Paralel Plakalı Sığaçların Sığasının Hesaplanması. Neden C= εA/d ? 🤔

Öncelikle sığa kavramını tanımlayacağım.

SIĞA

Bir sığacın birim potansiyel farkta (Volt(V)) depoladığı yük miktarına (Coulomb(C)) sığa denir. Sığanın sembolü C'dir, birimi farad(F)'dır.

C = Q / ΔV F = C / V

Paralel Plakalı Sığaçların Sığasının Hesaplanması

Paralel plakalı sığaçlar, karşılıklı iki eş ve aralarında yalıtkan bulunan iletken levhalardan oluşmaktadır. Bu levhalar veyahut plakalar, bir üretece bağlanınca eşit miktarda ve zıt işaretle yüklenirler.

www.turkhackteam.org

Yüklenen plakaların arasında bir elektrik alan ve potansiyel fark oluşur. Plakaların arasındaki potansiyel fark, üretecin gerilimine eşit olmak zorundadır. Çünkü üreteçle sığacın plakaları iletken kabloyla bağlıdır. Sığanın C = Q / ΔV olduğunu biliyoruz. Bu formülde plakalar arasındaki potansiyel farkı bulup ΔV'yi açarak formülü düzenleyeceğiz. Potansiyel fark, elektrik alanın yol üzerinden integralini, ∫ 𝐸⃗·d𝐥⃗, alarak hesaplanır.

Bu integralde aradaki nokta skaler çarpımı ifade eder. Skaler çarpımda vektörler paralel olursa eğer skaler çarpım, doğrudan vektörlerin büyüklüklerinin çarpımına eşit olur. İntegral ∫ E.dl 'ye dönüşür. Ve E'nin de sabit olduğunu söylersek eğer E, integralde bir sabit olur ve integralin dışına çıkar. E.∫dl olur. ∫dl zaten gidilen yolun uzunluğunu verir. İntegralin sonucu ve potansiyel fark, gidilen yola "d" dersek E.d olur. Şimdi paralel plakalı sığacımıza geri dönelim. Sığaçlar plakalar arası uzaklık çok küçük ve plakaların genişliği çok büyük olacak şekilde tasarlanır. Böyle olunca plakaların arasındaki elektrik alan neredeyse düz olur. Sadece kenarlarda çok ufak yamulmalar olur.

Serway Fizik Kitabı

O çok ufak yamulmaları da görmezden geliriz ve elektrik alanı düz kabul ederiz. Düz kabul edince işimiz çok kolay olur. Elektrik alan düz olunca yukarıda anlattığım şekilde potansiyel farkı hesaplarken 𝐸⃗ ve d𝐥⃗ vektörleri paralel olur ve E'yi Gaus yöntemiyle hesaplayabiliriz. E'nin Gaus yöntemiyle nasıl hesaplandığı detayına burada girmeyeceğim. Bir plakanın oluşturduğu elektrik alanın düz olması için plakanın sonsuz genişlikte olması(yani alanı sonsuz olması) gerekir ancak öyle elektrik alan tamamen düz olur. Sonsuz genişlikteki paralel bir plakanın oluşturduğu elektrik alan Gaus yöntemiyle σ/(2ε) bulunur. İki tane paralel plaka olduğu için ve plakadaki yükler de zıt olduğu için toplam elektrik alan σ/ε olur. Burada σ(sigma) plakanın yüzeysel yük yoğunluğudur, bunu plakadaki toplam yükü(Q) plakanın yüzey alanına(A) bölerek bulabiliriz. σ=Q/A . ε(epsilon) ise ortamın elektrik alan geçirgenliğidir, ne olduğuna daha sonra değineceğim. σ'yı da Q/A şeklinde açarsak elektrik alan E=Q/(A.ε) olur. Gördüğümüz üzere E uzaklığa bağlı değil, ∫ E.dl integralinde bir sabit. Bu yüzden potansiyel farkı bulurken E'yi dışarı alabiliriz ve potansiyel fark ∫E.dl=E.∫dl=E.d olur. Buradaki gidilen yol plakalar arası uzaklık olan "d" olur. Elektrik alanın büyüklüğünün Q/(A.ε) olduğunu söylemiştik. Buradan potansiyel fark ΔV=E.d= (Q.d)/(A.ε) olarak bulunur. Potansiyel farkı bulduğumuza göre C = Q / ΔV formülünde sığayı bulabiliriz.

C = Q / ΔV = Q/((Q.d)/(A.ε)) = (Q.(A.ε))/(Q.d) = ε.A/d

Paralel plakalı sığaçların sığasının formülünü ε.A/d olarak buluruz.

Formülü bulduk. Şimdi de bu bulduğumuz formüldeki değişkenler mantıklı mı, neden etkiliyor, sığacın çalışma mantığı nedir gelin bir de bunu inceleyelim.

Sığacın Çalışma Mantığı ve Bulduğumuz Matematiksel Sonuçların Mantıksal İzahı

Bir üretece nötr, iletken bir cisim bağlandığında şu gerçekleşir:

→Eğer iletken üretecin negatif kutbuna bağlanırsa, üreteç bu iletkene elektron gönderir. Çünkü negatif kutbun potansiyeli iletkeninkinden düşüktür. Potansiyeller eşitlenene kadar bu devam eder.

→Eğer iletken üretecin pozitif kutbuna bağlanırsa, üreteç bu iletkenden elektron çeker. Çünkü pozitif kutbun potansiyeli iletkeninkinden yüksektir. Potansiyeller eşitlenene kadar bu devam eder.

Bu prensip sayesinde bir sığacın plakalarını üretecin uçlarına bağladığımızda plakalar zıt şekilde yüklenir. Biri negatif diğeri pozitif olur. Ancak burada önemli bir etkileşim başlar. Plakaları birbirine yaklaştırdığımızda negatif plakanın üzerindeki fazlalık elektronlar, pozitif plakanın üzerindeki elektronları itmeye başlar. Bir başka deyişle de plakalar elektrik alan oluşturur ve bu plakalardaki elektrik alanlar karşı plakadaki elektronları çeker ya da iter. Bu sayede plakalarda daha çok yük birikir. Bu bir sığacın depoladığı yük miktarının yalnızca üretecin potansiyel farkına değil aynı zamanda sığacın geometrik özelliklerine de bağlı olduğunu gösterir. İşte bu sığacın geometrik özelliklerinin etkisine de biz sığa diyoruz.

Şimdi de C=ε.A/d formülümüzdeki değişkenlerin fiziksel anlamlarına bakalım .

→Plakaların Yüzey Alanı(A)'nın Etkisi:

Yüzey alanı artarsa hem plakanın yük taşıyabileceği alan artar, pil tarafından daha çok yüklenir hem de plakalar daha geniş bir alanda etkileşime girer ve daha çok etkileşim daha çok yüklenmeye sebep olur. Aslında yüzey alanı arttıkça (diğer değişkenler sabitken) elektrik alan değişmeyeceği için birim yüzeydeki elektrik alan sebebiyle oluşan yüklenme değişmez. Yüzey alanı arttıkça üreteç sebebiyle ve elektrik alan sebebiyle de ekstra olarak yüklenmiş alan miktarı artar diyebiliriz.

→Plakalar Arası Uzaklığın(d) Etkisi :

Bir sığaç üretece bağlıyken potansiyel fark her zaman sabittir. Bu durumda d'yi arttırdığımızı düşünelim. Plakalar arası elektrik alanı düzgün kabul etmiştik ve böyle kabul edince şu denklemin geçerli olduğunu söylemiştik: ΔV=E.d . Bu formülü inceleyince ΔV sabit demiştik, burada d arttığı durumda o zaman E azalır ve E azalınca da sığa azalır. Böyle düşününce her şey güzel ama şöyle bir problem var. Elektrik alanı düz kabul edince elektrik alanın σ/ε olduğunu söylemiştik yani d'ye bağlı değildi ! Unuttuğumuz şey, d arttıkça elektrik alan çizgileri iyice bombeleşir, yamulur, düz kalmaz. Elektrik alan yamuldukça elektrik alanın gerçek değeri σ/ε 'dan daha fazla sapar ve elektrik alan azalır. ΔV=∫ 𝐸⃗·d𝐥⃗ denkleminden düşünerek de bunu söyleyebiliriz. Elektrik alanın azalması demek sığanın azalması demektir. Ama aslında asıl elektrik alanı azaltan şey sapmanın artması değil, plakalardaki yük miktarının azalmasıdır. Elektrik alanın kaynağı o fazlalık yükler olduğu için yük azaldıkça elektrik alan da tabiki azalır. Yük miktarının neden azaldığını şöyle açıklayacağım. Anlamak için öncelikle yüklü ama pile bağlı olmayan bir sığaç düşüneceğiz. Bu sığacın plakalarını birbirinden uzaklaştırınca ΔV' a ne olur onu düşünelim. Artık genel formülü kullanıyoruz. ΔV=∫ 𝐸⃗·d𝐥⃗'dir. Uzaklık arttıkça elektrik alan çizgileri bombeleşir ve elektrik alan azalır (elektrik alan her konumda farklı ama ortalama olarak azalır). Elektrik alan azalır ama uzaklığın artışına göre yavaş kalır. Yani uzaklık daha hızlı artar. Bu yüzden potansiyel fark artar. Şöyle de düşünülebilir iki zıt yüklü cismi birbirinde uzaklaştırırsak potansiyelleri zaten artar, biri negatif yönde artar diğeri pozitif olarak artar, ΔV artmış olur. Şimdi bir de bunu pile bağlıyken düşünelim. Pile bağlıyken de yine aynı mantıkla plakalar arası ΔV artmaya çalışır. Ama şöyle bir durum var. Mesela ΔV arttıkça sığacın pozitif yüklü plakasının potansiyeli artar ve üretecin pozitif ucunun potansiyelinden daha yüksek olmaya başlar çünkü ilk durumda aynıydı potansiyeller. ΔV oluşması ne demek, akım oluşması demektir. Elektronlar düşük potansiyelden yüksek potansiyele akar. Pozitif yüklü plakaya elektron akmaya başlar yani nötrlenmeye başlar, net yük azalır. Negatif plakada ise potansiyel iyice azalır ve üretecin negatif ucundan daha düşük olur potansiyeli. Negatif plakadan üretece elektron akmaya başlar, yani nötrleşir, net yük azalır. Plakalar arası gerilim azalmaya çalıştıkça akım akar ve üreteç gerilimi sabit tutar. d arttıkça sığa azalır ve potansiyel fark sabit olduğu için sığacın o aynı potansiyel farkta tutabildiği yük miktarı daha az olur. Sığaç yükleri tutamaz ve yükler akıp sığacı terk eder.

→Plakaların Arasındaki Ortamın Dielektriğinin(ε=εᵣ.ε₀) Etkisi :

Plakalar arasında bir elektrik alan olduğu için, bu alana ortamda bulunan dipol moleküller tepki verir. Dipol olmayan moleküller de elektrik alan etkisiyle geçici dipol haline gelir. Moleküllerin pozitif uçları negatif plakaya, negatif uçları ise pozitif plakaya doğru yönelir. Bu durumda pozitif plakaya moleküllerin negatif tarafları daha yakın olacağından moleküller, pozitif plakadaki elektronları iter. Benzer şekilde moleküller negatif plakaya elektronları çeker. Bu yüzden ortamdaki moleküller sığayı arttırır. Ortamdaki moleküllerin dipollüğü ne kadar fazlaysa kuvvet artacağı için bu etki o kadar fazladır.

ε₀ boşluğun elektriksel geçirgenliğidir. εᵣ bağıl elektriksel geçirgenlik katsayısıdır yani ortamın elektriksel geçirgenliğinin boşluğunkinin kaç katı olduğunu söyler. ε=εᵣ.ε₀