Sonsuza Giden Bazı Temel Limitler

Sonsuzun, analizin içinde çok fazla karşılaşılan bir kavram olduğunu biliyorsunuzdur. Oldukça önemli bir kavram olmasına rağmen, çoğu zaman yeterince önemsenmez. Bu durum, sonsuzun çoğu konuya göre daha soyut bir kavram olmasından kaynaklanıyor. Çoğu kaynağa göre soyut konular çok aşikâr ve bu yüzden üzerinde durmaya gerek yok. Belki “kalkülüs” dersi için bu doğru olabilir ama kalkülüs yerine analiz öğrenmek istiyorsanız işler değişiyor. Yeterince anlamadığınız, üzerinde çok durmadığınız bir şeyi analiz edebilir misiniz? Ya da bu kadar matematikçi analiz kelimesini kullanırken, kelimenin anlamına hiç dikkat etmeden mi kullanıyor?

Basitçe Sonsuz

İsminden de anlamışsınızdır ki sonsuz sonlunun zıttıdır. Bu yüzden sonsuzu, üzerinde işlem yapılabilecek bir sayı gibi hayal etmek hatalıdır. Ama bu hata sadece sonsuz tek başına kullanıldığında yaşanır. Yani sonsuz, limitin içindeyken normalde olduğundan farklı bir anlam kazanır.

Sonsuzda limite geçmeden önce dizinin ne olduğunu hatırlayalım. Farklı kaynaklarda tanımında ufak tefek değişiklikler olsa da çoğu kaynakta şuna yakın bir tanım kullanılır: “Dizi, doğal sayı girdilere sahip bir fonksiyondur”. En azından biz bu tanımı kullanacağız. Bazı kaynaklarda doğal sayı değil de pozitif tamsayı^[1] olarak da geçer. Normal fonksiyonların aksine diziler   $f(x)$ şeklinde değil de $a_n$ şeklinde gösterilir. Burada girdimizi $n$ harfi temsil ediyor. Ek olarak dizilerin bütün girdilere karşılık tanımlı olması gerekir. Bazen bu durumun istisnaları yaşanır. Tanımsız durumlar çoğu zaman sıfır girdisine karşılık gelir. Bu tür durumlar, çoğu zaman dizinin sadece büyük sayı girdilerinin önemli olduğu zamanlarda açığa çıkar. Yani bir nevi sadece büyük sayılarla ilgilenince sıfır sayısı unutuluyor.

Sonsuzda limit denilen şey bir dizinin sürekli (durmaksızın) artan girdilere karşılık davranışını incelemektir. Burada “sürekli artan” kısmı çok önemli. Buna “dizinin limiti” denir. Bir örnek incelememiz gerekirse $a_n=\frac{1}{n+1}$ dizisine bakalım. Bu dizinin elemanları: $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6}\dots$ (Burada üç nokta devamının olduğunu temsil ediyor). Dikkat ederseniz elemanların giderek küçüldüğünü ve en büyük elemanın $1$ olduğunu görebilirsiniz. O halde çıkarımlarımızı yazabiliriz: “Herhangi bir $n$ doğal sayısı için, $a_{(n+1)}<a_n$ ve $a_n\le 1$". Bu diziyi biraz daha farklı bir şekilde de inceleyebiliriz. Tanımda “sürekli artan” ifadesini kullandık ama ne kadar artacağını belirtmedik. O halde aynı dizinin bazı elemanları şu şekilde ifade edilebilir: $1,\frac{1}{10},\frac{1}{100},\frac{1}{1000},\frac{1}{10000}$ Bunlar dizinin birinci, onuncu, yüzüncü, bininci ve on bininci elemanları. Diziyi bu şekilde yazdığınızda elemanların sürekli küçüldüğü daha iyi hissediliyor. Ve ileride bu şekilde yazımı da kullanacağız.

Yakınsaklık ve Iraksaklık

O zaman, dizilerde limit hakkında “yakınsak” ve “ıraksak” terimlerini tanımlayalım. Bir $a_n$ dizisinin artan elemanları sürekli olarak bir $b$ gerçel sayısına yakınlaşıyorsa $a_n$ dizisi $b$ sayısına yakınsar denir. Bu durum “$a_n$ dizisinin limiti $b$’dir” olarak da okunabilir. Ve bu durumda $a_n$ dizisi yakınsak olur. Ama burada “yakınlaşmak” kelimesi tam olarak istediğimiz anlamı karşılamıyor. Yakınsak bir dizi aynı anda sonsuz sayıya yakınlaşır ve sonsuz sayıdan da uzaklaşır. Yakınsamaktaki yaklaşma “burnunun dibine girmek” gibi bir anlam taşır. Bir başka deyişle eğer bir dizinin artan elemanları sürekli olarak bir gerçel sayıya yakınlaşıyorsa ve bir aşamadan sonra dizinin elemanları ile o gerçel sayı arasındaki fark yok denilecek kadar küçülüyorsa o dizi için bahsi geçen konular geçerli olur. Bunu birkaç örneğe maruz kaldıktan sonra daha iyi anlarsınız diye düşünüyoruz.

Yakınsak olmayan dizilere de ıraksak denir. Iraksak dizileri ikiye ayırabiliriz. Sınırlı ıraksak diziler ve sınırsız ıraksak diziler. Sınırlılar, özel olarak bir sayıya yaklaşmayan ama sürekli bir aralık içinde kalan dizilerdir. Örneğin $a_n=(-1{)}^n$ bu dizinin $1$'den büyük, $-1$'den küçük hiçbir değeri yoktur ama bir sayıya yaklaşmaz. Bu tarz diziler çoğu zaman periyodik fonksiyonlardan türer. Bir de sınırsız diziler var. Bunlar alışık olduğunuz “sonsuz” kavramını içeren dizilerdir. Ama bunun için önce sonsuzu açıklamamız lazım. Sonsuz, durmadan büyüyen ve herhangi bir doğal sayıdan daha büyük değerler alan bir değişkene denktir. Yani bir dizinin limiti sonsuzdur dememiz için bazı koşulları sağlaması lazım. Örneğin bir dizinin $10$ sayısından büyük olduğunu ispatlayamazsanız o dizi sonsuza ıraksamaz.

Tabii burada sonsuzun limit içindeki tanımını yaptıktan sonra “sonsuzda limit” için verdiğimiz “sürekli artan” tanımı daha iyi anlaşılabilir. Ek olarak sonsuzun limit içindeki anlamından bahsettiğimize göre, “dizinin limiti” söyleminin yanında “$n$ sonsuza giderken $a_n$” söylemini de kullanabiliriz.

Yakınsaklık kısmını anlaması genelde zordur. Daha çok maruz kaldıkça anlarsınız. O yüzden bir kez daha üstünden geçelim ki daha iyi anlayın. Bir dizinin bir sayıya yakınsadığını söylemeniz için dizinin artan elemanları o sayıya o kadar fazla yakınlaşmalıdır ki bunları eşit olarak kabul edebilelim. Ve bunun için diziyi sınırladığınız zaman bu sınırların sürekli olarak küçülmesi lazım. Bunu daha somut ifade edelim. $\frac{1}{n+1}$ Dizisini tekrardan örnek gösterelim. Bu dizinin ilk elemanı hariç bütün elemanları $1$ sayısından küçüktür. İlk on elemanı hariç bütün elemanları $0,1$ sayısından küçüktür. İlk yüz elemanı hariç bütün elemanları $0,01$ sayısından küçüktür. Ve bunu devam ettirebilirsiniz. Yani yakınsak dizilerde diziyi sınırladığınız zaman bu sınırı sürekli olarak küçültebiliyor olmanız lazım. İşte yakınsak dizi ile sınırlı diziyi ayıran şey bu. Sınırlı diziler de sürekli olarak bir aralıkta kalır ama bu aralığı bir aşamadan sonra küçültemezsiniz. Ve fark etmişsinizdir ki bunun yaşanabilmesi için dizinin sürekli olarak artması ve azalması lazım. Eğer sürekli olarak azalıyorsa ve bir aralığa sıkıştıramıyorsanız sınırsız dizi olur. Eğer sürekli azalıyorsa ve bir sınır içindeyse yakınsak olur. Azalmanın yanında artma durumları da benzer şekildedir.

Sonsuz hakkında tanıma uygun olmak koşuluyla istediğiniz gibi arttırmak konusunda özgür olduğunuzu belirttik. Ancak bunu yaparken bir matematik sisteminin içinde bulunduğunuzu unutmamalısınız. Yani tutarsız durumlardan uzak durmalısınız. Örnek vermek gerekirse: $\sin (\frac{\pi }{2}n)$ dizisini inceleyelim. Eğer girdinizi sıfırdan başlatıp ikişer ikişer arttırırsanız elemanları $0,0,0,0\dots$ olarak bulursunuz. Yani yakınsak bir dizi olduğunu söylersiniz. Ama sıfırdan başlatıp birer birer arttırırsanız $0,1,0,-1,0\dots$ tarzında elemanlar bulursunuz. Bu sefer de dizinin sınırlı ıraksak olduğunu söylersiniz. Matematikte sistemlerin tutarlı olması gerektiği unutulmamalı. Ve bunu sağlayabilmek için üzerinde çalıştığınız fonksiyonları iyi tanımanız gerekiyor.

n Sonsuza Giderken Bir Bölü n

Önerme: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$

Öncelikle bu dizinin yakınsak bir dizi olduğunu göstermek işimize gelir. İşlemleri yaparken sürekli 1">$n>1$ varsayacağız. n>1⟹\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}">$n+1>n>1⟹\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}$, Bu şu anlama gelir: “Bu dizi sürekli olarak azalır”. Sürekli azalıyorsa bir alt sınırı olduğunu ispatladığımız takdirde yakınsak olduğunu söyleyebiliriz. Ve bu dizinin hiçbir elemanının negatif olamayacağı ispatlanabilir. Bunu size bırakıyoruz. Hiçbir eleman negatif olamıyorsa bir alt sınırı vardır. O da sıfır sayısı. Aynı şekilde hiçbir elemanın sıfır olamayacağını da ispatlayabilirsiniz. İpucu: tersi durumun doğru olduğunu varsayarak ispat yapabilirsiniz.

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

İspatın temel mantığı şu şekilde: bu limitin $0$ hariç diğer sayılara yakınsamadığını göstereceğiz. Bunu yapmanın en iyi yolu dizinin, herhangi bir pozitif sayıdan daha küçük elemanlarının bulunduğunu ispatlamak. Bir örnek üzerinde inceleyelim. Bu dizi $\frac{1}{2}$ sayısına yakınsamaz çünkü $\frac{1}{3}$ bu dizinin bir elemanıdır. $\frac{1}{3}$’ten sonraki bütün elemanlar $\frac{1}{3}$’ten daha küçük olacak (azalan dizi olduğu için). O halde $\frac{1}{3}$’ten sonra bu dizi sürekli olarak $\frac{1}{2}$ sayısından uzaklaşacak. Sonuç olarak bu dizi $\frac{1}{2}$’ye yakınsamaz.

Ama bize sadece $\frac{1}{2}$’ye yakınsamadığı yetmez. Sıfıra yakınsadığını göstermek istiyorsak herhangi bir pozitif sayıdan daha küçük elemanlarının olduğunu göstermeliyiz. Varsayalım ki $e$ sayısı pozitif bir gerçel sayı olsun (tercihen çok küçük, ki bunun için çoğu zaman $ϵ$ harfi tercih edilir). $\frac{1}{n}<e⟹\frac{1}{e}<n$, $e$ sayısı pozitif olduğuna göre bir çarpımsal tersi bulunur. Bu durumda $\frac{1}{e}$’den büyük olan herhangi bir doğal sayı kanıtlamak istediğimiz koşulu sağlar. O halde $\frac{1}{n}$ dizisi hiçbir pozitif gerçel sayıya yakınsamaz. Ve bu durumda alt sınır olan sıfıra gittikçe yakınlaşır yani yakınsar.

Bu dizinin hiçbir negatif sayıya yakınsamadığı da açıktır. Çünkü bu dizinin hiçbir elemanı negatif olamaz. Hiçbir eleman negatif olamadığı için bu dizinin elemanları negatif bir sayıya eşit kabul edilebilecek kadar azalamaz.

Üstel Fonksiyonlar

Sonsuz için bahsettiğimiz denkliği kullanarak, üstel fonksiyonların limitleri hakkında çıkarım yapabiliriz. Bunun için bir miktar eşitsizlik bilmeniz gerekiyor. Sıkıntı çıkmaması adına sadece pozitif gerçel sayılar için ispat yapacağız. Negatif sayılardaki bazı özel durumları (mutlak değer ya da üssün sadece tek sayı değerler alması gibi) siz değerlendirebilirsiniz.

İnceleyeceğimiz durum şu şekilde: $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}^n$. Bu limite bir örnek verelim mesela tabandaki sayımız $2$ olsun. $1,2,4,8,16,32\dots$ Sürekli büyüdüğünü fark etmişsinizdir. Belki de bu limitin cevabı sonsuzdur. Eğer sonsuzsa, iki durumu ispatlamamız lazım. Birincisi, bu dizinin sürekli olarak arttığı. İkincisi, bu dizinin herhangi bir doğal sayıdan daha büyük bir değerinin bulunduğu. İlki gayet basit, sürekli olarak artığına göre şu şartı yazabiliriz: a^n \implies a>1">$a^{n+1}>a^n⟹a>1$. Yani birden büyük herhangi bir sayı ilk koşulumuzu sağlar.

Şimdi ikinci koşula bakalım. Bunun için ilk olarak özel bir sayıyı inceleyeceğiz ve git gide diğer sayılar için de ispat yapmış olacağız. Sayımız tabii ki de $10$. Örneğin $10$ sayısının bazı kuvvetlerinin seçtiğiniz bir doğal sayıdan daha büyük olmasını istiyorsunuz. Tek yapmanız gereken o sayının kaç basamaklı olduğuna bakmak. Çünkü $10^n$, $n+1$ basamaklı bir sayıdır. Bir örnek göstermek gerekirse üç basamaklı herhangi bir sayı $10^3$'ten küçüktür. Sonuç olarak $10$ sayısının seçeceğiniz herhangi bir sayıdan daha büyük kuvvetleri mevcuttur.

$10$ sayısı için ispat yaptıysak, ondan büyük sayılar için de ispat yapmış oluruz. $n$ bir doğal sayı olmak üzere eğer $a$ gerçel sayısı ondan büyükse: $a^n\ge 10^n$. Yani ispatı bir sayı için yaptığımız anda, o sayıdan büyük sayılar için de ispatlanmış oluyor.

O zaman, ispatımızı biraz daha geniş bir aralığa çıkaralım. $16$ sayısı $10$ sayısından büyüktür. Yani: $16^n\ge 10^n⟹2^{4n}\ge 10^n$. Artık $2$ sayısının bazı kuvvetlerinin de ikinci koşulu sağladığını gösterdik. Ve bu ispatı biraz daha devam ettirebiliriz. Örneğin 2">$1,5^2>2$. O zaman $1,5$ ve kendisinden büyük sayılar da ikinci koşulu sağlar. Ve bu aynı şekilde $1$ sayısına kadar gider. Ancak $1$ sayısında işler değişiyor. Çünkü $1^2=1$. Bu şu demek: $1=1^2=(1^2{)}^2=1^4=(1^2{)}^4=1^8\dots$ Yani $\underset{n\to \infty }{\lim }{1}^{2^n}=1$, ve bu limitin $\underset{n\to \infty }{\lim }{1}^n$ limiti ile aynı anlama geldiğini fark etmişsinizdir.

Geriye tek bir şey kaldı birden küçük sayılar. Yani $0<a<1⟹\underset{n\to \infty }{\lim }{a}^n$. Bu limiti bulmanız için gereken şeylere yazıda değindik. Bu limiti ispatlamayı okura bırakıyoruz. Bu limiti ispatladıktan sonra da $\frac{10^n-1}{10^n}$ dizisinin limitini hesaplayabilirsiniz. Dizinin birkaç elemanını yazmanızı öneririz.

Özel olarak belirtmek gerekir ki bu bölümde yaptıklarımızı pozitif sayılar için yaptık. Ve üsleri de mümkün olduğunca doğal sayı olarak tuttuk.

Bu bölümde meraklı bir okurun dikkatini çekebilecek bir eksiklik var. $1$’den büyük herhangi bir gerçel sayının bazı kuvvetlerinin, herhangi bir doğal sayıyı aşabileceğini ifade ettik. Ama bunun için yeterli bir ispat yapmadık. Bu eksiği kapatmak adına, meraklı ve biraz da bilgili bir okur için ispat yapabiliriz. Bu ispat ne yazık ki bütün okurlara hitap etmiyor. Eğer bir miktar eşitsizlik biliyorsanız ispatı anlayabilirsiniz. Ve bu ispatı yaparken daha yüzeysel bir anlatım tercih edeceğiz. Zaten ispattaki asıl önemli olan şey, ispatın mantığını anlamak.

İlk olarak sorumuz şu: “Birden büyük ve yeterince küçük bir sayının bazı kuvvetleri bir milyondan büyük olabilir mi?”. Burada bir milyonu örnek olarak verdik. Zaten hatırlıyorsunuzdur ki bir sayının bazı doğal sayı kuvvetlerinin $2$’den büyük olduğunu gösterebilirsek ispatı tamamlamış oluruz. Örneğin:

2⟹(a^n )^4>16⟹a^{4n}>10

⟹(a^{4n} )^6>10^6=1.000.000">$a^n>2⟹(a^n{)}^4>16⟹a^{4n}>10⟹(a^{4n}{)}^6>10^6=\mathrm{1.000.000}$

Agora Bilim Pazarı

TEMEL AERODİNAMİK

Devamını Göster

₺415.00

Satın Al Tüm Ürünler

• Dış Sitelerde Paylaş

Yani:

2⟹a^{24n}>1.000.000">$a^n>2⟹a^{24n}>\mathrm{1.000.000}$

İspatın temel mantığı bu yönde. Yani, yeterince küçük bir sayının bazı doğal sayı kuvvetlerinin $2$’den büyük olduğunu göstermemiz yeterli. Hatta $2$ yerine $1,5$ da olur. İspat için inceleyeceğimiz dizi ise şu: $(1+\frac{1}{n}{)}^n$, Bu dizinin ne olduğunu anlamışsınızdır. İlk olarak bu dizinin artan bir dizi olduğunu gösterelim. Bunun için dizinin $n$ ve $2n$’inci elemanlarını karşılaştıracağız.

$n$’inci elemanı: $(1+\frac{1}{n}{)}^n$

$2n$’inci elemanı: $(1+\frac{1}{2n}{)}^{2n}=((1+\frac{1}{2n}{)}^2{)}^n=(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{4n^2}{)}^n$

Üslerinin doğal sayı olduğunu biliyoruz. Yani üsleri eşit (pozitif doğal sayı) olan iki elemanı karşılaştırmamız gerekiyor. Tabii ki bu durumda tabanı büyük olan eleman daha büyük olacaktır. Yani ikinci elemanın daha büyük olduğu belli. Buna göre şunu ifade edebiliriz:

$2=(1+\frac{1}{1}{)}^1<(1+\frac{1}{2}{)}^2<(1+\frac{1}{4}{)}^4<(1+\frac{1}{8}{)}^8\dots$

Bir örnek gösterelim: 2">$a=1+\frac{1}{1048576}⟹a^{\mathrm{1.048.576}}>2$, ve gerisini biliyorsunuz…

O zaman $1+\frac{1}{2^n}$ formatında yazılan ($n$ doğal sayı) herhangi bir sayı için ispatımızı yapmış bulunuyoruz. Aynı zamanda bu şekilde yazılabilen sayılardan daha büyük sayılar için de ispatlamış oluruz. Bunun birden büyük bütün sayıları kapsadığını fark etmişsinizdir. Çünkü $\frac{1}{2^n}$ şeklinde yazılan sayıların, herhangi bir pozitif gerçel sayıdan daha küçük olabileceğini gösterdik. Daha doğrusu siz yaptınız. O halde ispatımızı yapmış bulunuyoruz.

Aslında elinize bir hesap makinesi alırsanız bunun ne kadar büyüleyici bir şey olduğunu fark edebilirsiniz. İstediğiniz kadar küçük bir sayı seçin ($1$'den büyük). Ve bu sayının kuvvetlerini inceleyin. Örneğin $1+\frac{1}{10^{100}}$ , bu sayının birinci, ikinci, üçüncü… kuvvetlerine bakın muhtemelen bu sayının ekrana sığan kısmı sadece $1,000000\dots$ gibi gözükecek. Ve bu sayı bire böylesine yakın olmasına rağmen bu sayı için şunu söyleyebiliriz:

10^{100}">$(1+\frac{1}{10^{100}}{)}^{(2^{404}\times 25)}>10^{100}$

Neredeyse L'Hopital

Sonsuzla ilgili bazı limitleri çözmek her zaman kolay olmuyor. İlerleyen zamanlarda özellikle L’hopital kuralı ile çoğu limiti çözseniz de faktöriyel gibi bir fonksiyon sizi çok zorlar. O yüzden bir eşitlikten bahsetsek iyi olur. Zaten L’hopital kuralına ne kadar çok benzediğini fark edeceksiniz. İlk olarak matematiksel dil ile yazalım sonra ispatlar ve açıklarız.

Bazı $x$ ve $a$ gerçel sayıları ile $f(x+a)-f(x)\ne 0,g(x+a)-g(x)\ne 0$ koşulunu sağlayan $f(x)$ , $g(x)$ fonksiyonları için: $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x+a)}{g(x+a)}$ ise $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x+a)-f(x)}{g(x+a)-g(x)}$ dir.

İspat: $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x+a)}{g(x+a)}$ ise $f(x+a)g(x)=f(x)g(x+a)$ ise

$f(x+a)g(x)-f(x)g(x)=f(x)g(x+a)-f(x)g(x)$ Ortak çarpan parantezi:

$g(x)[f(x+a)-f(x)]=f(x)[g(x+a)-g(x)]$ Ufak bir düzenleme ile:

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x+a)-f(x)}{g(x+a)-g(x)}$ Eşitliğini elde edebiliriz.

Bu basitçe; bazı fonksiyonlar için iki fonksiyonun oranının, fonksiyonların değişiminin oranına eşit olduğunu söylüyor. Tıpkı L’hopital kuralı gibi. Bu kuralın uygulanmasına dair bir örnek inceleyebiliriz. Eğer sonsuza giden bir limit yakınsaksa $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \infty }{\lim }f(x+a)$ olduğunu biliyorsunuz. Yani bu kuralı yakınsak limitler için kullanmak çok avantajlı olabilir.

Örnek:$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{2^n}$, İlk olarak bu limitin sınırsız olmadığını gösterelim. Çünkü yakınsak olmasını istiyoruz. Bu gayet basit çünkü bu dizi azalan bir dizidir. Ayrıca dizimiz negatif değerler alamaz. Yani sonsuz değil. O halde bizim koşullarımıza uyup uymadığını kontrol edip kuralı uygulayabiliriz. Kontrolü size bırakıyoruz.

$a=1⟹\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{2^n}=\lim \frac{(n+1)-n}{(2^{n+1})-2^n}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2^n}$

Eğer isterseniz paya $n$ yerine $n^2$ gibi bir şey de yazabilirsiniz. Sonuç olarak her zaman kullanabileceğiniz genel bir kural olmasa bile bazı durumlarda hayat kurtaran bir kural olduğunu söyleyebiliriz. Ki az sonra bu kuralla ilgili daha iyi bir ispatı da göreceksiniz.

Bir Bölü n Faktöriyel

Önerme: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^n}{n!}=0$, bunu yine aynı kuralı uygulayarak yapacağız. Çünkü bu limitte L’hopital kuralını kullanamıyoruz. Bunun için ilk önce bu limitin gerçekten de sınırlı bir limit olduğunu göstermeliyiz.

İspat: İspatı yaparken yine 1">$a>1$ durumunu inceleyeceğiz. Bu dizinin hiçbir elemanının negatif olamayacağını ispatlayabilirsiniz. Ve bu durumda dizinin alttan sınırlı olduğunu göstermiş olursunuz. Bir de sürekli azalan bir dizi olduğunu göstermeliyiz. O zaman bu dizinin azalan bir dizi olduğunu varsayıp ne zaman azaldığını bulalım.

$\frac{a^{n+1}}{(n+1)!}<\frac{a^n}{n!}⟹\frac{a\times a^n}{(n+1)\times n!}<\frac{a^n}{n!}⟹\frac{a}{n+1}<1$

Yani, a">$n+1>a$ koşulunu sağlayan bütün $n$ değerleri için bu dizi azalandır. O halde bu dizinin bir aşamadan sonra azalan dizi haline geldiğini söyleyebiliriz. Bu dizinin hem sürekli azalan (bir aşamadan sonra), hem alttan sınırlı olduğunu bildiğimize göre yakınsak olduğunu söyleyebiliriz. O halde kuralı uygulamaya geçebiliriz. Bu limitin bir gerçel sayı olduğunu gördüğümüze göre bu limite $L$ diyelim.

$L=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^n}{n!}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^{n+1}-a^n}{(n+1)!-n!}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^n}{n!}\times \frac{a-1}{n}=[\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^n}{n!}]\times [\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a-1}{n}]$

$=L\times 0=0$

Yani: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a^n}{n!}=0$

Bu limitle ilgili bir örnek gösterebiliriz. Bunun için $e^x$ fonksiyonunun Maclaurin serisini açalım (Sanki sonlu bir toplammış gibi). Bu seriyi açmak için iki bilgi çok önemli. İlki $e^x$’in türevinin kendisine eşit olması. İkincisi $e^0$=1.

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^n}{n!}$

$⟹\frac{d}{dx}(e^x)=1+x+\frac{x^2}{2}+...+\frac{x^{n-2}}{(n-2)!}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$

O halde: $e^x-\frac{d}{dx}(e^x)=\frac{x^n}{n!}$

Yani,  $e^x$'in kendi türevine eşit olması için bu toplamın son elemanının $0$ olması(ya da yakınsaması) lazım. Ve biz de bunu kanıtladık. Benzer şekilde bu durumu sinüs gibi fonksiyonlar için de test edebilirsiniz.

Sonuç

1. İlk olarak limitte sonsuzu açıklamaya çalıştık. Sonsuz, tek başınayken üzerinde işlem yapabileceğiniz bir şey değildir. Ancak işin içine limiti kattığınız zaman sonsuz üzerinde işlem yapılabilecekmiş gibi bir anlam kazanır. Yoksa tek başına “bir bölü sonsuz” diye bir şey yoktur. Limitte taşıdığı anlamsa şu şekildedir: Sonsuz, durmaksızın büyüyen ve herhangi bir doğal sayıdan daha büyük değerler alan bir değişkene denktir.
2. Sonrasında yakınsamayı gördük. Yakınsamak, “birbirine eşit kabul edilebilecek kadar yakınlaşmak” anlamı taşır. Örneğin $\frac{1}{n}$ hiçbir $n$ doğal sayısı için sıfıra eşit olmaz. Ama sıfıra yakınsar. Ve biz onun limitini sıfır kabul ederiz. Bu nokta oldukça önemli çünkü belirsizlik durumlarını daha iyi anlamanızı sağlayabilir. Örneğin, Euler sayısını hesaplarken taban hiçbir zaman $1\text{'}$e eşit olmuyor. Eğer $1\text{'}$e eşit olsaydı Euler sayısı $1$ olurdu.
3. Üstel fonksiyonlarla yaptığımız işler aslında büyük bir başarı ve matematiğin gerçekte nasıl çalıştığına dair iyi bir örnek. Genel olarak sadece $\underset{n\to \infty }{\lim }10^n$ limitinden yola çıkarak neler neler yaptık. Ki zaten bu limitteki dizi, $a_n=n$ dizisinin onuncu, yüzüncü, bininci… elemanlarını içerir. Yani basit bir mantıkla $\underset{n\to \infty }{\lim }n=\underset{n\to \infty }{\lim }10^n$ diyebiliriz. Çıkış noktamızı daha da geriye götürmüş oluruz.
4. Son olarak okura ufak bir öneri. Eğer limitini inceleyeceğiniz dizilerin bazı elemanlarını, artış miktarını ve benzeri önemli özelliklerini yazarak ya da grafiğe dökerek incelerseniz yaptığınız işi çok daha iyi anlarsınız.