Venüs Neden En Yakın Komşumuz Değil

Dünya'ya en yakın gezegen hangisidir? Bu soruyu astrolojiye ilgi duyan birine sorduğunuzda, muhtemelen alacağınız yanıt, cevabın gezegenlerin konumuna bağlı olarak değişebilmesine rağmen, en yakın yaklaşım olarak Venüs olduğudur. Gerçekten de NASA bile Venüs'ten "en yakın komşumuz" olarak bahseder. Peki arayışımızı en yakın yaklaşımdan ziyade, belirli periyodik zaman dilimleri içerisinde ortalama olarak en yakın yaklaşıma sahip gezegeni aramaya yönelik olarak değiştirseydik, gene aynı yargıda bulunabilir miydik?

Yörünge Dinamikleri İçin İlk Adımlar

İki gezegen arasındaki ortalama mesafeyi hesaplamak için, genellikle yörüngeler eş merkezli kabul edilip içteki yörüngenin ortalama çapından (bunu "r₁" olarak isimlendirelim) dıştaki yörüngenin ortalama yarıçapı ("r₂") çıkarılır. Bu bakış açısıyla, Dünya ile Venüs arasındaki ortalama mesafeyi, merkezlerini Güneş olarak belirleyip, Dünya için yarıçapı 1 AU (ki bu, yaklaşık 149.6 milyon kilometreye karşılık gelen, Güneş ile Dünya'nın merkezleri arasındaki mesafe için uzunluk birimidir) ve Venüs için 0.72 AU olarak ölçüp cevabı 0.28 AU olarak bulabiliriz.

İki eş merkezli elipsin tüm noktaları arası uzaklığın ortalamasının, aslında ortalama yarıçapları arası fark olacağı fikri başta sezgisel olarak doğru bir önermeymiş gibi gelebilir. Ancak gerçekte, bu fark sadece elipslerin en yakın noktaları arası farklı bağlantılıdır. Geometrik olarak daha doğru bir kıyaslama içinse herhangi iki gezegenin yörüngelerini gene eş merkezli, dairesel ve eş düzlemli olarak seçmemiz gerekir. Bu kabulümüz beraberinde dairesel hareketi, ve her iki gezegen için de yolları boyunca hızlarının sabit olduğu kabulünü de beraberinde getirir. Bu yargılar, yeteri uzunluktaki bir zaman diliminde, gezegenlerimizin kendi yörüngesinin herhangi bir yerinde bulunma olasılıklarının birbirlerine eşit olması demektir, ki bunu da mesafeyi genellerken kullanabiliriz.

Radyal Simetri ve Eliptik İntegral

Yukarıdaki prosedürü uygulamak için ilk adımımız eliptik integrallerden yararlanmak olacak. Eliptik integraller, kullanmak istediğimiz fonksiyonları elementer olarak yazamadığımızda bize yardıma koşan ve

$\int R(t,\sqrt{P(t)})dt$

şeklinde formüle edilen fonksiyonlardır. Buradaki R, t ve tekrarlı kökleri olmayan 3 veya 4 dereceli bir polinom olan P(t)'nin rasyonel bir fonksiyonudur. Bu tanımı sezgisel olarak benimsemek biraz zahmetli olabilir. Dolayısıyla şimdilik eliptik integralleri sade bir şekilde ters trigonometrik fonksiyonların genellemeleri olarak düşünmek işimizi kolaylaştıracaktır. Dolayısıyla, bir dairenin yay uzunluğunu parametrenin bir fonksiyonu cinsinden verebiliriz, ancak amacımız bu yay uzunluğunun kendisini hesaplamaksa eliptik integrallerden yararlanırız.

Kendi problemimizi çözmek içinse eliptik integrallerin 'ikinci tipi' olarak bilinen (İng. elliptic integral of second kind) formundan yararlanacağız. Bunun için genel formülümüz şu şekildedir:

$E(k)={\int }_0^{\phi }\sqrt{1-k^2{\sin }^2(\theta )}d\theta$

Bu arada problemimizin diyagramı ise şu şekilde düşünürsek

nokta şeklinde gösterilmiş cisimler arasındaki mesafe için aşağıdaki gibi bir denklik yazabiliriz:

$d(\theta )=\sqrt{r_1^2+r_2^2+r_1{r}_2\cos (\theta )}$

Bir fonksiyonun belirli bir bölgedeki ortalama değeri ise:

$Ortalama=\frac{1}{b-a}{\int }_a^{b}f(x)dx$

eşitliğiyle bulunur. Öyleyse f(x) fonksiyonumuzu d(θ) fonksiyonumuzla değiştirip sınırları 0 ile 2π olarak belirleyip elde ettiğimiz integrali çözmek için trigonometrik eşitliklerden yararlanırsak:

${\int }_0^{2\pi }\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2\cos (\theta )}d\theta ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{(r_1+r_2{)}^2-4r_1{r}_2{\sin }^2(\theta /2)}d\theta$

eşitliğini elde ederiz. İntegralimiz bu haldeyken genel formüle oldukça benzemektedir. Bu durumda sonuç:

$\frac{1}{2\pi }{\int }_0^{2\pi }\sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1{r}_2\cos (\theta )}d\theta =\frac{1}{2\pi }(4(r_1+r_2)E(\frac{2\sqrt{r_1{r}_2}}{r_1+r_2})$

$Ortalama=\frac{2}{\pi }(r_1+r_2)E(\frac{2\sqrt{r_1{r}_2}}{r_1+r_2})$

olarak karşımıza çıkar. Bu eşitliği kullandığımızda Venüs'ün Dünya'ya ortalama uzaklığı 1.14 AU iken, Merkür için bu değer 1.04 AU olarak bulunur. Bu durumda Dünyamıza ortalama olarak en yakın gezegen, yaklaşık 15 milyon kilometre farkla, Venüs değil, Merkür'dür!!

Yukarıdaki formülü Güneş sistemimizdeki tüm gezegenler için ikili kombinasyonlar halinde uyguladığımızdaysa aşağıdaki gibi bir tablo elde ederiz:

Kurduğumuz denklemi yeniden hatırlarsak, tanım gereği eş merkezli, dairesel ve eş düzlemli yörüngelerde hareket eden iki cisim arası ortalama uzaklık için, içteki yörüngenin yarıçapı küçüldükçe ortalama uzaklığı gösteren d mesafesinin değeri de azalacaktır. Bu varsayımdan yola çıkıp tabloya yeniden baktığımızdaysa Merkür'ün sadece Dünya'nın değil, diğer gezegenlerin de ( ve elbette Plüton'un da) ortalama olarak en yakın komşusu olduğunu fark ederiz.