Genelleştirilmiş Binom Teoremi

Hepimiz $(a+b{)}^2$, $(a+b{)}^3$ açılımlarını ezbere biliyoruz. Peki ya, parantezin üssünü negatif bir tam sayı, hatta bir kesirli sayı yapmak isteseydik? $(a+b{)}^{-1}$, $(a+b{)}^{1/2}$ için bir binom açılımı olsaydı bu çok iyi olmaz mıydı? Eğer siz de merak ediyorsanız size güzel bir haberim var: Evet, bunlar için bir binom açılımı var.

Bunu senden benden önce düşünen biri vardı: Newton.

Newton binom açılımının sadece doğal sayılar için çalışmasından rahatsızdı.

17. yüzyıl matematikçileri o dönemlerde bazı eğrilerin altında kalan bölgenin alanını bulmaya çalışıyordu. Özellikle astronomi için bu çok önemliydi. Ancak bazı alanlar vardı ki, hesaplamaları çok zordu.

Örnek: $y=\sqrt{1-x^2}$ grafiğinin alanı. Bu bir yarım çemberdir. Çok belalıdır.

Nasıl Bulundu?

Newton $(1+x{)}^n$ açılımını inceledi.

$(1+x{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{3})x^3+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{4})x^4\cdots$

O dönemki kombinasyon tanımı şuydu:

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{(n-k)!k!}$

Newton bu tanımı değiştirdi ve şuna çevirdi:

$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots (n-k+1)}{k!}$

Bu tanım, $n$'nin herhangi bir reel sayı, hatta karmaşık sayı olmasına izin veriyor.

Newton $(1+x{)}^n$ açılımını değiştirdi ve eline şu geçti:

$(1+x{)}^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}{x}^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}{x}^3+\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}{x}^4\cdots$

Artık formülü test etme vakti. $n$ yerine -$1$ koyarsak karşımıza şu çıkar:

$(1+x{)}^{-1}=\frac{1}{1+x}=1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7\cdots$

Bir şey fark ettiniz mi? Eğer $n$ bir doğal sayı değilse, seri açılımı asla sonra ermiyor. Sonsuza kadar gidiyor!

Bu zaten o dönem bilinen geometrik seri ile tutarlı olsa bile, doğru mu emin olmak için bir test yapalım.

Eğer bu seri gerçekten $(1+x{)}^{-1}$ ise, o zaman $(1+x)$ ile çarpıldığı zaman sonucun 1 çıkması gerekiyor.

$(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7\cdots )(1+x)=S$

$(1-x+x^2-x^3+x^4-x^5+x^6-x^7\cdots )+(x-x^2+x^3-x^4+x^5-x^6+x^7\cdots )=S$

$1=S$

Evet, sonuç $1$ çıktı!

Ancak bu binom açılımlarının bir sorunu var: Yakınsaklık yarıçapı.

Agora Bilim Pazarı

PALME 10.SINIF ENERJİ COĞRAFYA KONU ÖZETLİ SORU FASİKÜLLERİ (4 FASİKÜL)

Devamını Göster

₺799,00

Satın Al Tüm Ürünler

Eğer $n$ bir doğal sayı değilse, elimize geçen açılımında eğer $|x|<1$ değilse seri ıraksar. Bu tür bir kısıtlaması olması bazen sorun olabilir.

Kullanımı$Kullanımı$

Newton o dönemde bu binom açılımını en büyük silahı olarak kullandı ve matematikçilerin en çok zorlandığı hesaplamaları kolayca yapabildi.

Pi Sayısını Hesaplama

Newton o dönemde kalkülüsü daha yeni yeni geliştiriyordu. Yine de yöntemini polinomların altında kalan alanı hesaplayabilecek kadar geliştirmişti.

Yarım dairenin grafiğinin denklemi şudur:

$y=\sqrt{1-x^2}$

Newton elindeki binom açılımı ile bu denklemin açılımını yazdı:

$y=1-\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}-\frac{x^6}{16}-\frac{5x^8}{128}\cdots$

Sonra bu yeni denklemin integralini aldı:

$\int ydx=x-\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{40}-\frac{x^7}{112}-\frac{5x^9}{1152}\cdots +C$

İşte! Bu kadar!

Eğer Newton burada $C$ sabitini $0$ kabul ederse ve $x$ yerine $1$ koyarsa (integralden dolayı $|x|<1$ sınırı çok az genişledi) elde edeceği şey $\frac{\pi }{4}$ olacak.

$\frac{\pi }{4}=1-\frac{1}{6}-\frac{1}{40}-\frac{1}{112}-\frac{5}{1152}\cdots$

Newton burada $x$ yerine $\frac{1}{2}$ koyarak çok daha hızlı yakınsayan başka bir sonsuz seri elde etti ve çok kısa sürede $\pi$'nin virgülden sonraki 12-15 basamağını hesapladı.

Bu şekilde $\pi$'yi hesaplamak o kadar kolaydı ki, Newton bunu "küçümsedi" ve bir mektubunda şunları yazdı:

"O dönemde yapacak başka bir işim olmadığı için bu hesaplamalara ne kadar çok zaman ayırdığımı söylemeye utanıyorum."

Karmaşık Formülleri Basitleştirme

Bazı formüller vardır ki, özellikle fizikte, teorik olarak kusursuz olsa bile hesaplamalar yapmak için hiç pratik değildir. Özellikle henüz hesap makinelerinin olmadığı bir dönemde.

Örnek vermek gerekirse, Einstein'in enerji denklemi:

$E=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$

Bu denklemde tanıdık bir yüz var: $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$

Eğer $(1+x{)}^{-1/2}$'nin binom açılımını bulup formülde yerine koyarsak şunu elde ederiz:

$E=m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^2}+\frac{5}{16}m\frac{v^6}{c^4}+\frac{35}{128}m\frac{v^8}{c^6}\cdots$

Bu formülde 3. terimden itibaren kütle ve hız çok yüksek olmadığında terimler çok küçük olduğu için o terimleri yoksayabiliriz.

$E\approx m{c}^2+\frac{1}{2}m{v}^2$

Gözünüze çarpan tanıdık bir şey var mı? Evet, $\frac{1}{2}m{v}^2$. Klasik fizikteki kinetik enerji formülü. Genelleştirilmiş binom açılımı sayesinde özel göreliliğin küçük hız ve kütlelerde nasıl Newton fiziğine dönüştüğünü kendi gözlerinizle gördünüz.

Daha birkaç tane daha kullanım alanı var ancak yazıyı daha fazla uzatmasam iyi olur. Umarım okurken keyif almışsınızdır.