Leonardo Fibonacci

• Pisalı Leonardo kimdi ve kitabı ne zaman yayımlandı?
• Peki onun Fibonacci ile ne ilgisi var?

Daha çok Leonardo Fibonacci olarak bilinen Pisalı Leonardo, yaklaşık 1170'den 1240'a kadar yaşadı ve Avrupa'nın ilk önemli matematikçisi olarak kabul ediliyor. Afrika, Bizans ve Suriye'ye yaptığı yolculuklarda Hıristiyan Batı'da büyük ölçüde bilinmeyen Arap matematiğiyle tanıştı. 1202 yılında çıkan "Liber abaci" adlı eserinde bu bilgisini kendi düşünceleriyle birleştirdi. Kitap, Batı matematik tarihinde uzun süre eşsiz kaldı ve diğer şeylerin yanı sıra, Avrupa'nın Arap sayı sistemini benimsemesine katkıda bulundu.

Liber abaci'de, Fibonacci'nin muhtemelen sadece bir merak olarak gördüğü ve peşine düşmediği, ancak daha sonra "Fibonacci dizisi" olarak meşhur olacak bir düşünce deneyi vardır. Fibonacci kendi kendine bir yılda tek bir çiftten kaç çift tavşanın türediğini sordu. Bu yıl içinde hiçbir tavşanın ölmediğini ve her bir çift tavşanın her ay her iki cinsiyetten tam olarak bir çift ürettiğini ve bunun da doğumdan sonraki ikinci aydan itibaren verimli olduğunu varsaydı.

Fibonacci sayı serisi nereden geliyor? "Liber abaci" adlı kitabında şöyle yazıyor: "Yukarıdaki çift zaten ilk ayda doğum yaptığından, bunu ikiye katlayabilirsiniz, böylece bir ay sonra iki çift olur."

1. Fibonacci'nin saymaya başladığı birinci ayın sonunda iki çift tavşan ortaya çıkar.
2. İkinci ayın sonunda orijinal çift başka bir çift doğurdu, diğer çift ise doğurgan hale geldi. Şimdi 3 çift var.
3. Bu 3 çiftten üçüncü ayda ikisi artık doğurgan, biri doğurgan değil, yani bir sonraki ayın sonunda iki çift tavşan daha eklenir, toplam 5 çift olur.
4. Bu 5 çiftten 3'ü tekrar hamile kalır, yani dördüncü ayda 8 çift oluşur.
5. Fibonacci'nin gözlemine göre tavşan çiftlerinin sayısını belirlemek için tek yapmanız gereken önceki iki aydaki tavşan çiftlerinin toplamını toplamaktır.

Başlangıçta bir çift tavşan var. Bir ay sonra 2 çift tavşan olur, iki ay sonra 1 artı 2 yani 3, üç ay sonra 2 artı 3 yani 5, dört ay sonra 3 artı 5 yani 8 vb. - on bir ay sonrasına kadar orada olur İlk çiftten 233 çift tavşan var.

Fibonacci'nin düşünce deneyi elbette gerçekçi olmayan varsayımlara dayansa da, büyüme süreçlerinin temel özelliklerini açıklamaktadır. Fibonacci için görevi bu şekilde çözülmüşken, daha sonra Fibonacci dizisinin doğada ve sanatta bulunabileceği keşfedildi; bitkilerin yaprak konumunda, kabukların spiral şeklinde, düşük basınçlı bir bulutun yapısında. alanda veya resimlerde, mimari yapılarda veya müzikte.

Fibonacci sayılarına geometrik olarak da yaklaşılabilir. Kenar uzunluğu 1 olan bir kareden başlayalım. Onun yanına aynı büyüklükte ikinci bir kare oluşturalım buna kenar uzunluğu 2 olan başka bir kare daha ekleyelim. Daha sonra kenar uzunluğu 3, bir kenar uzunluğu 5, bir kenar uzunluğu 8 olan bir kare oluşturuyoruz. Fibonacci dizisinin rakamlarını kolaylıkla tanıyabiliriz.

Şimdi her kareye çeyrek daire çizelim. Ortaya çıkan spirale Fibonacci spirali denir. Nautilus kabuğunda bunu çok net bir şekilde görebiliriz.

Altın bölüm ve yakınları

Altın bölümün ilk kesin tanımı buna "dış ve orta orana göre bölme" adını vermişti. Yunan matematikçi Öklid tarafından M.Ö. Büyük parçanın bütünle ilişkisi nasılsa, parça da büyük parçayla aynı şekilde ilişkilidir. Daha sonra, 15. yüzyılda, İtalyan matematikçi ve Fransisken keşiş Luca Pacioli, Öklid'in çalışmalarını inceledi ve tüm cildini "orantılı divina" veya "ilahi bölme" olarak adlandırdığı bir çizginin bu bölünmesine ayırdı.

1600 civarında, Kepler'in gezegensel hareket yasalarıyla tanınan Johannes Kepler, Fibonacci sayıları ile altın oran arasındaki ilişkiyi keşfetti. Fibonacci dizisinin bir sayısı ile bir önceki sayı arasındaki oranın, dizi ne kadar uzun olursa, irrasyonel sayı Φ ((Phi))'ye giderek daha fazla yaklaştığını fark etti. Ve Φ altın orandan başka bir şeyi ifade etmiyor.

Altın oran, insanın algı sistemi tarafından her zaman çok güzel ve uyumlu olarak algılanan bir oranı ifade eder. Dünyanın hemen hemen tüm kültürlerinde, özellikle mimari ve sanatta, pek çok çağa yönelik uygulamasını bulabiliriz.

En boy oranı altın orana karşılık gelen dikdörtgene altın dikdörtgen denir. Aynı şekilde iki kenarı bu oranda olan ikizkenar üçgenlere de Altın Üçgen adı verilmektedir.

Doğadaki Fibonacci sayıları

Altın oran ve Fibonacci sayılarının doğada sıklıkla görülmesi şaşırtıcıdır. En çarpıcı olanı, bu yapısal ilkelerin bitkilerin filotaksisinde, yani yaprakların ve tohum kabuklarının düzenlenmesinde bulunmasıdır. Çok daha gelişmiş birçok bitki türünde, sarmal bir düzende birbirini takip eden yapraklar arasındaki açı ortalama 137,5 derece civarındadır; bu altın açıdır. Bu yaprak düzenlemesi aynı zamanda Fibonacci filotaksisi olarak da bilinir.

Altın açı irrasyonel bir sayıya dayandığından bir yaprak hiçbir zaman diğerinin tam üstünde olmayacaktır. Böylece yukarıdan düşen güneş ışığından en iyi şekilde yararlanılabilir ve gelen yağmur, yapraklardan köklere maksimum miktarda aktarılır.

Mimarlık ve Sanatta Altın Kesit

Çok eski zamanlardan beri, insanların güzelliği ifade etmek istedikleri ve ilahi ideale yaklaşmaya çalıştıkları her yerde altın orana rastlıyoruz. Bunlar genel olarak sanat, özel olarak ise mimaride kutsal mekanlardır.

Zaten Giza piramitlerinde Phi sayısının oranları şaşırtıcı bir doğrulukla gösteriliyor. Örneğin Khufu Piramidi'nde piramidin kenar uzunluğunun piramidin tabanının yarısına oranı 356 : 220 arşındır, yani 1.618 Phi sayısına eşittir.

Altın ölçüler aynı zamanda büyük taş anıtların en ünlüsü olan ve yaklaşık 3500 yıl önce İngiltere'deki Salisbury yakınlarında inşa edilen Stonehenge'de de bulunuyor.

MÖ 450 yılında Perikles döneminde inşa edilen Atina Parthenon'u en ünlü klasik yapılardan biridir. Aynı zamanda antik Yunan mimarisinin en güzel ve en eksiksiz eseri olarak kabul edilir.

Sanatta altın oranın oranlarını, Leonardo da Vinci'nin "Son Akşam Yemeği" veya Albrecht Dürer'in "Otoportre"si gibi çok sayıda ünlü tablonun temel yapısında görmek mümkündür. Modern zamanların altın oranı bilinçli olarak kullanan sanatçılarından biri de Hollandalı ressam Piet Mondrian'dır. Altın bölümün oranlarını birçok yönden ve şaşırtıcı bir doğrulukla birleştirir.

Müzikte altın oran çeşitli şekillerde karşımıza çıkıyor.

Sadece bir piyano klavyesini gözlemlemek ilginçtir. Küçük C'den C1'e kadar bir oktav aralığı 8 beyaz tuş ve 5 siyah tuş içerir; toplam 13 tuş bulunur. Siyah tuşlar 2 ve 3'lü gruplara ayrılmıştır. Fibonacci serisindeki tüm sayılar ve oranlar.

Müzikolog Ernö Lendvai'nin eserlerinde, besteci Béla Bartok'un eserlerinde altın oranın ve Fibonacci sayılarının hakim tasarım ilkesi olarak bulunduğunu okuyoruz.

Agora Bilim Pazarı

BİLGİSAYAR AĞLARI

Devamını Göster

₺851.00

Satın Al Tüm Ürünler

Bu özellikle İki Piyano ve Vurmalı Çalgı Sonatı'nda açıkça görülmektedir; burada sadece biçimsel kısımlar Altın Oran orantılarına uymamaktadır. Ancak en sevdiği çiçeğin ayçiçeği olduğu söylenen Bartok'un kendisi bu konuda hiçbir yorumda bulunmadı.

Bach'ın, Mozart'ın, Schubert'in, Debussy'nin ya da Satie'nin eserleri üzerine de benzer çalışmalar var. Son olarak altın orana müzik aletlerinin yapımında da rastlamak mümkündür.

Fibonacci sayıları ve Mandelbrot fraktalları

Amerikalı-Fransız matematikçi Benoît Mandelbrot, 1980'lerde fraktal geometri ve kaos teorisine ilginin ortaya çıkmasından büyük ölçüde sorumludur.

Fraktallar başlangıçta sadece matematiksel olarak tanımlanmış, bir, iki veya üç boyutlu olmayan, ikisinin arasında bir şey olan nesnelerdir. Bunları canlı bir şekilde hayal etmek mümkün değil. Ancak doğada bu tür fraktallara yaklaşan nesneler mevcuttur. Bunlarda, kaba gözlemlerde olduğu kadar ayrıntılı olarak da birbirine benzeyen, yinelenen yapılar bulunur. Bu nedenle kendi kendine benzerlikten de söz edilir.

Doğadaki fraktal geometrinin özellikle güzel bir örneği, yeşil karnabahar olan romanesco'dur.

Bununla birlikte, fraktalların popülaritesi muhtemelen bilimsel önemlerinden ziyade basit algoritmalar kullanarak bilgisayarda yüksek estetik çekiciliğe sahip görüntüler yaratma olasılığından kaynaklanmaktadır. Bunlardan en ünlüsü muhtemelen "elma adam" veya Mandelbrot setidir. Kenar bölgelerinde her genişlemede benzer ama her zaman yeni ve şaşırtıcı derecede güzel yapılar gösterir.

Fraktalların Fibonacci sayılarıyla ne ilgisi var?

Mandelbrot kümesinin farklı büyüklükteki elma şekilleri, matematiksel algoritmaların farklı tekrarlama dönemlerinde ortaya çıkar. Şimdi bu elma formlarına bakıldığında şu tespit yapılabilir: 2. periyoda ait bir elma ile 3. periyoda ait bir elma arasındaki tüm elmalar arasında, 5. periyoda ait olan elma en büyüğüdür. Aynı şekilde, 5. periyottaki elma ile 3. periyottaki elmalar arasında, 8. periyottaki elma en büyüğüdür. Ve 8. periyottaki elma ile 5. periyoddaki elmalar arasında yine 13. periyoddaki elmadır. Tüm sayılar Fibonacci serisindendir.