Keşfedin, Öğrenin ve Paylaşın
Evrim Ağacı'nda Aradığın Her Şeye Ulaşabilirsin!
Paylaşım Yap
Tüm Reklamları Kapat

İrrasyonel Bir Sayının İrrasyonel Kuvveti, Rasyonel Bir Sayı Olabilir Mi?

3 dakika
19,177
İrrasyonel Bir Sayının İrrasyonel Kuvveti, Rasyonel Bir Sayı Olabilir Mi?
Tüm Reklamları Kapat

Yazının başlığı olan soruya cevap vermeden önce rasyonel ve irrasyonel sayıların ne demek olduğunu anlayalım.

Tanımlar

Rasyonel sayılar, iki tam sayının birbirine oranı ile ifade edilebilen sayılardır. Örnek olarak:

32,42,−1749,...\LARGE{\frac{3}{2},\frac{4}{2},\frac{-17}{49},...}

Tüm Reklamları Kapat

verilebilir. İrrasyonel sayılar ise reel sayılar kümesinin rasyonel olmayan elemanlarıdır. Diğer bir ifade ile rasyonel olmayan her reel sayı irrasyonel bir sayıdır. Bu nedenle iki tam sayının birbirine oranı olarak ifade edilemezler. Örneğin:

2,19,π,e,...\LARGE{\sqrt{2},\sqrt{19},\pi,e,...}

π\pi ve ee sabitlerinin irrasyonel olduklarını birçok matematikçi kanıtlamıştır. Biz basit olarak 2\sqrt{2}'nin irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtlayalım.

2\sqrt{2}'nin İrrasyonel Bir Sayı Olduğunun Kanıtı

aa ve bb ortak çarpanları olmayan iki tam sayı olsun.

Tüm Reklamları Kapat

2=ab\LARGE{\sqrt{2}=\frac{a}{b}}

Bu denkleme göre a2a^2'nin çarpanlarından biri 2'dir, bu da tanım gereği a2a^2'nin çift sayı olduğu anlamına geliyor. a2a^2'nin çift sayı olması için a'nın da çift sayı olması gerekir; çünkü bir tek sayının başka bir tek sayıyla çarpımı yine tek sayıdır. O halde kk bir tam sayı olmak üzere:

a=2k\LARGE{a=2k}

denklemi ile aa'yı ifade edebiliriz. Bunu denklemde yerine koyarsak:

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

4k2=2b2\LARGE{4k^2=2b^2}

b2=2k\LARGE{b^2=2k}

Bu denklemden sonuç olarak b2b^2 sayısının bir çift sayı ve dolayısıyla bb sayısının da çift sayı olması gerektiği ortaya çıkar.

Hem aa hem bb'nin çift olması demek, her iki sayının 2 ile tam bölünebiliyor olması ve dolayısıyla her iki sayınında en az bir ortak çarpanı (bu durumda 2) olduğu anlamına geliyor. Bu da en başta aa ve bb için yaptığımız tanım olan “aa ve bb ortak çarpanları olmayan iki tam sayıdır” ifadesi ile çelişir.

Sonuç olarak 2\sqrt{2}'nin rasyonel sayı olması çelişkili olacağı için 2\sqrt{2} irrasyonel bir sayıdır.

2\sqrt{2}'nin irrasyonel olduğunu kanıtladık; fakat asıl sorumuza geçmeden önce basit bir mantık sorusunu çözelim.

Tüm Reklamları Kapat

Bir Mantık Sorusu

Can, Mehmet ve Ayşe adında 3 kişi vardır. 3’ünün durumları şöyledir:

  1. Can, Ayşe’ye bakıyor; Ayşe, Mehmet’e bakıyor.
  2. Can evli, Mehmet evli değil.

Bu örnekte evli biri evli olmayan birine bakıyor mudur?

  • A. Evet
  • B. Hayır
  • C. Belirli değil

Eğer cevabın C şıkkı olduğunu düşünüyorsanız, yanılıyorsunuz. Eğer "Bir insan ya evlidir ya da evli değildir" varsayımını kabul ederseniz cevap A. şıkkıdır. Bize sorulan bilmeceyi daha iyi ifade edelim:

Tüm Reklamları Kapat

  • Can: Evli
  • Ayşe: Belirli Değil
  • Mehmet: Evli Değil

Burada Ayşe için iki koşul vardır: “Ya Ayşe evlidir ya da Ayşe evli değildir”. Her iki koşula göre ne elde ettiğimize bakalım:

  • 1. Koşul: "Ayşe evlidir." O halde Ayşe, Mehmet’e baktığı için “evli biri evli olmayan birine bakıyordur” önermesi doğrudur.
  • 2. Koşul: "Ayşe evli değildir." O halde Can, Ayşe’ye baktığı için “evli biri evli olmayan birine bakıyordur” önermesi doğrudur.

Sonuç olarak, Ayşe evli olsun veya olmasın her iki koşulda da “evli biri evli olmayan birine bakıyordur” önermesi doğrudur.

Bu bilmecede kullandığımız aynı mantık ile yazının başlığı olan soruya cevap verebiliriz.

İrrasyonel Bir Sayının İrrasyonel Kuvveti Rasyonel Bir Sayı Olabilir Mi?

Diyelim ki xx reel sayı olacak şekilde:

Tüm Reklamları Kapat

Agora Bilim Pazarı
Yaratık Öğretmen Çıldırdı

SINIFTA KONTROLDEN ÇIKAN BİR ŞEY VAR…

VE BU KEZ ÖĞRENCİLER DEĞİL!

İngiltere’de Oxford tarafından basılan ve yayın hakları pek çok ülkeye satılan Yaratık Öğretmen serisinin ikinci kitabı Yaratık Öğretmen Çıldırdı da tıpkı ilk kitap gibi çocuklara “devasa eğlence” vaat ediyor.

Jake ve sınıfı, Wilf’in Vahşi Macera Parkı’nın açılışına gidiyor. Bu çılgın park muhteşem oyunlarla dolu ama en sevdikleri öğretmenleri Bay Hyde’ın Yaratık’a dönüşmesiyle işler çığırından çıkıyor, karmaşa başlıyor!

Jake ve arkadaşları, gözden kaybolan Yaratık’ı bulup, öğretmenleri hakkındaki gerçek ortaya çıkmadan önce yeniden Bay Hyde’a dönüşmesini sağlayabilecekler mi?

Son sürat akan bir nehirde yol almak kadar heyecan verici ve takla atan timsah kadar eğlenceli bir maceraya hazır olun!

Devamını Göster
₺185.00
Yaratık Öğretmen Çıldırdı

x=22\LARGE{x=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}

olsun. 2\sqrt{2}'nin irrasyonel olduğunu bildiğimiz için x irrasyonel bir sayının irrasyonel üssüdür. Her iki tarafın da 2\sqrt{2} üssünü alırsak:

x2=(22)2\LARGE{x^{\sqrt{2}}=({\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^{\sqrt{2}}}}

x2=22\LARGE{x^{\sqrt{2}}={\sqrt{2}^2}}

x2=2\LARGE{x^{\sqrt{2}}=2}

Elimizde iki sonuç var:

x=22\LARGE{x=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}}

x2=2\LARGE{x^{\sqrt{2}}=2}

  • Koşul: "xx, irrasyonel bir sayıdır." O halde, ikinci denkleme göre “irrasyonel bir sayının irrasyonel üssü rasyonel bir sayı olabilir” önermesi doğrudur.
  • Koşul: "xx, rasyonel bir sayıdır." O halde, ilk denkleme göre “irrasyonel bir sayının irrasyonel üssü rasyonel bir sayı olabilir” önermesi doğrudur.

Sonuç olarak, xx rasyonel sayı olsun veya olmasın “irrasyonel bir sayının irrasyonel üssü rasyonel bir sayı olabilir” önermesi doğrudur.

Evrim Ağacı, sizlerin sayesinde bağımsız bir bilim iletişi platformu olmaya devam edecek!

Evrim Ağacı'nda tek bir hedefimiz var: Bilimsel gerçekleri en doğru, tarafsız ve kolay anlaşılır şekilde Türkiye'ye ulaştırmak. Ancak tahmin edebileceğiniz Türkiye'de bilim anlatmak hiç kolay bir iş değil; hele ki bir yandan ekonomik bir hayatta kalma mücadelesi verirken...

O nedenle sizin desteklerinize ihtiyacımız var. Eğer yazılarımızı okuyanların %1'i bize bütçesinin elverdiği kadar destek olmayı seçseydi, bir daha tek bir reklam göstermeden Evrim Ağacı'nın bütün bilim iletişimi faaliyetlerini sürdürebilirdik. Bir düşünün: sadece %1'i...

O %1'i inşa etmemize yardım eder misiniz? Evrim Ağacı Premium üyesi olarak, ekibimizin size ve Türkiye'ye bilimi daha etkili ve profesyonel bir şekilde ulaştırmamızı mümkün kılmış olacaksınız. Ayrıca size olan minnetimizin bir ifadesi olarak, çok sayıda ayrıcalığa erişim sağlayacaksınız.

Avantajlarımız
"Maddi Destekçi" Rozeti
Reklamsız Deneyim
%10 Daha Fazla UP Kazanımı
Özel İçeriklere Erişim
+5 Quiz Oluşturma Hakkı
Özel Profil Görünümü
+1 İçerik Boostlama Hakkı
ve Daha Fazlası İçin Evrim Ağacı'nda..
Aylık
Tek Sefer
Destek Ol
₺30/Aylık
Bu Makaleyi Alıntıla
Okundu Olarak İşaretle
26
0
  • Paylaş
  • Alıntıla
  • Alıntıları Göster
Paylaş
Sonra Oku
Notlarım
Yazdır / PDF Olarak Kaydet
Bize Ulaş
Yukarı Zıpla

Makalelerimizin bilimsel gerçekleri doğru bir şekilde yansıtması için en üst düzey çabayı gösteriyoruz. Gözünüze doğru gelmeyen bir şey varsa, mümkünse güvenilir kaynaklarınızla birlikte bize ulaşın!

Bu makalemizle ilgili merak ettiğin bir şey mi var? Buraya tıklayarak sorabilirsin.

Soru & Cevap Platformuna Git
Bu Makale Sana Ne Hissettirdi?
  • Tebrikler! 15
  • İnanılmaz 7
  • Muhteşem! 6
  • Bilim Budur! 6
  • Mmm... Çok sapyoseksüel! 4
  • Merak Uyandırıcı! 4
  • Umut Verici! 2
  • Korkutucu! 1
  • Güldürdü 0
  • Üzücü! 0
  • Grrr... *@$# 0
  • İğrenç! 0
Tüm Reklamları Kapat

Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?

Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:

kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci

Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 22/02/2025 11:54:45 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/433

İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.

Aklımdan Geçen
Komünite Seç
Aklımdan Geçen
Fark Ettim ki...
Bugün Öğrendim ki...
İşe Yarar İpucu
Bilim Haberleri
Hikaye Fikri
Video Konu Önerisi
Başlık
Bugün Türkiye'de bilime ve bilim okuryazarlığına neler katacaksın?
Gündem
Bağlantı
Ekle
Soru Sor
Stiller
Kurallar
Komünite Kuralları
Bu komünite, aklınızdan geçen düşünceleri Evrim Ağacı ailesiyle paylaşabilmeniz içindir. Yapacağınız paylaşımlar Evrim Ağacı'nın kurallarına tabidir. Ayrıca bu komünitenin ek kurallarına da uymanız gerekmektedir.
1
Bilim kimliğinizi önceleyin.
Evrim Ağacı bir bilim platformudur. Dolayısıyla aklınızdan geçen her şeyden ziyade, bilim veya yaşamla ilgili olabilecek düşüncelerinizle ilgileniyoruz.
2
Propaganda ve baskı amaçlı kullanmayın.
Herkesin aklından her şey geçebilir; fakat bu platformun amacı, insanların belli ideolojiler için propaganda yapmaları veya başkaları üzerinde baskı kurma amacıyla geliştirilmemiştir. Paylaştığınız fikirlerin değer kattığından emin olun.
3
Gerilim yaratmayın.
Gerilim, tersleme, tahrik, taciz, alay, dedikodu, trollük, vurdumduymazlık, duyarsızlık, ırkçılık, bağnazlık, nefret söylemi, azınlıklara saldırı, fanatizm, holiganlık, sloganlar yasaktır.
4
Değer katın; hassas konulardan ve öznel yoruma açık alanlardan uzak durun.
Bu komünitenin amacı okurlara hayatla ilgili keyifli farkındalıklar yaşatabilmektir. Din, politika, spor, aktüel konular gibi anlık tepkilere neden olabilecek konulardaki tespitlerden kaçının. Ayrıca aklınızdan geçenlerin Türkiye’deki bilim komünitesine değer katması beklenmektedir.
5
Cevap hakkı doğurmayın.
Aklınızdan geçenlerin bu platformda bulunmuyor olabilecek kişilere cevap hakkı doğurmadığından emin olun.
Sosyal
Makaleler
Daha Fazla İçerik Göster
Popüler Yazılar
30 gün
90 gün
1 yıl
Evrim Ağacı'na Destek Ol

Evrim Ağacı'nın %100 okur destekli bir bilim platformu olduğunu biliyor muydunuz? Evrim Ağacı'nın maddi destekçileri arasına katılarak Türkiye'de bilimin yayılmasına güç katın.

Evrim Ağacı'nı Takip Et!
Yazı Geçmişi
Okuma Geçmişi
Notlarım
İlerleme Durumunu Güncelle
Okudum
Sonra Oku
Not Ekle
Kaldığım Yeri İşaretle
Göz Attım

Evrim Ağacı tarafından otomatik olarak takip edilen işlemleri istediğin zaman durdurabilirsin.
[Site ayalarına git...]

Filtrele
Listele
Bu yazıdaki hareketlerin
Devamını Göster
Filtrele
Listele
Tüm Okuma Geçmişin
Devamını Göster
0/10000
Bu Makaleyi Alıntıla
Evrim Ağacı Formatı
APA7
MLA9
Chicago
E. Özmeral, et al. İrrasyonel Bir Sayının İrrasyonel Kuvveti, Rasyonel Bir Sayı Olabilir Mi?. (25 Eylül 2016). Alındığı Tarih: 22 Şubat 2025. Alındığı Yer: https://evrimagaci.org/s/433
Özmeral, E., Özdil, A. Ş. (2016, September 25). İrrasyonel Bir Sayının İrrasyonel Kuvveti, Rasyonel Bir Sayı Olabilir Mi?. Evrim Ağacı. Retrieved February 22, 2025. from https://evrimagaci.org/s/433
E. Özmeral, et al. “İrrasyonel Bir Sayının İrrasyonel Kuvveti, Rasyonel Bir Sayı Olabilir Mi?.” Edited by Ayşegül Şenyiğit Özdil. Evrim Ağacı, 25 Sep. 2016, https://evrimagaci.org/s/433.
Özmeral, Ege. Özdil, Ayşegül Şenyiğit. “İrrasyonel Bir Sayının İrrasyonel Kuvveti, Rasyonel Bir Sayı Olabilir Mi?.” Edited by Ayşegül Şenyiğit Özdil. Evrim Ağacı, September 25, 2016. https://evrimagaci.org/s/433.
ve seni takip ediyor

Göster

Şifremi unuttum Üyelik Aktivasyonu

Göster

Şifrenizi mi unuttunuz? Lütfen e-posta adresinizi giriniz. E-posta adresinize şifrenizi sıfırlamak için bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Eğer aktivasyon kodunu almadıysanız lütfen e-posta adresinizi giriniz. Üyeliğinizi aktive etmek için e-posta adresinize bir bağlantı gönderilecektir.

Geri dön

Close