Halkaların Üzerinde Bilardo Oynamak

Gece yarısı, loş bir barda bilardo oynadığımızda fiziksel gerçekliğin oyunda bir rolü olduğunu biliriz. Hareket eden toplar, sürtünmeye maruz kalır ve sonunda durur. Masa yamuk ve toplar çukurlu olabilir. Ortamın havası da topu istediğimiz yere atma becerimizi etkileyebilir.

Matematiksel bilardo, tüm bu fiziksel zorlukları yok sayar. Toplar, sürtünme kuvvetine maruz kalmayan noktalardır ve bu sebeple sonsuza kadar hareket etmeye devam eder. Masanın bir kenarına çarptığında gerçek toplar gibi geldiği tarafa aynı açıyla sekerek geri döner. Matematiksel bir bilardo masasında topların düşebileceği cepler yoktur. Matematikçiler, masada uzun vadede neler olacağıyla ve sonsuza dek devam eden yörüngelerle ilgilendikleri için sürtünmede olduğu gibi topun bir köşeye gitme durumunu da göz ardı eder.

Çokgenler Üzerinde Bilardo

Eşkenar üçgen bir bilardo masasını düşünelim ve bilardo topunun üçgenin bir köşesinden yuvarlanmaya başladığını varsayalım. Top kaç kez sekerek başladığı köşeye geri döner? Sonsuza kadar hareket ettiğini varsaydığımız için periyodunu tamamlayıp başladığı yere geri döneceği açı nedir?

Soruları cevaplamamız için bilardo masasını açılımlarıyla düzlem üzerinde mozaiklememiz gerekir.

Cornell Department of Mathematics

Kırmızı çizgi, koordinat düzleminde orijinden yani A noktasından başlayarak bir dizi sekme sonrası başladığı nokta olan A noktasına dönen topu temsil etmektedir. Kırmızı çizginin geçtiği üçgen kenarı sayısı, topun üçgen masada sekme sayısını temsil eder. Görüldüğü gibi oluşturulan mozaiğe göre topun sekme sayısı 7'dir. Yani eşkenar üçgen bir bilardo masasında A noktasından atılan top, 7 kez kenarlardan sekerek başladığı A noktasına geri döner.

Örneğin dikdörtgen bir masa üzerinde top, masanın bir kenarına 90 derecelik bir açıyla çarparsa geldiği yoldan geri dönerek yine 90 dereceyle seker ve bu iki zıt nokta arasında sonsuza dek ileri geri giden bir periyodik hareketi ortaya çıkarır. Aynı masanın dört kenarını kullanarak da periyodik bir hareket elde edebiliriz.

Eşkenar üçgen masada olduğu gibi kare, düzgün beşgen, düzgün altıgen, düzgün yedigen vb. üzerinde de matematik bilardosu oynanabilir ve olası iki davranışla karşılaşılır. Bir topun yörüngesi ya periyodiktir ya da yoğundur. Topun yörüngesinin yoğun olması, masadaki her noktaya yaklaşması olarak açıklanabilir. Bu durumu "ya hep ya hiç" olarak tanımlayabiliriz.

Plus Maths

Gerçek hayattaki oyunlarda topun periyodik hareket etmesini sağlamak zordur. Çoğu zaman topun izleyeceği yörünge, yeterince zaman verildiğinde tam bir kaos ortaya çıkartır. Periyodik olmayan bu yoğun yörünge tüm tabloyu dolduracak ve her noktaya keyfi olarak yaklaşacaktır (köşeye sıkışan yörüngeleri göz ardı ediyoruz.).

Peki "ya hep ya hiç" sonucu her şekil için geçerli midir? Özel olmayan genel dışbükey çokgenlerde veya içbükey çokgenlerde bu sonuç gözlemlenebilir mi? 1983 yılında matematikçi Gregory Galperin, bunun mümkün olmadığını kanıtlamıştır. İstediğimiz sayıda kenarı olan bir dışbükey çokgende sonuç başarısız olabilmektedir. Aynı şey içbükey şekiller için de geçerlidir. Bu durumda "ya hep ya hiç" kuralının belli şekiller için geçerli olduğu ortaya çıkmıştır.

Jeodezi ve Toruslar

Hangi başlangıç yönünün bize hangi davranışı vereceğini nasıl bilebiliriz? Matematikçiler bu soruya cevap bulabilmek için şöyle bir yöntem geliştirmişlerdir: Masayı topun hiçbir şeye çarpmadan düz çizgiler boyunca hareket ettiği bir yüzeye dönüştürmek. Bunun için belirlenen şekil içindeki topun hareketleri değil, masanın kendisi yansıtılmaktadır.

En basit şekle sahip olan bir masayla, kareyle başlayalım. Karenin köşelerini A, B, C ve D olarak adlandıralım. Şimdi topun CD kenarına yakın bir yerden, yörüngesinin çarptığı kenarla $\alpha$ açısı yapacak şekilde atıldığını varsayalım.

Karemizi BC kenarına simetrik olacak şekilde yansıtalım ve topun yörüngesini masanın yansıyan kopyasında devam ettirelim (makalenin başında üçgenlerle oluşturduğumuz mozaiği hatırlayalım).

Topumuz bir periyoda girene kadar (ilk karedeki yörüngeye geri döndüğümüzde) bir sonraki duvara çarptığında da aynısını yapalım. Bu bize düz bir çizgi verecektir ve jeodezi kavramına yakınlaştıracaktır. Topu bu karenin kenarlarına tekrar tekrar yansıttığımızda topun yörüngesini yakalamak için sadece dört kare gerektiğini görürüz. Yani bir noktadan sonra üretilen tüm kopyalar bu dört kareden oluşan kopyayla aynı olacaktır.

Buradaki dört karenin oluşturduğu alana S diyelim. S'teki yörünge S'i sağ taraftan terk ettiğinde S'in sol tarafından tekrar ortaya çıkmaktadır. Benzer şekilde yörünge S'i üst taraftan terk ettiğinde S'in altından ortaya çıkar. O halde bu S düzlemiyle yörüngeyi koruyacak şekilde bir yapı oluşturulabilir mi? Bu karenin üst kenarını alt kenara ve sonrasında sol kenarını sağ kenara yapıştırırsak matematikte torus olarak bilinen bir halka elde ederiz. Topun yörüngesi ise torus üzerinde sürekli bir çizgiye dönüşür. Torus üzerindeki bu eğrilere jeodezik denir. Jeodezik, matematiksel anlamda en basit olarak iki nokta arasındaki en kısa çizgi şeklinde tanımlanır.^[1]

Bu jeodezikler torus etrafında birkaç kez dolaşıp başladığı yere geri dönerek kapalı bir döngü oluşturabilir. Kapalı bir jeodezik başladığı yerde bittiği için periyodik bir yörüngeye karşılık gelir.

ChatGPT 4o

Herhangi bir jeodezik, S karesi üzerindeki paralel yani aynı eğime sahip doğru parçalarına karşılık gelir. Bu noktadan sonra torus üzerindeki jeodezik orbitleri daha matematiksel olarak ifade edeceğiz.

$f$, torusun özdeşliğe izotopik homeomorfizmi olsun ve sıfırdan farklı bir dönüş vektörü$(p/q,r/q)$'ya sahip periyodik bir yörüngenin var olduğunu varsayalım; bu durumda $f$, aynı dönüş vektörüne sahip topolojik olarak monoton bir periyodik yörüngeye sahiptir. Bu teorem, bize torus üzerinde topolojik olarak monoton periyodik yörüngelerin varlığını gösterir.

Harvard University

Diyelim ki deliklere göre $g^m:A_k\to A_k$ haritalarının hepsinin sonlu dereceden olduğunu varsayalım. Tüm bu haritaların birbirine eşlenik olduğunu görmek kolaydır ve bu nedenle eğer biri sonlu dereceden ise o zaman hepsi sonlu derecedendir. Halka üzerindeki tüm sonlu düzen dönüşümleri eşlenik olduğundan, $g^q$ fonksiyonunun her halka içindeki özdeşlik olduğu sonucunu elde ederiz.^[2]

Çift Torus Yapımı

Masamız, köşe açıları $\pi$/8, $\pi$/2 ve 3$\pi$/8 olan bir üçgense yansıma işlemi bize 16 kopyasından oluşan ve hepsi $\pi$/8 köşesinde buluşan bir düzgün sekizgen verecektir. Karşılıklı kenarları yapıştırdığımızda içinde iki delik olan bir torus elde ederiz.

Plus Maths

Yansıma süreci bize bu sekizgenin zıt kenarlarının birbirine yapıştırılması gerektiğini söyler. Bunun için önce sekizgenin köşeleri kesilmiş bir kare olduğunu varsayalım.

Sekizgenin oturduğu karenin karşılıklı kenarlarını yapıştırırsak sıradan bir torus (simit) elde ederiz. Sekizgen karenin köşelerinin kesilmesiyle oluştuğu için sekizgenin karşılıklı A ve B kenarlarını yapıştırdığımızda elde ettiğimiz şekil, içinde eşkenar dörtgen şekilde bir boşluk bulunan ve bu boşluk kesilen köşelere karşılık gelen bir simittir.

Şimdi eşkenar dörtgen şeklindeki deliğin karşılıklı D kenarlarını yapıştırırsak bu, sınırları C kenarına denk gelen iki yeni boşluk oluşturur.

Bu iki sınırı birbirine yapıştırmak torusu büker ve iki delikli bir torus olmak üzere birleştirir. İşte çift torus!

Plus Maths

Sonuç

Matematik araştırmalarında matematiksel bilardo, incelenmesi en ilginç konulardan biri haline gelmiştir. Gerçek bilardo söz konusu olduğunda, onu eğlenceli kılan şey muhtemelen kaostur. Matematikçiler ise bilardoyu hoşlandıkları için oynamazlar; oyunun varyasyonları, doğada meydana gelen dinamik sistemler için modellerdir. Bu kaotik sistemler üzerine Corinna Ulcigrai şöyle demiştir:

Ergodiklik, kaotik sistemlerin çok önemli bir özelliğidir. Bu, fizikçi Ludwig Boldzmann'ın birçok dinamik sistemin ergodik olduğunu öne sürdüğü 19. yüzyıla kadar uzanır. O kadar kaotiktirler ki bir noktanın yörüngesine baktığınızda, teorik olarak izin verilen, tüm olasılıkları bir anlamda keşfedersiniz.