Kuantum Işınlama Nedir? Bir ve İki Qubit için Kuantum Işınlama Protokolü Nasıl Çalışır?

Kuantum ışınlama, belli bir yerdeki bir vericiden, bir diğer noktadaki alıcıya kuantum bilginin iletilmesidir. Kuantum bilgi, herhangi bir kuantum sistemin durumuna ait her türlü bilgidir. Kuantum sistemler, davranışları baskın olarak kuantum mekaniği ile izah edilebilen doğal sistemlerdir ve bu sistemlerin en temel özelliği, o sisteme yönelik yapılacak herhangi bir ölçüm sonucunda alınabilecek sonuçların olasılık dağılımıdır. Bu olasılık dağılımının herhangi bir andaki durumuna, kuantum durum denir. Yani kuantum ışınlama, bir kuantum sistemin içinde bulunabileceği durumların olasılık dağılımının bir noktadan diğerine aktarılmasıdır.

Her ne kadar teleportasyon veya ışınlama, bilimkurgu filmlerinde fiziksel bir nesnenin bir noktadan diğerine anlık olarak gönderimi olarak gösterilse de kuantum ışınlanmada "ışınlanan" tek şey kuantum bilgidir. Fiziksel herhangi bir nesne, bir yerden diğerine ışınlanmaz. Dahası, gönderen taraf gönderdiği sistemin kuantum bilgisinden bihaberdir. Daha da ilginci, gönderen taraf, kuantum bilginin gönderildiği yerin spesifik lokasyonunu da bilemez. Bu, alıcı ve vericinin konumlarının tam olarak bilinebildiği klasik bilgi transferinden farklıdır. Son olarak, kuantum bilgiyle birlikte klasik bilgi de iletildiği için, kuantum ışınlama yoluyla ışık hızı aşılamaz.

Günümüzde kullanılan anlamda kuantum ışınlamasını fikrinin ortaya çıkışı 1993 yılına Cherles H. Bennett ve ekibi tarafından yayınlanan Teleporting an Unknown Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels (İkili Klasik ve Einstein-Podolosky-Rosen Kanallarını Kullanarak Bilinmeyen Bir Kuantum Durumu Işınlamak) başlıklı makaleye dayanır. Bu makalede, kuantum ışınlamanın asıl fikir ve matematiği ortaya atılmıştır.^[1]

O zamandan bu zamana kadar kuantum ışınlama protokolüne çeşitli yönlerden farklı geliştirmelerde bulunulmuştur. Bu geliştirmeler sonucu kontrollü kuantum ışınlaması (CQT), döngüsel kuantum ışınlaması ve çift yönlü kuantum ışınlaması gibi farklı protokoller oluşturulmuştur.^[2]

Peki temelde bu protokol nasıl işlemektedir? Protokol, sistemeler ve ışınlanacak sistemler karmaşıklaştıkça nasıl değişir?

Kuantum Işınlama Protokolü

Bu kısımda, kuantum ışınlama protokolünün teknik taraflarını anlatacağız. Ancak yoğun matematiksel ifadeler sizi korkutmasın, hemen sonrasında bu teknik altyapının daha kolay bir dille ne anlama geldiğini de anlatacağız.

Tek Qubit Kuantum Işınlama Protokolü

Tek qubit kuantum ışınlama protokolü, adından da anlaşılacağı gibi, tek qubitlik bir kuantum durumunun ışınlanmasıdır. Hatırlatma amacıyla qubit, klasik mekanik üzerine inşa edilmiş bilgisayar sistemlerinde yaygın olarak kullanılan "bit" kavramının (yani "1" ve "0" değerleri alabilen birimlerin) kuantum mekaniğindeki karşılığıdır. Klasik fizikte olanın aksine bu bitler "sadece 1" veya "sadece 0" değerlerinden birini almak zorunda değildir; "1 ve 0" değerini eş zamanlı olarak alabilir ve bir ölçüm yapılana kadar o qubit, "hem 1 hem 0; ne 1 ne de 0" gibi, klasik dünyadan aşina olmadığımız bir durumdadır.

Tek qubit kuantum ışınlama protokolünün temel işleyişini açıklamak için üç arkadaş hayal edelim: İsimleri; Emir, Yunus ve Zeynep olsun. Emir'in elinde tek qubitlik bir kuantum durumu bulunsun ve bu durumu Yunus'a ışınlamak istesin. Bunun için Zeynep, dolanık iki parçacık oluşturup birini Emir'e diğerini Yunus'a göndermelidir. Emir, elindeki durum ve Zeynep'in gönderdiği durum üzerinde gerçekleştireceği bazı işlemler sonucunda klasik kanal ile Yunus'a iki bit iletir. Yunus, Emir'den aldığı bu aldığı bitlere göre önceden Zeynep'ten gönderilmiş parçacık üzerinde işlem yapar. Bunun sonucunda:

1. Emir'in elindeki kuantum durumu Emir'in gözlemi ile yok olmuş,
2. Yunus'un yeniden oluşturması ile Yunus'un bulunduğu konumda yeniden var olmuş

ve böylece kuantum ışınlaması gerçekleştirilmiş olacaktır.

Emir'in elindeki durum aşağıdaki gibi ifade edilsin:

$|\psi ⟩=(\begin{array}{c}{\psi }_0\\ {\psi }_1\end{array})$

Zeynep'in oluşturacağı dolaşık durumlar, Bell durumlarından olacaktır. Bell durumları (veya EPR çiftleri), iki qubit arasında oluşabilecek en basit kuantum dolanıklığı temsil edilen spesifik kuantum durumlarıdır.^[3] Tek iki qubit süperpozisyonunda 4 farklı Bell durumu vardır:

$|B_0⟩=\frac{|00⟩+|11⟩}{\sqrt{2}}$

$|B_1⟩=\frac{|01⟩+|10⟩}{\sqrt{2}}$

$|B_2⟩=\frac{|01⟩-|10⟩}{\sqrt{2}}$

$|B_3⟩=\frac{|00⟩-|11⟩}{\sqrt{2}}$

Bunlardan ilkini kullanacağız (diğerleri de kullanılabilir ama işlem kolaylığı için tercih edilmiştir). Emir'in X noktasında olduğu kabul edilsin. Bu durumda qubitlerin dağılımı aşağıdaki gibi olur:

$|B⟩=\frac{|0{⟩}_X\otimes |0{⟩}_Y+|1{⟩}_X\otimes |1{⟩}_Y}{\sqrt{2}}$

Buradan yola çıkarak, genel olarak aşağıdaki gibi bir devre çizmek mümkündür:

Böylece Emir'in gerçekleştireceği işlemler aşağıdaki gibi olur:

$|\psi ⟩\stackrel{CNOT}{\to }|{\psi }^{\prime }⟩\stackrel{H}{\to }|\varphi ⟩$

$\varphi$'nin gözlemlenmesi ile elde edilecek iki bit Yunus'a gönderilir.

$\psi$ durumunun Zeynep'in durumu ile tensör çarpımı:

$|\psi ⟩=(\begin{array}{c}{\psi }_0\\ {\psi }_1\end{array})={\psi }_0|0⟩+{\psi }_1|1⟩\stackrel{\otimes |B⟩}{\to }\frac{1}{\sqrt{2}}{\psi }_0|000⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}{\psi }_1|100⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}{\psi }_0|011⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}{\psi }_1|111⟩=|\psi ⟩\otimes |B⟩$

Durumun CNOT kapısından geçirilmesi:

$\frac{1}{\sqrt{2}}{\psi }_0|000⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}{\psi }_1|100⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}{\psi }_0|011⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}{\psi }_1|111⟩\stackrel{CNOT}{\to }\frac{1}{\sqrt{2}}{\psi }_0|000⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}{\psi }_1|110⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}{\psi }_0|011⟩+\frac{1}{\sqrt{2}}{\psi }_1|101⟩=|{\psi }^{\prime }⟩$

Son olarak Hadamard kapısından geçirilmesi:

$H|{\psi }^{\prime }⟩=\frac{1}{2}|00⟩\otimes ({\psi }_0|0⟩+{\psi }_1|1⟩)+\frac{1}{2}|01⟩\otimes ({\psi }_0|1⟩+{\psi }_1|0⟩)+\frac{1}{2}|10⟩\otimes ({\psi }_0|0⟩-{\psi }_1|1⟩)+\frac{1}{2}|11⟩\otimes ({\psi }_0|1⟩-{\psi }_1|0⟩)=|\varphi ⟩$

Böylece gözlem yapıldığı ve bitlerin Yunus'a gönderilmesi sonucu Yunus'un uygulaması gereken işlemler belirlenmiş olur. Buradan, şu sonuca varılır:

$|\varphi ⟩=\frac{1}{2}|00{⟩}_X\otimes |\psi {⟩}_Y+\frac{1}{2}|01{⟩}_X\otimes ({\sigma }_1|\psi {⟩}_Y)+\frac{1}{2}|10{⟩}_X\otimes ({\sigma }_z|\psi {⟩}_Y)+\frac{1}{2}|11{⟩}_X\otimes (i{\sigma }_y|\psi {⟩}_Y)$

Yunus'a gelebilecek dört olası bit çifti vardır: 00, 01, 10, 11. 00 gelmesi durumunda birim matris, 01 gelmesi durumunda Pauli x-spin matrisi, 10 gelmesi durumunda Pauli z-spin matrisi, 11 gelmesi durumunda Pauli y-spin matrisi uygulanmalıdır.

İki Qubit Kuantum Işınlama Protokolü

İki qubit ışınlamasında, tek qubite kıyasla sadece iki fark vardır:^{[4], [5]} ışınlanacak durumun iki qubitli olması ve kuantum mantık kapılarının 4x4 matrisler olarak kurgulanması.

İki qubitlik ışınlanacak durum aşağıdaki gibi yazılabilir:

$|\psi ⟩={\psi }_0|00⟩+{\psi }_1|01⟩+{\psi }_2|10⟩+{\psi }_3|11⟩$

Zeynep'in dağıtacağı qubitler de iki qubit için yazılmış Bell durumlarından başka bir şey olmayacaktır. Bu durumda dört grupta toparlanabilecek on altı Bell durumu olacaktır.

İlk grup:

$|B_0⟩=\frac{|0000⟩+|1111⟩+|0101⟩+|1010⟩}{2}$

$|B_1⟩=\frac{|0000⟩-|1111⟩+|0101⟩-|1010⟩}{2}$

$|B_2⟩=\frac{|0000⟩-|1111⟩-|0101⟩+|1010⟩}{2}$

$|B_3⟩=\frac{|0000⟩+|1111⟩-|0101⟩-|1010⟩}{2}$

İkinci grup:

$|B_4⟩=\frac{|0001⟩+|0100⟩+|1011⟩+|1110⟩}{2}$

$|B_5⟩=\frac{|0001⟩+|0100⟩-|1011⟩-|1110⟩}{2}$

$|B_6⟩=\frac{|0001⟩-|0100⟩+|1011⟩-|1110⟩}{2}$

$|B_7⟩=\frac{|0001⟩-|0100⟩-|1011⟩+|1110⟩}{2}$

Üçüncü grup:

$|B_8⟩=\frac{|0010⟩+|0111⟩+|1000⟩+|1101⟩}{2}$

$|B_9⟩=\frac{|0010⟩+|0111⟩-|1000⟩-|1101⟩}{2}$

$|B_{10}⟩=\frac{|0010⟩-|0111⟩+|1000⟩-|1101⟩}{2}$

$|B_{11}⟩=\frac{|0010⟩-|0111⟩-|1000⟩+|1101⟩}{2}$

Dördüncü grup:

$|B_{12}⟩=\frac{|0011⟩+|0110⟩+|1001⟩+|1100⟩}{2}$

$|B_{13}⟩=\frac{|0011⟩+|0110⟩-|1001⟩-|1100⟩}{2}$

$|B_{14}⟩=\frac{|0011⟩-|0110⟩+|1001⟩-|1100⟩}{2}$

$|B_{15}⟩=\frac{|0011⟩-|0110⟩-|1001⟩+|1100⟩}{2}$

Bunlardan ilkini kullanacağız (diğerleri de kullanılabilir ama işlem kolaylığı için tercih edilmiştir). Emir'in X noktasında olduğu kabul edilsin. Bu durumda qubitlerin dağılımı aşağıdaki gibi olur.

$|B_0⟩=\frac{|00{⟩}_X\otimes |00{⟩}_Y+|11{⟩}_X\otimes |11{⟩}_Y+|01{⟩}_X\otimes |01{⟩}_Y+|10{⟩}_X\otimes |10{⟩}_Y}{2}$

Böylece ket vektörleri iki qubit için yazılabilir. Bunun dışında Hadamard kapısının genişletilmesi gerekir. Hadamard kapısının yapısı gereği bu sağlanır.

$H_{2^N}=H\otimes H_{2^{N-1}}$

$H_4=H_2\otimes H_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)\otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}& \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\\ \begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}& \begin{array}{cc}-1& -1\\ -1& 1\end{array}\end{array}\right)$

Genelleştirilmiş Bell ölçümlerinin yapılması sonucunda on altı olası dörtlü bit grubu oluşur:

• 0000 gelmesi durumunda dört boyutlu birim matris,
• 0001 gelmesi durumunda $I_2\otimes {\sigma }_x$,
• 0010 gelmesi durumunda ${\sigma }_x\otimes I_2$,
• 0011 gelmesi durumunda ${\sigma }_x\otimes {\sigma }_x$ matrisleri uygulanır.

On altı sonuç için de farklı sonuçlar elde edilir ama şimdi sadece ilk grup için gösterdik.

Basitleştirilmiş Açıklama

Görülebileceği gibi kuantum ışınlama, bilimkurgu filmlerinde imâ edildiği gibi "bir cismin en küçük parçalarına ayrılması ve sonra tekrar birleştirilmesi" gibi bir süreç değildir! Bu işleyişte herhangi bir şekilde doğrudan bir cisimden bile bahsedilmemektedir. Burada var olan bir kuantum bilgisinin bir noktadan diğer noktaya hareket ettirilmeden aktarılmasıdır. 

Burada, konunun daha iyi anlaşılması için bir benzetim yapmak mümkün olabilir: Emir'in bir cam biblosu olsun ve Yunus'a göndermek istesin; ama cam biblo, hareket ettirilmesi durumunda parçalanıyor olsun. Biblo, Yunus'a nasıl ulaştırılabilir?

Kuantum ışınlama devresini bu benzeştirmeye uyarlayacak olursak yapılan işlem, bazı hazırlıklar yapılarak bibloyu bilerek kırmaktır. Öncesine yapılan hazırlıklar nedeniyle kırıldığı durumdaki biblonun parçalarının etrafa saçılışına göre biblo Yunus tarafından birebir sentezlenebilecektir. Böylece biblo sağ salim aslında hareket etmeden "taşınmış" olur.

Fark edileceği üzere aslında taşınan biblo değil, kırılırken etrafa saçılışına ait bilgilerdir. Dolayısıyla öncesinde yapılacak hazırlıklar da kırılış anındaki verilere yönelik olacaktır.

Bu hazırlıklar, ışınlama protokolünde Bell ölçümleri ve Bell durumları ile tensör çarpımıdır. Bunu (Bell durumları ile tensör çarpımını) da bir "canlı yayın"a benzetebiliriz. Zeynep'in yaptığı, bir canlı yayın başlatmak olacaktır. Emir ise canlı yayında gönderilecek bilgilere yönelik bilgi almak için bibloya bazı sensörler yerleştirecektir.

Bu sensörlerden bilgi çekme işlemi, benzetimde CNOT kapısını temsil etmektedir. CNOT (yani "Controlled-Not") kapısı, ilk qubiti kontrol qubiti olarak ve ikinci qubiti hedef qubit olarak kullanılır ve Emir'in elindeki durumun özelliklerinin, Emir'in durumu değiştirilmeden gerektiği ölçüde (kontrol qubitinin 0 gelmesi durumunda etkilemeyerek, kontrol qubitinin 1 gelmesi durumunda hedef qubitin durumunu değiştirerek) Zeynep tarafından gönderilmiş qubite işenmesini sağlar. Sonuçta ışınlamada bilgi aktarımı Zeynep'in gönderdiği durumların kuantum dolanıklılığı ile sağlanacaktır. Bu çerçevede aktarılmak istenen durumun bu aracı duruma aktarılması kolayca anlaşılabilir.

Ancak CNOT, kendi başına yeterli olmayacaktır. Bunun nedeni durumun kuantum süperpozisyonunda olması ve durumu ışınlamak isteyenin de durumun ne olduğunu bilmiyor olmasıdır. Bu yüzden gözlemden önce sistemi kontrol qubitine göre süperpozisyona sokacak bir işlem (Hadamard kapısı) gerçekleştirilmelidir.

Sistem karmaşıklaştıkça (qubit sayısı arttıkça) olası gönderilecek bitlerin sayısı ve buna bağlı olarak Yunus'un yapması gereken olası işlemlerin sayısı artacaktır. Daha büyük qubit sayıları için gerekli işlemlerin hesaplanması için bilgisayarlar kullanılabilir veya daha genel olarak rastgele sayıda qubitte ışınlama için genelleştirilmiş kuantum ışınlaması algoritmaları kullanılabilir.^[6]