Vektör Nedir? Skaler Çarpım ve Vektörel Çarpım Arasında Ne Fark Var?

Skaler ve vektörel kavramlarını tanımlarken de ifade ettiğimiz gibi fizikte yalnızca sayılara değil, aynı zamanda onlara fiziksel anlam katan niceliklere de bakarız. Sıcaklık gibi skaler bir niceliği 32°C ile ifade ederken, hız gibi vektörel bir niceliğe ise 50 km/sa demenin yanında bir de ek olarak yön belirterek kullanırız. Yani vektörler, hem büyüklükleri hem de yönleri olan fiziksel nicelikleri ifade etmek için kullandığımız bir araçtır.

Bu yazıda iki farklı çarpma tanımını göreceksiniz ve bu, muhtemelen size biraz tuhaf gelecek. Örneğin şu zamana kadar "A çarpı B" ile "B çarpı A"'nın aynı sonucu verdiğini bir mutlak gibi kafanıza yerleştirdiniz; fakat vektör matematiğinde bu, biraz daha farklı bir anlam ifade eder ve her zaman doğru olmayabilir. Bu nedenle skaler çarpım ve vektörel çarpım konularındaki bazı tanımlar size tuhaf gelebilir, neden böyle şeylerden bahsediliyor diye düşünebilirsiniz. Lakin bunun nedenlerini konuya girdikçe daha iyi anlayacaksınız. Bu ayrımı anlamak oldukça elzemdir.

Koordinat Sistemleri

Yön kavramı işin içerisine dahil olduğundan, iyi tanımlamalar yapabilmek için koordinat sistemlerine ihtiyacımız var. Hiç kuşkusuz ilk akla gelen kartezyen koordinat sistemleridir. Burada bir noktayı, karşılık geldiği x ve y değerleri ile $\text{(x,y)}$ şeklinde ifade ederiz.

Fakat her ne kadar göze çok basit görünse de fizikte kartezyen koordinatları seçmek çoğunlukla baş ağrıtır. Onun yerine, yaptığımız bir takım fiziksel işlemleri kolaylaştıran temellere sahip kutupsal koordinat sistemlerini kullanacağız. Elbette durumdan duruma, bunları değiştirmenizde ya da birbiri arasında dönüştürmenizde bir sakınca yoktur.

Kutupsal koordinat sisteminde, orijinden ilgili noktaya olan uzaklık r ile gösterilir. Genellikle de pozitif x-ekseninden saat yönünün tersinde ölçülen $\text{θ}$ ("teta") açısı buna eşlik eder. Dolayısıyla kutupsal koordinatlarda $\text{(r,θ)}$ gösterimine sahip oluruz. Elbette kartezyen koordinatlar olan $\text{(x,y)}$'den, kutupsal koordinatlar olan $\text{(r,θ)}$'ya dönüşüm yapabiliriz.

$$\begin{gathered} x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{gathered}$$

Bu eşitlik hiç kuşkusuz trigonometrinin en temel tanımlarından gelmektedir. Bunları kolaylıkla bulabileceğiniz için, en azından bir kere kendinizin bulmasını tavsiye etmek durumundayız.

Keza $\text{θ}$ açısının tanjant değeri de aşağıdaki gibi ifade edilir.

$\tan \theta =y/x$

Pisagor bağıntısından yola çıkarak ilgili $\text{r}$ değerimizi de aşağıdaki gibi tanımlarız:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$

Vektör Nedir?

Vektör, büyüklüğü (ya da uzunluğu) ve yönü olan geometrik bir niceliktir. Kimi zaman geometrik vektör, uzaysal vektör veya Öklidyen vektör de denilir. En basit tabiriyle, yön kavramı eklenmiş skaler nicelik gibi düşünebilirsiniz. Vektörleri ifade ederken, onları diğerlerinden ayırmak için genellikle iki temel yöntemden biri kullanılır. Örneğin bir $\text{A}$ vektörünü ifade etmek istiyorsak ya kalın harflerle $\mathbf{A}$ yazarız ya da $\vec{A}$ şeklinde üzerinde bir ok işaretiyle gösteririz.

$\mathbf{A}$ vektörünün büyüklüğü ise $\text{A}$ olarak veya $\text{|A|}$ olarak yazılır. Örnek bir vektör gösterimi ise aşağıdaki gibidir.

Genellikle böyle bir gösterimde OA vektörünü göstermek için üzerinde ok işaretli bir gösterim tercih etmeyiz (bu işleri uzatmaktan ve karışık hale getirmekten başka bir işe yaramaz). Bunun yerine bu vektöre herhangi bir harf veririz, örneğin $\mathbf{a}$ vektörü deriz ve aşağıdaki gibi tanımlarız.

$\mathbf{a}=(2,3)$

Vektörlerin Eşitliği

Eğer $\mathbf{A}$ ve $\mathbf{B}$ vektörü aynı büyüklüğe ve aynı yöne sahipse bu iki vektör eşit alınabilir. Bir başka deyişle paralel doğrular boyunca eşit büyüklüktelerse $\mathbf{A}=\mathbf{B}$ denilebilir. Aşağıdaki görsel bu durumu özetlemektedir.

Bu durum bize vektörün büyüklüğünü ve yönünü değiştirmeden onu ötelememize olanak sağlar.

Vektörlerin Toplanması

Şu zamana kadar kullandığınız matematikte toplama ve çıkarma için özel incelemeler yapmanız gerekmediyse bu durumu biraz yadırgayabilirsiniz. Fakat vektörler, matematiğin özel bir alanı olduğundan ayrıca irdelenmeyi gerektirir. Bildiğimiz şekilde toplanıp çıkarılmadıklarından ya da çarpılıp bölünmediklerinden emin olmamız lazım.

Neyse ki vektörlerin toplanması ve çıkarılması o kadar sıkıntılı bir durum değildir. Üstelik hangi sırayla topladığımıza da dikkat etmemiz gerekmez. Yani:

$\mathbf{A}+\mathbf{B}=\mathbf{B}+\mathbf{A}$

olarak yazılabilir. Buna toplamanın komütatif olması denir. İlk defa böyle bir kavramlarla karşılaştıysanız, neden böyle olağan bir şeyi açıklığa kavuşturmaya çalıştığımız tuhaf gelebilir. Bu noktada şunu fark etmeniz gerekiyor, bu her zaman böyle olmak zorunda değildir. Fakat vektörlerde toplama, komütatiftir. Aynı zamanda;

$(\mathbf{A}+\mathbf{B})+\mathbf{C}=\mathbf{A}+(\mathbf{B}+\mathbf{C})$

olarak da yazılabilir. Buna birleştirilebilir (asosiye) olma durumu denir. Bir de dağılma özelliği vardır. O da;

$\alpha (\mathbf{A}+\mathbf{B})=\alpha \mathbf{A}+\alpha \mathbf{B}$

Agora Bilim Pazarı

Klasikler Seti 2 (8 kitap)

Ağaçlar
“Üzgün olduğumuzda ve hayata katlanamadığımızda bir ağaç şöyle konuşabilir bizimle: Sus! Bak bana! Yaşamak kolay değil, yaşamak zor değil. Bunlar çocuksu düşünceler. Bırak konuşsun içindeki Tanrı, o zaman susacaklar. Yolun seni anandan ve yurdundan uzaklaştırdığı için endişelisin. Ama attığın her adım, her yeni gün seni anana yaklaştırır. Orası ya da şurası değildir yurdun. Yurt ya içindedir ya da hiçbir yerde.

Yollara düşme özlemiyle kederlenir yüreğim, akşamları rüzgârda uğuldayan ağaçları duyduğumda. Sessizce, uzun uzun dinlerseniz, bu özlemin esası da anlamı da çıkar ortaya. Sanıldığı gibi acıdan kaçıp gitme arzusu değildir bu. Yurda, ananın belleğine, hayatın yeni kıssalarına duyulan özlemdir. Eve götürür insanı. Her yol eve götürür, her adım doğumdur, her adım ölümdür, her mezar anadır.

Böyle uğuldar ağaç, çocuksu düşüncelerimizden ürktüğümüz akşam vakitlerinde. […] Ağaçları dinlemeyi öğrenen, ağaç olmayı arzulamaz artık. Kendisi dışında başka bir şey olmayı arzulamaz. Yurt budur. Mutluluk budur.”

Resimli Başyapıtlar: Aurélia

Gérard de Nerval

Resimleyen: Ali Çetinkaya

“Yavaş yavaş aydınlanan belirsiz bir yeraltıdır uyku, burada gölgeden ve gecenin içinden, arafı mesken tutmuş, ciddiyetle hareketsiz duran soluk siluetler çıkagelir.”

Nerval rüyaları bildiğimiz dünyayla gerçeküstü dünya arasındaki iletişimi sağlayan bir vasıta olarak görür. Yazıları onun mantık ve tutarlılıkla kuvvetli bağını sarsan hayaller ve fantezilerle doludur. Bunun en önemli örneklerinden biri olan ve en önemli eseri kabul edilen Aurélia’da düşle gerçeklik, delilikle yaratıcılık arasındaki belirsiz, gizemli çizgiyi, kendi ruhsal deneyim ve arayışlarından yola çıkarak inceliyor.

Fransız romantizminin önemli yazar ve şairlerinden, sembolizm ve gerçeküstücülük akımını olduğu kadar T. S. Eliot, Ahmet Hamdi Tanpınar, Charles Baudelaire ve Marcel Proust gibi pek çok yazarı etkilemiş Nerval eşsiz ve zarif edebi üslubuyla saflık, kaybedilmiş gençlik, kendini gerçekleştirme ve güzellik ideallerini yansıtan imgeleri Aurélia’da buluşturuyor.

Resimli Başyapıtlar: Beyaz Geceler

Fyodor Mihayloviç Dostoyevski

Resimleyen: Nicolai Troshinsky

“Hayalperest eski hayallerinin arasında, külleri karıştırır gibi, soğumuş yüreğini yeniden ısıtacak, onu yeniden hayata döndürecek bir kıvılcım arar boş yere. Bulacağı kıvılcımla sönen o güzel hayallerinin ateşini yeniden yakacak, kanını kaynatan, mutluluk gözyaşları döktüren müthiş düşlerine tekrar kavuşacaktır.”

Sekiz yıldır yaşadığı St. Petersburg’da kimseyle yakınlaşamamış ama şehri evleriyle, yüzleriyle ezbere bilen yalnız, kederli, hayalperest bir genç adamın dört beyaz gecesinin öyküsü bu.

Hayalperestimiz sıradan gece yürüyüşlerinden birinde Nastenka’yla karşılaşır. Hayatın yabancısı bu ikili kısa sürede hikâyelerini, dertlerini, hayallerini paylaşacak kadar yakınlaşır; birlikteyken kederleri, huzursuzlukları uğramaz yanlarına; geceleri ve ruhları aydınlanır. İnsanın tek başınalığı, kalbini birine korkusuzca açabilmesinin imkânıyla bir aradadır Beyaz Geceler’de. Bu imkân bir an kadar bile olsa, “Böyle bir an ömrü boyunca yetmez mi insana?”

Dünya edebiyatının en güçlü yazarlarından Dostoyevski’nin külliyatında kendine has, ayrı bir yeri olan Beyaz Geceler’in zarif ve yalın üslubuna bu kez Nicolai Troshinsky’nin büyüleyici çizimleri eşlik ediyor.

Resimli Başyapıtlar: Dönüşüm

Franz Kafka

“Gregor Samsa bir sabah yatağında huzursuz düşlerden uyandığında kendini dev bir böceğe dönüşmüş olarak buldu. Kabuklu sert sırtının üzerinde yatıyor, başını birazcık yükselttiğinde, kayıp düşmek üzere olan yorganın tepesinde zar zor tutunduğu kahverengi, bombeli ve yay şeklinde şeritlerle bezeli karnını görüyordu. Gövdesine göre acınacak incelikteki pek çok bacağı gözlerinin önünde çaresizlikle titreşiyordu.”

Kafka işte bu sarsıcı, tuhaf cümlelerle başlıyor yirminci yüzyılın en etkileyici eserleri arasında yer alan Dönüşüm’e.

Keskinliği ve yalınlığıyla Kafka’nın edebi yoğunluğunu en iyi anlatan bu başyapıt, Arjantinli çizer Luis Scafati’nin hayal gücüyle birleşince, ortaya seyre doyulmaz bir edebi ziyafet çıkıyor.

“Kafka’nın sanatı okuyucuyu onu yeniden okumaya zorluyor. Eserlerinin sonları –ya da olmayan sonları– açık açık ifade edilmeyen, ama hikayenin başka bir bakış açısıyla yeniden okunmasını gerektiren açıklamalar sunuyor.”

Albert Camus

“[Kafka] ziyadesiyle bürokratikleşmiş bir toplumun şiirsellikten yoksun kumaşını romanın o muazzam şiirine; bir adamın gayet sıradan öyküsünü… bir mite, destana, daha önce görülmemiş bir güzelliğe dönüştürüyor.”

Milan Kundera

Gizemli Bir Maske

Fernando Pessoa

Geç git, kuş, geç git, bana da geçip gitmeyi öğret!

Bir bilinmezlik olmayı seçen, yazma eylemini kendine özgü bir sahne yorumuyla icra eden, Modernizmin geç keşfedilen öncülerinden Fernando Pessoa başyapıtı sayılan Huzursuzluğun Kitabı’nda şöyle yazar: “Yaratmak uğruna kendimi yok ettim; kendi içimde o kadar dışıma attım ki kendimi, kendimin dışında varlık sürüyorum artık. Farklı oyuncuların farklı oyunlar oynadığı boş bir sahneyim ben.” Bu benzersiz günlük, Bernardo Soares imzalıdır. Şiirle yaşamış, yarattığı onlarca kimlik, karakter aracılığıyla modern şiire ve yazına mührünü, hayattayken yayımladığı tek Portekizce şiir kitabı ve üç İngilizce kitabın yanında koca bir bavul elyazmasıyla bırakmıştır Pessoa.

Martín López-Vega’nın hazırladığı bu seçki, Pessoa’nın baş aktörleri olarak nitelenen, kendisinin de öyle kurguladığı Alberto Caeiro, Ricardo Reis, Álvaro de Campos’un şiirlerinden bir seçmeyi Adolfo Serra’nın illüstrasyonlarıyla bir araya getiriyor.

Bugün, yapıtıyla ördüğü bulmaca hâlâ bütünüyle gün ışığına çıkmamışken, dünyanın başka coğrafyalarında başka “yaşayan karakter”lere kendine özgü bir bilgelikle dokunarak sözünü sürdürüyor Pessoa.

Dünyada ileri gitmek için ne kadar çok şey ödünç aldım!

Ne kadar ödünç şeyi sanki benimmiş gibi kullandım!

Ben kendim de, yazık ki, bana ödünç verilen şeylerden başka bir şey değilim.

Resimli Başyapıtlar: Kara Kedi

Edgar Allan Poe

“Yazmak üzere olduğum bu çılgın, ama bir o kadar da basit hikayeye inanmanızı beklemiyorum. Kendi aklım bile, olanları apaçık gördüğü halde, onları inkar ederken, sizden bunu beklemem delilik olur. Ama deli olmadığımı biliyorum, hayal görmediğimden de eminim. Yarın öleceğim için bugün içimi dökmem gerek.”

Edgar Allan Poe’nun gizemli ve karanlık dünyasına hoş geldiniz! Dehşeti, korkuyu, düş ile gerçeklik arasındaki muğlaklığı, insanın karanlık yüzünü ve çaresizliği anlatan Poe’nun tekinsiz öykülerine, bu kez Luis Scafati’nin eşsiz çizimleri eşlik ediyor. Büyük bir özenle kullandığı siyahın hakim olduğu çizimleriyle karanlık ve hassas bir dünyanın kapılarını aralayan Scafati ile duyduğu dehşetli ürperişi okuyucusuna iletmekte benzersiz bir dile sahip Edgar Allan Poe’nun öyküleri bir araya gelerek benzersiz bir atmosfer yaratıyor.

“Edgar Allan Poe’nun öykülerini çok sevdiğim için gerilim filmleri yapmaya başladım.”

Alfred Hitchcock

“Edgar Allan Poe, ona hayat veren nefesi üflemeden önce dedektiflik hikâyeleri neredeydi?”

Arthur Conan Doyle

Palto

Nikolay Gogol

Önüne ne pahasına olursa olsun ulaşacağı bir hedef koyan insanlar gibi kendini şimdiden daha hayat dolu hissediyor, karakteri güçleniyordu. Yürüyüşünde ve hareketlerinde kararsız ve ikircikli ne varsa gitmiş, gözlerinde yeni bir ateş parlamaya başlamıştı. Hatta en cüretkâr hayallerinde bazen paltosuna sansar kürkü bir yaka diktirmeyi bile kurar olmuştu.”

“Küçük adam”ın çektiği sıkıntılar, maruz kaldığı eşitsizlik ve acılar bu uzun öykünün başkahramanı Akakiy

Akakiyeviç’in hayatı üzerinden yalın bir gerçekçilikle anlatılıyor. Böylesi bir anlatım, her ne kadar dönemin Çarlık Rusya’sında büyük tepki alsa ve Gogol, Rus insanını aşağılamakla suçlansa da, Rus edebiyatında bir çığır açıyor. Elinizde tuttuğunuz bu muhteşem eseri daha önce yayınlanmış örneklerinden farklı kılan ise otuzdan fazla kitapta imzası olan ödüllü çizer Noemí Villamuza’nın büyüleyici çizimleri.

“Hepimiz Gogol’un Palto’sundan çıktık.”

Dostoyevski

“Gogol’un Palto’da sergilediği sanat, paralel doğruların kesişmekle kalmayıp, solucan misali kıvrılabileceklerine, karmakarışık hale gelebileceklerine işaret eder.”

Vladimir Nabokov

Resimli Başyapıtlar: Satranç

Stefan Zweig

Stefan Zweig’ın intihar etmeden kısa süre önce kaleme aldığı Satranç zulüm, saplantı, aklın gücü ve bu gücün yaratacağı kötülükleri ele alan ve yayımlandığından beri bütün dünyada büyük yankı uyandırmış bir klasik. Satranç tahtasının siyahı ve beyazı gibi iki kutbun –iyiyle kötünün, kibarla kabanın, insanla makinenin, akılla deliliğin, cehaletle bilginin, açgözlülükle tamahkarlığın– arasında, kendi içimizde bitmeyen bir satranç maçına devam eden bizim hikâyemiz…

New York’tan Buenos Aires’e giden bir gemide yolcular arasında Dünya Satranç Şampiyonu Mirko Czentovic de bulunmaktadır. Kaba, vurdumduymaz, cahil, açgözlü bir insan olsa da Czentovic tam bir satranç dehasıdır. Gemidekiler kendisiyle maç yapmak isterler. Genç satranç oyuncusu bu isteklerini geri çevirmez ve üst üste galip gelir, ta ki bir maç sırasında ağırbaşlı, çekingen bir yabancı ortaya çıkıp oyuna müdahale edinceye kadar. Bu yabancı uzun zamandır satranç tahtasına elini sürmediğini söylese de verdiği taktikler sayesinde maç berabere biter.

Akif Kaynar’ın karakterlerin iç dünyasını yansıtan, öykünün önemli noktalarını canlandıran resimleri de Zweig’ın bu ölümsüz klasiğini bambaşka bir boyuta taşıyor.

Devamını Göster

₺1,400.00

Satın Al Tüm Ürünler

şeklinde yazılır. Burada $\text{α }$bir skalerdir. Bunu bir nevi vektörün önüne gelen bir katsayı olarak görebilirsiniz, hiç kuşkusuz etkisi vektörün büyüklüğünü artırmak ya da azaltmaktır, onun yönü üzerinde bir etkisi yoktur.

Bu noktada vektörlerde çıkarma işlemini ele almak gerek. Çıkarmayı yaparken, o vektörün ters işaretlisi ile toplamaya odaklanalım, aslında yaptığımız şey budur. Yani bir $\mathbf{A}$ vektöründen $\mathbf{B}$ vektörünü çıkarmak istiyorsak, $\mathbf{B}$'nin yönünü ters çevirir ve $\mathbf{A}$ ile toplarız.

$\mathbf{A}-\mathbf{B}=\mathbf{A}+(-\mathbf{B})$

Şu noktada, bütün bu yazdıklarımızı biraz görselleştirmeye ihtiyacımız var. En nihayetinde vektörler geometrik bir anlam taşıyor. Bunun için paralelkenar yöntemi adını verdiğimiz oldukça sıradan bir yöntem kullanırız. $\mathbf{A}$ ve $\mathbf{B}$ vektörleri aşağıda oldukları gibi uç uca eklenir. $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ toplamından elde edilen vektör ise başlangıç noktasından, bitiş noktasına çizilen vektör olur. Burada komütatifliği de doğrudan görebilirsiniz, paralelkenarın bir tarafı bir işlemi, diğer tarafı öbür işlemi tanımlar fakat sonuç aynıdır.

Skaler Çarpım (Nokta Çarpım)

Vektörlerde çarpım, toplama kadar sıradan değildir. Vektörlerle yapacağımız iki farklı türden çarpım söz konusudur. Bunlar skaler çarpım ve vektörel çarpımdır.

Skaler çarpım, nokta ile gösterildiği için "nokta çarpım" olarak da bilinir (vektörel çarpımda ise daha klasik olan ""çarpı işareti" kullanılır) ve aşağıdaki gibi tanımlanır:

$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}\equiv AB\cos \theta$

Buradaki teta açısı ($\text{θ}$), $\mathbf{A}$ ve $\mathbf{B}$ vektörü arasındaki açıdır. Geometrik olarak bu çarpım, A defa $\mathbf{B}$'nin $\mathbf{A}$ boyunca olan izdüşüm çarpımından ibarettir. Bu yorumu anlamak için paralel ve dik olma durumlarını ele alabilirsiniz. Paralel olması durumunda kosinüs ifadesi birdir ve çarpım bu iki vektörün büyüklükleri çarpımından ibaret olur. Dik oldukları durumunda ise sonuç sıfırdır, çünkü diğeri üzerine bir izdüşüm yoktur. Ayrıca bu çarpımın sonucunun bir skaler olduğuna dikkat edin, bu nedenle skaler çarpım olarak adlandırılır. Girdide iki vektör vardır, fakat sonuç bir skalerdir.

Skaler çarpımda da, toplamada olduğu gibi komütatiflik özelliği bulunur.

$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}$

Ayrıca dağılma özelliğine de sahiptir.

$\mathbf{A}\cdot (\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}+\mathbf{A}\cdot \mathbf{C}$

Sadece bu iki özelliği kullanarak kosinüs yasasını ispatlamak oldukça kolaydır. $\text{C=A-B}$ gibi bir vektör tanımlar ve $C\cdot C$ skaler çarpımına bakacak olursanız:

$\mathbf{C}\cdot \mathbf{C}=(\mathbf{A}-\mathbf{B})\cdot (\mathbf{A}-\mathbf{B})=\mathbf{A}\cdot \mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}-\mathbf{B}\cdot \mathbf{A}+\mathbf{B}\cdot \mathbf{B}$

olduğunu bulursunuz. Bunu düzenlediğimizde ise aşağıdaki gibi kosinüs teoremini elde ederiz.

$C^2=A^2+B^2-2AB$

Vektörel Çarpım (Çapraz Çarpım)

Bir diğer çarpım olan vektörel çarpımı ise çarpı işareti olan "x" işaretiyle gösteririz (skaler çarpımda bu noktaydı). $\mathbf{A}$ ve $\mathbf{B}$'nin vektörel çarpımı ise aşağıdaki gibi tanımlanır.

$\mathbf{A}\times \mathbf{B}\equiv AB\sin \theta \hat{\mathbf{n}}$

Burada ilk dikkat edilmesi gereken bu çarpımın sonucunun da bir vektör olduğudur, skaler çarpımda sonuç bir skalerdi. Bunu da buradaki $\hat{\mathbf{n}}$ ("şapkalı n") vektörü sağlar. Bu, $\text{A}$ ve $\text{B}$ düzleminden dik yönelmiş bir birim vektördür. Fakat bu düzleme dik iki ayrı yön söz konusudur. Bu durumu açıklığa kavuşturmak için sağ el kuralı kullanılır. Eğer parmağınızı herhangi bir vektör yönünde doğrultur ve ardından diğer vektörün olduğu yöne doğru bükerseniz, baş parmağınız çarpımın sonucunun yönünü gösterecektir.

Örneğin yukarıdaki görseli inceleyelim. İşaret parmağınızı u yönünde tutun ve v'ye doğru kıvırın. Bu durumda baş parmak, çarpımın olduğu yön olan yukarıyı işaret eder. Tersini yapmaya kalkar ve v yönünde seçerseniz, tam olarak güzel bir özelliği keşfedersiniz. Bu durumda baş parmak aşağıyı gösterecektir. Bu şunu ifade eder:

$\mathbf{B}\times \mathbf{A}=-(\mathbf{A}\times \mathbf{B})$

Yani vektörel çarpım komütatif değildir. Fakat dağılma özelliğini gösterir.

$\mathbf{A}\times (\mathbf{B}+\mathbf{C})=(\mathbf{A}\times \mathbf{B})+(\mathbf{A}\times \mathbf{C})$

Ayrıca $|\mathbf{A}\times \mathbf{B}|$ ifadesi $\mathbf{A}$ ile $\mathbf{B}$ tarafından oluşturulan paralelkenarın alanını ifade eder. Bu nedenle bu iki vektör paralelse, sonuç sıfırdır (sinüs ifadesinden dolayı).

Vektör Bileşenleri

Herhangi keyfi bir A vektörü alırsak, bunu baz vektörlerini kullanarak aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

$\mathbf{A}=A_x\hat{\mathbf{x}}+A_y\hat{\mathbf{y}}+A_z\hat{\mathbf{z}}$

Burada $\hat{\mathbf{x}}$, $\hat{\mathbf{y}}$ ve $\hat{\mathbf{z}}$ ifadeleri kartezyen koordinatlardaki üç baz vektörüdür. Bu birim vektörlerin, önlerine gelen ilgili eksenin katsayısıyla çarpıldığında, o eksendeki bileşenini ifade eden vektörü vereceklerdir. Bu üç eksendeki bileşenler de uç uca eklenip toplanınca, ilgili vektörün kendisini verecektir. Böylelikle bir vektör, bileşenlerine ayrılmış olur. Burada kolaylık açısından koordinat sistemimizi, kartezyen koordinatlar olarak seçtik. Şu durumda hani kartezyen koordinatlar bize zorluk çıkarıyordu diye düşünebilirsiniz. Fakat amacımız sadece tanımlamalar yapmak, durumu işlemlere girdiğinizde daha iyi kavrayacaksınız.

Bu durumda iki vektör, bileşenleri göz önüne alındığında aşağıdaki gibi toplanır.

$$\begin{gathered} \mathbf{A}+\mathbf{B}=(A_x\hat{\mathbf{x}}+A_y\hat{\mathbf{y}}+A_z\hat{\mathbf{z}})+(B_x\hat{\mathbf{x}}+B_y\hat{\mathbf{y}}+B_z\hat{\mathbf{z}}) \\ =(A_x+B_x)\hat{\mathbf{x}}+(A_y+B_y)\hat{\mathbf{y}}+(A_z+B_z)\hat{\mathbf{z}} \end{gathered}$$

Bir skalerle çarpıldığında ise aşağıdaki durum gerçekleşir.

$\alpha \mathbf{A}=(\alpha A_x)\hat{\mathbf{x}}+(\alpha A_y)\hat{\mathbf{y}}+(\alpha A_z)\hat{\mathbf{z}}$

Bu durum oldukça akla yatkındır. Çünkü bir vektörü skalerle çarpmak, onu belirli bir oranda küçültmek ya da büyütmek anlamına gelir. Bunun gerçekleşebilmesi için her bir bileşen aynı oranda değişmelidir.

Bir vektörün skalerle çarpımı onun doğrultusunu değiştirebilir. Vektörün doğrultusu işaretle belirlenir (+ veya -), dolayısıyla negatif bir skalerle çarpmak onun doğrultusunu değiştirir. Eğer -1 ile çarpılırsa dolayısıyla sadece yönü değişir ama büyüklüğü değişmez.

Skaler çarpma işleminde ne olduğunu görmek için birim vektörlerin birbirlerine dik olmalarından kaynaklı sonucu göz önünde bulundurmak gerekir. Nokta çarpımda gelen ifade kosinüs olduğundan, bu birim vektörlerin kendileriyle çarpımı 1 değerini (çünkü $\cos (0°)=1$), kendileri arasındaki çarpımı ise 0 değerini (çünkü $\cos (90°)=0$) verir.

$$\begin{gathered} \hat{\mathbf{x}}\cdot \hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{y}}\cdot \hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}}\cdot \hat{\mathbf{z}}=1 \\ \hat{\mathbf{x}}\cdot \hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{x}}\cdot \hat{\mathbf{z}}=\hat{\mathbf{y}}\cdot \hat{\mathbf{z}}=0 \end{gathered}$$

Dolayısıyla skaler çarpımlarda bileşenlerle ilgili aşağıdaki ifadeye ulaşırız.

$$\begin{gathered} \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}=(A_x\hat{\mathbf{x}}+A_y\hat{\mathbf{y}}+A_z\hat{\mathbf{z}})\cdot (B_x\hat{\mathbf{x}}+B_y\hat{\mathbf{y}}+B_z\hat{\mathbf{z}}) \\ =(A_x{B}_x)+(A_y{B}_y)+(A_z{B}_z) \end{gathered}$$

Böylelikle neden iki vektörün skaler çarpımının bir skaleri verdiği daha rahat bir şekilde görülür. Çünkü birim vektörlerin çarpımlarından ya 1 değeri gelerek sadece ilgili katsayı çarpımlarını bırakır ya da 0 gelerek tüm terimi yok eder.

Ayrca herhangi bir $\mathbf{A}$ vektörünün, herhangi bir birim vektörle olan skaler çarpımı, $\mathbf{A}$'nın o doğrultudaki bileşenini verir. Bu durumun bir benzerini aşağıdaki eşitlikte görebilirsiniz.

$$\begin{gathered} \mathbf{A}\cdot \mathbf{A}=A_x^2+A_y^2+A_z^2 \\ A=\sqrt{A_x^2+A_y^2+A_z^2} \end{gathered}$$

Vektörel çarpımda ise birim vektörlerin çarpımı daha önce bahsettiğimiz sağ el kuralı ile belirlenebilir.

$$\begin{gathered} \hat{\mathbf{x}}\times \hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{y}}\times \hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{z}}\times \hat{\mathbf{z}}=0 \\ \hat{\mathbf{x}}\times \hat{\mathbf{y}}=-\hat{\mathbf{y}}\times \hat{\mathbf{x}}=\hat{\mathbf{z}} \\ \hat{\mathbf{y}}\times \hat{\mathbf{z}}=-\hat{\mathbf{z}}\times \hat{\mathbf{y}}=\hat{\mathbf{x}} \\ \hat{\mathbf{z}}\times \hat{\mathbf{x}}=-\hat{\mathbf{x}}\times \hat{\mathbf{z}}=\hat{\mathbf{y}} \end{gathered}$$

Bu nedenle,

$$\begin{gathered} \mathbf{A}\times \mathbf{B}=(A_x\hat{\mathbf{x}}+A_y\hat{\mathbf{y}}+A_z\hat{\mathbf{z}})\times (B_x\hat{\mathbf{x}}+B_y\hat{\mathbf{y}}+B_z\hat{\mathbf{z}}) \\ =(A_y{B}_z-A_z{B}_y)\hat{\mathbf{x}}+(A_z{B}_x-A_x{B}_z)\hat{\mathbf{y}}+(A_x{B}_y-A_y{B}_x)\hat{\mathbf{z}} \end{gathered}$$

olacaktır. Bunu ilk bakışta karışık bulabilirsiniz. Fakat aslında bu bir determinant olarak yazılabilir ve böylesi oldukça akılda kalıcıdır.

$\mathbf{A}\times \mathbf{B}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{\mathbf{x}}& \hat{\mathbf{y}}& \hat{\mathbf{z}}\\ A_x& A_y& A_z\\ B_x& B_y& B_z\end{array}\right|$

Üçlü Çarpımlar

Şu zamana kadar gösterdiklerimiz ikili ilişkileri inceliyordu. Fakat elbette olay iki taneyle sınırlı olmak zorunda değil, bunun için üçlü çarpımları da ele almakta fayda var. Bazıları biraz uğraştırıcı olsa da aslında bunları kendiniz de bulabilirsiniz.

$$\begin{gathered} \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B}\times \mathbf{C})=\mathbf{B}\cdot (\mathbf{C}\times \mathbf{A})=\mathbf{C}\cdot (\mathbf{A}\times \mathbf{B}) \\ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{C}\times \mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot (\mathbf{A}\times \mathbf{C})=\mathbf{C}\cdot (\mathbf{B}\times \mathbf{A}) \\ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B}\times \mathbf{C})=(\mathbf{A}\times \mathbf{B})\cdot \mathbf{C} \end{gathered}$$

Buradaki geometrik anlama dikkatinizi çekmek isterim. Bunları sadece tuhaf sembollerle ifade edilen bir matematik olarak görmemeli ve bir fizikçi bakış açısıyla anlamına odaklanmalısınız. Daha önce $|\mathbf{B}\times \mathbf{C}|$ için taban alanı ifadesini kullanmıştık, bu durumda $|\mathbf{A}\cdot (\mathbf{B}\times \mathbf{C})|$ ifadesi $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ ve $\mathbf{C}$ tarafından oluşturulan paralel yüzlünün hacmidir. Çünkü $|\mathbf{A}\cos \theta |$ yüksekliktir.

Son ifadede skaler çarpımla vektörel çarpımın kendi arasında yer değişebildiğine dikkat edin. Bunun manasını artık çıkarabiliyor olmalısınız, eğer neden böyle olduğunu anlayamıyorsanız, önceki paragrafın anlamı üzerinde biraz daha durmalısınız. Ayrıca,

$$\begin{gathered} \mathbf{A}\times (\mathbf{B}\times \mathbf{C})=\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C})-\mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}) \\ (\mathbf{A}\times \mathbf{B})\times \mathbf{C}=-\mathbf{C}\times (\mathbf{A}\times \mathbf{B})=-\mathbf{A}(\mathbf{B}\cdot \mathbf{C})+\mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C}) \end{gathered}$$

olacaktır. Bu da vektörel çarpımın asosiye olmadığını gösterir. Bunu ispatlamak için keyfi birim vektörler alarak bir karşılaştırma yapabilirsiniz.

Konum, Yer Değiştirme ve Ayrılık Vektörleri

Koordinatları, bir cismin ya da bir olayın nerede gerçekleştiğini ifade etmek için kullandığımızdan bahsetmiştik. Bu noktada yeni bir tanım yaparak, başlangıçtan ilgili noktaya olan bir vektör tanımlayıp buna konum vektörü adını vereceğiz.

$\mathbf{r}\equiv x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}$

Başlangıçtan olan uzaklığı ise,

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

olarak ifade edebiliriz. Bu durumda ilgili birim vektör aşağıdaki gibi tanımlanır.

$\hat{\mathbf{r}}=\frac{\mathbf{r}}{r}=\frac{x\hat{\mathbf{x}}+y\hat{\mathbf{y}}+z\hat{\mathbf{z}}}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$

Sonsuz küçük yer değiştirme vektörü ise aşağıdaki gibi tanımlanır.

$d\mathbf{l}=dx\hat{\mathbf{x}}+dy\hat{\mathbf{y}}+dz\hat{\mathbf{z}}$

Genellikle iki nokta arasındaki kıyaslamalarımız söz konusu olduğundan, bu iki cisim veya olay arasındaki ayrıklığı ifade etmek için ayrıklık vektörü tanımlarız.

$\mathbf{{\rm Y}}\equiv \mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }$

Büyüklüğü ise aşağıdaki gibi ifade edilir.

$\mathbf{{\rm Y}}=|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|$

Birim vektör ise aşağıdaki gibi tanımlanır.

$\widehat{\mathbf{{\rm Y}}}=\frac{\mathbf{{\rm Y}}}{{\rm Y}}=\frac{\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }}{|\mathbf{r}-{\mathbf{r}}^{\prime }|}$

Düzeltmeler: Dot producttaki hata düzeltildi.