Hız ve İvme Formülü: Konum Zaman Grafiği ve Hız Zaman Grafiği Nasıl Okunur?

Konum, hız ve ivme kavramları, mekaniğin temellerini oluşturması nedeniyle ayrı bir özen ister. Fakat ne yazık ki çok temel görülen konuları hızlıca geçme gibi bir huyumuz var. Halbuki tam aksi olmalıydı! Gereken önem verilmediği takdirde sürekli bir kafa karışıklığı yaşanacak ve geriye dönülerek vakit kaybedilecektir. Bu nedenle bu yazıda ele aldığımız tüm konuları dikkatlice okumanızı ve anlamanızı tavsiye ediyoruz.

Yazılı olarak okumaya devam etmeden önce, bu konuyla ilgili, çeşitli animasyonlarla zenginleştirdiğimiz videoyu, özellikle konum zaman grafiğini, hız zaman grafiğini ve ivme zaman grafiğini anlamak adına tavsiye ediyoruz. Bu videoda ayrıca yer değiştirme formülü, hız formülü ve ivme formülüyle ilgili detaylı konseptler göreceksiniz.

Konum Nedir?

Konum, bir cismin (ya da olayın) içerisinde bulunduğu uzayda, nerede yer aldığını ifade etmek için kullandığımız bir kavramdır. Hiç kuşkusuz bir cisim (ya da olay), bir başka şeyin sağında, az aşağısında veya kuzeyinde yer alıyor diyebiliriz. Fakat bu türden nitel bir ifade, fizikte pek işimize yaramaz. O nedenle konumu ifade ederken koordinatları kullanırız.

Bazen bir olayı tek boyutta (bir doğru boyunca) ele alırken, bazen iki boyutta, bazen de üç boyutta ele alırız. Şüphesiz boyut arttıkça işin matematik yükü de artar. Bu nedenle işi basite indirgemek için ya bir boyutta hareketi ya da iki boyutta hareketi kullanırız.

Daha sonra istersek bunu üç boyuta, hatta daha sonrasına genelleyebiliriz. Bir boyutta harekette konum için genellikle "$\text{x}$" harfi kullanılır (bir diğer sık kullanılan alternatif "$\text{r}$" harfidir). Örneğin $x=50\text{metre}$ diyerek, başlangıçtan (ya da orijinden) 50 metre ötede olduğunu ifade edebiliriz.

İki boyutta ise genellikle kartezyen koordinatlara geçilir (tek seçenek bu değildir). Böyle olunca işin içerisine bir de "$\text{y}$" harfi girer. Cismin konumu için $x=20$, $y=15$ gibi bir ifade kullanırız ya da $\text{(x,y)}$ formunda ifade ederek basitçe cismin konumu için $\text{(20,15)}$ deriz. Fakat kartezyen koordinatlar, çıkardığı matematiksel iş yükü sebebiyle genellikle fizikte pek sıklıkla tercih ettiğimiz bir koordinat sistemi değildir. Onun yerine kutupsal koordinatları daha çok tercih ederiz, bunda ise bir uzaklık ($\text{r}$) ve bir açı ($\text{θ}$) tercih edilir. Fakat konumuz şimdilik koordinat sistemleri değil.

Hareket, Hız ve Sürat: Ne Fark Var?

Fizikte konum, aslında tek başına çok bir anlam taşımaz. Genellikle "hareket" ile ilgileniriz, bu da aslında konumun değişimiyle mümkündür. Konumun değişebilmesi, bir hareketin gerçekleşebilmesi için muhakkak bir zaman geçmesi gerekir. Zamanın kendisi bunu mümkün kılar.

Dolayısıyla hız, konumun zamanla olan değişimidir ve sıklıkla $\text{V}$ (İng: "velocity") harfi ile gösterilir. Bunu daha matematiksel bir ifadeyle söyleyeceğimiz zaman hız için, konumun zamana göre türevidir deriz. Bu nedenle hızın var olabilmesi için, muhakkak konumun değişmesi gerekir. Konumun birim zamanda ne kadar fazla değiştiği ise, hızın ne kadar büyük olduğunu söyler. Hız sadece büyüklüğe değil bir yöne de sahip olduğundan, vektörel bir niceliktir.

Sürat kavramı ise aslında hız ile oldukça benzerdir. Hız vektörel bir nicelikken, sürat skaler bir niceliktir (İngilizce'de "sürat" için "speed", "hız" içinse "velocity" kullanılır). Yani sürat aslında hızın sadece büyüklüğünü söyler, yönünü ise içermez. Cümle içerisinde "Araç saatte 50 kilometre hızla ilerliyor." derken yön tarif etmediğimizden, aslında süratten konuşuyor oluruz.Sürat, hareketlinin birim zamanda aldığı yoldur. Cümle "Araç saatte 50 kilometre hızla ilerliyor." derken yön tarif etmediğimizden, aslında süratten konuşuyor oluruz.

Hız formülü (ya da hız denklemi) için aşağıdaki formüller kısmına bakınız.

İvme (Hızlanma ya da Yavaşlama) Nedir?

Bu noktada birisinin aklına şöyle bir soru gelebilir: İyi ama, cisim o hıza bir anda ulaşmadı ya, önce hızlanması gerekmiyor mu? Bu soru bazen kafa karıştırıcı problemlere takılmamıza neden olsa da oldukça yerinde bir sorudur ve oldukça da geçerli bir cevabı vardır. Bir araç için hız da aslında sıfırdan, zamanla artarak bir değere ulaşır.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Örneğin durmakta olan bir araç gaza bastığında, saatte 70 kilometre hıza çıkıp o sabit hızla devam edene kadar, belirli bir zaman geçer. Öyleyse hızın zamana göre değişimi (türevi) de bir anlam ifade etmektedir! Buna fizikte ivme deriz.

İvme, hızın zamana göre değişimidirve sıklıkla $\text{a}$ (İng: "acceleration") harfi ile gösterilir. Tıpkı hızın, konumun zamana göre değişimi olması gibi. Dolayısıyla aslında ivme için, konumun zamana göre iki kere değişimidir gibi bir yaklaşım sergileyebiliriz. Bunu daha matematik bir dille; ivme, konumun zamana göre ikinci türevidir şeklinde söyleriz.

İvme, hız gibi vektörel bir niceliktir. Pozitif veya negatif bir değere sahip olabilir. Pozitif olması durumunda hız artar, yani cisim hızlanır. Negatif olması durumunda ise hız azalır, yani yavaşlar. Bu yorum aslında pozitif hızlar için geçerlidir.

Elbette burada hızın da negatif değerler alabildiğine dikkat etmek gerekir. Eğer ivme negatifse ve cisim sıfır hızla başlıyorsa, hız aslında büyüklük olarak azalmaz, artar. Evet, negatif sayı olarak bakıldığında değeri azalıyor gibi görünebilir, fakat işaret, sadece bir yön ifade etmektedir. Buna dikkat etmek gerekir.

Peki bu değişim olayı nereye kadar böyle gider? İvmenin de zamanla değişimi yok mudur? Bir anda mı oluşur? Elbette bunu epey bir sürdürebiliyoruz. İvmenin zamana göre değişimi için jerk kavramı kullanılır. Jerk kavramının zamanla değişimi için snap, onun da zamana göre değişimi için crackle, onun da zamana göre değişimi için pop...

Bu kelimeleri Türkçe karşılıkları olarak bile yazmıyoruz, çünkü karşımıza o kadar ender çıkıyorlar ki çoğunlukla onlarla pek ilgilenmemiz gerekmiyor. Fakat bağlam açısından, bu kavramları sorgulamanızda yarar var.

Grafik İncelemeleri

Konum Zaman Grafiği Nedir? Nasıl Okunur?

Fizikte, gerçekleşen olayları yorumlamak adına grafikleri sıklıkla kullanırız. Bu konunun özelinde ilgimizi çeken ilk grafik bu nedenle konum zaman grafiği oluyor. Konum zaman grafiğinde temelde aşağıdaki görseldeki gibi 5 farklı senaryo ele alabiliriz.

A Durumu: Sabit Konum

Konum zaman grafiğinde A durumunda zaman geçse dahi, konumun değeri hiç değişmemiştir. Yani cisim, hiçbir hareket sergilememiştir. Bu nedenle cismin bir yer değiştirmesi, dolayısıyla bir hızı yoktur. Bu da konum zaman grafiğinde zamanla değişmeyen bir doğruyla ifade edilir.

B Durumu: Sabit Pozitif Hız

Bu konum zaman grafiğinde zamanla konumun doğrusal (lineer) bir şekilde arttığını görüyoruz. Artış zamana göre sürekli olarak sabit gitmiş, bunu söyleyebilmemize neden olan şey, grafiğin bir doğruyla temsil edilmesidir. Aynı zamanda başlangıçta sıfır konumundayken, zaman geçtikçe konumu artmıştır. Dolayısıyla bu konum zaman grafiği, sabit ve pozitif hızla gerçekleşen bir hareketi ifade eder.

C Durumu: Sabit Negatif Hız

Konum zaman grafiğinde bu durum aslında B durumunun sadece biraz farklı halidir. Bu sefer zamanın başında mevcut bir konum varken, sıfır konumuna doğru sabit hızlı bir hareket gerçekleşmektedir. Öyleyse sabit ve negatif hızlı bir hareket söz konusudur.

A, B ve C durumlarını ele alan konum zaman grafiği örnekleri doğrusaldır (lineerdir). A durumunda hız yoktur, B ve C durumunda ise hız sabittir. Dolayısıyla bu üç durumda da ivme yoktur (hız değişmemektedir).

D Durumu: Yavaşlayan Hız (Negatif İvmeli Hız)

Bu konum zaman grafiği ilk başta biraz kafa karıştırıcı görünebilir, çünkü B ve C durumundaki gibi sabit bir artış söz konusu değildir. İşi kolaylaştırmak adına zaman eksenini ortadan ikiye bölmeyi deneyebilirsiniz. Bu durumda görülür ki ilk yarıda cisim, en son konumuna oldukça yakındır.

Sonrasında ilkine göre o kadar da yer değiştirmemiştir. Yani başlangıçta çok büyük bir hızı varken, daha sonrasında bu hız azalmıştır. Yani başlangıçta hızlı olan ama negatif ivmeli (yavaşlayan) bir hareket yapmıştır. Burada konum zaman grafiğini zaman ekseninde ikiye bölmenin pratikliğini ve grafiği yorumlamadaki kolaylığını diğerlerinde de uygumanız işlerinizi kolaylaştıracaktır.

Agora Bilim Pazarı

Fiziğin Temelleri 2. ve 3. Kitap için Öğrenci Çözüm Kitabı

• Sayfa Sayısı: 507
• Basım: 9
• ISBN No: 9786053552444

Devamını Göster

₺410.00

Satın Al Tüm Ürünler

• Dış Sitelerde Paylaş

E Durumu: Hızlanan Hız (Pozitif İvmeli Hız)

Konum zaman grafiğinde bu durum basitçe D durumunun tersidir. Benzeri bir çıkarımla görülebilir ki başlarda hız oldukça yavaş olduğundan, konum değişimi birim zamanda oldukça azdır. Fakat zamanla hız arttığı için, yani pozitif ivmeye sahip olduğundan (hızlandığından) son zaman dilimlerinde konum daha hızlı değişmiştir.

Hız Zaman Grafiği Nedir? Nasıl Okunur?

Hız zaman grafiğini yorumlamak, en azından belirli sınırlar içerisinde konum zaman grafiğine göre daha kolaydır. Genellikle sadece sabit ivmelerle ilgilendiğimiz için, bu grafikler daima doğrusaldır (lineerdir). Dolayısıyla bir önceki grafikteki gibi A, B ve C durumlarını inceleriz. Eğer daha gerçekçi bir senaryoyu ele alıyor olsaydık, ivmenin de değişimi olması gerekirdi. Bu durumda hız zaman grafiğinin, konum zaman grafiği ile olan benzerliği üzerine biraz düşünün.

Hız zaman grafiğinde turuncu doğru zamanla hızın arttığını, dolayısıyla pozitif bir ivmeye sahip olunduğunu gösterir. Yeşil doğru boyunca ise hız hiç değişmemiştir, bu nedenle ivme yoktur, yani sıfırdır. Mavi doğru boyunca ise hız zamanla azalmıştır, yani negatif bir ivme söz konusudur. Buradaki durumların aslında konum zaman grafiğinde ele aldığımız A, B ve C durumları olduğunu fark ettiniz mi?

Bu hız zaman grafiğinde yer almayan fakat göze çarpabilecek bir diğer senaryo ise, hızın negatif olduğu durumlardır. Kısaca özetlemek gerekirse, doğruların grafiğin $\text{x}$-ekseni (zaman ekseni) altında kaldığı durumlardır. Dikkat edecek olursanız, burada yorumlamanın değişmeyeceğini fark edebilirsiniz, mühim olan doğrunun eğimidir (yukarı mı tırmanıyor yoksa aşağı mı iniyor).

Hız Zaman Grafiğinden Yer Değiştirme Bulma

Hız zaman grafiğinin sağladığı bir diğer önemli bilgi ise, doğrunun altında kalan alanın yer değiştirmeyi verdiğidir. Yer değiştirme, hız ile zamanın çarpımı olduğundan, doğrunun altında kalan alan konum değişimini, yani yer değiştirmeyi verir. Eğer doğru, zaman ekseninin üstündeyse ivme pozitif de olsa negatif de olsa yer değiştirme pozitif olacaktır.

Hız zaman grafiğinin altında kalan alan yer değiştirmeyi verir.

Eğer hız zaman grafiğinin altında kalan alanın nasıl olup da yer değiştirmeyi verdiğini anlayamıyorsanız, videodaki animasyona göz atmanızı tavsiye ediyoruz.

Hız zaman grafiğinde ivmenin negatif olduğu durumda yer değiştirmenin nasıl pozitif olacağı başta karmaşık görünebilir. Fakat örneklendirirsek bunun nedenini anlayabiliriz: 70 km/sa hızla giden bir araç, hızını 20 km/sa değerine düşürse dahi, hala ileri kabul ettiğimiz yönde yer değiştirmiştir. Fakat hız zaman grafiğinde doğru zaman ekseninin altında kalırsa, artık hız negatif, zaman pozitif olacağından çarpımın değeri negatiftir. Dolayısıyla yer değiştirme de negatif olur.

Konum zaman grafiği için neden hız zaman grafiğindekine benzer bir uygulama olmayacağını biraz düşününüz.

İvme Zaman Grafiği Nedir? Nasıl Okunur?

İvme zaman grafiğinde, sabit ivmeli bir hareket için, üç tane olası grafik çizebiliriz ve bunlar daima doğrusaldır, hatta dikey eksendeki değer hiç değişmez, çünkü sabittir. Bu nedenle bu üç durum şunlardır: Pozitif ivme, sıfır ivme ve negatif ivme.

A durumunda dikey eksende pozitif bir değer bulunduğundan, hızın değer kazanacağı anlaşılır. B durumunda ise ivme sabittir, yani hızda herhangi bir değişim olmaz. C durumu ise basitçe A durumunun tersidir.

Not: Bütün bu anlatımların, sabit ivmeli bir hareketi ifade etmek için kullanıldığına dikkat edin. İvmenin sabit olması bir şart değildir. Bu konuyu işlerken kolaylık olması ve fizikte genel olarak ötesine pek ihtiyaç duymayıp, ihmal ettiğimiz için bu senaryoları ele alıyoruz.

Animasyonlu videoda konum zaman grafiği, hız zaman grafiği ve ivme zaman grafiği tüm olası senaryolar için canlandırılarak veriliyor. Bu kavramları daha iyi anlamak için yazının başındaki videoyu izlemenizi tavsiye ediyoruz.

Formüller

Denklemlere tekrar dalmadan önce, harflendirmelerimizi hatırlayalım. Genellikle bu konu başlığı altında konum için X, hız için V, ivme için a harfini kullanırız.

İlk bilinmesi gereken, en basit denklem yer değiştirme, hız ve zaman arasındaki doğrusal ilişkidir (ya da konum, sürat ve zaman). Buradaki doğrusal ilişki ifadesi V veya t artarken, X'in de aynı oranda artacağını ima eder. Bunu aşağıdaki formülde bazı keyfi sayılar koyarak görebilirsiniz.

$X=V\cdot t$

Yer Değiştirme Formülü

Bir parçacığın konumundaki değişim, onun yer değiştirmesi olarak tanımlanır. Böylelikleyer değiştirme formülü aşağıdaki şekilde ifade edilir. Aynı zamanda yukarıdaki X=V.t denkleminde V yerine sürat değil hız konulduğunda da yer değiştirme formülü olduğuna dikkat edin.

$\Delta X\equiv X_s-X_i$

Buradaki delta ($\Delta$), değişimi ifade etmek için sıklıkla kullandığımız bir harftir. İndis olan $s$ ve $i$ ise, son ve ilk konumu ifade eder. Bir diğer yabancı olabileceğiniz ifade ise $\equiv$ işaretidir, bu da matematiksel olarak bu şekilde tanımlandığını ifade etmek için kullandığımız bir işarettir. Fiziğin temellerine giriş yaptığımız bu konularda, bu tür notasyonları tanımanızda fayda görüyoruz.

Ortalama Hız Formülü

Ortalama hız, bir cismin belirli bir süre boyunca aldığı yolu, eğer sabit bir hızla alsaydı hızı ne olurdu sorusunun cevabıdır. Cismin hızı bu zaman içerisinde artmış veya azalmış olabilir. Bu nedenle ortalama hız, yer değiştirmenin bu sırada geçen süreyi oranıdır. Böylelikle ortalama hız formülü $\Delta x/\Delta t$ olarak tanımlanır.

$\bar{V}\equiv \frac{\Delta X}{\Delta t}$

Buradaki $V$ (hız) üzerindeki çizgi, o ifadenin ortalamasını ifade etmek için kullandığımız bir işarettir.

Ani Hız Formülü

Bir cismin ortalama hızını hesaplamak kolay olsa da merak ettiğimiz şey her zaman ortalama hız değildir, belirli bir andaki hızını da bilmek isteriz. Bu nedenle ani hız formülü aşağıdaki gibidir.

$V_x=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta X}{\Delta t}$

Buradaki ani hız formülünde $V$'nin altındaki $x$ indisi, hareketin $\text{x}$-ekseni yönündeki hız bileşenini ifade eder, hiç kuşkusuz tek boyutta hareket söz konusuysa bunu yazmanız gerekmeyebilir, çünkü neyi ima edeceğiniz açıktır. Fakat biraz daha teknik gösterim için ve daha açık olmayı sevdiğimizden genellikle bu şekilde göstermeyi tercih ederiz.

Kısaca ani hız formülünün bize anlattığı, $\Delta X/\Delta t$ oranının, $\Delta t$ limiti sıfıra giderken aldığı değerin ani hız olduğudur. Ani hız pozitif, negatif ya da sıfır olabilir. Bir başka ifadeyle:

$V_x=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta X}{\Delta t}=\frac{dX}{dt}$

olarak da yazılabilir. Bu limite "$\text{X}$'in $\text{t}$'ye göre türevi" denir.

Ortalama İvme Formülü

Ortalama ivme formülü için de prensip yine aynıdır. Belirli bir zaman içerisinde hızda olan değişim ile bu zamanın oranıdır. Bu nedenle ortalama ivme formülü aşağıdaki gibi ifade edilir.

$\overline{a_x}=\frac{\Delta V_x}{\Delta t}=\frac{V_{xs}-V_{xi}}{t_s-t_i}$

Artık denklemlerdeki notasyona tanıdık gelmeye başlamış olmalısınız (zaten amacımız da bir yandan buna aşina hale gelmenizi sağlamaktı). Burada V'lerin altındaki $xs$ ve $xi$ ifadelerinin $\text{x}$-eksenindeki hız bileşenlerinin son ve ilk halleri olduğunu tahmin edebilirsiniz. Aynı şekilde $t$ ifadesindeki $s$ ve $i$ indisi de son ve ilk değerleri ifade etmektedir.

Ani İvme Formülü

Ani hız kavramından sonra, bunu tahmin edebildiniz mi? Bu kavramlar aynı temel üzerine kurulu olduğundan dolayı, ani ivme de aslında hızın zamana göre türevidir. Böylelikle ani ivme formülü aşağıdaki gibidir.

$a_x\equiv \underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta V_x}{\Delta t}=\frac{d{V}_x}{dt}$

Ani ivme formülünde matematiksel olarak bir adım daha ileriye gidebileceğimizi fark ettiniz mi? Daha önce hız ifadesi için konumun zamana görevi türevi olduğunu söylemiştik. Burada da hızın türevi var, öyleyse daha önce de bahsettiğimiz üzere, konumun zamana göre ikinci türevi diyebiliriz. Dolayısıyla ani ivme formülünü aşağıdaki şekilde de yazabiliriz.

$a_x=\frac{d{V}_x}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{dX}{dt})=\frac{d^{2}X}{d{t}^2}$

Önemli Not: Biz genellikle ani hız ya da ani ivmeden bahsederken, onlara kısaca hız ya da ivme deriz. Fakat ortalamayı ifade ederken, ortalama kelimesini açıkça vurgularız. O nedenle bu farklılığa dikkat edin.

Sabit İvmeli Harekette Hız Formülü

Eğer bir cisim sabit ivmeli ($a$) bir hareket yapıyorsa ve belirli bir başlangıç hızına ($V=0$) sahipse, bir süre ($t$) sonra hızı ($V$) aşağıdaki gibi olur.

$V=V_0+at$

Sabit İvmeli Harekette Yer Değiştirme Formülü

Eğer bir cisim sabit ivmeli ($a$) bir hareket yapıyorsa ve belirli bir başlangıç hızına ($V_0$) sahipse, bir süre ($t$) sonrası için yer değiştirme formülü aşağıdaki gibi ifade edilir.

$X=V_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

Bu formülü eğik atış hareketinde sıkça göreceksiniz. Orada yer çekimi ($g$) ile ilgilendiğimiz ve yere doğru olan yönü negatif aldığımız için denklemin ikinci terimini $-\frac{1}{2}g{t}^2$ şeklinde göreceksiniz ($a$ yerine $g$). Fakat eğer $g$'yi negatif alırsak işaret artı olarak kalacaktır. Bu tamamen fizikçilerin yaptığı bir kabuldür ve sonucu değiştirmez (yeter ki doğru dönüşümü yapın).

Örnek Hız ve İvme Soruları

Soru

Durmakta olan bir araç negatif yönde hareket etmeye başlamış ve 5 saniye boyunca düzgün (sabit ivmeyle) hızlanmıştır. 5. saniye sonundaki hızı negatif yönde 72 km/sa olduğuna göre aracın ivmesi nedir?

Çözüm

İvmenin tanımını hatırlayacak olursak o, hızdaki değişimden geliyordu. Bu nedenle hızdaki değişimi, bu değişimin gerçekleşmesi için geçen süreye bölersek, bu aralıktaki ortalama ivmeyi elde ederiz. Soruda ivmenin hep sabit olduğu verildiğinden ortalama ivmeyi bu şekilde kolaylıkla bulabiliriz.

Aracın ilk başta durmakta olduğu belirtilmiş, yani hızı 0 km/sa’tir. Son durumda ise hızı 72 km/s olarak verilmiş. Son hızından ilk hızını çıkararak aracın bu süredeki hız değişimini elde ederiz. 72 km/sa – 0 km/sa = 72 km/sa, yani aslında araç durgun halden harekete geçtiği için hızdaki değişim, aslında son hızına eşittir. Bu değişimin 5 saniyede gerçekleştiği de soruda bize verilen bilgiler arasında. Ancak dikkat edilmesi gerekir ki aracın hızı km/s değil, km/sa cinsinden, yani burada bir birim dönüşümü yapmak gerekiyor. Aksi takdirde 5 saniyedeki bu ortalama ivmeyi bulmaya çalışırken saniye ile saati birbirine karıştırabiliriz.

$\frac{72km}{sa}\cdot \frac{1sa}{60dk}\cdot \frac{1dk}{60s}=\frac{72km}{3600s}=0.02km/s$

Hızı km/sa biriminden km/s saniye birimine çevirdiğimize göre, bize verilen 5 saniye değerini bu değere bölerek, ortalama ivmeyi bulabiliriz.

$\frac{-0.02km/s}{5s}=-0.004\frac{km}{s^2}=-4\cdot 10^{-3}km/s^2$

Böylelikle aradığımız değer -4x10^-3 km/s² olarak bulunur. Burada eksi (-) işaretinin hızın negatif yönde olmasından geldiğine dikkat edin. Soruda aracın negatif yönde hızlandığını söylüyordu bu nedenle aslında en başında -72 km/sa olarak alabilirdik. Fakat yönlerden gelen eksi ve artı, bir tanımdır. Dolayısıyla onlarla ne yaptığınızı bildiğiniz sürece, karışıklık olmasın diye bir süre görmezden gelip, sonradan çözüme dahil edebilirsiniz. Fakat biz size en başından öyle yapmanızı, pratik kazandıkça bunu kullanmanızı öneriyoruz.

Soru

Aşağıdaki grafik bir hareketlinin hızının zamana göre değişimini göstermektedir. Buna göre hareketlinin 10 saniye sonunda aldığı yol ve yer değiştirme ne kadardır?

Çözüm

Alınan yol ve yer değiştirme farklı kavramlardır. Alınan yol hareket boyunca izlenen yolun toplam uzunluğu olduğundan soruda verilen hız-zaman grafiğinin altında kalan tüm alan bizi istediğimiz yanıta ulaştıracaktır. Grafikte her bir saniye ile tanımlanmış dikdörtgenlerin alanı 5 metreye karşılık gelmektedir (5 m/s x 1 s). Bu durumda grafiğin altında kalan dikdörtgenlerin ve bunların yarısı olan üçgenlerin alanlarını toplayacak olursak (her bir saniye için) alınan yol:

$2.5+5+7.5+7.5+5+2.5+2.5+5+5+7.5=50metre$

olur.

Yer değiştirme ise ilk konum ile son konum arasındaki farktır. Eğer soruda bize hız-zaman yerine konum-zaman grafiği verilseydi ilk ve son konum arasındaki farkı direkt grafikten okuyabilirdik. Burada ise yapmamız gereken, alınan yolları pozitif ve negatif değerlerine dikkat ederek toplamak. Hatırlayın alınan toplam yol skaler bir nicelikken, yer değiştirme vektörel bir nicelikti. Hareketli 6. saniyeden itibaren negatif yer değiştirme yapmaya başlıyor. O halde; pozitif yönde alınan yol 6 x 5 m = 30 m, negatif yönde ise ise 4 x 5 m = 20 m, öyleyse 10 saniye sonunda hareketlinin yer değiştirmesi 30 m – 20 m = 10 m olmalıdır.