1/x Hiperbolünün İntegrali

Bu blog yazısında kısaca $f(x)=\frac{1}{x}$ fonksiyonunun integralini anlatacağım.

İntegrali İsimlendirme

Öncelikle elimizdeki bu integrale geçici bir isim verelim.

${\int }_1^x\frac{1}{t}dt=L(x)$

Şimdilik bu fonksiyona $L(x)$ fonksiyonu diyeceğiz.

Fonksiyonun Davranışını İnceleme

Elimizdeki $L(x)$ fonksiyonu, bizim bildiğimiz bir fonksiyon ile benzer davranış gösteriyor mu test etmemiz gerekiyor.

Burada uzun uzun beyin fırtınası yapmayacağım. Direkt cevaba giden yola bakacağız.

${\int }_1^{xy}\frac{1}{t}dt={\int }_1^x\frac{1}{t}dt+{\int }_x^{xy}\frac{1}{t}dt$

En sağdaki integral için şu dönüşümü yapalım:

$t=xu$

$dt=xdu$

$\int \frac{1}{t}dt=\int \frac{1}{ux}xdu=\int \frac{1}{u}du$

Evrim Ağacı'ndan Mesaj

Neden Desteğe İhtiyacımız Var?

Aslında maddi destek istememizin nedeni çok basit: Çünkü Evrim Ağacı, bizim tek mesleğimiz, tek gelir kaynağımız. Birçoklarının aksine bizler, sosyal medyada gördüğünüz makale ve videolarımızı hobi olarak, mesleğimizden arta kalan zamanlarda yapmıyoruz. Dolayısıyla bu işi sürdürebilmek için gelir elde etmemiz gerekiyor.

Bunda elbette ki hiçbir sakınca yok; kimin, ne şartlar altında yayın yapmayı seçtiği büyük oranda bir tercih meselesi. Ne var ki biz, eğer ana mesleklerimizi icra edecek olursak (yani kendi mesleğimiz doğrultusunda bir iş sahibi olursak) Evrim Ağacı'na zaman ayıramayacağımızı, ayakta tutamayacağımızı biliyoruz. Çünkü az sonra detaylarını vereceğimiz üzere, Evrim Ağacı sosyal medyada denk geldiğiniz makale ve videolardan çok daha büyük, kapsamlı ve aşırı zaman alan bir bilim platformu projesi. Bu nedenle bizler, meslek olarak Evrim Ağacı'nı seçtik.

Eğer hem Evrim Ağacı'ndan hayatımızı idame ettirecek, mesleklerimizi bırakmayı en azından kısmen meşrulaştıracak ve mantıklı kılacak kadar bir gelir kaynağı elde edemezsek, mecburen Evrim Ağacı'nı bırakıp, kendi mesleklerimize döneceğiz. Ama bunu istemiyoruz ve bu nedenle didiniyoruz.

Destek Ol

Yeni integralin aralığını da ayarlarsak şu eşitliği elde ederiz:

${\int }_1^{xy}\frac{1}{t}dt={\int }_1^x\frac{1}{t}dt+{\int }_1^y\frac{1}{u}du$

Sol taraf $L(xy)$'ye eşitken, sağ taraf $L(x)+L(y)$'ye eşit.

$L(xy)=L(x)+L(y)$

İntegralden elde ettiğimiz fonksiyon logaritmik bir fonksiyon demek ki bu fonksiyon bir logaritma fonksiyonu. (Bu fonksiyonun logaritma olması ile ilgili bir ispat da gerekiyor ama şu an konumuz o değil.)

Fonksiyonun Tabanı

$L(x)$ bir logaritma fonksiyonu ama şu an tabanının tam olarak ne olduğunu bilmiyoruz. Bu fonksiyona geçici olarak ${\log }_a(x)$ diyelim.

Bu $a$ sayısına nasıl ulaşabiliriz? Tabii ki de Taylor/Maclaurin serisi ile!

${\log }_a(x)=y$

$x=a^y$

Eğer $a^y$'nin $y$'e göre türevini bulabilirsek, logaritmanın tersi olan üstel fonksiyonun türevini elde edebilir ve $a$'yı bulabiliriz.

Ne biliyoruz? ${\int }_1^x\frac{1}{t}dt={\log }_a(x)$. Demek ki $\frac{d}{dx}{\log }_a(x)=\frac{1}{x}$

${\log }_a(x)=y$

$\frac{1}{x}=\frac{dy}{dx}$

Agora Bilim Pazarı

HERKES İÇİN VERİ BİLİMİ

Devamını Göster

₺1.200,00 ₺0,00

Satın Al Tüm Ürünler

$x=\frac{dx}{dy}$

$a^y=\frac{dx}{dy}$

Burada inanılmaz bir sonuçla karşılaşıyoruz. Elimizdeki bu üstel fonksiyonun türevi kendisine eşit. Yani $\frac{d}{dx}{a}^x=a^x$

Artık bu fonksiyonun Maclaurin serisini açabiliriz.

$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3+\frac{f^{\prime \prime \prime \prime }(0)}{4!}{x}^4\cdots$

$a^x=a^0+a^{0}x+\frac{a^0}{2!}{x}^2+\frac{a^0}{3!}{x}^3+\frac{a^0}{4!}{x}^4\cdots$

$a^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}$

Burada $x$ yerine bir koyarsak...

$a=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}\cdots$

Bu sonuç, Bernoulli'nin ${\lim }_{n\to \infty }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ sonucu ile aynıdır. Bu sayıya Euler Sayısı ($e$) denir.

Yani bizim bu tabanımız euler sayısıymış.

Final

${\int }_1^x\frac{1}{t}dt={\log }_e(x)=\ln (x)$