Türev ve İntegrali Gerçekten Anlamak: Türev Nedir? İntegral Nedir?

Türev ve integral, matematiğin en önemli konseptlerinden ikisidir. Günümüzde okullarda (liselerde) bu ikili çok yüzeysel bir şekilde ve çoğunlukla tamamen ezbere dayalı olarak anlatılmaktadır. Özellikle de bu kavramların ne anlama geldiği öğrenciye anlatılmadan, sadece nasıl çözüleceği üzerinden anlatım yapılmaktadır. Örneğin türev için "sayının üssünü katsayı olarak önüne al ve üssü 1 azalt" denmekte, integrali anlatmak içinse "üssü 1 arttırıp, aynı sayıyı payda olarak sayının altına yaz" gibi kalıp halinde ve algılamanın imkansız olduğu bir biçimde anlatılmaktadır.

İyi, bu işlemleri yapalım da... Neden? Ne işe yarıyor? Ya da öğrencilerin daha sık sorduğu şekliyle: Gerçek hayatta ne işimize yarayacak?

En başından şu kadarını söyleyeyelim: 21. yüzyıl itibariyle gördüğünüz teknolojilerin neredeyse istisnasız olarak her biri, türev ve integrale dayalıdır! Dolayısıyla gelin bu iki kavramın gerçekten ne olduğunu, basit bir şekilde anlayalım:

Türev ve İntegrali Basit Bir Örnekle Anlamak

Aslında iki kavram da, öylesine temel ve öylesine basittir ki... Buna rağmen, matematiğin, modern bilimin ve mühendisliğin kalbinde yatan kavramlardır. Türev ve integrali binbir farklı şekilde anlatmak mümkündür, fakat temel düzeyde anlamak için kısa bir tanım yapacağız:

• Türev, bir şeyin bir diğer şeye göre değişim miktardır. Yani türev, "değişim"i ölçmek için kullanılır. Genellikle türevi bir şeyin zaman geçtikçe ne kadar değiştiğini hesaplamak veya ifade etmek için kullanırız. Bunu az sonra örneklendireceğiz.
• İntegral ise, belli bir aralıktaki toplam değişimi, ya da "biriken değişim miktarını" ifade etmek için kullanılır.

Türev ve integrali anlamak için, integrali çözme yöntemleri bir kenara bırakılarak, hayattan örneklere bakılabilir.

Örneğin tavanınız akıtıyorsa ve etrafı su götürmemesi için akıtan noktanın hizasına büyük bir kova koyduysanız, kova içerisindeki su damla damla birikecektir. Birim zamanda (örneğin saatte 1 veya günde 1) kovadaki suyun hacmindeki değişim miktarı türev ile hesaplanır. Çok basit tabiriyle, hacim miktarındaki değişimin, zamandaki değişime oranı türevdir! Zamanı saatle ölçersiniz, dersiniz ki 8 saat geçmiş, buna 8 birim zaman diyelim. Kovaya bakarsınız, boşken 8 litre dolmuş. Kovadaki bu hacim değişiminin, zamandaki değişime oranı türevdir!

Tabii ki bu hesabın bu şekilde kolayca anlaşılabilmesi için, tavanın düzenli olarak akıttığı varsayılmalıdır. Eğer ki tavan bir hızlı, bir yavaş (ya da genel olarak, değişen hızlarda) akıtıyorsa, o zaman çeşitli yöntemlerle bu akıtma davranışı matematiksel olarak tanımlanmalı ve ondan sonra belirli bir zamandaki değişim hesaplanmalıdır. Fakat sonuç değişmez: Eğer değişen şey her neyse, onun değişim biçimini ifade eden matematiksel bir formülünüz varsa, bunun zamana göre türevi, o şeyin zaman içinde nasıl değiştiğini ifade eder. Bu kadar basit!

Spruce

İşte tavanın akıtma hızını matematiksel olarak ifade eden formül her neyse, o formülün zamana göre "türevini almak", birim zamandaki değişim miktarını bulmanızı sağlar. Eğer ki tavan her saniye 1 damla akıtıyorsa, bu davranış $V=t$ formülüyle temsil edilebilir. Neden? Çünkü t, yani zaman her 1 birim (örneğin 1 saniye) arttığında, hacim de 1 birim (örneğin 1 damla) artacaktır. 10 saniye sonra, kovada 10 damla su bulunacaktır.

Peki ya değişim? Türevini alalım: $y=t$ formülünün t'ye göre türevi 1'dir. Bu işlemin nasıl yapıldığına dair de birçok anlatım yapılabilir; ancak lisede öğrendiğiniz düz mantıkla, bir formülün türevinin nasıl alındığını bildiğinizi varsayıyoruz. Yani $y=t$ formülünde, y'nin t'ye göre türevi, t'nin herhangi bir üssü olmadığı için, doğrudan önündeki katsayıya eşittir. Bu da 1'dir.

Bir formülün türevinin nasıl alındığını şimdilik boşverin. Sonuca odaklanın. Her saniye 1 damla akıyorsa, değişimin miktarının (türevin sonucunun) 1 olması mantıklı, öyle değil mi? Çünkü her saniye hacmin 1 damla arttığını zaten söylemiştik. Dolayısıyla türevin "1 damla" sonucunu vermesi çok normal. Çünkü türev, değişimdir!

Peki, diyelim ki kovamızın başına sandalyemizi çektik ve bir gözlem yaptık. Bu gözlem sonucunda şu verileri topladık:

• İlk başta kovada su yok.
• 1. saniye sonunda kovada 2 damla su birikti. Artış 2 damla.
• 2. saniye sonunda kovada 8 damla su birikti. Artış 6 damla.
• 3. saniye sonunda kovada 18 damla su birikti. Artış 10 damla.
• 4. saniye sonunda kovada 32 damla su birikti. Artış 14 damla.
• Ve böyle devam ediyor...

İşte bu hacim değişiminin formüle dönüştürmek isterseniz, karşınıza $V=2t^2$ çıkacaktır. Örneğin 4. saniyede toplam hacmi bulmak için, t'yi 4 alırsanız, V, yani hacim 32 damla olacaktır. Gerçekten de, her saniyede damlayan miktarı birbirine ekleyecek olursanız $2+6+10+14=32$'dir! Devam etmeden önce o tavanı tıkasanız iyi olacak, yoksa çok kısa bir süre içinde her yeri su götürecek!

Şaka bir yana, devam edelim: Bu durumda değişim miktarı için, formülün t'ye göre türevini alacak olursak, bu türev $V^{\prime }=4t$ olacaktır. Bunu ilk etapta görmesi bir anlığına zor olabilir; ancak suyumuz düzenli olarak sızdırmak yerine, bir anda birkaç damla halinde kovamıza damlamakta. Böyle düşünecek olursanız, 1. saniye ile 2. saniye arasında geçen 1 saniyelik sürenin tamamı boyunca akıtmadığını, diyelim ki tam ortasında, yani 1.5'inci saniyede birden akıttığını varsayalım. Gerçekten de, 1.5 saniye ile 4'ü çarpacak olursak, 6 damlalık bir artış görürüz. Verilerimize bakacak olursak, 1 ila 2. saniyeler arasında 6 damla arttığını görürüz. Benzer şekilde, 3. saniye ile 4. saniye arasındaki değişimin tam da 3.5'inci saniyede olduğunu varsayarsak, $3.5\times 4=14$ damla olacaktır. Verilerimiz ile birebir örtüşüyor!

Ama sorabilirsiniz, ya musluk sürekli akıtsaydı? Hiç fark etmez! O zaman yukarıdaki gibi saniyelere bölünmüş bir hesap değil de, anlık olarak ölçebileceğiniz bir hesap yapardık. Bu durumda "damlalar" bazında değil de, hacim olarak, yani "litre" olarak düşünebiliriz. Formülümüz aynıdır: Eğer bir saat alıp, tam 3.2 saniyede kaç litre su biriktiğini ölçmek isterseniz, t yerine 3.2 yazabilirsiniz: $V=2(3.2{)}^2=20.48L$. Bu sayının, yukarıdaki ölçümümüzde 18 ila 32 damla arasında yer alması çok mantıklıdır.

Cranberry

Görebileceğiniz gibi değişimin yapısı basitse, türev de son derece basittir. Çoğu zaman türev, çok basit düzeyde çarpım, toplam ve üs alma işlemlerinden ibarettir. İşler zorlaşırsa, basitçe bir tabloya bakarak neyin türevinin nasıl alındığını bulabilirsiniz. Örneğin logaritmanın veya bölümün türevini ezberlemeniz şart değildir (okullar ezbere zorlasa da). Bunlar, internette 2 saniyelik bir aramayla bulabileceğiniz tablolardır! Logaritmanın türevini ezberlemek sizi dâhi yapmaz; onu nasıl kullanacağınızı bilip, bu aracı kullanarak değişim yaratmak sizi dâhi yapar. Türev gibi olun, değişim yaratın!

Kısaca: Bünyesinde değişim olan her şeyin özü, türeve dayanmaktadır. Bu bakımdan türev, evrimsel biyoloji için de çok kıymetlidir. Çünkü evrim, popülasyonların gen ve özellik dağılımlarının nesiller içerisindeki değişimdir. Bu, aynı zamanda türevin tanımının ta kendisidir! Dolayısıyla matematiksel evrim çalışmalarında türev kavramı hemen her yerdedir! Türev, bir çeşit evrimdir. Evrim, popülasyonların gen ve özellik dağılımlarının zamana (veya nesillere) göre türevidir!

Görseldeki İntegrali Anlamak

İntegral ise, belli bir değerin, belli bir diğer değere göre değişiminin toplamıdır. Örneğin damlatan tavanımızın hızının giderek arttığını düşünelim. 24 saatlik bir süre zarfında, kaç kova dolusu su birikeceğini, integral hesabıyla bulabiliriz.

Aşağıdaki görselimizdeki (veya en yukarıda, ana görselimizdeki) "edebî integrali" ele alalım. Her ne kadar bilimsel geçerliliği tartışılır olsa da, integral hesaplarında yer alan değerleri anlamak için faydalı olduğu için bu örneği vermek istedik.

Öncelikle, denklemde sol tarafta belirtilen "yaşam", integral işleminin sonucudur. Yani integral hesabını yaparak tanımlamak istediğimiz şey, yaşamdır. Burada, örneklemek bakımından şu edebi cümleyi düşünelim:

Yaşam, ömrünüz boyunca geçirdiğiniz zamanda aldığınız mutlulukların toplamından ibarettir.

Bu cümlenin integral ifadesi, yukarıdaki görseldeki gibidir. Adım adım takip edelim:

• Önce, değişken belirlenmelidir. Yani "Değişen şey ne?", kendimize bunu sormalıyız. Burada değişen şey, zamandır.
• Sonrasında, hesaplamak istediğimiz şey belirlenir: mutluluk. Yani sözün iddia ettiği gibi, mutluluğun zaman içerisindeki birikimini hesaplamak istiyoruz. Bunun, yaşama eşit olduğunu iddia edeceğiz.
• İntegral işareti (uzunca bir S şeklinde olan $\int$ işareti) altına, değişkenin (bu durumda "zaman") başlangıcı yazılır: doğum. Elde ettiğimiz son durum: ${\int }_{do\breve{g}um}$
• Üstüne, hesaplanmak istenen aralığın sonu yazılır: ölüm. Son durumda formülümüz: ${\int }_{do\breve{g}um}^{\ddot{o}l\ddot{u}m}$
• İntegralin iç kısmına, hesaplanmaya çalışılan şey yazılır. Bu durumda, "zaman başına düşen mutluluk" hesaplanmaktadır. Dolayısıyla "mutluluğun zamana bölümü" yazılmıştır. Benzer bir hesap, sadece "mutluluk" olarak da yapılabilirdi. Bu örnekte, zaman başına düşen mutluluk yazılmıştır. Son durumda elde ettiğimiz: ${\int }_{do\breve{g}um}^{\ddot{o}l\ddot{u}m}\genfrac{}{}{0ex}{}{mutluluk}{zaman}$
• Son olaraksa, değişken $\Delta$ işaretiyle (ya da genelde "d" harfiyle) birlikte yazılır. $\Delta zaman$, "birim zaman" demektir. Elimizde olan son formül şöyle: ${\int }_{do\breve{g}um}^{\ddot{o}l\ddot{u}m}\genfrac{}{}{0ex}{}{mutluluk}{zaman}\Delta zaman$

İşte oldu! Zaman (ya da birim zaman) başına düşen mutluluğun birikimini, doğumdan ölüme kadar, birim zaman aralıkları boyunca hesapladık. Bunu da yaşama eşitledik! Formülümüz, tam da görseldeki gibi: $\text{Yaşam}={\int }_{do\breve{g}um}^{\ddot{o}l\ddot{u}m}\genfrac{}{}{0ex}{}{mutluluk}{zaman}\Delta zaman$

Aynı örnek üzerinden gidilecek olursa türev, iki birim zaman arasındaki mutluluk miktarınızın değişimiyken; integral, birim zamanlar boyunca belli bir aralıkta tüm bu mutluluk değerlerinin bir toplamıdır.

Bu örnekte atlanan en temel nokta, "mutluluk" değerinin matematiksel ifadesidir. İntegral içerisinde toplamak istediğimiz olgunun matematiksel ifadesi önemlidir. Yani edebi bir anlatım yapmıyor olsaydık da, mutluluk yerine yazacağımız şeyi (örneğin değişen hızlarda damlatan bir çatıyı) matematiksel olarak tanımlamamız gerekirdi. Mutluluğu nasıl tanımlayacağız? Mutluluğun matematiksel formülü nedir?

Örneğin, mutluluğu yaşamdaki ufak başarılar olarak tanımlayacak olursak, bunu "belli bir düzeni takip eden birden fazla terimin toplamı" anlamına gelen meşhur ∑ işaretiyle ifade edip, görselde "mutluluk" yerine $\Sigma \text{(ku¨çu¨k başarılar)}$ yazabilirdik. Daha sonra bunu bir matematiksel formüle dönüştürebilir ve liselerde öğrendiğimiz yöntemleri kullanarak o formülün integralini alabilirdik.

Agora Bilim Pazarı

Klasikler Seti 2 (8 kitap)

Ağaçlar
“Üzgün olduğumuzda ve hayata katlanamadığımızda bir ağaç şöyle konuşabilir bizimle: Sus! Bak bana! Yaşamak kolay değil, yaşamak zor değil. Bunlar çocuksu düşünceler. Bırak konuşsun içindeki Tanrı, o zaman susacaklar. Yolun seni anandan ve yurdundan uzaklaştırdığı için endişelisin. Ama attığın her adım, her yeni gün seni anana yaklaştırır. Orası ya da şurası değildir yurdun. Yurt ya içindedir ya da hiçbir yerde.

Yollara düşme özlemiyle kederlenir yüreğim, akşamları rüzgârda uğuldayan ağaçları duyduğumda. Sessizce, uzun uzun dinlerseniz, bu özlemin esası da anlamı da çıkar ortaya. Sanıldığı gibi acıdan kaçıp gitme arzusu değildir bu. Yurda, ananın belleğine, hayatın yeni kıssalarına duyulan özlemdir. Eve götürür insanı. Her yol eve götürür, her adım doğumdur, her adım ölümdür, her mezar anadır.

Böyle uğuldar ağaç, çocuksu düşüncelerimizden ürktüğümüz akşam vakitlerinde. […] Ağaçları dinlemeyi öğrenen, ağaç olmayı arzulamaz artık. Kendisi dışında başka bir şey olmayı arzulamaz. Yurt budur. Mutluluk budur.”

Resimli Başyapıtlar: Aurélia

Gérard de Nerval

Resimleyen: Ali Çetinkaya

“Yavaş yavaş aydınlanan belirsiz bir yeraltıdır uyku, burada gölgeden ve gecenin içinden, arafı mesken tutmuş, ciddiyetle hareketsiz duran soluk siluetler çıkagelir.”

Nerval rüyaları bildiğimiz dünyayla gerçeküstü dünya arasındaki iletişimi sağlayan bir vasıta olarak görür. Yazıları onun mantık ve tutarlılıkla kuvvetli bağını sarsan hayaller ve fantezilerle doludur. Bunun en önemli örneklerinden biri olan ve en önemli eseri kabul edilen Aurélia’da düşle gerçeklik, delilikle yaratıcılık arasındaki belirsiz, gizemli çizgiyi, kendi ruhsal deneyim ve arayışlarından yola çıkarak inceliyor.

Fransız romantizminin önemli yazar ve şairlerinden, sembolizm ve gerçeküstücülük akımını olduğu kadar T. S. Eliot, Ahmet Hamdi Tanpınar, Charles Baudelaire ve Marcel Proust gibi pek çok yazarı etkilemiş Nerval eşsiz ve zarif edebi üslubuyla saflık, kaybedilmiş gençlik, kendini gerçekleştirme ve güzellik ideallerini yansıtan imgeleri Aurélia’da buluşturuyor.

Resimli Başyapıtlar: Beyaz Geceler

Fyodor Mihayloviç Dostoyevski

Resimleyen: Nicolai Troshinsky

“Hayalperest eski hayallerinin arasında, külleri karıştırır gibi, soğumuş yüreğini yeniden ısıtacak, onu yeniden hayata döndürecek bir kıvılcım arar boş yere. Bulacağı kıvılcımla sönen o güzel hayallerinin ateşini yeniden yakacak, kanını kaynatan, mutluluk gözyaşları döktüren müthiş düşlerine tekrar kavuşacaktır.”

Sekiz yıldır yaşadığı St. Petersburg’da kimseyle yakınlaşamamış ama şehri evleriyle, yüzleriyle ezbere bilen yalnız, kederli, hayalperest bir genç adamın dört beyaz gecesinin öyküsü bu.

Hayalperestimiz sıradan gece yürüyüşlerinden birinde Nastenka’yla karşılaşır. Hayatın yabancısı bu ikili kısa sürede hikâyelerini, dertlerini, hayallerini paylaşacak kadar yakınlaşır; birlikteyken kederleri, huzursuzlukları uğramaz yanlarına; geceleri ve ruhları aydınlanır. İnsanın tek başınalığı, kalbini birine korkusuzca açabilmesinin imkânıyla bir aradadır Beyaz Geceler’de. Bu imkân bir an kadar bile olsa, “Böyle bir an ömrü boyunca yetmez mi insana?”

Dünya edebiyatının en güçlü yazarlarından Dostoyevski’nin külliyatında kendine has, ayrı bir yeri olan Beyaz Geceler’in zarif ve yalın üslubuna bu kez Nicolai Troshinsky’nin büyüleyici çizimleri eşlik ediyor.

Resimli Başyapıtlar: Dönüşüm

Franz Kafka

“Gregor Samsa bir sabah yatağında huzursuz düşlerden uyandığında kendini dev bir böceğe dönüşmüş olarak buldu. Kabuklu sert sırtının üzerinde yatıyor, başını birazcık yükselttiğinde, kayıp düşmek üzere olan yorganın tepesinde zar zor tutunduğu kahverengi, bombeli ve yay şeklinde şeritlerle bezeli karnını görüyordu. Gövdesine göre acınacak incelikteki pek çok bacağı gözlerinin önünde çaresizlikle titreşiyordu.”

Kafka işte bu sarsıcı, tuhaf cümlelerle başlıyor yirminci yüzyılın en etkileyici eserleri arasında yer alan Dönüşüm’e.

Keskinliği ve yalınlığıyla Kafka’nın edebi yoğunluğunu en iyi anlatan bu başyapıt, Arjantinli çizer Luis Scafati’nin hayal gücüyle birleşince, ortaya seyre doyulmaz bir edebi ziyafet çıkıyor.

“Kafka’nın sanatı okuyucuyu onu yeniden okumaya zorluyor. Eserlerinin sonları –ya da olmayan sonları– açık açık ifade edilmeyen, ama hikayenin başka bir bakış açısıyla yeniden okunmasını gerektiren açıklamalar sunuyor.”

Albert Camus

“[Kafka] ziyadesiyle bürokratikleşmiş bir toplumun şiirsellikten yoksun kumaşını romanın o muazzam şiirine; bir adamın gayet sıradan öyküsünü… bir mite, destana, daha önce görülmemiş bir güzelliğe dönüştürüyor.”

Milan Kundera

Gizemli Bir Maske

Fernando Pessoa

Geç git, kuş, geç git, bana da geçip gitmeyi öğret!

Bir bilinmezlik olmayı seçen, yazma eylemini kendine özgü bir sahne yorumuyla icra eden, Modernizmin geç keşfedilen öncülerinden Fernando Pessoa başyapıtı sayılan Huzursuzluğun Kitabı’nda şöyle yazar: “Yaratmak uğruna kendimi yok ettim; kendi içimde o kadar dışıma attım ki kendimi, kendimin dışında varlık sürüyorum artık. Farklı oyuncuların farklı oyunlar oynadığı boş bir sahneyim ben.” Bu benzersiz günlük, Bernardo Soares imzalıdır. Şiirle yaşamış, yarattığı onlarca kimlik, karakter aracılığıyla modern şiire ve yazına mührünü, hayattayken yayımladığı tek Portekizce şiir kitabı ve üç İngilizce kitabın yanında koca bir bavul elyazmasıyla bırakmıştır Pessoa.

Martín López-Vega’nın hazırladığı bu seçki, Pessoa’nın baş aktörleri olarak nitelenen, kendisinin de öyle kurguladığı Alberto Caeiro, Ricardo Reis, Álvaro de Campos’un şiirlerinden bir seçmeyi Adolfo Serra’nın illüstrasyonlarıyla bir araya getiriyor.

Bugün, yapıtıyla ördüğü bulmaca hâlâ bütünüyle gün ışığına çıkmamışken, dünyanın başka coğrafyalarında başka “yaşayan karakter”lere kendine özgü bir bilgelikle dokunarak sözünü sürdürüyor Pessoa.

Dünyada ileri gitmek için ne kadar çok şey ödünç aldım!

Ne kadar ödünç şeyi sanki benimmiş gibi kullandım!

Ben kendim de, yazık ki, bana ödünç verilen şeylerden başka bir şey değilim.

Resimli Başyapıtlar: Kara Kedi

Edgar Allan Poe

“Yazmak üzere olduğum bu çılgın, ama bir o kadar da basit hikayeye inanmanızı beklemiyorum. Kendi aklım bile, olanları apaçık gördüğü halde, onları inkar ederken, sizden bunu beklemem delilik olur. Ama deli olmadığımı biliyorum, hayal görmediğimden de eminim. Yarın öleceğim için bugün içimi dökmem gerek.”

Edgar Allan Poe’nun gizemli ve karanlık dünyasına hoş geldiniz! Dehşeti, korkuyu, düş ile gerçeklik arasındaki muğlaklığı, insanın karanlık yüzünü ve çaresizliği anlatan Poe’nun tekinsiz öykülerine, bu kez Luis Scafati’nin eşsiz çizimleri eşlik ediyor. Büyük bir özenle kullandığı siyahın hakim olduğu çizimleriyle karanlık ve hassas bir dünyanın kapılarını aralayan Scafati ile duyduğu dehşetli ürperişi okuyucusuna iletmekte benzersiz bir dile sahip Edgar Allan Poe’nun öyküleri bir araya gelerek benzersiz bir atmosfer yaratıyor.

“Edgar Allan Poe’nun öykülerini çok sevdiğim için gerilim filmleri yapmaya başladım.”

Alfred Hitchcock

“Edgar Allan Poe, ona hayat veren nefesi üflemeden önce dedektiflik hikâyeleri neredeydi?”

Arthur Conan Doyle

Palto

Nikolay Gogol

Önüne ne pahasına olursa olsun ulaşacağı bir hedef koyan insanlar gibi kendini şimdiden daha hayat dolu hissediyor, karakteri güçleniyordu. Yürüyüşünde ve hareketlerinde kararsız ve ikircikli ne varsa gitmiş, gözlerinde yeni bir ateş parlamaya başlamıştı. Hatta en cüretkâr hayallerinde bazen paltosuna sansar kürkü bir yaka diktirmeyi bile kurar olmuştu.”

“Küçük adam”ın çektiği sıkıntılar, maruz kaldığı eşitsizlik ve acılar bu uzun öykünün başkahramanı Akakiy

Akakiyeviç’in hayatı üzerinden yalın bir gerçekçilikle anlatılıyor. Böylesi bir anlatım, her ne kadar dönemin Çarlık Rusya’sında büyük tepki alsa ve Gogol, Rus insanını aşağılamakla suçlansa da, Rus edebiyatında bir çığır açıyor. Elinizde tuttuğunuz bu muhteşem eseri daha önce yayınlanmış örneklerinden farklı kılan ise otuzdan fazla kitapta imzası olan ödüllü çizer Noemí Villamuza’nın büyüleyici çizimleri.

“Hepimiz Gogol’un Palto’sundan çıktık.”

Dostoyevski

“Gogol’un Palto’da sergilediği sanat, paralel doğruların kesişmekle kalmayıp, solucan misali kıvrılabileceklerine, karmakarışık hale gelebileceklerine işaret eder.”

Vladimir Nabokov

Resimli Başyapıtlar: Satranç

Stefan Zweig

Stefan Zweig’ın intihar etmeden kısa süre önce kaleme aldığı Satranç zulüm, saplantı, aklın gücü ve bu gücün yaratacağı kötülükleri ele alan ve yayımlandığından beri bütün dünyada büyük yankı uyandırmış bir klasik. Satranç tahtasının siyahı ve beyazı gibi iki kutbun –iyiyle kötünün, kibarla kabanın, insanla makinenin, akılla deliliğin, cehaletle bilginin, açgözlülükle tamahkarlığın– arasında, kendi içimizde bitmeyen bir satranç maçına devam eden bizim hikâyemiz…

New York’tan Buenos Aires’e giden bir gemide yolcular arasında Dünya Satranç Şampiyonu Mirko Czentovic de bulunmaktadır. Kaba, vurdumduymaz, cahil, açgözlü bir insan olsa da Czentovic tam bir satranç dehasıdır. Gemidekiler kendisiyle maç yapmak isterler. Genç satranç oyuncusu bu isteklerini geri çevirmez ve üst üste galip gelir, ta ki bir maç sırasında ağırbaşlı, çekingen bir yabancı ortaya çıkıp oyuna müdahale edinceye kadar. Bu yabancı uzun zamandır satranç tahtasına elini sürmediğini söylese de verdiği taktikler sayesinde maç berabere biter.

Akif Kaynar’ın karakterlerin iç dünyasını yansıtan, öykünün önemli noktalarını canlandıran resimleri de Zweig’ın bu ölümsüz klasiğini bambaşka bir boyuta taşıyor.

Devamını Göster

₺1,400.00

Satın Al Tüm Ürünler

Ancak burada önemli olan, integralin nasıl alındığı değil; neden alındığı. Nasıl alındığını, basit bir formül tablosuna bakarak yapabilirsiniz. Unutmayın: İntegral tablolarını ezberlemek sizi uzman yapmaz; uzmanlık, o tabloyu nasıl kullanacağınızı bilmektir. Mutluluğa yönelik matematiksel formülünüz değiştikçe, integralin sonucu da değişecektir; ancak bu önemli değil. Mutluluğu her nasıl tanımlarsanız tanımlayın, matematiksel olarak ifade edebildiğiniz müddetçe integralini de alabilirsiniz.

Bu anlatımdaki asıl amacımızı unutmayın: Amaç, mutluluğu doğumdan ölüme kadar, ufak zaman aralıklarını takip eden bir seri halinde toplamak. Böylece "yaşam"ı elde ediyoruz. En azından edebiyatçılardan bir kısmı öyle diyor.

The Next Quarterly

Bu, gerçek hayatta gerçek sorunlarla boğuşan bilim insanlarının yaptığı şeydir. Belli bir zaman boyunca değişen parametreleri tespit ederler, bunların değişimlerini matematiksel olarak modellerler ve integrali kullanarak toplam değişim miktarını belirleyebilirler.

Grafiklerin Türev ve İntegralini Gerçekten Anlamak

Bu noktada, okullarda kalıp halinde öğretilen bir diğer nokta da anlaşılır hale gelebilir. Lisede hep şuna benzer bir şey söylerler: "Türev, grafikte belli bir noktaya çizilen teğet çizgisinin eğimiyle ifade edilir."

İyi de neden?

Türevin anlamını hatırlayın: değişim! Elimizdeki grafik (ya da "geometrik eğri"), tıpkı yukarıda anlattığımız "mutluluğun matematiksel tanımı" gibi, bir şeyi grafiksel olarak tanımlayan bir çizgidir. Bu çizginin herhangi bir noktasındaki (eğer zamana bağlı türev alıyorsak, herhangi bir "anındaki") değişim, eğri üzerinde spesifik olarak o noktadan bir sonraki noktaya geçerken ne kadar değişim geçirmemiz gerektiğidir.

Bunu tam olarak tespit etmek mümkün değildir, ancak o noktada grafiğe çizilen bir teğet, tıpkı bir "kaydırak" görevi görecek ve dikkate aldığımız noktadan, bir sonraki noktaya olan gidişatı belirleyecektir. O kaydırak ne kadar "dik" ise, o kadar hızlı bir değişim var demektir: Çünkü dik bir kaydıraktan, hızlı bir şekilde kayabilirsiniz. Değişim, çok hızlı olur. O teğet ne kadar yataysa, değişim o kadar azdır. Çünkü yatay bir kaydırakta çok yavaş ilerleyebilirsiniz, konumunuzun değişimi çok azdır! Yani gerçek hayattaki bir kaydırak, sizin bir noktadan bir sonraki noktaya gidişinizi gösteren bir türev eğrisi gibi düşünülebilir.

İntegral ise, bir eğrinin altında kalan her şeyin toplamıdır. Zaten tanımı gereği, integralin "iki aralık arasında değişen bir değişkenin toplamı" olarak izah edildiğini hatırlayın. Bu sebeple, bir hız-zaman grafiğinin yatay eksen ile arasındaki toplam alan, alınan toplam yolu verir.

Bunu iki açıdan düşünebilirsiniz: İlki, fiziktir. Liselerde ezberlediğimiz bir diğer cümleyi ele alalım: "Konum, hızın zamana göre integralidir." Dolayısıyla hız grafiğinin altındaki alan, integrale denk geldiğinden, toplam konum değişiminin verir. Anlaması, tıpkı lise sıralarında olduğu gibi zor, değil mi?

Ancak ikinci yöntem, integralin basamak basamak toplamak olduğunu düşünmektir. Belli bir hızla hareket eden bir cisim, her saniye belli bir miktar yol kat eder. Bu yolların toplamı, iki zaman sınırı arasında alınan toplam yola eşittir. İşte bunu kolayca bulmanın yolu, grafiği tanımlayan matematiksel denklemin integralini almaktır. x eksenine göre ($\Delta x$ veya $dx$ yazarak) integralini aldığınızda, x ekseni ile grafik arasında kalan alanı hesaplamış olursunuz. Eğer grafiğiniz hız-zaman eğrisiyse bu size toplam alınan yolu verir. 

Kalkülüs'ün Temel Teoremi'ne göre türev ve integral birbirinin tersidir. Dolayısıyla bir değişkenin önce integralini, sonra türevini alırsanız (ya da tam tersi), değişkenin kendisini elde edersiniz. Aslında bu her zaman doğru değildir; integralin sınırları da önemlidir. Ancak basitçe akılda tutmak için, bu kadar detaya ihtiyacınız şimdilik yok. İkisini birbirinin tersi olarak düşünebilirsiniz; fakat ufkunuzu bu basit zıtlıkla sınırlandırmayın. Her birinin kendi içindeki önemini, daha önemlisi anlamını kavrayın.

Bu konuda daha pek çok söz söylenebilir; ancak umuyoruz ki bu matematiksel terimlerin ne için kullanıldığını anlamanıza katkı sağlamışızdır.