Oppermann'ın Varsayımı: Asal sayıların dağılımı hakkında çözülememiş problem

Oppermann'ın varsayımı nedir?

Oppermann'ın varsayımı, asal sayıların dağılımına ilişkin matematikte çözülmemiş bir problemdir. Legendre'nin varsayımı, Andrica'nın varsayımı ve Brocard'ın varsayımıyla yakından ilişkilidir ancak onlardan daha güçlüdür. Adını, Mart 1877'de yayınlanmamış bir konferansta açıklayan Danimarkalı matematikçi Ludvig Oppermann'dan almıştır.

Asal sayılar nedir?

Asal sayılar, sadece iki pozitif tam sayı böleni olan, kendisine ve 1 sayısına kalansız bölünebilen, 1'den büyük sayma sayılarıdır. En küçük ve tek çift doğal sayı 2'dir.

Öklid'den beri asal sayıların sonsuz olduğu bilinir. Asal sayılar hakkındaki pek çok soru günümüzde hâlâ cevaplanamamaktadır.

Asırlardır asal sayılar üzerinde birçok teorem ortaya atılmış ve ispat edilmiştir. Asal sayıların bulunması için çeşitli formüller üretilmeye çalışılmış, fakat bunların hiçbiri bir sonuca varamamıştır. Sayılar Teorisi'nin en önemli uğraşısı asal sayılar hakkındaki bu tür sorulardır. Asal sayılar ayrıca kriptografi alanında yapı taşlarıdır.

1 sayısı asalmıdır?

1 sayısı günümüzde ne asal ne de bileşik kabul edilir ve özel bir durumu vardır. Geçmişte pek çok matematikçi 1'i asal sayı olarak kabul ediyordu. 1'in asal olarak kabul edilmesine dayanarak yapılan birçok çalışma geçerliliğini hâlâ sürdürmektedir: Stern ve Zeisel'in çalışmaları gibi. Henri Lebesgue, çalışmalarında 1'i asal olarak ele alan son profesyonel matematikçi olarak bilinir. 1 asal olarak ele alındığında bâzı teoremlerde değişikliğe gidilmesi gerekir. Örneğin tüm pozitif tam sayıların "yalnız bir şekilde" asal sayıların çarpımları şeklinde yazılabileceğini söyleyen aritmetiğin temel teoremi, geçmişteki asal sayı tanımına göre geçerli değildir.

Oppermann'ın varsayımı ne söyler?

Varsayım, her x > 1 tam sayısı için x(x - 1) ile x^2 arasında en az bir asal sayı olduğunu söyler. Eğer bu varsayım doğruysa Ulam spiralinin her çeyrek dönüşünde en az bir asal sayının bulunabileceğini de ima etmektedir. Ayrıca varsayım, asal sayıların dağılımı hakkında diğer çözülememiş varsayımlar olan Legendre'nin, Andrica'nın ve Brocard'ın varsayımlarından daha güçlüdür.

Varsayımın şu anki durumu

x'in küçük değerleri için bile, varsayımın verdiği aralıklardaki asal sayıların sayısı 1'den çok daha büyüktür ve bu da varsayımın doğru olduğuna dair güçlü bir kanıt sağlar. Ancak Oppermann'ın varsayımı 2015 yılı itibarıyla maalesef henüz kanıtlanamamıştır.