Doğada Altıgen Geometri Neden Bu Kadar Yaygın?

Dışarıya çıkıp biraz dolaşacak olursanız, doğada insan yapımı olmayan bol miktarda geometrik şekil olduğunu fark edersiniz: Salyangoz kabuğundaki spiral geometri, sahillerdeki fraktal geometri, denizyıldızlarının radyal simetrisi veya bir çiçeğin taçyapraklarının simetrisi buna sadece birkaç örnektir. Özellikle de altıgenler doğada sıklıkla görülür: Arı kovanları bunun en yaygın örneğidir; ancak kesinlikle tek örnek bu değildir. Bazalt sütunlar ve böcek gözleri de altıgen desenler oluşturur. Ama altıgenleri bu kadar özel yapan nedir?

Kutsal geometriye inanan insanlar, doğadaki belirli geometrik şekillere güç ve önem yüklemekte ve bu geometrik şekilleri, Evren'de yüce bir güç tarafından kurulan düzenin bir kanıtı olarak görmektedir. Bu küçük grubun içerisindeki daha da küçük bir grup ise, özellikle altıgenlerle ilgilenmektedir. Günümüzde, altıgenlere hem sembolik hem de gerçek anlamda ibadet etmeye adanmış çevrimiçi topluluklar bulunmaktadır. Bu kişiler, Altıgen Farkındalığı Ayı gibi kutlamalar yapmakta ve gündelik yaşamlarında "transendantal hekzagonal gelecek" gibi uyduruk terimler kullanmaktadır.

Geometri dersini ruhsal bir aydınlanma olarak görmeyenler içinse bu, biraz aşırıya kaçmak olabilir. Her ne kadar bu yeni çağ inancının temelini oluşturan altıgenler, şaşırtıcı bir şekilde doğada birçok alanda gerçekten de karşımıza çıkıyor ve kimi özellikleri ciddi manada şaşırtıcı olsa da, bu özelliklerin büyük bir kısmını mistisizme başvurmaksızın, sadece lise düzeyinde bilimsel gerçekleri kullanarak açıklamak mümkündür.

Dört Bir Yanımız Altıgen!

Öncelikle, doğada altıgenleri gördüğümüz bazı yerlere bir bakış atalım.

Satürn'deki Altıgen Bulutlar

Satürn'ün kuzey kutbunda, sürekli olarak devam eden bir bulut oluşumu bulunmaktadır:

Ancak bu, sıradan bir bulut oluşumu değildir; bu oluşumun altıgen şeklinde olduğu oldukça açık bir şekilde gözlenebilmektedir. Üstelik bu altıgenin altı kenarının her biri Dünya'nın çapından daha uzundur! Aşağıdaki fotoğrafta bu altıgen bulutu net olarak görebilirsiniz:

Bilim insanları, bu altıgenin oluşumunu, bir kovadaki suyu yeterince hızlı karıştırdığınızda suyun altıgen şeklinde girdap oluşturmasına benzer bir akışkanlar mekaniği mekanizmasıyla izah etmektedir.^[1] Belli bir yüksekliğe kadar doldurulmuş bir kova suyu belli bir frekansta çok hızlı bir şekilde karıştırdığınızda, su üzerine binen kuvvetlerin dengelendiği noktada dairesel değil, altıgen bir girdap oluşmaktadır (farklı yükseklik ve karıştırma frekanslarıyla beşgen, kare, üçgen ve elips gibi farklı geometriler de elde etmek mümkündür):

Physical Review Letters

Jeolojik Altıgenler: Şeytan Kulesi ve Devler Kaldırımı

Dünya'ya geri dönecek olursak, Kaliforniya'da Şeytan Kulesi (İng: "Devil's Postpile") olarak bilinen yerde yüz bin yıldan daha az bir süre önce gerçekleşen bir lav akıntısı, garip kayaç yapılarının ortaya çıkmasına neden olmuştur. Aslında bu yapılar jeolojik olarak pek de sıradışı olmayan bazalt sütunlardan oluşmaktadır. Ancak bunları sıra dışı yapan şey, bu bölgede bulunan çoğu yapının altıgen şeklinde olmasıdır:

Buna benzer bir oluşum, Kuzey İrlanda kıyısındaki Devler Kaldırımı (Giant's Causeway) olarak bilinen yerde de bulunmaktadır:

Bu jeolojik kayaçların oluşum mekanizmaları da net olarak bilinmektedir: Bu kayaçları oluşturan volkan patlaması sonucu bölgeyi kaplayan lav, soğuduğu sıralarda büzüşmeye başlamıştır. Büzüşmeden dolayı kayaç üzerinde bir gerilim oluşmuştur ve bu da çatlamalara sebep olmuştur. Sonrasında bu çatlaklar kendi gerilimlerinin sebep olduğu baskıyla dağılıp, bu baskıyı boşaltmaya başlamışlardır. Kayaçlarda biriken gerilimi en fazla boşaltan kırılma açısı, bir altıgenin de bir iç açısının ölçüsü olan 120 derecedir. Bu alanı kaplayan lavın her yeri aynı hızda soğusaydı, bu bölgelerdeki şekillerin hepsi mükemmel düzgünlükte altıgen sütunlar olurdu.

Wikimedia Commons

En Meşhur Altıgenler: Arı Petekleri

Şüphesiz, en göz önünde olan doğal altıgen şekiller, arı yuvalarında, yani bal peteklerinde karşımıza çıkmaktadır. Dünyayı altıgen gözlerle gören arılar, altıgen oluşturma konusunda da olağanüstü derecede beceriklidirler.^[2] Arı kovanları gerçekten muhteşem yapılardır; ancak arıların peteklerinin şekli, zekice planlanmış bir mimariye değil, gerilim kuvvetlerine ve basit geometriye bağlıdır.

Bal peteklerinin altıgen biçiminde inşa edilmesinin nedeni, altıgenlerin belirli bir alanı en az malzeme kullanarak en verimli şekilde kullanmaya en uygun biçim olmasıdır. Herhangi bir alan altıgenler kullanılarak boşluksuz ve üst üste binmeler olmadan doldurulabilir. Üçgenler ve kareler yan yana/üst üste boşluksuz kullanılabilir; ancak çember ve beşgenlerde kimi boşluklar oluşacaktır. Altıgenler de birbirini tekrar eden üçgenlerden meydana geldiği için ortaya çıkardıkları mozaik, alan ya da enerji israfını en aza indirir.^[3] Bu konuda daha fazla bilgi için buradaki yazımızı okuyabilirsiniz.

Pixabay

Doğadaki Diğer Altıgenler

Altıgen, günlük hayatımızda diğer birçok alanda da rol oynamaktadır. Örneğin bazı kristaller ve kar tanelerinin (birçoğu) altıgen şeklindedir. Her ikisi de çıplak gözle altıgen şeklinde görünürler; çünkü mikroskobik ölçekteki moleküler yapıları altıgendir:

Organik bileşikler altıgenler ile gösterilir. Bunların çoğunun ana atom zincirinde karbon vardır. Bir karbon atomu başka bir karbon atomuyla bağ kurduğunda, bu bağın açısı 120'den azdır. Ancak altı adet karbon atomu bağ kurduğu zaman, bu açı 120'ye eşit olur. Sonuç olarak, altı adet bağ kurmuş karbonlar (örneğin benzen) mükemmel bir altıgen oluştururlar:

Wikimedia Commons

Altıgenleri Bu Kadar Stabil Yapan Ne?

Altıgen geometrinin stabilitesini anlayabilmek için, bir baloncuğu düşünmemiz gerekiyor: "Baloncuk" dediğimiz şey, içi hava dolu etrafı sıvı dolu olan bir gaz kesesidir. Bu gazın etrafındaki sıvı bir şampanyada veya gazlı içecekte olduğu gibi bolca sıvı da içerebilir, bir yüzeyde biriken sabun baloncukları örneğinde olduğu gibi çok ince bir tabaka şeklinde de olabilir.

Burada sorulması gereken, baloncukların neden herhangi bir şekle sahip olduğudur. Neden her biri düzensiz şekiller oluşturmaz da, kendi başlarınayken küresel bir şekle girerler? Bunun sebebi, sıvılar üzerindeki kuvvetlerdir: Sıvının iç kısımlarındaki moleküller üzerindeki kuvvetler oldukça dengelidir; bunlar tüm moleküllerin her yöne doğru az çok eşit miktarda çekilmesini sağlar. Ancak sıvının havayla kesişimindeki yüzeyde kalan moleküllerin üst kısmında (havaya bakan taraflarında) başka sıvı molekülleri olmadığı için ve hava da su moleküllerini diğer su molekülleri kadar güçlü bir şekilde çekmediği için, bu en üst katmandaki moleküller, sıvının içindeki moleküller kadar dengeli değildir. Bu, yüzey gerilimi adını verdiğimiz bir kuvvet oluşturur ve bu kuvvet, sıvıları yüzey alanını minimize edecek şekillere girmeye teşvik eder. Yüzey gerilimi hakkında daha fazla bilgiyi buradaki yazımızdan alabilirsiniz.

Yerçekimsiz (veya mikroyerçekimli) ortamlarda bu, baloncukların küresel bir şekle girmesi demektir. Küresel bir geometri, en küçük yüzey alanıyla en fazla hacmi doldurmayı sağlayan şekildir - ki bu, aynı zamanda en düşük enerji seviyesine karşılık gelir. Zaten bu nedenle bir yaprak üzerindeki su damlası da küresele-yakın bir şekle girer:

İnce bir sabun filmindeyse, sabun molekülleri arasındaki çekim kuvveti baloncukları durmaksızın sündürerek, yüzey gerilimi baloncuğun iç basıncı ile dengelenene kadar ufaltır. Sabun baloncuklarının kapladığı geometri ne kadar karmaşık olursa olsun, yüzey gerilimi ile iç basınç arasındaki bu dans, baloncukların yüzeyi en verimli geometride kaplayacağı noktaya kadar devam eder; çünkü bu baloncuklarda biriken enerji, en düşük enerji seviyelerine doğru aktıkça, beraberinde baloncuğun geometrisini de sürükleyerek onu yassılaştırır. Bu verimlilik, aynı zamanda en az malzeme kullanarak en fazla alanın kaplanmasına karşılık gelir.

Bunu, düz bir yüzeyde devrilen bir su bardağı dolusu suda da görebiliriz. Yüzeye dökülen su, 1 atom kalınlığında bir tabaka oluşturana dek yayılmaz. Yüzey gerilimi ile suyun yayılmasına neden olan kütleçekimi arasındaki denge sağlanana kadar su, yüzeye yayılır. O noktada, yüzey koşullarına bağlı olarak 1-2 milimetrelik bir kalınlığa ulaştığında artık dengelenir ve su molekülleri, yayıldıkları alanı (içinde bulundukları kuvvet ve enerji şartları altında) en verimli şekilde kaplayabilecekleri bir noktada dururlar.

Özetle, doğada altıgenlerin oluşması için, bu geometrinin özellikle tasarlanmasına veya ayarlanmasına gerek yoktur! Şekil verilebilir (esnek, İng: "malleable") çemberler kullanarak düz ve köşeli bir yüzeyi doldurmayı denerseniz göreceğiniz şudur: Bu esnek çemberler köşeli yüzeyi tam olarak doldurduğunda (ama birbirlerinin üzerine çıkacak kadar fazla sıkıştırılmadıklarında), birbirlerine dokundukları kenarlar boyunca sünerek, kendiliklerinden altıgen şekline girerler. Bunun basamakları aşağıda görülebilir:

Brilliant

Brilliant

Brilliant

Yukarıdaki silsileyi takip edecek olursanız, birbirine bastırılan dairelerin fiziksel kuvvetler altında geometrik olarak hep 120 derecelik açılarla paketlendiğini görürsünüz. İç açılarının her biri 120 derece olan tek bir geometrik şekil vardır:

SlidePlayer

Yani arıların pek bir bilgiye sahip olmasına gerek yoktur; bal petekleri, fiziksel kuvvetler altında, doğal olarak altıgen şekle dönüşmektedir. Çoğu arı, bal peteklerini birbirine o kadar yakın ve sık inşa eder ki, petekler fiziksel basınç altında eğilip bükülür ve düzenli bir dağılım sebebiyle altıgen ve birbirine bitişik bir örüntü halini alır.

Yani esasında dairesel olarak inşa edilen petekler, sık dokundukları için altıgen bir şekil alırlar. Bu olaya "kendi kendine organizasyon" (İng: "self-organization") denir ve yalnızca fizik yasaları altında bu şekil oluşabilmektedir. Bu durumu, sabun baloncuklarında görmek mümkündür:

Reddit

Gerçekten de, aşağıdaki hızlandırılmış videoda dev hornet türü bir arının inşa ettiği peteklerin arı tarafından özellikle altıgen yapılmadığı (hatta oldukça kaba bir yuvarlak şeklinde inşa edildiği), sadece komşu gözenekler sıkışık bir alana zorlandığında fiziksel kuvvetler altında altıgene dönüştüğü görülmektedir:

Sonuç

Görülebileceği gibi altıgenler, doğada en büyük gezegenlerden, mikroskobik bileşiklere kadar her yerde bulunmaktadır. Ancak bu bolluğun sebebi, altıgenlerin özel bir tarafı olmasından ziyade, doğada üretilebilen en basit şeklin bir çember olması ve esnek çemberlerin basınç altında kendiliğinden altıgene dönüşmesidir. Arıların peteklerinden gezegenlerdeki devasa bulutlara, jeolojik oluşumlardan kar tanelerine kadar her altıgen, tamamen bilimsel açıklamalarla aydınlatılabilmektedir.

Bilim insanları ve filozoflar, bir düzlemi en verimli şekilde dolduracak şeklin altıgen olduğunu bin yıllardır düşünmekteydi; ne var ki bu düşünce, ancak 1999'da Thomas C. Hales'in "Bal Peteği Varsayımı" (İng: "The Honeycomb Conjecture") makalesiyle kanıtlanabildi.^[4] Ayrıca 19. yüzyılın sonlarında, Belçikalı fizikçi Joseph Plateau, yukarıda anlattığımız şekilde oluşan 120 derecelik filmler üzerindeki kuvvetlerin hepsinin dengede olduğunu ve bu geometrinin mekanik olarak en kararlı düzenleme olduğunu hesaplamayı başardı.