Biot-Savart Yasası

Biot-Savart Yasası

Üzeyir Yazıcı

Biot ve Savart deneyler sırasında yaptıkları gözlemler ile oluşan manyetik alanın aşağıdaki ilişkilerini keşfettiler.

$(1)dB\sim I$

$(2)dB\sim \frac{1}{r^2}$

$(3)dB\sim d\varphi$

$(4)dB\sim sin\theta$

$(5)dB\perp d\varphi vedB\perp r$

Tüm bu ilişkileri tek bir eşitlik içerisinde toplayacak olursak şu şekilde olur;

$dB\sim \frac{Id\varphi sin\theta }{r^2}$

Burada yer alan ifade de değişiklik yapmak için bir vektörel çarpım yapalım.

$d\varphi \times r\to \mid d\varphi \times r\mid =\mid d\varphi \mid \cdot \mid r\mid sin\theta$

$\mid r\mid =1oldu\breve{g}uiçin(ç\ddot{u}nk\ddot{u}birimvekt\ddot{o}r)\to sonuçd\varphi sin\theta olur.$

Şimdi eşitliğimiz şu hale geldi;

$dB\sim \frac{Id\varphi \times r}{r^2}$

Fakat sol kısmın birimi T iken, sağ kısmın birimi A/m’dir. Bu ifadeye μ_0/4π sabitini de ekleyerek hem ifadeyi değer olarak hem de birim olarak eşitlemiş olacağız.

Birim sadeleştirmelerini görelim;

$T=\frac{T.m}{A}\cdot \frac{A}{m}$

Her iki tarafında birimi T olur. Şimdi son olarak oluşturduğumuz eşitliğe aşağıda bakalım.

$dB=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{d\varphi \times r}{r^2}$

Bu ifade bize çok küçük bir parça için manyetik alanı veren Biot Savart Yasasını verdi. Fakat A ve B noktaları arasında uzunlukta bir tel için bunu yapmak istersek eşitliğin her iki yanının da integralini almamız gerekir.

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\int \frac{d\varphi \times r}{r^2}(Denklem1.)$

Elde ettiğimiz bu denklem de bize Biot-Savart Yasasını vermiş olur.

Denklem 1 de yer alan sembollerin neleri temsil ettiğini açıklayalım;

• B : Noktadaki manyetik alan (Tesla cinsinden)
• μ_0 : Boş uzayın manyetik geçirgenlik kat sayısı (μ_0=4π x 〖10〗^(-7) T.m/A)
• I : Akım şiddeti (Amper cinsinden)
• ⅆϕ : Akım elemanının uzunluk vektörü (metre cinsinden)
• r : Akım elemanından manyetik alanın hesaplandığı noktaya olan birim vektör
• r : Akım elemanından manyetik alanın hesaplandığı noktaya olan mesafe (metre cinsinden)

$ŞimdideB=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{R\cdot d\varphi (sin\theta )}{(x^2+R^2)}integraliniç\ddot{o}zelim.$

Halkadan x uzaklıktaki eksen üzerindeki bir noktada manyetik alanı hesaplayacağız.

Agora Bilim Pazarı

Dünya Küresi: Antik, 26 cm, Işıklı

Dünyanın siyasi durumunu eskitme harita tekniği ile geçmişi ve bugünü bir arada sunan “Işıklı Antik Küre”miz ofislerin vazgeçilmez bir aksesuarı niteliğindedir.

• Harita Türü: Antik
• Çap: 26 santimetre
• Işık Durumu: Işıklı

Devamını Göster

₺1,253.00

Satın Al Tüm Ürünler

Akım halkasının yarıçapı R ve akım I. Sinθ bileşeni, halka üzerindeki her akım elemanının eksen boyunca olan bileşeni temsil eder. Bu bileşen R ve x kullanılarak ifade edilebilir. Dairesel bir halkanın eksenindeki nokta ile arasındaki açı θ için;

$sin\theta =\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}}$

olur.

Şimdi integral çözümüne geçelim.

$sin\theta =\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}}ifadesiniyerinekoyalım,$

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\int }_0^{2\pi }\frac{R\cdot d\varphi (\frac{R}{\sqrt{x^2+R^2}})}{(x^2+R^2)}$

olur. İfadeyi sadeleştirelim,

${\int }_0^{2\pi }d\varphi =2\pi$

olduğu için ifade şu hale gelir;

$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{4\pi \cdot (x^2+R^2{)}^{\frac{3}{2}}}\cdot 2\pi$

Sonuçları birleştirelim;

$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2\cdot (x^2+R^2{)}^{\frac{3}{2}}}(Denklem2.)$

Böylece manyetik alan olan B ifadesine ulaştık. Denklem 2, bir akım halkasının ekseni boyunca bir noktada oluşturduğu alanı tanımlar.

Halka merkezinde (x=0) ise manyetik alanın değerini bulmak için Denklem 2 ’yi kullanacağız.

$B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2\cdot (x^2+R^2{)}^{\frac{3}{2}}}\to x=0\to B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2\cdot (x^2+R^2{)}^{\frac{3}{2}}}\to ifadeyisadeleştirelim$

$\to B=\frac{{\mu }_{0}I{R}^2}{2R^3}$

Son olarak R'leri de sadeleştirelim.

$B=\frac{{\mu }_{0}I}{2R}(Denklem3.)$

Denklem 3, bir akım halkasının merkezinde oluşturduğu manyetik alanı verir.

Eğer halka N sarımdan oluşuyorsa, her sarım aynı manyetik alan katkısını yapar. Bu nedenle toplam manyetik alan N ile çarpılır.

$B=\frac{{\mu }_{0}NI}{2R}(Denklem4.)$

Denklem 4, N sarımlı bir akım halkasının merkezinde oluşturduğu manyetik alanı tanımlar.

Deneyin İşlemleri

Büyük bobini kullanarak manyetik alanı Hall probu ile bobinin tam orta noktasından farklı mesafeler için ölçerek bu değerleri tabloya yazdık ve manyetik alanın bobin içindeki değerlerinin grafiğini çizdik.

Üzeyir Yazıcı

Daha sonra bobinin tam orta noktasındaki manyetik alanı (merkezi) akımı değiştirerek Hall probu ile ölçtük ve akıma göre manyetik alan değerlerinin grafiğini çizerek ve bu grafiğin eğiminden μo değerini hesapladık. Bu değeri sonra gerçek değerle karşılaştırarak

$Y\ddot{u}zdeHata=\mid \frac{\ddot{o}lç\ddot{u}lende\breve{g}er-hesaplanande\breve{g}er}{hesaplanande\breve{g}er}\mid \cdot 100$

formülünü kullanarak yüzde hata hesabı yaptık.

B_hesaplanan (mT) değerlerini 0,2 – 0,4 – 0,6 – 0,8 ve 1 A değerleri için sırasıyla hesaplayalım. Bunun için Denklem 4 ‘ü kullanacağız.

$B_1=\frac{(4\pi \times 10^{-7})\cdot 150\cdot 0,2}{2\cdot 0,032}=0,589mT$

$B_2=\frac{(4\pi \times 10^{-7})\cdot 150\cdot 0,4}{2\cdot 0,032}=1,178mT$

$B_3=\frac{(4\pi \times 10^{-7})\cdot 150\cdot 0,6}{2\cdot 0,032}=1,767mT$

$B_4=\frac{(4\pi \times 10^{-7})\cdot 150\cdot 0,8}{2\cdot 0,032}=2,356mT$

$B_5=\frac{(4\pi \times 10^{-7})\cdot 150\cdot 1}{2\cdot 0,032}=2,945mT$

Şimdi B_ölçülen (mT)_{_1} ile B_hesaplanan (mT) arasındaki hata paylarını aynı sıra ile hesaplayalım.

$Y\ddot{u}zdeHat{a}_1=\mid \frac{0,434-0,589}{0,589}\mid \cdot 100=\%26$

$Y\ddot{u}zdeHat{a}_2=\mid \frac{0,892-1,178}{1,178}\mid \cdot 100=\%24$

$Y\ddot{u}zdeHat{a}_3=\mid \frac{1,362-1,767}{1,767}\mid \cdot 100=\%23$

$Y\ddot{u}zdeHat{a}_4=\mid \frac{1,951-2,356}{2,356}\mid \cdot 100=\%21$

$Y\ddot{u}zdeHat{a}_5=\mid \frac{2,37-2,945}{2,945}\mid \cdot 100=\%20$

Şimdi B_ölçülen (mT)_{_2} ile B_hesaplanan (mT) arasındaki hata paylarını aynı sıra ile hesaplayalım.

$Y\ddot{u}zdeHat{a}_1=\mid \frac{0,512-0,589}{0,589}\mid \cdot 100=\%13$

$Y\ddot{u}zdeHat{a}_2=\mid \frac{0,956-1,178}{1,178}\mid \cdot 100=\%19$

$Y\ddot{u}zdeHat{a}_3=\mid \frac{1,456-1,767}{1,767}\mid \cdot 100=\%18$

$Y\ddot{u}zdeHat{a}_4=\mid \frac{2,073-2,356}{2,356}\mid \cdot 100=\%12$

$Y\ddot{u}zdeHat{a}_5=\mid \frac{2,4-2,945}{2,945}\mid \cdot 100=\%19$

Şimdi yaptığımız tüm hesaplamaları tabloda yerine koyalım.

Üzeyir Yazıcı

Denklem 4 de μ_0 ifadesini yalnız bıraktığımızda bu μ_0=(B⋅2R)/(N⋅I) denklemi elde ederiz. Sabit olan değerleri de yerine yazınca elimizde μ_0=(B/I)⋅(4/9375) denklemi kalır. Yani aşağıdaki grafikte eğimi bulup 4/9375 ile çarparak μ_0 değerini elde edebiliriz.

Üzeyir Yazıcı

Değerlendirme Soru-Cevapları

Soru 1: Akım taşıyan bir ilmeğin oluşturduğu manyetik alan nelere bağlıdır?

Yazının ilk kısmında bahsedilen Biot ve Savart’ın deneyler sonucunda gözlemlediği etkenlere bağlıdır. Yani Denklem 4 ifadesinden de anlaşılacağı gibi N (Sarım sayısı), I (Akım şiddeti), μ_0 ve R (İlmeğin yarıçapı)’e bağlıdır. Bu soruda tek bir ilmek söz konusu olduğu için N’i devre dışı bırakabiliriz.

Soru 2: Akım taşıyan bir iletkenin etrafında oluşturduğu manyetik alan Biot-Savart yasası kullanılarak hesaplanabilir. Akım, yükün akış hızı olarak tanımlandığına göre durgun yüklerden kaynaklanan bir manyetik alan oluşur mu?

Durgun yüklerden kaynaklanan bir manyetik alan oluşmaz. Bunun nedeni, manyetik alanın oluşması için elektrik yüklerinin hareket etmesi, yani akımın olması gerektiğidir. Bu durumu denklemler üzerinden de açıklayacak olursak, yukarıda yer alan denklemlerin tümünde I yani akım şiddeti payda bulunmaktadır. Yükler durgun olduğunda akım olmayacak yani akım şiddeti 0 olacaktır. Böylece payda çarpım durumunda olduğu her şeyi 0 yapacaktır. Sonuç olarak 0’ı neye bölersek bölelim yine sıfır elde edeceğimiz için manyetik alan değerimiz de 0 olur yani oluşmaz.