"İmkansız" Bir Pisagor Kanıtı

Mart 2023'te "The Guardian" gibi dünyaca ünlü gazetelerde yayınlanan bir matematik ispatı hikayesi dünya çapında dikkate değer bir ilgi gördü ve inanılmaz bir heyecan yarattı. 18 yaşlarındaki Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson, daha önce imkansız olduğu düşünülen bir yöntemle Pisagor teoremini kanıtladılar: Trigonometri kullanarak.

Pisagor Teoremi

Genellikle bu isimle anılan formüle göre, iki kenarının uzunlukları a ve b, hipotenüsü ise c olan bir üçgenimiz varsa bu üç kenar arasındaki ilişki şu şekilde açıklanır:

$a^2+b^2=c^2$

Her ne kadar bu ünlü formül genelde tek bir isimle anılsa da aslında bunu fark edip ilk kanıtlayan bazı kişilerin/kültürlerin isimleriyle anılan versiyonları da şu şekildedir:

• Baudhayan Teoremi (Hindistan)
• Gougu Teoremi (Çin)
• Babil Formülü (Mezopotamya)
• Öklid 1.47 (Yunanistan)

Şimdiyse biraz trigonometriye bakış atalım. Kenarları a, b, ve c olan ve üstte bahsi geçen dik üçgenimizin a kenarına bakan açısına α, ve b kenarına bakan açısına β diyelim. bu durumda bu iki açının sinüsleri için aşağıdaki eşitliği yazabiliriz:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}$

$\sin \beta =\frac{b}{c}$

Ünlü matematikçi Elisha Scoot Loomis, oldukça basit görünen bu formül için 370'ten fazla kanıtı "The Pythagorean Proposition" kitabında bir araya getirmiştir. Aynı zamanda kitapta hiç trigonometrik kanıtın bulunmamasını ilk bakışta oldukça makul görünen şu ifadelerle savunmuştu:

Trigonometrik bir kanıt yok, çünkü trigonometrinin tüm temel formülleri Pisagor teoreminin doğruluğuna dayanmaktadır. Bu teoremden dolayı sin2A + cos2A = 1 gibi formülleri söyleyebiliyoruz. Trigonometri, Pisagor teoreminden dolayıdır.^[1]

Ancak Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson isimle iki genç, Pisagor teoreminin kanıtı olarak, Pisagor teoreminden bağımsız trigonometrik bir kanıtla geldiler. Dolayısıyla, trigonometrinin tamamen Pisagor teoremine bağlı olmadığını da kanıtlamış oldular.

Brahmagupta Sinüs Yasası ve Serilerin Toplamı

Trigonometrik kanıtın detaylarını anlamak için Pisagor teoreminden bağımsız olan Brahmagupta'nın sinüs yasasına ve serilerin toplam kuralına ihtiyacımız var.

Brahmagupta'nın sinüs yasasını anlamak için öncelikle kenarları gene a, b, ve c olan ve açılarından herhangi birisi 90° olmak zorunda olmayan bir üçgen düşünelim. Bu sefer gene a kenarına bakan açısı α ve b kenarına bakan açısı β olsa da c kenarına bakan açısı öylesine bir derece olan γ olsun. Bir üçgenin alanı,

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

$Alan=\frac{1}{2}(taban)(y\ddot{u}kseklik)$

formülü ile verildiğinden, sırasıyla tabanı c ve a kabul ettiğimizde aşağıdaki denklikleri yazabiliriz:

$\frac{1}{2}(c)(b\sin \alpha )=\frac{1}{2}(c)(a\sin \beta )=\frac{1}{2}(a)(b\sin \gamma )$

Hepsi aynı alanı ifade ettiği için, aynı zamanda "sinüs kuralı" olarak da bilinen şu formülü elde ederiz:

$cb\sin \alpha =ca\sin \beta =ab\sin \gamma$

$\frac{\sin \alpha }{a}=\frac{\sin \beta }{b}=\frac{\sin \gamma }{c}$

Şimdiyse geometrik serilerin toplamına bir bakış atalım. Diyelim ki elimizde S_n isimli aşağıdaki gibi bir seri olsun:

$S_n=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+...+a{r}^{n-1}$

Bu serimizi -r katsayısıyla çarpıp serimizin kendisiyle topladığımızda, aynı kuvvete sahip olan r çarpanlı değerler birbirlerini götüreceğinden aşağıdaki gibi bir eşitlik elde ederiz:

$-r{S}_n=-(ar+a{r}^2+a{r}^3+a{r}^4+...+a{r}^n)$

$S_n-r{S}_n=a-a{r}^n$

Bu durumda en baştaki S_n serimizin değerini şu şekilde hesaplayabiliriz:

$S_n(1-r)=a-a{r}^n$

Agora Bilim Pazarı

Aksi Gibi

Öykülerinden birinin kahramanı gibi sanki Pınar Öğünç’ün de bir gözü yerinden çıkmış, sokaklarda tek başına geziniyor. Gerçeğin içindeki gerçeküstünü, gündelik olanı saran politik örtüyü, zamanın ruhunu açık eden anları biriktiriyor. Yalın ve sürükleyici, hem sakin hem öfkeli, bazen de muzip bir dille sıradan görünenin derinlerine çağırıyor.

Aksi Gibi, edebiyatla zenginleştirdiği gazeteciliğinden tanıdığımız Öğünç’ün öykü okuruyla tanıştığı, devamı yıllar içinde gelecek buluşmaların ilki.

“Kibrinizi tanıyorum. Kendinizi mühim, ince ve derin göstermek için yaptığınız numaraları, dışı cilalanmış hırsın kanınıza nasıl zehir gibi karıştığını, üst kat gömme dolaplarında gizlediklerinizi biliyorum. Biliyorum ama çağırdığınız apartman toplantılarında bunu hissettiremiyorum size. Aksi gibi bu görünmezlik, bu öfke evden çıkınca da omurgama yapışıyor. Teklifsiz sen dediğiniz odalarda, yürürken yol vermediğiniz sokaklarda, sesimi manasızlaştırmaya çalıştığınız gezegenin üst katlarında size istediğim gibi direnemiyorum. Canımı sıkıyorsunuz.

Şunu unutmayın. Bu apartmanın temeline en yakın olan benim, bu işin de ancak dinamitle çözülebileceğini biliyorum.

Sayın D1 Blok sakinleri, şimdilik kapılarınızın altından bu metni atıyor, sizi uyarıyorum.”

Devamını Göster

₺140.00

Satın Al Tüm Ürünler

$S_n=\frac{a-a{r}^n}{1-r}$

Eğer r'nin mutlak değerini 1'den daha küçük olduğunu kabul edersek n sayısının sonsuza doğru gitmesinin r_n sayısını 0 değerine, geometrik serimizin elemanları toplamını ise:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a}{1-r}$

değerine yaklaştırdığını görürüz.

"İmkansız" Kanıt

Kanıtta kullanacağımız Pisagor teoreminden bağımsız olan formüllere bir göz geçirdiğimize göre şimdi kanıta geçebiliriz.

İşe, her zamanki gibi, kenarları a, b ve hipotenüsü c olan bir dik üçgenimiz olduğunu düşünerek başlayalım ve a kenarına bakan açımıza α, b kenarına bakan açımızaysa β deyip α açısının β açısından küçük olduğunu kabul edelim (bu durumda a kenarı da b kenarından küçük olacaktır).

Şimdiyse yukarıda görseli de verilen üçgenimizin yansımasını alalım ve ölçeklendirip döndürelim

Üçgenlerimizin hepsi α, β ve 90° açılarından oluştuğundan ve çizdiğimiz ilk üçgenin β açısı ile çizdiğimiz son üçgenin üçgenin α açısının toplamı da 90° olduğundan yeni bir dik açı elde ettik. Eğer çizdiğimiz son üçgenin kenarlarını hesaplamak istersek ve β açısının baktığı kenarın uzunluğunun 2a, sinβ değerinin b/c, ve sinα değerinin a/c olduğu bilgilerini kullanırsak tüm kenar uzunluklarını gösteren şekilde üçgenlerimizin kombinasyonu şu şekilde olur:

Şimdiyse yaptığımız ölçeklendirip döndürme işlemini tekrarlayıp yeni bir benzer üçgen oluşturalım ve yeniden kenarlarını hesaplayalım.

Kenar uzunluklarını dikkatli bir şekilde incelediğimizde ölçeklendirilip döndürülerek oluşturulan iki hipotenüsün birbirlerine a/b oranı ile benzediklerini görürüz. Bu durumda sol taraftaki hipotenüslerin uzunlukları a/b çarpanının tek kuvvetlerini içerecek biçimde ilerlerken sağ taraftakilerinki ise çift kuvvetlerini içerir

Eğer üçgenimizi bu şekilde sonsuzda bir noktada birleştirecek olsaydık sırasıyla sol taraftaki kenarın uzunluğu ile sağ taraftakinin uzunluğunu şu şekilde bulurduk:

$S_{n1}=\frac{2ac}{b}+\frac{2a^{3}c}{b^3}+\frac{2a^{5}c}{b^5}+....=\frac{\frac{2ac}{b}}{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{2abc}{b^2-a^2}$

$S_{n2}=c+\frac{2a^{2}c}{b^2}+\frac{2a^{4}c}{b^4}+....=c+\frac{\frac{2a^{2}c}{b^2}}{1-\frac{a^2}{b^2}}=\frac{c(a^2+b^2)}{b^2-a^2}$

Daha önceden çizdiğimiz ilk üçgenin β açısı ile ölçeklendirip döndürerek çizdiğimiz ilk üçgenin α kenarlarının yan yana gelip 90° açı oluşturduğundan bahsetmiştik. Dolayısıyla son durumda elde ettiğimiz üçgen, bir açısı 2α olan kocaman bir dik üçgendir. Bu kocaman dik üçgenin kenar uzunluklarını kullanarak hesaplayabileceğimiz sin2α değeri ise

$\sin 2\alpha =\frac{\frac{2abc}{b^2-a^2}}{\frac{c(a^2+b^2)}{b^2-a^2}}=\frac{2ab}{a^2+b^2}$

olarak bulunur. Şimdiyse çizdiğimiz ilk üçgen ve onun simetriğinin oluşturduğu üçgene bakalım.

Brahmagupta sinüs yasası bize, bir üçgende bir açının ve bu açının baktığı kenarın oranının sabit olduğunu söylüyordu. Bu durumda sin2α açısının baktığı kenara oranı aynı zamanda

$\frac{sin2\alpha }{2a}=\frac{sin\beta }{c}=\frac{b/c}{c}=\frac{b}{c^2}$

değerine eşittir ve

$\sin 2\alpha =\frac{2ab}{c^2}$

olarak bulunur. Aynı zamanda sin2α'nın bir başka değerini de hesaplamıştık. İki denklen de aynı değeri vurguladığı için

$\sin 2\alpha =\frac{2ab}{a^2+b^2}=\frac{2ab}{c^2}$

$a^2+b^2=c^2$

eşitliğini elde ederiz, ve bu zaten tam da kanıtlamak istediğimiz sonuçtur.

Ne'Kiya Jackson ve Calcea Johnson'ı bu dahiyane kanıt için tüm kalbimle tebrik ediyorum. İki öğrencinin matematik ders kitabında okudukları bir şeyi sorgulayıp harika bir çıkarım bulmaları gerçekten dikkate değer. Aynı zamanda dünya genelinde bu konuya büyük ilgi gösteren medyaya da, gerçekten değer verilmesi konulara değinip bunu tüm insanlığın ulaşılabilirliğine sundukları için çok teşekkür ediyorum.

Kapanış

Peki bu, Pisagor teoreminin ilk trigonometrik kanıtı mıydı? Yazıyı sonlandırmadan önce biraz gözden kaçırılmış olan bazı diğer trigonometrik kanıtlara değinmek isterim. Bu kanıtların biraz gözden kaçmış olabilme nedeni, okullarda bizlere Pisagor teoreminin var ve kanıtlanmış olduğunun kesin bir gerçek olarak öğretilmiş olması olabilir. Oysa antik zamanlardan beri Albert Einstein^[2] de dahil birçok bilim insanı bu hikayenin hemen hemen tüm ayrıntılarını sorgulamıştır.

Pisagor teoremi, Pisagor'un kendisinden çok önceden beri biliniyordu, yani teorem ondan önce zaten kanıtlanmıştı. Dolayısıyla Pisagor bunu diğer kültürlerden öğrenmiş olabilir, sonuçta matematik tarihinde buna benzer birçok durum ve hikaye vardır. Ancak burada buna girmeyip sadece kökeni muhtemelen eski olan bazı kanıtları daha göstermek istiyorum.

Bir Kanıt Daha

Hadi yeniden kenarları a, b ve hipotenüsü c olan bir üçgenimiz olsun ve yeniden açılarına da α,β ve 90° diyelim. Eğer 90°'nin olduğu köşeden c kenarına doğru bir dik indirirsek oluşan iki yeni dik üçgenlerin kenarlar uzunluklarının aşağıdaki gibi olduğunu görürüz.

Yeni kanıtımızın en başındaki üçgenimiz için sinα=a/c ve sinβ=b/c olduğunu biliyoruz. Bu eşitliklerden yararlanarak

$c=a\sin \alpha +b\sin \beta =a(\frac{a}{c})+b(\frac{b}{c})$

$c^2=a^2+b^2$

sonucuna ulaşabiliriz ve bu da bize gene Pisagor teoreminin kanıtını sadece trigonometriden verecektir.

Ve Son Bir Tane Daha

Son olarak şahsen en sevdiğim kanıtlardan birine değinmek isterim. Üstelik bu sefer kenar ve açı isimlerinde biraz farklılık yapacağız.

Bu sefer hipotenüsümüzü 1, açılarımızdan birini ise θ kabul edelim. θ açısının baktığı dikey kenara sinθ, bu kenara dik olan yatay kenara ise cosθ deyip, merkezi θ açısının bulunduğu köşe noktası olan bir birim çember çizelim.

Ardından bu çemberimize biraz daha makyaj yapıp bir çap ve iki köşesi çembere teğet bir büyük bir de küçük aşağıdaki gibi iki üçgen ekleyelim.

^[3]Elde ettiğimiz yeni görüntüde sarı ile gösterilmiş yay parçası, gene sarı ile belirtilmiş iki açı ile aynı dereceye sahip olduğundan büyük ve küçük üçgenlerimizin birbirlerinin benzeri olduğu sonucuna varabiliriz. Eğer bu benzer üçgenlerimizin kenarlarını oranlarsak

$\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }=\frac{1+\cos \theta }{\sin \theta }$

${\sin }^2\theta =(1-\cos \theta )(1+\cos \theta )=1-{\cos }^2\theta$

${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$

sonucunu elde ederiz. Bu trigonometrik kanıt, dikkatli bakıldığında aynı zamanda a2+b2=c2 ifadesiyle aynıdır. Dolayısıyla Pisagor teoreminin çıkarımını yapmak için öncelikle trigonometriye ihtiyacımız olduğunu da söyleyebiliriz.