Euler Sayısı

Lisede logaritma öğrendiğiniz zamanları hatırlıyor musunuz? ${\log }_{10}(x)${}, ${\log }_2(x)$, bir sürü çeşit logaritma öğrenmiştik.

Ancak o günlerde, bu logaritmalar dışında "özel" bir logaritma da göstermişlerdi. Anımsadınız mı?

${\log }_e(x)=\ln (x)$

Evet, doğal logaritmadan bahsediyorum. Öğretmenlerin "tabanı $e$ olan özel logaritma" diyerek, üzerinde durmadan geçtikleri logaritma. Peki ya, size doğal logaritmanın ve onun tabanı olan $e$ sayısının (Euler Sayısı) aslında analiz için çok önemli olduğunu söyleseydim? Hadi önce bu $e$ sayısına (Euler Sayısı) bir bakalım.

Jacob Bernoulli ve Anlık Bileşik Faiz

Sayının ismi "Euler Sayısı" olmasına rağmen bu sayının ilk keşfi Jacob Bernoulli tarafından yapılmıştır.

Bileşik faiz, diğer bir adıyla "faizin faizi", basit faizden farklı olarak kazanılan faiz üzerine de faiz işletildiği bir tür faiz sistemidir. Şu an burada onun detayına inmeyeceğim.

Jacob Bernoulli'nin aklına bir soru geldi: "Bankada 1 liram varsa ve banka bana %100 faiz veriyorsa, faiz neredeyse anlık hesaplandığı zaman param ne kadarlık bir hızla büyür?"

Bu sorunun cevabı şu limitin sonucudur:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$

İlk bakışta bu sorunun cevabı basit gözüküyor. $n$ yerine sonsuz koyduğumuz zaman cevap çıkar gibi geliyor.

${\left(1+\frac{1}{\infty }\right)}^{\infty }$

$1^{\infty }$

Cevabın $1$ olmasını bekleriz değil mi? Eğer cevabın 1 olduğunu düşünüyorsanız maalesef cevabınız yanlış. Cevap $1$'den farklı bir sonuç. Limitte saçma gözükse bile $1^{\infty }$'in belirsiz olma sebebi budur.

Jacob Bernoulli bu sayıyı hesaplayamamış olsa bile, $(2,3)$ aralığında olduğunu kanıtlamayı başarmıştı.

İşte şimdi, sayıya adını veren kişiye geliyoruz.

Leonhard Euler

Euler bu limiti hesaplamak için, Newton'un "Genelleştirilmiş Binom Teoremi"ni kullandı.

Genelleştirilmiş Binom Teoremi der ki, $|x|<1$ ve $n\in \mathbb{C}$ olmak üzere:$|x|<1$

$(1+x{)}^n=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}{x}^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}{x}^3\cdots$

Eğer burada $x$ yerine $\frac{1}{n}$ koyarsak şu seriyi elde ederiz:

${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=1+1+\frac{1-\frac{1}{n}}{2!}+\frac{1-\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}}{3!}\cdots$

Gördünüz mü, artık elimizde $n$ yerine sonsuz koymamızın soru olmayacağı bir seri geçti. Bu durumda limitin sonucu şu olur:

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}\cdots$

Euler bu sonsuz seriyi topladı ve bu sayının virgülden sonraki 18 basamağını hesaplamayı başardı. İşte Euler'in bulduğu sayı:

$e=2.718281828459045235\cdots$

Agora Bilim Pazarı

10.SINIF ENERJİ BİYOLOJİ KONU ÖZETLİ SORU FASİKÜLLERİ (2 FASİKÜL)

Devamını Göster

₺768,00

Satın Al Tüm Ürünler

Euler'e hayran olmamak elde değil.

Doğal Logaritma

Peki bu sayının logaritma ile ne alakası var?

$x^n$'in integral kuralı çok basittir.

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

Bu formül tüm $n$ değerleri için mükemmel çalışır, biri hariç. $-1$

$\int \frac{1}{x}dx=\frac{x^0}{0}+C$

Gördüğünüz gibi, kural $n=-1$ olduğu zaman patlıyor.

Matematikçiler bu integrali incelediler ve bu integralin sonucunun logaritmik davrandığını fark ettiler.

${\int }_1^x\frac{1}{t}dt=L(x)$

$L(xy)=L(x)+L(y)$

Demek ki bu bir logaritma fonksiyonu.

${\int }_1^x\frac{1}{t}dt={\log }_a(x)$

Ancak... tabanı? Bu logaritmanın tabanını rastgele seçemeyiz. Tabanın özel bir değeri gerekiyor.

Eğer ters fonksiyonun türevini kullanırsak, bu logaritmanın tersi olan $a^x$ fonksiyonu hakkında şu bilgiyi elde ederiz:

$\frac{d}{dx}{a}^x=a^x$

Bu bile aslında başlı başına inanılmaz bir bilgi. Ancak ona daha sonra değineceğim.

Bu fonksiyonun maclaurin serisini açarsak şu seriyi elde ederiz:

$a^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}\cdots$

O zaman $x$ yerine $1$ koyduğumuz zaman $a$ sayısına ulaşmamız gerekiyor.

$a=1+1+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}\cdots$

İşte! Gördünüz mü? Bu toplam serisi Jacob Bernoulli'nin bileşik faiz probleminden elde ettiğimiz seri ile aynı seri! Demek ki $a=e$ imiş meğersek!

Yani:

$\int \frac{1}{x}dx={\log }_e|x|+C=\ln |x|+C$

Neden Euler Sayısı?

İyi de neden bu sayıyı kullanalım? $2^x$, ${\log }_{10}(x)$ neyimize yetmiyor?

Türevi Kendisine Eşit Olan Tek Fonksiyon

Matematikte, şu ana kadar bulduğumuz ve ileride de bulacağımız binlerce fonksiyon arasından türevi kendisine eşit olan sadece tek bir fonksiyon ailesi vardır.

$f^{\prime }(x)=f(x)$

Bu şartı sağlayan tek fonksiyon, $e^x$ ve onun katlarıdır.

$\frac{d}{dx}C{e}^x=C{e}^x$

Her ne kadar çok önemli değilmiş gibi gözükse de "arttıkça artış hızı artan" sistemleri modellemek için bunu kullanmak şarttır.

Türevi En Temiz Olan Logaritma

Logaritmanın türevi şudur:

$\frac{d}{dx}{\log }_a(x)=\frac{1}{x\ln (a)}$

Çok kirli gözüküyor. Seri açmak istesen açamazsın, açsan bile işine yaramaz.

Ancak doğal logaritmanın türevi çok sadedir.

$\frac{d}{dx}\ln (x)=\frac{1}{x}$

Sırf bu özelliği bile, doğal logaritma kullanmak için yeterli bir sebeptir ki zaten akademik dünyada eğer bir yerde $\log (x)$ yazıyorsa o onluk logaritma değil, doğal logaritmadır.

İlginç Bir Bilgiler

$e$'lik Sayı Sistemi

Her ne kadar $10$'lu ve $2$'li sayı sistemlerini kullansak bile, aslında en verimli sayı sistemi $e$'lik sayı sistemidir. Şaka yapmıyorum. Öyle ki bu sayıya en yakın tam sayı $3$ olduğu için $3$'lü sayı sistemi $2$'li sayı sisteminden daha verimlidir.

İnanmıyor musunuz? 1950'lerde Sovyetler Birliği'nde Setun adında, 2'li sistem yerine 3'lü sistemle çalışan bilgisayarlar üretildi. Bu bilgisayarlar, aynı miktarda bileşenle 2'li sistemden daha fazla bilgi işleyebiliyordu. Hadi şimdi de inanmayın.

Neden $e$?

Bu sayıya sembol olarak $e$ harfini veren kişi Euler'dir. Neden $e$'yi tercih ettiği hala tartışma konusudur. Bazıları "üstel" anlamına gelen "exponential" kelimesinin ilk harfi olduğu için, bazıları ise kendi soyisminin ilk harfi olduğu için bu harfi seçtiğini söyler. Ancak en kabul gören görüş, $e$ harfinin o dönemde boşta olmasıdır.