Çember ve Daire'nin Çevresini Hesaplarken Neden "2πr" Formülünü Kullanırız?

Öncelikle π sayısından bahsedelim. π sayısı çemberin çevresinin çapa oranıdır

Tanım 1: Çemberin çevresi C ve yarı çapı r olmak üzere (Tanım 1) $\pi =\frac{C}{2r}$ dir. Eminim ki bazılarınızın aklına pi sayısının neden her çember için sabit kaldığı takılmıştır. Bu bölümde bu oranın neden sabit kaldığını açıklayıp hem de bu ispat üzerinden çemberin çevre ispatını yapacağız.

Öncelikle çemberin çevresi C olmak üzere tanımlayalım. Esasında çemberin çevresinin matematiksel bir tanımı yoktur.^[1] Biz bu tanımı işlemle yapacağız. Bir çember alalım ve bu çemberin içine n kenarlı bir çokgenin çizelim ve bu çokgenin bir kenarını $e$ ile gösterelim. Eğer biz $n$’yi olabildiğince arttırırsak $e$’nin uzunluğu sürekli kısalır ancak sayısı artar bu da çokgenin gittikçe çembere yaklaşmasını sağlar. Yani:

$\underset{n\to \infty }{\lim }e.n\to C$ (Tanım 2)

Şimdi, bir $O$ merkezli çember alalım. Bu çemberin içine $n$ kenarlı bir çokgen çizelim. Çokgenin bir kenarını inceleyelim, incelediğimiz kenarın bir ucuna $A$ bir diğer ucuna da $B$ diyelim ve bu uçları $O$ ile birleştirelim. Bu durumda ikizkenar bir üçgen elde ederiz.

Yeniden, $O^{\prime }$ merkezli bir çember alalım, bu çembere aynı işlemleri uygulayalım ve incelediğimiz kenarın uçlarına $A^{\prime }$ ve $B^{\prime }$ diyelim. $m(\hat{O})=m(\widehat{O’})=\frac{360}{n}$ olduğundan ve bu açıların kenarları orantılı olduğundan. $A^{\prime }{O}^{\prime }{B}^{\prime }$ ve $AOB$ üçgenleri benzerdir diyebiliriz. Bundan dolayı,

$\frac{e}{r}=\frac{e’}{r’}$ olur.

$p$ ilk çokgenin ve $p^{\prime }$ ikinci çokgenin çevresi olmak üzere, $p=e.n$ ve $p^{\prime }=e^{\prime }.n$ olduğundan,

$\frac{p}{r}=\frac{p’}{r’}$ diyebiliriz.

Tanım 2’ye göre $p\to C$ ve $p^{\prime }\to C^{\prime }$$.$

$\frac{C}{r}=\frac{C^{\prime }}{r^{\prime }}$ diyebiliriz. Dolayısıyla da,

$\frac{C}{2r}=\frac{C}{2r^{\prime }}$ olur. Ki bu da her $r$ değeri için $\pi$ sayısının sağlandığının ispatıdır.

$\frac{C}{2r}=\pi ⟺C=2.\pi .r$ diyebiliriz. ^[1]Bir ispatımız daha var! Bu ispatta integral eğri hesaplama formülünü kullanacağız. Tabii ki de bu yazıda bu formülü de ispatsız geçmeyeceğiz. İntegral eğri hesaplama formülü:

${\int }_a^b\sqrt{1+[f’(x)]}dx$

Şeklindedir.

Paul's Online Notes

Yukarıdaki eğrinin uzunluğunu hesaplamak için eğriyi x ekseni üzerinde eşit uzunluğa sabit doğru parçalarına ayıralım. Ve her bir noktayı $p_i$ ile gösterelim. Her bir parçayı da $n$ ile gösterelim, o halde şekil 2’ye göre $n=9$ olur. Ve her bir parçanın uzunluğunu da$|p_{i-1}{p}_i|$ ile gösterelim. O halde eğrinin toplam uzunluğu yaklaşık olarak:

$L\approx \sum _{i=1}^n|p_{i-1}{p}_i|$

olur. Düşündüğümüzde, nokta sayısını ne kadar arttırırsak eğriye o kadar çok yaklaşırız, o yüzden eğrinin uzunluğu:

$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n|p_{i-1}{p}_i|$

olur. Parçaların uzunluğunu her eksende ayrı tanımlayalım.

${\Delta }_y=y_i-y_{i-1}$olsun ve bir f fonksiyonu için de ${\Delta }_y=y_i-y_{i-1}=f(x_i)-f(x{}_{i-1})$ olsun. Pisagor Teoremi'nin vasıtasıyla parçaların uzunluğunu:

$|p_{i-1}{p}_i|=\sqrt{(x_i-x_{i-1}{)}^2+(y_i-y_{i-1}{)}^2}$

olarak tanımlayabiliriz. Grafiğimizin sürekli olarak$[x_{i-1},x_i]$arasında olduğunu biliyoruz. O halde ortalama değer teoremini kullanabiliriz. Dolayısıyla da bir $x_i^{\ast }$ noktası da vardır. O halde,

$f(x_i)-f(x_{i-1})=f^{\prime }(x_i^{\ast })(x_i-x_{i-1})$

Agora Bilim Pazarı

Aradığın Şey Kütüphanede Saklı

Tokyo’nun en esrarengiz kütüphanecisi Sayuri Komaçi tarafından sık sık sorulan ünlü soru: Ne arıyorsun?

Çoğu kütüphaneci gibi Sayuri de raflarındaki tüm kitapları okumuş. Ama onu bilge kütüphaneci yapan şey bu değil; Sayuri kendisine kitap danışanların ruhlarını okuyabiliyor. Verdiği her sürpriz kitap tavsiyesiyle insanlara yeni dünyaların kapılarını aralıyor, onları nazikçe hayattaki amaçlarına doğru yönlendiriyor.
İşinden bıkmış genç bir kadın, eskici dükkânı açma hayalleri kuran bir muhasebeci, kariyeri ve ailesi arasında sıkışıp kalmış bir anne, kendisini tıkanmış hisseden bir sanatçı, emekli olduktan sonra amacını kaybeden bir adam… Hayatlarının dönüm noktasındaki bu beş insan, Sayuri ve onun tavsiyesi sayesinde beklenmedik kişisel birer yolculuğa çıkıyor; aradıkları cevapların aslında hep yanı başlarında, bir kitabın sayfaları arasında saklı olduğunu fark ediyor.
İki milyondan fazla okura ulaşan Aradığın Şey Kütüphanede Saklı, edebiyatın ve insan bağlarının muazzam gücünü̈ hatırlatıyor. Çıkmaza girmiş ve bir parça ilhama ihtiyaç duyan herkes için iyileştirici bir hikâye.

“Baştan sona keyifle okuyacağınız bu kitap, her şeyin mümkün olabileceğini hissettiriyor.” –Daily Mail

“Bir tutam tuhaflıkla tatlandırılmış çağdaş bir Tokyo hikâyesi. İçinize dokunacak.” –Japan Times

TIME ve WASHINGTON POST Yılın En İyi Kitabı Seçkilerinde

Devamını Göster

₺274.00

Satın Al Tüm Ürünler

$\Delta y=f^{\prime }(x_i^{\ast })\Delta x$

olur. Dolayısıyla bir doğru parçasının uzunluğunu bu şekilde yazabiliriz:

$|p_{i-1}{p}_i|=\sqrt{(x_i-x_{i-1}{)}^2+(y_i-y_{i-1}{)}^2}$

$=\sqrt{{\Delta }_{x^2}+[f^{\prime }(x_i^{\ast }){]}^2{\Delta }_{x^2}}$

$=\sqrt{1+[f’(x{\ast }_i){]}^2}{\Delta }_{x^2}$

Yukarıdaki denklemle birleştirirsek eğer bütün grafiğin yani ölçmek istediğimiz eğrinin uzunluğunu bulabiliriz.

$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n|p_{i-1}{p}_i|$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\sqrt{1+[f^{\prime }(x{\ast }_i){]}^2}{\Delta }_{x^2}$

Sınırlı integralin tanımı kullanacak olursak eğer bu ifade bundan başka bir şey değildir:^[2]

${\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x)]}dx$

Formülümüzün nereden geldiğini anladığımıza göre devam edelim.

Merkezi orijinde olan çemberlerin denklemi:

$r^2=x^2+y^2$ şeklindedir. Bu denklemi düzenlersek $y=\pm \sqrt{r^2-x^2}$ şeklinde bir fonksiyon elde ederiz. Bu fonksiyonu pozitif alırsak çemberin üst yarısını, negatif alırsak çemberin alt yarısını almış oluruz. Biz pozitif alıp çemberin üst yarısıyla ilgilenelim. Binaenaleyh, 2 ile çarparak ilerleyeceğiz.

Toplam çevre uzunluğunu da şu şekilde ifade edelim.^[4]${\int }_a^b\sqrt{1+[f’(x)]}dx$

$⟹2{\int }_{-r}^r\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}}dx=2{\int }_{-r}^r\sqrt{\frac{1}{1-x^2/r^2}}dx$

olur.

Şimdi bir $g(x)$ fonksiyonu aldığımızı düşünelim. Bu $g(x)$ fonksiyonu, $g(x)=arcsinx$ olsun.

$(g^{-1}og)(x)=x$ ifadesinin türevini alalım:

$(g^{-1}{)}^{\prime }(g(x)).g^{\prime }(x)=1$

olur. Bu ifadeyi de düzenlersek:

$cos(arcsinx).g^{\prime }(x)=1⟺g^{\prime }(x)=\frac{1}{cos(arcsin(x))}$ diyebiliriz. $g(x)=arcsinx$ olduğunu söylemiştik. $g(x)=arcsinx=y$ için üçgenimizi çizelim ve daha iyi görelim:

Tabana kalan uzunluğun $\sqrt{1-x^2}$ olduğunu gördük. Bu olayın Pisagor teoremi vasıtasıyla gerçekleştiğini unutmayın. Buradaki amaç $\frac{1}{cos(arcsin(x))}$ ifadesindeki $cos(arcsinx)$ifadesini anlamlı hale getirmektir, kafanız karışmasın. Cosin komşu dik bölü hipotenüs olduğundan üçgenimizde arcsinx'e ait olduğundan $cos(arcsin(x))$ ifademizin $\sqrt{1-x^2}$ olduğunu anlarız.

$\frac{x}{r}=u$ olsun. Bunu yapma amacımız ise ifademizi $g^{\prime }(x)$ fonksiyonuna benzetmektir. O halde ifademiz $2{\int }_{-r}^r\sqrt{\frac{1}{1-u^2}}du.r$ olur. $r$ uzunluk belirtir ve her halükarda pozitiftir. O yüzden $r$ 'yi integralin dışına alalım. $2r{\int }_{-1}^1\sqrt{\frac{1}{1-u^2}}du=2r{\int }_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du=2r{\int }_{-1}^1{g}^{\prime }(u)du=$$2r.arcsin(u){|}_{-1}^1$ olur. Bu ifadeyi de düzenlersek:

$2r(arcsin(1)-arcsin(-1))$olur. Radyan cinsinden yazarsak eğer:

$=2r((\frac{\pi }{2})-(-\frac{\pi }{2}))=2.\pi .r$

İspatımız bitmiştir!