Sabit Toplamlı Oyun Nedir? Sabit Toplamlı Oyunlarda Dengeye Nasıl Ulaşılır?

Oyun Teorisi'nde, oyunları sınıflandırmanın farklı yolları bulunmaktadır. Bu sınıflandırmalar, oyunun rekabetçilik durumu, çıktıların dağıtımı, sürekliliği gibi kriterlere göre yapılır. Bu yazıda bu kriterlerden kazançların dağıtımı üzerinden yapılan sınıflandırmanın özel bir türü olan Sabit Toplamlı Oyun üzerinde durulacaktır. Ama önce, oyunların sınıflandırmasına biraz daha yakından bakalım.

Oyunların Sınıflandırılması

Teoride birden fazla oyun türü olduğundan oyunları sınıflamak bize o oyunun hangi yönüne konsantre olacağımız konusunda bir yön çizer. Bu aynı zamanda oyunda oynanacak stratejileri seçmek konusunda da yol göstericidir. En temelde, oyunları şu şekilde sınıflamak mümkündür:

Oyuncu Sayılarına Göre

En temel oyunlar 2 oyuncu ile tanımlanır. Bu tür oyunlara İki Kişilik Oyun (İng: "Two Players Game") adı verilmektedir.^[1] Örneğin satranç, iki kişilik bir oyundur.

Eğer oyuncu sayısı 2'yi aşıyorsa, bu konu, genellikle teorinin özel bir alt dalı olan N Sayılı oyun (İng: "N-Players Game") başlığı altında incelenir ve başlı başına bir kitap konusu olacak kadar kapsamlı bir alandır.^[2]

Oyunun Bitiş Zamanına Göre

Eğer bir oyun hamle sayısı, süre ve benzer şekillerde sırlandırılmış ise bu oyun sonludur (İng: "Finite"). Günümüz spor müsabakaları tam olarak bu tür oyunlara örnek gösterilebilir.

Eğer oyunun süresi belirsiz ve sonsuz defa tekrar edebilecek şekilde ise bu oyun sonsuz (İng: "İnfinite") olarak adlandırılır. Bu ayrım James P. Carse tarafından liiteratüre kazandırılmış olup, bunu incelediği kitabı oyunun süresine göre hangi çözümlerin uygulanabileceğini anlatır.

Rekabetçilik Durumuna Göre

Oyunun doğası rekabet gerektiriyor ise bu tür oyunlar Rekabetçi (İng: "Competitive"), değil ise İşbirlikçi (İng: "Cooperative") olarak adlandırılırlar.^[3]

Kazançların Dağıtımına Göre

Bir oyunda oyuncular karşılıklı bir hamle yaptıklarında iki tarafın hamlelerinin buluştuğu seçenekte her bir oyuncu bir getiri elde eder. İşte bu getiriye "Ödeme" (bazı kaynaklarda "Kazanç" terimi kullanılır, İng: "Payoff") denir.^[4] İşte bu sınıflandırma, söz konusu kazançların toplamlarına ve nasıl dağıtıldığına odaklanır. Bu parametreye göre oyunları şöyle sınıflamak mümkündür:

• Sıfır Toplamlı Oyun: Bu oyunda her bir strateji çiftinde oyuncuların kazançlarının toplamları 0 olur. Çünkü bir oyuncu kazanırken diğer oyuncu tam da o ödeme tutarı kadar kaybeder.^[5]
• Sıfır Toplamsız Oyun: Bu oyunlarda her bir strateji çiftinde tarafların kazançları asimetrik durumdadır. Her ikisi de kazanabilir veya kaybedebilir. Ayrıca ödeme rakamları farklı olabilir.
• Sabit Toplamlı Oyun: Yazımızın ana konusunu oluşturan bu oyun türünde ise her bir strateji çiftinde, tarafların kazançlarının toplamı daima aynı rakamı verir.

Sabit Toplamlı Oyun Kavramı

Bu oyunlarda taraflardan her biri bir strateji eşleşmesinde bulunduğunda elde ettikleri kazançların toplamı, her eşleşme için sabittir.^[6] Bunu bir örnekle açıklayalım:

Yukarıdaki resimde oyuncular hangi strateji çiftinde buluşurlarsa buluşsunlar, kazançlarının toplamı daima 10 olacaktır.

Bu tür oyunlarda oyundaki Toplam Çıktı (İng: "Total Outcome") oyunun kural koyucuları tarafından önceden belirlenmiş ve sabittir. Oyuncuların strateji seçimlerine göre bu sabit rakam oyuncular tarafından önceden belirlenen kurallara göre pay edilir. Oyuncu bu paydan kendisi için en iyi olanı almak ister. Dolayısı ile bu tür oyunlar doğaları gereği rekabetçi bir niteliği sahiptir.

Sabit Toplamlı Oyunlarda Denge

Bu oyunların rekabetçi olduğunu söylemiştik. Gerçekten de tarafların işbirliği yaparak oyundaki toplam ödülü arttırmalarının, yani bir anlamda "sinerji" yaratmalarının bir yolu yoktur. Ancak bu durum, tarafların çıktıyı eşit paylaşacağı bir senaryonun olmayacağı anlamına gelmez. Nitekim bu oyunlarda da tüm rekabetçi oyunlarda olduğu gibi bir Nash Dengesi söz konusudur.

Yukarıdaki örneğimize tekrar dönelim:

Nash Dengesi, bize bir strateji çiftinde buluşan oyuncuların bu stratejilerinden memnun olacağı ve bunu değiştirmeyecekleri bir durumu temsil eder.^[7] Dengeyi tespit etmek için:

• Satır oyuncusunun her bir stratejisini ve elde ettiği kazancı bulunduğu kutunun bir üstü veya altı ile,
• Sütun oyuncusunda ise sağ veya solu ile karşılaştırırız.
• Her bir oyuncunun (genellikle 2) durumunu değiştirmediği kutucuk, bize denge halini verir.

Bu oyunumuzda denge hali, Oyuncu 1'in "Üst", Oyuncu 2'nin ise "Sağ" seçeneğinde buluştuğu strateji çifti (veya kutucuğu) olacaktır. Çünkü:

• Oyuncu 1 "Üst" oynadığında, "Alt"a göre daha iyi kazanç elde edecektir (5>2).
• Aynı şekilde Oyuncu 2 ise "Sağ" oynadığında daha iyi kazanç elde edecektir (5>2).

Diğer hiçbir strateji çiftinde ikisinin de aynı anda durumdan memnun olduğu bir senaryo bulunmamaktadır.

Sonuç

Sabit toplamlı oyunlar, oyunun toplam ödülünün önceden belli olduğu ve değişmediği ve bu ödülün oyuncular arasında farklı hamlelere göre bölüştürüldüğü bir oyun türüdür. Bu oyunlar genellikle rekabetçi karakterli olup, bir Nash Dengesi'ne sahiptirler.