {ϵ}_0{3}^3}\right)$

$E_2=\frac{-Q}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{(-2a_x-1a_y+2a_z)}{27}$

İşlemlerini sırasıyla yaparak E₂ sonucu bulduk. Şimdi aynı işlemleri Q₃ yükü için yaparak E₃ 'i bulalım.

$\left(\frac{Q_n(R-R^{\prime })}{4\pi {ϵ}_0|R-R^{\prime }{|}^3}=\frac{-Q[(1,1,1)-(-1,-2,-1)]}{4\pi {ϵ}_0|R-R^{\prime }{|}^3}\right)$

$\left(\frac{-Q(2,3,2)}{4\pi {ϵ}_0{\sqrt{2^2+3^2+2^2}}^3}=\frac{-Q(2,3,2)}{4\pi {ϵ}_{0}17\sqrt{1}7}\right)$

$E_3=\frac{-Q}{4\pi {ϵ}_0}\cdot \frac{(2a_x+3a_y+2a_z)}{17\sqrt{1}7}$

Üç yük içinde elektrik alan ifadelerini bulduk. Şimdi bunları tek bir E olarak toplu şekilde yazarak A noktasında oluşan toplam elektrik alanı bulabiliriz. Burada önemli olan nokta ise E₂ ve E₃ ifadelerinde Q'nun önünde yer alan eksiyi içeriye dağıtarak tüm ifadeleri ortak bir paranteze alabilmek.

$E=E_1+E_2+E_3$

$E=\frac{Q}{4\pi {ϵ}_0}\cdot [(\frac{2}{27}-\frac{2}{17\sqrt{17}})a_x+(\frac{2}{5\sqrt{5}}+\frac{1}{27}-\frac{3}{17\sqrt{17}})a_y+(\frac{-1}{5\sqrt{5}}-\frac{2}{27}-\frac{2}{17\sqrt{17}})a_z]$

Toplam elektrik alan ifadesini bulmuş olduk.