Çember ve Daire'nin Çevresini Hesaplarken Neden "2πr" Formülünü Kullanırız?

Jill Burrow

Öncelikle π sayısından bahsedelim. π sayısı çemberin çevresinin çapına oranıdır. Yani: $\pi =\frac{C}{2r}$ 'dir. Eminim ki bazılarımızın aklına pi sayısının neden hep sabit kaldığı takılmıştır. Şimdi hem bunun ispatını yapalım, hem de bu ispat üzerinden çemberin çevre ispatını yapalım.

Esasında çemberin çevresinin matematiksel bir tanımı yoktur. Biz; tanımı, matematiksel bir işlemle tanımlayacağız. Bir çember alalım ve çemberin içine bir çokgen çizelim ve bu çokgenin kenar sayına "$n$" diyelim. Ve her bir kenarın uzunluğu "$e$" olsun. Biz kenar sayısını ne kadar çok artırırsak çokgen o kadar çok çembere benzeyecektir. O zaman biz $n$ 'yi sonsuza kadar götürürsek çokgenimiz çembere dönüşecektir. Çokgenin çevresi normalde $n.e$ 'dir. $n$ sonsuza giderken limit alıp çarparsak bu sefer çemberin de çevresini bulmuş oluruz.

$\underset{n\to \infty }{\lim }e.n\to C$ (Tanım 2)

Benzer adımlarla devam ediyoruz. Bir O merkezli çember alalım. Bu çemberin içine n kenarlı bir çokgen çizelim. Bu çokgenin bir kenarınını inceleyelim. İncelediğimiz kenarının uçlarının birini A diğerini ise B ile gösterelim ve bu uçları O ile birleştirelim. O halde ikizkenar bir üçgen elde ederiz.

Yeniden O'merkezli bir çember alalım ve bu çemberin içine bir çokgen çizelim. Bu çokgenin bir kenarı e' olsun. Bu çokgenin bir kenarını inceleyelim, bir ucuna A' diğer ucuna ise B' diyelim ve A'O'B' ikizkenar üçgenini elde edelim. $m(O)=m(O^{\prime })=\frac{360}{n}$ olduğundan ve bu açıların kenarları orantılı olduğundan A'O'B' ve AOB üçgeni benzerdir.^[1] Bundan dolayı:

$\frac{e}{r}=\frac{e^{\prime }}{r^{\prime }}$ olur.

P ilk çokgenin çevresi p' de ikinci çokgenin çevresi olmak üzere, $p=e.n$ ve $p^{\prime }=e^{\prime }.n$ olur. O halde:

$\frac{p}{r}=\frac{p^{\prime }}{r^{\prime }}$ diyebiliriz. Tanım 2'ye göre $p\to C$ ve $p^{\prime }\to C^{\prime }$ olduğundan $\frac{C}{r}=\frac{C^{\prime }}{r^{\prime }}$ diyebiliriz. O halde bu denklemi düzenlersek:

$\frac{C}{2r}=\frac{C}{2r^{\prime }}$ diyebiliriz ki bu da her r değeri için π sayısının sabit kaldığının ispatıdır. Baktığımızda $\frac{C}{2r}=\pi$ olduğundan $C=2r.\pi$ diyebiliriz. Ki bu da çevrenin ispatıdır. Yeni bir ispatımız daha var ve bu ispatta integral eğri hesaplama formülünü kullanacağız. Bu yüzden öncelikle bu formülü ispatlamalıyız. İntegral eğri hesaplama formülü:

${\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x)]}$

şeklindedir.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Paul's Online Notes

Yukarıdaki eğrinin uzunluğunu hesaplamak için eğriyi x ekseni üzerinde eşit uzunluğa sahip olan doğru parçalarına ayıralım ve her bir noktayı $p_i$ ile gösterelim. Her bir parçayı da n ile gösterelim. O halde şekil 2'ye göre $n=9$ olur. Ve her bir parçanın uzunluğunu da $|p_{i-1}{p}_i|$ ile gösterelim. O halde eğrinin uzunluğu da yaklaşık olarak:

$L\approx \sum _{i=1}^n|p_{i-1}{p}_i|$

olur.^[2] Baktığımızda nokta sayısını ne kadar arttırırsak eğriye o kadar çok yaklaşırız. O yüzden eğrinin uzunluğu:

$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n|p_{i-1}{p}_i|$

olur.^[2] parçaların uzunluğunu her eksende tanımlayalım.

$\Delta y=y_i-y_{i-1}$ olsun. O halde bir $f$ fonksiyonu için $\Delta y=y_i-y_{i-1}=f(x_i)-f(x_{i-1})$ olur. Pisagor teoremi vasıtasıyla parçaların uzunluğunu:

$|p_{i-1}{p}_i|=\sqrt{(x_i-x_{i-1}{)}^2+(y_i-y_{i-1}{)}^2}$

$|p_{i-1}{p}_i|=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$

olarak hesaplayabiliriz.

Grafiğimizin sürekli olarak $[x_{i-1},x_i]$ aralığında olduğunu biliyoruz. O halde ortalama değer teoremini kullanabiliriz. Dolayısıyla da bir $x_i^{\ast }$ noktası da vardır. O halde:

$f(x_i)-f(x_{i-1})=f^{\prime }(x_i^{\ast })(x_i-x_{i-1})$

$=\Delta y=f^{\prime }(x_i^{\ast }).\Delta x$

O halde

Agora Bilim Pazarı

Lehninger Biyokimya

Biyokimya hakkında bugüne kadar yazılmış en kapsamlı ders kitaplarından birisi olan bu Lehninger’in Biyokimyanın İlkeleri, kimyasal evrimden biyokimyanın detaylarına kadar birçok önemli konuyu özümsemenizi sağlayacak, tüm Dünya çapında üniversitelerde okutulan harika bir eser!

Notlar:

1. Bu kampanya, Palme Yayıncılık tarafından Evrim Ağacı okurlarına sunulan fırsatlardan birisidir.

Devamını Göster

₺1,111.00

Satın Al Tüm Ürünler

Şimdi yukarıdaki denklemle birleştirirsek eğer bütün grafiğin yani ölçmek istediğimiz eğrinin uzunluğunu bulabiliriz.

$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n|p_{i-1}{p}_i|$

$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sqrt{\Delta x^2+[f^{\prime }(x_i^{\ast }){]}^2.\Delta x^2}$

$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sqrt{1+[f^{\prime }(x_i^{\ast }){]}^2.\Delta x^2}$

$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sqrt{1+[f^{\prime }(x_i^{\ast }){]}^2}.\Delta x$

Sınırlı integralin tanımını kullanacak olursak eğer bu ifade bundan başka bir şey değildir:

${\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$

$={\int }_a^b\sqrt{1+(\frac{dx}{dy}{)}^2}dx$

Formülün nereden geldiğini anladığımıza göre devam edelim!

Grafik üzerindeki denklem $y^2=\pm \sqrt{r^2-x^2}$

olur. Burada unutmamamız gereken şey grafiğin yukarıda pozitif olduğudur.^[3]

Grafiğimizim yarısını alalım (x eksenin üst kısmı için) ve devam edelim. Toplam çevre uzunluğunu şu şekilde alalım:

${\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx⟹$

$2{\int }_{-r}^r\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx$

$=2{\int }_{-r}^r\sqrt{\frac{r^2}{r^2-x^2}}dx$

$=2{\int }_{-r}^r\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}}dx$

olur. Şimdi bir $g(x)$ fonksiyonu alalım. Bu $g(x)$ fonksiyonu $g(x)=arcsin(x)$olsun.

$(g^{-1}og)(x)=x$ ifadesinin türevini alalım.

$g^{\prime }(g^{-1}(x)).g^{-1}(x)=1$

olur.

Görselden hareketle cos(cosinx) ifadesini anlamlandırabiliriz.

$cos(arcsin(x)).g^{\prime }(x)=cos(y).g^{\prime }(x)=1⟺g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

olur. $\frac{x}{r}=u$ olsun. Bunu yapmamızın amacı ise yukarıdaki $g^{\prime }(x)$ ifadesine benzetmektir. O halde ifademiz:

$2{\int }_{-r}^r\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^2}{r^2}}}dx=$

$2{\int }_{-r}^r\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}dx=$

r pozitif olduğu için her halükarda pozitiftir. O halde $r$ 'yi integralin dışına alalım.

$2r{\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du$$=r.arcsin(u){|}_{-1}^1$

olur. Bu ifadeyi de düzenlersek:

$2r((arcsin(1))-(arcsin(-1))$ olur. Radyan cinsinden yazalım:

$2r(\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2}))=2.\pi .r$

olur. İspatımız bitmiştir.