:sharpen(0.5,0.5,true)/profile%2Ff8ad911b-24c5-4868-b89b-3165c4d4b83b.jpeg)
1/x Hiperbolünün İntegrali
İntegral
:sharpen(0.5,0.5,true)/content%2F3f39273b-a5c9-4a02-9361-a646468cc583.jpeg)
- Blog Yazısı
Bu blog yazısında kısaca f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x} fonksiyonunun integralini anlatacağım.
İntegrali İsimlendirme
Öncelikle elimizdeki bu integrale geçici bir isim verelim.
∫1x1tdt=L(x)\displaystyle\int_1^x \frac{1}{t}dt = L(x)
Şimdilik bu fonksiyona L(x)L(x) fonksiyonu diyeceğiz.
Fonksiyonun Davranışını İnceleme
Elimizdeki L(x)L(x) fonksiyonu, bizim bildiğimiz bir fonksiyon ile benzer davranış gösteriyor mu test etmemiz gerekiyor.
Burada uzun uzun beyin fırtınası yapmayacağım. Direkt cevaba giden yola bakacağız.
∫1xy1tdt=∫1x1tdt+∫xxy1tdt\displaystyle\int_1^{xy} \frac{1}{t}dt = \displaystyle\int_1^{x} \frac{1}{t}dt+ \displaystyle\int_x^{xy} \frac{1}{t}dt
En sağdaki integral için şu dönüşümü yapalım:
t=xut = xu
dt=xdudt = xdu
∫1tdt=∫1uxxdu=∫1udu\displaystyle\int \frac{1}{t}dt = \displaystyle\int \frac{1}{ux}xdu = \displaystyle\int \frac{1}{u}du
Evrim Ağacı'nın çalışmalarına Kreosus, Patreon veya YouTube üzerinden maddi destekte bulunarak hem Türkiye'de bilim anlatıcılığının gelişmesine katkı sağlayabilirsiniz, hem de site ve uygulamamızı reklamsız olarak deneyimleyebilirsiniz. Reklamsız deneyim, sitemizin/uygulamamızın çeşitli kısımlarda gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını görmediğiniz, %100 reklamsız ve çok daha temiz bir site deneyimi sunmaktadır.
KreosusKreosus'ta her 50₺'lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime karşılık geliyor. Bu sayede, tek seferlik destekçilerimiz de, aylık destekçilerimiz de toplam destekleriyle doğru orantılı bir süre boyunca reklamsız deneyim elde edebiliyorlar.
Kreosus destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek olmaya başladıkları anda devreye girmektedir ve ek bir işleme gerek yoktur.
PatreonPatreon destekçilerimiz, destek miktarından bağımsız olarak, Evrim Ağacı'na destek oldukları süre boyunca reklamsız deneyime erişmeyi sürdürebiliyorlar.
Patreon destekçilerimizin Patreon ile ilişkili e-posta hesapları, Evrim Ağacı'ndaki üyelik e-postaları ile birebir aynı olmalıdır. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi 24 saat alabilmektedir.
YouTubeYouTube destekçilerimizin hepsi otomatik olarak reklamsız deneyime şimdilik erişemiyorlar ve şu anda, YouTube üzerinden her destek seviyesine reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. YouTube Destek Sistemi üzerinde sunulan farklı seviyelerin açıklamalarını okuyarak, hangi ayrıcalıklara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.
Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim ayrıcalığı sunuyorsa, destek olduktan sonra YouTube tarafından gösterilecek olan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyiminin devreye girmesi, formu doldurduktan sonra 24-72 saat alabilmektedir.
Diğer PlatformlarBu 3 platform haricinde destek olan destekçilerimize ne yazık ki reklamsız deneyim ayrıcalığını sunamamaktayız. Destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeyi sürdürüyoruz ve umuyoruz bu ayrıcalıkları zamanla genişletebileceğiz.
Giriş yapmayı unutmayın!Reklamsız deneyim için, maddi desteğiniz ile ilişkilendirilmiş olan Evrim Ağacı hesabınıza üye girişi yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksinizdir.
Yeni integralin aralığını da ayarlarsak şu eşitliği elde ederiz:
∫1xy1tdt=∫1x1tdt+∫1y1udu\displaystyle\int_1^{xy} \frac{1}{t}dt = \displaystyle\int_1^{x} \frac{1}{t}dt+ \displaystyle\int_1^{y} \frac{1}{u}du
Sol taraf L(xy)L(xy)'ye eşitken, sağ taraf L(x)+L(y)L(x) + L(y)'ye eşit.
L(xy)=L(x)+L(y)L(xy) = L(x) + L(y)
İntegralden elde ettiğimiz fonksiyon logaritmik bir fonksiyon demek ki bu fonksiyon bir logaritma fonksiyonu. (Bu fonksiyonun logaritma olması ile ilgili bir ispat da gerekiyor ama şu an konumuz o değil.)
Fonksiyonun Tabanı
L(x)L(x) bir logaritma fonksiyonu ama şu an tabanının tam olarak ne olduğunu bilmiyoruz. Bu fonksiyona geçici olarak loga(x)\log_a(x) diyelim.
Bu aa sayısına nasıl ulaşabiliriz? Tabii ki de Taylor/Maclaurin serisi ile!
loga(x)=y\log_a(x) = y
x=ayx = a^y
Eğer aya^y'nin yy'e göre türevini bulabilirsek, logaritmanın tersi olan üstel fonksiyonun türevini elde edebilir ve aa'yı bulabiliriz.
Ne biliyoruz? ∫1x1tdt=loga(x)\int_1^x \frac{1}{t}dt = \log_a(x). Demek ki ddxloga(x)=1x\frac{d}{dx} \log_a(x) = \frac{1}{x}
loga(x)=y\log_a(x) = y
1x=dydx\frac{1}{x} = \frac{dy}{dx}
:sharpen(0.5,0.5,true)/evrimagaci.org%2Fpublic%2Fimages%2Fdyn%2Fe1adffc9675860b4814b1453b1b9d0c5.png)
x=dxdyx = \frac{dx}{dy}
ay=dxdya^y = \frac{dx}{dy}
Burada inanılmaz bir sonuçla karşılaşıyoruz. Elimizdeki bu üstel fonksiyonun türevi kendisine eşit. Yani ddxax=ax\frac{d}{dx}a^x = a^x
Artık bu fonksiyonun Maclaurin serisini açabiliriz.
f(x)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)2!x2+f′′′(0)3!x3+f′′′′(0)4!x4⋯f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 \cdots
ax=a0+a0x+a02!x2+a03!x3+a04!x4⋯a^x = a^0 + a^0 x + \frac{a^0}{2!}x^2 + \frac{a^0}{3!}x^3 + \frac{a^0}{4!}x^4 \cdots
ax=1+x+x22!+x33!+x44!⋯=∑n=0∞xnn!a^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} \cdots = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
Burada xx yerine bir koyarsak...
a=1+1+12!+13!+14!+15!⋯a = 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \frac{1}{5!} \cdots
Bu sonuç, Bernoulli'nin limn→∞(1+1n)n\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n sonucu ile aynıdır. Bu sayıya Euler Sayısı (ee) denir.
Yani bizim bu tabanımız euler sayısıymış.
Final
∫1x1tdt=loge(x)=ln(x)\displaystyle\int_1^x \frac{1}{t}dt = \log_e(x) = \ln(x)
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
-
0
Evrim Ağacı'na her ay sadece 1 kahve ısmarlayarak destek olmak ister misiniz?
Şu iki siteden birini kullanarak şimdi destek olabilirsiniz:
kreosus.com/evrimagaci | patreon.com/evrimagaci
Çıktı Bilgisi: Bu sayfa, Evrim Ağacı yazdırma aracı kullanılarak 14/02/2026 09:41:49 tarihinde oluşturulmuştur. Evrim Ağacı'ndaki içeriklerin tamamı, birden fazla editör tarafından, durmaksızın elden geçirilmekte, güncellenmekte ve geliştirilmektedir. Dolayısıyla bu çıktının alındığı tarihten sonra yapılan güncellemeleri görmek ve bu içeriğin en güncel halini okumak için lütfen şu adrese gidiniz: https://evrimagaci.org/s/22299
İçerik Kullanım İzinleri: Evrim Ağacı'ndaki yazılı içerikler orijinallerine hiçbir şekilde dokunulmadığı müddetçe izin alınmaksızın paylaşılabilir, kopyalanabilir, yapıştırılabilir, çoğaltılabilir, basılabilir, dağıtılabilir, yayılabilir, alıntılanabilir. Ancak bu içeriklerin hiçbiri izin alınmaksızın değiştirilemez ve değiştirilmiş halleri Evrim Ağacı'na aitmiş gibi sunulamaz. Benzer şekilde, içeriklerin hiçbiri, söz konusu içeriğin açıkça belirtilmiş yazarlarından ve Evrim Ağacı'ndan başkasına aitmiş gibi sunulamaz. Bu sayfa izin alınmaksızın düzenlenemez, Evrim Ağacı logosu, yazar/editör bilgileri ve içeriğin diğer kısımları izin alınmaksızın değiştirilemez veya kaldırılamaz.
Yıldızlararası yolculuk mümkün mü
:sharpen(0.5,0.5,true)/profile%2F5f7c217c-8dda-42b5-8ce0-e74cdf87c61b.jpeg)
Mikroblog Nedir? Twitter Gibi Mikrobloglar Sosyal Medyada Neden Bu Kadar Popüler?
:sharpen(0.5,0.5,true)/old%2Fprofile_images%2F13f6d1ba98d7ca0b935952994d42ba6e.jpeg)
Çağdaş Meydan Okumalar Karşısında İnsan
:sharpen(0.5,0.5,true)/old%2Fprofile_images%2Fcd94846faae7050fd2e53e8602ad8bc8.jpg)
Yeni Bir Muhalefet Mümkün mü?
:sharpen(0.5,0.5,true)/old%2Fprofile_images%2Fe425e05dc882f4ead6599d51739f9942.jpeg)
Sonsuza Giden Bazı Temel Limitler
:sharpen(0.5,0.5,true)/profile%2Fdfab752e-6e7f-4f59-b921-50d0e39b7124.jpeg)
Şiddeti Kategorize Etmek ve Hak Ayrımcılığı Meselesi
:sharpen(0.5,0.5,true)/profile%2Fbfe51ebc-c64a-4f29-b524-5461630ede50.jpeg)
:sharpen(0.5,0.5,true)/evrimagaci.org%2Fpublic%2Fimages%2Flogo-50.png)