Aynı Yükseklikten Bırakılan Her Şey, Neden Eşit Sürede Düşmez?

Başta hava sürtünmesi olmak üzere birçok etkenin ihmal edildiği, yalnızca kütleçekimsel etkilerin söz konusu olduğu ideal bir ortamda bulunup aynı yükseklikten ayrı ayrı serbest bırakılan cisimlerin, kütleleri birbirlerinden farklı olsa bile yere eşit sürede ulaşacakları iddiası şimdiye kadar herkesin sıkça duymuş olduğu bir iddiadır. Öyle ki, okullarda sorulan dinamik soruların cevapları bile bunu göz önünde bulundurarak hazırlanmakta, yapılan hesaplamalar cisme ait kütlenin bu durumda bir rol oynamadığını varsayarak yapılmaktadır. İddianın pratikte yeterince kullanışlı olduğu ve deneylerle yüksek ölçüde uyumlu olduğuna dair hiçbir şüphe yok; fakat gerçekten en doğru ve temel olana ulaşmak istiyorsak, denklemleri biraz daha kurcalamamız gerekecek.

Sistemi Kurmak

İlk olarak düşünce deneyimizi gerçekleştireceğimiz sistemin elemanlarını tanımlayalım:

• Gezegenin kütlesi: $M$
• Büyük kütleli cismin kütlesi: $m_1$
• Küçük kütleli cismin kütlesi: $m_2$
• Cisimlerin serbest bırakılacakları noktanın gezegenin kütle merkezinden uzaklığı: $R$

Kullanılacak Dinamik Yasaları^[1]

$\Sigma F$ toplam kuvvet, $F_g$ kütleçekim kuvveti, $F_t$ tepki kuvveti, $m$ kütle, $a$ ivme, $G$ Kütleçekim Sabiti olmak üzere:

Newton'un İkinci Yasası

$\Sigma \vec{F}=m\vec{a}$

Newton'un Evrensel Kütleçekim Yasası^[2]

$F_g=G\frac{mM}{R^2}$

Newton'un Üçüncü Yasası

$\vec{F}=-\overrightarrow{F_t}$

Serbest Bırakılan Cisimlerin Hareketleri

Gezegendeki gözlemcinin gözünde daha yüksek ivme değerine sahip olan cisim, her iki cismin de ilk hızı bulunmadığından ve aynı yüksekliklerden bırakıldığından dolayı yere daha çabuk ulaşacaktır. Bu sebepten ötürü cisimlerin düşüş süreleri hakkında yorum yapmak için ivme değerlerine bakmamız yeterlidir.

Elimizdeki sistemde kütleçekimsel hariç etkileri gözardı ettiğimizden dolayı toplam kuvvetin büyüklüğünü yalnızca kütleçekim kuvvetinin büyüklüğü olarak alabiliriz:

$|\Sigma \vec{F}|=F_g$

$ma=G\frac{mM}{R^2}$

$a=G\frac{M}{R^2}$

Şimdiye kadar konuya dair gördüğünüz matematiksel ispatların vardığı nokta da muhtemelen buraya kadardır. Bulduğumuz ivme ifadesinde yalnızca gezegenin kütlesi bulunduğundan dolayı cisimlerin ne kadar kütleli olduğunun bir şey ifade etmediği savunulur. Fakat Newton'un Üçüncü Yasası'nın belirttiği üzere, her kuvvetin kendisine eşit ve zıt yönlü bir de tepki kuvveti bulunmaktadır. Bu yüzden aynı gezegen tarafından cisme uygulandığı gibi, cisim tarafından da gezegene eşit büyüklükte ve zıt yönde bir kuvvet uygulanacaktır. Bunun sonucunda gezegen de ivmelenecek ve cisimle bir araya gelmeleri daha da çabuk gerçekleşecektir.

Gezegenin Hareketi

Gezegenin hareketine sebep olacak olan tepki kuvveti, daha önce kütleçekim kuvvetine eşitleyerek büyüklüğünü bulduğumuz net kuvvete büyüklük bakımından eşit olduğu için tepki kuvvetinin büyüklüğünü de aynı şekilde ile bulabiliriz.

Gezegenin ivme değeri $a_g$ olmak üzere:

$F_t=G\frac{mM}{R^2}$

$M{a}_g=G\frac{mM}{R^2}$

$a_g=G\frac{m}{R^2}$

Gezegendeki Gözlemciye Göre Cismin Hareketi

Gezegendeki gözlemci kendisini ivmeleniyor olarak görmeyecektir. Onun gözünden cismin ivmesine ulaşmak için bağıl ivmeyi hesaplamamız gerekir.

$a_r$ bağıl ivme olmak üzere:

${\vec{a}}_r=\vec{a}-{\vec{a}}_g$

Burada dikkat etmemiz gereken bir diğer şey ise denklemin sağ tarafındaki ivmelerin birbirlerinin etki-tepki kuvvetlerinden dolayı ortaya çıkmış, dolayısıyla halihazırda zıt yönde olmalarıdır. Bu yüzden aralarında vektörel çıkarma yaparken sonucun büyüklük değerine ulaşmak için aslında vektörlerin büyüklük değerlerini toplamamız gerekmektedir.

$a_r=G\frac{m}{R^2}+G\frac{M}{R^2}$

$a_r=G\frac{m+M}{R^2}$

Bu ifadeden bile aslında $m$ yani cismin kütlesinin ivmede ve önceden de bahsettiğimiz gibi dolayısıyla düşme süresinde bir etkisi olduğunu görebilirsiniz. Yine de $m_1$ ve $m_2$ değerlerini, onları tanımlarken koyduğumuz $m_1>m_2$ şartı ile denklemde yerine koyarak sonucu netleştirebiliriz.

Agora Bilim Pazarı

Dünya Küresi: Fiziki, 20 cm, Işıksız

Yeryüzü dağlarını, ovalarını, nehirlerini, kısaca fiziki durumunu gösteren ürünümüzü, hem gerçek bir eğitim materyali hem de şık bir aksesuar olarak kullanabilirsiniz.

• Harita Türü: Fiziki
• Çap: 20 santimetre
• Işık Durumu: Işıksız

Devamını Göster

₺511.00

Satın Al Tüm Ürünler

$a_1$, $m_1$ kütleli cismin; $a_2$, $m_2$ kütleli cismin bağıl ivme değeri olmak üzere:

$a_1=G\frac{m_1+M}{R^2}$

$a_2=G\frac{m_2+M}{R^2}$

$m_1>m_2$ olduğu için $m_1$, pay kısmını $m_2$'den daha çok büyütecektir ve $a_1>a_2$ sonucuna ulaşılacaktır.

Önemli bir not: Cisimlerin deney sırasında aynı anda bırakılmamalarına dikkat edilmelidir. Aynı anda bırakıldıkları senaryoda cisimler, gezegene kütleçekimsel kuvvetlerini aynı anda uygulamaktadır. Bu yüzden gezegen her iki cisme doğru ivmelenirken de aynı ve iki etkinin toplamı kadar ivmelenmektedir. Sonuç olarak cisimlerin bağıl ivmeleri arasında fark oluşmamaktadır.

Deney ve Uygulamalar

Bu iddiamızın gerçek hayatta yapılacak deney ve uygulamalarda genelgeçer iddiadan çok fark etmemesinin en büyük sebebi farkın çok küçük bir değerde olmasıdır.

Bulduğumuz sonuçta farklı olarak hesaba kattığımız detay, yukarıda da bulduğumuz gezegenin ivmesi yani $a_g=G\frac{m}{R^2}$ ifadesidir. 50kg'lık bir cismin dünyanın zemininden serbest bırakılması durumunda bu ifade yaklaşık $8.21\times 10^{-23}\frac{m}{s^2}$ değerini alacaktır.