Dünya'nın Bir Tarafından Diğer Tarafına Kadar ''Düşmek'' Ne Kadar Sürer?

Dünya’nın merkezinden geçen bir tünel kazıp atladığınızı ve kendinizi yer çekimine bıraktığınızı düşünün. Gezegenin diğer tarafına ulaşmanız ne kadar zaman alırdı? Onlarca yıldır, fizik öğrencilerinden bu zamanı hesaplamaları istenir ve doğru cevabın 42 dakika olduğu söylenirdi. Şimdi ise daha gerçekçi bir analizle bu tahminin 4 dakika fazla olduğu tespit edildi.

“İşte en çok sevdiğimiz akademik makaleler bu tip makaleler” diyor Dickinson College’da fizikçi olan ve Amerikan Fizik Öğretmenleri Derneğinin yayımladığı Amerikan Fizik Dergisi’nin editörlüğünü yapan David Jackson. “Derginin Mart sayısında verilen yeni hesaplama, sadece Dünya’nın yapısı hakkında daha fazla ayrıntı katmıyor, aynı zamanda oldukça basit bir varsayımı ilkel başka bir varsayımla değiştirdiğimizde, daha doğru bir cevaba nasıl ulaşabildiğimizi de açıklıyor. Bu da üzerinde düşünmeyi oldukça eğlenceli kılıyor” diye ekliyor.

Yer çekimi tüneli problemi fiziğe giriş derslerinin esas konusunu oluşturuyor. Bunun sebebi Isaac Newton’un yer çekimi yasasının çarpıcı özelliklerinin yanında, yaygın ve çok önemli bir döngüsel hareket türünü de göstermesinde yatıyor. Bunu çözmek için öğrencilerin, bir nesnenin üzerindeki yerçekimi kuvvetinin bu tünelde nasıl değiştiğini hesaplamaları gerekiyor.

Gerçekçi olmayan varsayım bu noktada devreye giriyor. Öğrencilerin, Dünya’nın yoğunluğunun metreküp başına 5500 kg olduğu ve bu yoğunluğun bir bilardo topu gibi Dünya’nın her yerinde eşit olduğu varsayımlarında bulunmaları gerekiyor. Bu durumda, Dünya’nın merkezine doğru çekim uygulayan kuvvet, merkeze olan uzaklıkla orantılı olarak değişir. Tünel boyunca inen nesnenin olduğu yerden daha düşük irtifadaki kütle miktarı azalır, nesneden daha yüksek irtifadaki kütlenin ise nesne üzerinde etkisi yoktur. Bu hesaplamaları öğrenciler kabuk teoremi denen matematik teoremine dayandırarak yaparlar.

Merkeze doğru çekim uygulayan kuvvet, merkeze olan uzaklıkla orantılı olarak değiştiği için, bir sarkaçtaki yaya bağlı kütlenin ileri geri sallanması gibi, nesne de tünel içinde gidip gelir. Yerçekimi tüneli problemi tam da bu basit harmonik hareketi ürettiği için, eğitim amaçlı kullanılmıştır.

Gerçekte, Dünya muntazam bir yoğunluk dağılımına sahip değildir. Önce az yoğun bir kabuk, sonra manto, en son da daha yoğun bir çekirdekten oluşur. Kanada’daki McGill Üniversitesinde eğitim görmekte olan fizik öğrencisi Alexander Klotz, daha gerçekçi bir analizin nasıl bir sonuç çıkaracağı üzerine düşünmeye başlamış. Klotz neden bu problem üzerinde direttiği konusunda bir fikri olmadığını söylüyor. Reddit adlı internet sitesinde fizikle ilgili sorular cevaplamaya başlayan Klotz: “Bir süredir sosyal eğitimle ilgileniyorum ve bu problem en sık karşılaştığım soru” diyor.

Klotz Dünya üzerinde daha gerçekçi bir kütle dağılımı elde etmek için sismik verilere dayanan Başlangıç Referans Yer Modeli’nden yararlanmış. Bu model Dünya’nın yoğunluğunun izini sürer. Bu yoğunluk ise yüzeyde metreküp başına 1000 kg’la, çekirdekte metreküp başına 13000 kg arasında değişiklik gösterir. Problemi sayısal olarak çözen Klotz, bir objenin tünelden düşme süresinin 42 dakika değil, 38 dakika 11 saniye olduğunu hesaplamış.

Yer çekimi kuvvetinin sabit ve yüzeydeki değere eşit olduğu varsayımını yaptığında ise bu değeri tam 38 dakika olarak bulmuş. Böyle bir sabit kuvvet, farklı bir yoğunluk dağılımı gerektirir. Dünya’nın merkezine olan uzaklık azaldıkça, bu kuvvet artmalıdır. Böylece merkeze olan uzaklık yarıya indiğinde yoğunluk iki katına çıkar. Merkeze ulaştığında da sonsuz değerini alır. (Gerçek dağılımda merkeze ulaşıldığında yoğunluk 0 olur.)

Peki neden sabit kuvvet tahmini bu kadar iyi çalışır? Dünya’nın kütle dağılımı yüzünden yer çekimi kuvveti kabaca sabit kalır (Dış kabukta aşağı doğru çok az miktarda artar). Buradan sonra orijinal problemdeki gibi uzaklıkla birlikte düşer. Fakat bu noktaya geldiğinde nesne öyle hızlı gitmektedir ki sabit kuvvet tahmininin yanlış olduğu çekirdekten çok az zamanda ayrılır. Kısacası yapılan tahmin yeteri kadar iyidir.

Jackson “Bu yeni açıklamayı sevindirici kılan bu şaşırtıcı açıklamadır” diyor. “Klasik problem olduğu gibi kalıyor. Fakat bu, klasik probleme oldukça iyi bir katkıdır.” Klotz ise son söz olarak “Bu çalışmadaki tecrübelerim gösteriyor ki, bu bilim çağında, devasa bir keşif yapmak ve katkıyı artırmak doğru fikirle mümkün olabilir” diyor.