Matematik ve Tarih: Antik Babil'de Algoritmalar

Matematiksel algoritmaların saygıdeğer konumunu içselleştirmenin bir yolu, tarihin tozlu sayfalarına nasıl kök saldığını incelemektir. Bu, konuya ilgi duyanları, algoritmalarla ilgili günümüze ulaşan en eski belgelere başvurmaya, ve yaklaşık 4000 yıl önce yaşamış olan diğerlerinin konuya nasıl yaklaştıklarını incelemeye iter. Orta Doğu'da gerçekleştirilen arkeolojik kazılarda matematiksel hesaplamalar içeren birçok tabletin ortaya çıkarılması sadece birçoklarının arayışlarına rehberlik etmekle kalmıyor, aynı zamanda türümüzün ilk "matematikçilerinin" bakış açılarını içselleştirmek için birçok ipucu içeriyor.

Babil Matematiğine Giriş

Yazımızın iskeletini oluşturacak olan söz konusu kil tabletler, günümüzde yaklaşık olarak Bağdat civarlarına denk gelen ve Fırat ile Dicle nehirleri arasında bulunan Mezopotamya bölgesine aitler ve algoritma başlığı altında dikkat çekici olanların çoğu Hammurabi hanedanlığı dönemine, yani M.Ö. 1800-1600 yılları arasına tarihleniyor. Bu yüzden bu yazımızda öncelikli olarak Eski Babil dönemi olarak adlandırılan döneme ait olanları inceleyeceğiz.

Tıpkı diğer birçok Mezopotamya uygarlıklarında olduğu gibi, Antik Babil'de de günümüzdeki saat sisteminin temelleri olan altmışlık sayı sistemi kullanılırdı. Ancak yukarıdaki resimde de görüleceği gibi bu sistem 60 sayısına kadar olan sayılar için direkt sembollere sahipti. Dolayısıyla 60 ve daha büyük sayılardan bahsedilirken ondalıklı sayılardan yararlanılırdı. Örneğin, günümüzde kullandığımız ondalık sistemdeki 27 sayısının gene ondalık sistemdeki bir diğer açılımına bakalım:

$2\cdot 10^1+7\cdot 10^0=27$

Ancak onluk sistem yerine altmışlık sistem kullanıyorsak tabanımız 10 yerine 60 olacak, ve şu şekilde gösterilecektir:

$2\cdot 60^1+7\cdot 60^0=127$

Dolayısıyla altmışlık sistemdeki 27 sayısı, onluk sistemdeki 127 sayısına eşittir. Dahası, Babilliler ondalık sayılar için, günümüzdekinin aksine üs kısmını içermeyen tuhaf bir gösterim kullanırlardı. Örneğin, ondalık sistemdeki 2,20 sayısı:

$2.60^1+20=140$

$2+20/60=2\frac{1}{3}$

$2/60+20/3600$

Şekillerinde ifade edilebildiğinden, herhangi bir n tam sayısı için:

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

$140.60^n$

olarak genelleştirilebiliyordu. Bu gösterim ilkinden daha garip dursa da sürgülü cetvel ile hesap yaparken aslında kullanılan prensip gene aynıdır: virgülün konumundan bağımsız çarpma ve bölme işlemleri gerçekleştirmek ve 10'un uygun kuvvetlerini sağlamak. Görülen o ki Babil'de yaşayan bir matematikçi de aynı yöntemle 60'ın işe yarayabilecek kuvvetlerini aklında tutup elindeki değere göre 60'ın çarpanları içindeki bir değerin aralığını tahmin ediyordu.

Taban noktalarının yanlış hizalanması nedeniyle toplama işlemlerinin yanlış yapıldığı birkaç örnek bulunmuş olsa da bunların sayısı oldukça azdır. Bu şekilde çarpım tabloları içeren, ve bazıları 3. Ur hanedanlığı (M.Ö. 2250) gibi erken zamanlara tarihlenen düzinelerce tablet bulunmuştur.

Yazımızın devamında bahsi geçecek tabletleri daha iyi anlamak için yukarıdaki tersinir sistemi benimsemek önemlidir. Bunun için en sağ alttaki dönüşüme bir bakalım. Altmışlık sistemdeki 1,21 sayısının ondalık sistemdeki eşiti:

$1.60^1+21.60^0=81$

olarak bulunur. Ondalık sistemde 60 sayısını 81'e böldüğümüzde 0,740740 gibi devirli bir sayı elde ederiz. Altmışlık sistemde bu sayının eşitini incelersek:

$0;44,26,40=0.60^0+44.60^{-1}+26.60^{-2}+40.60^{-3}$

Yukarıdaki işlemin sonucu, 60 sayısını 81'e böldüğümüzde elde ettiğimiz sonuçla aynıdır. Sonuç olarak bu sistemde 1,21 sayısının karşılığında 0;44,26,40 (yukarıdaki gibi 44,26,40 şeklinde de gösterilebilir) sayısı yer alır.

Babil'den "Algoritmalar"

Zamanın, izlerini günümüze taşıdığı Mezopotamyalı matematikçiler sadece dört işlemle yetinmediler; birçok cebirsel işleme karşı da bağışıklıkları vardı. Ancak bizimki gibi sembolik bir dil kullanmak yerine her adımda formülleri teker teker yazan bir dili benimsemişlerdi.

Bu kullanım şeklinin tadını alabilmenin en güzel yolu bazı örneklere bakmak olacaktır. Aşağıdaki çeviriler, orijinal metinlerin yapısını bozmamak için olabildiğince aslına bağlı kalınıp yapılmaya çalışılmış, orijinal metinde olmayan ek açıklamalar parantez içinde verilmiştir. Bunun dışında orijinal metinlerde sayılarda altmışlık sisteme dayandığından okuyucunun, 1 sayısının 60 sayısına denk gelebileceğini hesaba katması önemlidir.

İlk örneğimiz, bir yarısı British Museum'da, diğer yarısının yarısı Staatliche Museen'de, kalanıysa tarihin tozlu sayfalarında bulunan ve ana karakteri bir su deposu olan bir tablettir.

1. (Üçgen) bir su deposu.
2. Yüksekliği 3,20 ve hacmi 27,46,40 olacak şekilde kazılmış.
3. Uzunluk, genişliği 50 birim aşıyor (uzunluğu genişlik açısından yazmamızı sağlayacak algoritma; x(uzunluk)-y(genişlik)=50 gibi sembolleştirilebilir).
4. Yüksekliğin, 3,20 (çarpmaya göre) tersini alıp 18 elde ederiz. Bunu hacimle, 27,46,40 çarparak 8,20 elde ederiz (x-y=50 ve xy=8,20).
5. 50'nin yarısını al, karesini bul ve 10,25 elde et. Buna 8,20 ekle ve 8,30,25 elde et (50'yi kendi sistemimizdeki 5/6 ve 8,20'yi de 8+(1/3) olarak düşünelim).
6. Karekök 2,55'tir.
7. Bunun iki kopyasını yap, birine (25) ekle ve diğerindense (25) çıkar.
8. Uzunluğu 3,20 (bizim sistemimizdeki 3+(1/3)) ve genişliği 2,30 (bizim sistemimizdeki 2+(1/2)) bulacaksın.
9. Prosedür budur.

Şimdiyse bahsedilen "prosedür" ü daha kolay anlamak için günümüzde kullandığımız matematik diline çevirelim. Burada "x-y" işlemimizin sonucunu (50) "d", "xy" işlemimizinkini (8,20) ise "p" ile ifade edersek:

1. y = x - d
2. x (x - d) = p
3. x² - dx - p = 0
4. x = [d +/- (d² + 4p)^1/2] / 2
5. x = d/2 +/- [(d/2)² + p]^1/2

Yukarıda da görülebileceği üzere Babillilerin tabletleri sadece belirli bir problem için spesifik örnekler tanımlamıyor, ama tüm problemleri tanımlayabilecek prosedürleri ortaya koyuyordu, ki bu yüzden olsa gerek sayılar sadece genel yöntemi açıklığa kavuşturmaya yardımcı ol^[1]mak amacıyla açıklamaya dahil edilmişti. Tabletlerin sonunda yer alan, klişeleşmiş "Prosedür budur" (İng. "This is the procedure") lafı da gene buna işaret etmektedir.

Agora Bilim Pazarı

I Don’t Believe in Humans T-Shirt (Baskı, %100 Pamuk)

Bu t-shirt, “I Don’t Believe in Humans” mesajıyla esprili ve düşündürücü bir ifade sunuyor. %100 pamuklu yapısı sayesinde gün boyu konfor sağlarken, kaliteli baskısıyla uzun ömürlü kullanım sunar. Mizahı ve tarzı bir araya getiren bu özel tasarım, dikkat çekici bir stil oluşturmak isteyenler için ideal!

Bilgiler ve Uyarılar:

1. Renk Bilgileri: Tişört beyaz ve siyah olarak üretilebilmektedir.
2. Beden Bilgileri: Stokta kalan ürünlerimiz arasından dilediğiniz bedeni seçebilirsiniz. Tişörtlerle ilgili beden bilgisi almak ve ölçüleri öğrenmek için buraya tıklayınız.
3. Cinsiyet Bilgileri: Bu ürünümüz unisex üretilmektedir ve her cinsiyete uygundur.
4. Kargo Bilgileri: Bu ürün sipariş alındıktan sonraki 2 iş günü içinde postalanacaktır. Kargo yöntemimiz hakkında daha fazla bilgiyi buradan alabilirsiniz.
5. Kumaş Bilgileri: Bu ürün %100 pamuktur.
6. Yıkama/Ütü Bilgileri: Tişörtler üzerindeki görsellerin korunması için tişörtlerin ters yüz edilerek yıkanması ve ütülenmesi tavsiye edilir. Siyah tişörtlerin en fazla 30 derecede yıkanması gerekmektedir.
7. İade/Değişiklik Bilgileri: Lütfen sipariş vermeden önce iade ve ürün değişikliği ile ilgili bilgilendirmemizi okuyunuz.

Devamını Göster

₺499.90

Satın Al Tüm Ürünler

Gene aynı tablette yer alan başka bir örnek ise şu şekildedir:

1. Bir su deposunun (arşın cinsinden) uzunluğu, (gar cinsinden) yüksekliğine eşittir.
2. Belirli bir hacimde kazıldı.
3. Enine kesitinin (İng. cross-section) ve hacminin toplamı 1,10 (onluk sistemde 1+(1/6)) 'dur.
4. Eğer uzunluğu 30 (onluk sistemde 1/2) ise, genişliği nedir?
5. 30 olan uzunluğu 12 ile çarpıp 6 bulmalısın, bu yüksekliği verir (arşın değil, gar cinsinden bahsediyor). 1 ile 6'yı toplayıp 7 bulmalısın.
6. 7'nin (çarpmaya göre) tersi yok. 7 ile çarpıldığında 1,10'u veren nedir? 10 olacak (tabletlerde 7'nin karşılığı olmama nedeni devirli bir sayı olmasıdır (1/7 = 8,34,17,8,34,17,...) bu durumda "a'yı elde etmek için b'yi ne ile çarpmalıyım?" gibi sorular sorulur).
7. 30'un (çarpmaya göre) tersini al, 2 elde ederiz.
8. 10 ile 2'yi çarparsak, genişliği 20 (onluk sistemde 1/3) elde ederiz.
9. Prosedür budur.

Bu örnekte bir öncekinden farklı olarak birimlerin adının geçtiğini görüyoruz, ancak Babilliler bunları görmezden gelip alan ile hacmi toplamaktan gocunmuyorlar. Bu tür işlemlerin yapıldığı sayısız örnekle karşılaşmak mümkün, ki bu da demek oluyor ki göz önünde bulundurulması gereken asıl kriter, problemlerin fiziksel ya da geometriksel kuralları değil, sayısal değerlerin kendisiydi. Ancak arşın ve gar gibi ölçü birimlerini parametrelerinde kullanmaları işlerini sosyal hayatlarıyla bağlantılı görünmesini sağlamak gayesi taşıyormuş gibi görünüyor.

Bir diğer önemli nokta ise 7 sayısının bölmede kullanılmaya çalışılmasıdır. Bu durum, Babiller'de çarpım tablosunun iki yönlü olarak kullanılabildiğini göstermiştir.

Biraz Daha Örnek

Yukarıdaki örneklerde olduğu gibi 'prosedür'ü örneklerle anlatma metodunun dışında yöntemler de, oransal olarak az da olsa, vardır. Sıradaki örneğimiz de bu istisnalardan biridir:

1. Uzunluk, genişlik, ve köşegenin toplamı 1;1 ve alan 7'dir.
2. Buna karşılık gelen uzunluk, genişlik ve köşegen nedir?
3. Değerler bilinmiyor.
4. 1;10 çarpı 1;10 işlemi sonucu 1;21,40 yapar.
5. 7 çarpı 2 işlemi sonucu 14 yapar.
6. 1;21,40 sayısından 14 çıktığında 1;7,40 kalır.
7. 1;7,40 çarpı 30 işlemi sonucu 33,50 yapar.
8. 1;10 çarpı ne 33,50 sonucunu verir?
9. 1;10 çarpı 29 işlemi sonucu 33,50.
10. Köşegen 2'dur.
11. Uzunluk, genişlik, ve köşegenin toplamı 1 ve alan 5'tir.
12. Uzunluk, genişlik, ve köşegenin toplamını; uzunluk, genişlik, ve köşegenin toplamı ile çarp.
13. Alanı 2 ile çarp.
14. Sonucu çıkar ve sonucu yarımla çarp (bölme ifadesi olmamasına dikkat).
15. Uzunluk, genişlik, ve köşegenin toplamını ne ile çarparsan sonuç, (yukarıdaki) sonucu verir?
16. Köşegen bu sonuçtur.

Yukarıdaki iki örnek de Selevkos İmparatorluğu zamanına (M.Ö. 312 - M.Ö. 83) tarihlenmektedir. İlk örnekler gibi örnekleme yapılmadan sadece adımların kendilerini işaret eden bu tabletlerin anlattığı 'prosedür'ü daha aşina olduğumuz bir şekle dönüştürmeye çalışırsak (A = l.w alanı, ve d = (l² + w²)^1/2 köşegen olmak üzere):

$d=\frac{\frac{1}{2}((l+w+d{)}^2-2A)}{(l+w+d)}$

Bu örnekte ilk göze çarpan noktalardan biri, köşegeni bulmak için Pisagor teoremi olarak bilinen yolun izlenilmesidir. Diğer bir deyişle, Pisagor teoremi, Pisagor'un kendisinden yaklaşık 1000 yıl önceye tarihlenen bu tablette açık bir şekilde kullanılmıştır.

Asıl dikkat çekici olan noktaysa, öncekilerin aksine büyüklüklerin adı verilmemiş, en son bölümde aynı adımlar sayılar olmadan anlatılmıştır. Bu metotla anlatılan bir diğer örnek ise şöyledir:

1. Uzunluk ve genişliğin toplamı alana eşit olacak (x + y =xy).
2. Aşağıdaki gibi ilerlemelisin.
3. Tek parametrenin iki kopyasını yap.
4. 1 çıkar.
5. Karşılığını bul.
6. Sonucu kopyaladığın parametreyle çarp.
7. Bu genişliği verir (y = x/(x-1))

Bu örnekte, bir öncekinin aksine sayılardan da bahsedilmemiştir. Hem bu sebepten hem orijinal tabletin zamanla aşınmasından hem de diğerlerine nazaran deşifre etmesi daha zor ve nadir olan anlatım tarzından dolayı bu tabletin anlaşılması yıllarca mümkün olmamıştır.

Ancak yukarıda birkaç örneği verilen bu gibi tabletlerin dilinin deşifre edilmesi ve yapılan işlemlerin metotlarının anlaşılmaya çalışılması (özellikle son örnekte çözüm yönteminin bilgisayar bilimindeki 'stack machine' programını anımsatması oldukça dikkat çekicidir), verilen tüm emeklerin yüzünü kara çıkarmamış; türümüzün algoritmalarla (ve dolayısıyla matematikle) zaman içindeki ilişkisini anlamamıza yardımcı olmuştur.

Bu yazıda bahsedilen yalnızca belirli bir zaman içindeki belirli bir kültürün geleceğin çocuklarına bıraktıkları birkaç eserin çevirisinden ibaret olsa da, kümülatif olarak bakıldığında modern algoritma biliminin temel yapı taşlarından olduklarını yadsınamaz. Dolayısıyla, "matematikçi" atalarımıza minnet duyulacak ne kadar da çok şeyimiz olduğunu hissetmemek, özellikle günümüzdeki gelişmiş algoritma sistemleri hesaba katıldığında, elde değildir.