Halley Metodu ile Astronomik Birim Hesabı

Dünyada bilinen ilk üniversiteyi (günümüzde bildiğimiz anlamda bir üniversite değildi bu) Platon kurmuş ve kesin olmayan bir bilgiye göre girişine şöyle yazdırmıştı: “Ageometretos medeis eisito!”. Türkçe karşılığı “Geometri bilmeyen giremez!”. Böyle bir söz yazılı mıydı değil miydi bilinmez ama bu anlayışın antik yunan filozoflarında ve sonrası bilim insanlarında kabul gördüğü bir gerçek. Çünkü kendisinden önce ve sonra gelen filozoflar mantığın önemini iyice kavramış, düşünce sistemlerinin temeline oturtmuşlar ve bu sayede modern bilimin temelini atmışlardı.

Pisagor,  Euclid, Eratosthenes geometriyi kullanarak ellerindeki kısıtlı imkânlara rağmen harikalar yaratan bu matematikçilere yalnızca birkaç örnektir.

Gelelim geometriyle dönemin teknoloji adına zor şartlarına meydan okuyan bir başka bilim insanına, Edmond Halley. Halley’i en çok adının verildiği kuyrukluyıldız ile tanıyoruz. Ancak tabii ki kendisi bundan çok daha fazlası. Kendisinin güney yıldızlarından Ay’ın çekim alanına, Dünya’nın manyetik alanından geometriye birçok konuda çalışması bulunuyor. Bunların hepsinden tek bir yazıda bahsetmek mümkün olmadığından, eski Yunan filozoflarından bu yana birçok insanın merak ettiği astronomik birimin (AB) yani Dünya ile Güneş arasındaki uzaklığın nasıl hesaplanabileceğine dair metodundan bahsedeceğiz (bkz. astronomik birim).

Halley metodu ile astronomik birim, yani Güneş ile Dünya arasındaki mesafenin hesaplanması aslında oldukça basit bir gözleme ve sıradan trigonometrik hesaplara dayanıyor. Bunun için öncelikle, yöntemimizin ne olduğunu inceleyip, ardından hesabımızı kuralım.

Astronomik Birim Nasıl Hesaplanır?

Bu metot Venüs’ün Güneş önünden geçerken, Dünya’nın farklı yerlerinden aynı anda gözlemlenmesine dayanıyor (bkz. paralaks yöntemi). Şekilde görüldüğü gibi, kuzeyden ve güneyden aynı olayı gözlemleyen iki gözlemci, Venüs’ü farklı açılardan görecek ve bu nedenle Venüs’ün güneş üzerinden geçtiği süreyi ve Güneş üzerinde kat ettiği yolu farklı ölçeceklerdir.

Bu bilgiye dayanarak 1 AB’yi metre cinsinden hesaplayabilmek için trigonometriden ve Kepler yasalarından yararlanmak gerekiyor. Kepler’in üçüncü yasasına göre, gezegenlerin yörünge periyodunun karesinin, gezegenin yörüngesinin yarı büyük eksen uzunluğunun küpüne oranı sabittir. Bu da bizim, gezegenlerin Güneş’e olan uzaklıklarını göreceli olarak bilmemizi sağlar. Örneğin Venüs’ün Güneş’e uzaklığı, Dünyanın Güneş’e uzaklığının 0.72 katıdır.

Bu bilgiyi, iki gezegenden de Güneş'i kapsayan bir üçgen çizerek, üçgenleri oranlama için kullanabiliriz. Tabanları aynı olan (Güneş'in çapı) bu iki üçgenlerdeki özdeşliği kullanabiliriz. Yüksek oranlarını biliyor olacağız (0.72).

Aşağıdaki görsellerin gerçek ölçeğe göre olmadığına dikkat ediniz.

Şimdi Kepler’in üçüncü yasasından yola çıkarak V açısının, D açısının 0.72’ye bölümüne eşit olduğu sonucuna varabiliriz.

1 AB’yi hesaplayabilmek için ayrıca A ve B gözlemcileri arasındaki mesafeyi de bilmemiz gerekiyor. İşte burada da devreye basit bir trigonometrik hesap giriyor.

Halley Metodu Hesabı

O zaman diyebiliriz ki:

Buradaki gibi küçük açılar söz konusu olduğunda tan(1/2 A) = 1/2 tan(A) demek mümkündür. Öyleyse,

olur.

Burada V açısı gözlemsel olarak ölçülebilir bir açıdır, keza Dünya üzerindeki A ve B noktası arasındaki mesafeyi de ölçebiliriz. Bu nedenle Dünya ile Venüs arasındaki mesafe bu şekilde hesaplanabilir.

Fakat ilgilendiğimiz şey Dünya ile Venüs arasındaki mesafe değildir, Dünya ile Güneş arasındaki mesafedir. Bir şekilde bunu dönüştürmemiz gerekir. Yine Kepler’in üçüncü yasasından yardım alarak Dünya-Venüs arası mesafenin, Dünya-Güneş arasındakinin 0.28 katı olduğunu bulabiliriz. Dünya Güneş arası mesafeye 1 AB demiş ve Venüs ile Güneş arasındaki mesafeyi 0.72 AB olarak bulmuştuk. Dolayısıyla Dünya ile Venüs arasındaki mesafe 1-0.72=0.28 AB olur.

Son olarak asıl aradığımız uzaklık, yani Dünya ile Güneş arası mesafeyi ise;

olarak, Dünya ile Venüs arası önceden ölçülen mesafe yerine konulduğunda, rahatlıkla bulunur.

Halley bu metodu geliştirip 1742 yılında yaşamını yitirdi, yani 1761 yılında gerçekleşecek olan Venüs geçişini göremeden...

Hazırlayan: Arya Elçi
Editör: Ögetay Kayalı

Referanslar:
1.Exploratorium, "The rarest eclipse transit of venus"
<https://www.exploratorium.edu/venus/question4.html>

Kapak Görseli
Diagram from Edmund Halley 1678 paper to the Royal Society